10. Pravděpodobnostní vytvořující funkce
10.1. Definice: Definice pravděpodobnostní vytvořující funkce celočíselné nezáporné náhodné
veličiny.
Nechť X je celočíselná nezáporná náhodná veličina s pravděpodobnostní funkcí
( )


 =
==
jinak0
,2,1,0kprop
kXP k K
. Pravděpodobnostní vytvořující funkce (dále značena p.v.f.)
náhodné veličiny X je dána vztahem: ∑
∞
=
=
0k
k
kX zp)z(g , 1z < .
Vysvětlení: Je zřejmé, že p.v.f. je speciálním případem vytvořující funkce posloupnosti { }∞
=0nna :
∑
∞
=
=
0n
n
na za)z(G . V tomto případě posloupnost { }∞
=0kkp splňuje vztahy:
K,2,1,0k =∀ : 0pk ≥ , ∑
∞
=
=
0k
k 1p .
Je také vidět, že ( ) ∑
∞
=
==
0k
k
k
X
X zpzE)z(g .
10.2. Příklad: Najděte pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny X, která má
rozložení: a) Po(λ), b) Bi(n,ϑ ), c) Ge(ϑ ).
Řešení:
ad a) 




=
λ
=
λ−
jinak0
,2,1,0kproe
!kp
k
k
K
,
( ) )1z(z
0k
k
0k
k
k
0k
k
kX eee
!k
z
eze
!k
zp)z(g −λλλ−
∞
=
λ−
∞
=
λ−
∞
=
=⋅=
λ
=
λ
== ∑∑∑
ad b)
( )





=ϑ−ϑ





=
−
jinak0
n,,1,0kpro1
k
n
p
knk
k
K
,
( ) ( ) ( ) ( )n
n
0k
knk
0k
kknk
0k
k
kX z11z
k
n
z1
k
n
zp)z(g ϑ+ϑ−=ϑ−ϑ





=ϑ−ϑ





== ∑∑∑ =
−
∞
=
−
∞
=
ad c)
( )


 =ϑϑ−
=
jinak0
,1,0kpro1
p
k
k
K
,
( ) ( )( )
( )ϑ−−
ϑ
=ϑ−ϑ=ϑϑ−== ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
= 1z1
1(zz1zp)z(g
0k
k
0k
kk
0k
k
kX .
10.3. Věta: Výpočet pravděpodobnostní funkce pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce.
Je-li gX(z) p.v.f. náhodné veličiny X, pak pro pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X
platí:
0z
)k(
X
k
!k
)z(g
p
=
=
pro k = 0, 1, 2, …
Důkaz: Plyne z věty 10.4. kurzu Markovské řetězce, protože p.v.f. je speciálním případem
vytvořující funkce.
10.4. Věta: Výpočet střední hodnoty a rozptylu pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce.
Nechť X je celočíselná nezáporná náhodná veličina s p.v.f. gX(z). Pak platí:
1zX )z(g
dz
d
)X(E =
= , [ ]2
X2
2
)X(E)X(E)z(g
dz
d
)X(D −+= .
Důkaz: ( )XEpkzpkzp
dz
d
)z(g
dz
d
1k
k
1z1k
1k
k
1z0k
k
k1zX =⋅=⋅== ∑∑∑
∞
==
∞
=
−
=
∞
=
=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )XEXE1XXEp1kkzp1kkzp
dz
d
)z(g
dz
d 2
2k
k
1z2k
2k
k
1z0k
k
k2
2
1zX2
2
−=−=−=−== ∑∑∑
∞
==
∞
=
−
=
∞
=
=
Odtud plyne, že ( ) ( ) ( )XEzg
dz
d
XE X2
2
2
+= . Protože [ ]22
)X(E)X(E)X(D −= , dostaneme
dokazovaný vztah.
10.5. Příklad: Pomocí pravděpodobnostní vytvořující funkce najděte střední hodnotu a rozptyl
náhodné veličiny X ~ Po(λ).
Řešení: Podle příkladu 10.2. (a) gX(z) = eλ(z-1)
.
λ=λ===
=
−λ
=
−λ
= 1z
)1z(
1z
)1z(
1zX ee
dz
d
)z(g
dz
d
)X(E .
[ ] λ=λ−λ+λ=λ−λ+=−+=
=
−λ
=
−λ 2
1z
)1z(22
1z
)1z(
2
2
2
X2
2
ee
dz
d
)X(E)X(E)z(g
dz
d
)X(D .
10.6. Věta: Věta o pravděpodobnostní vytvořující funkci součtu n stochasticky nezávislých
celočíselných nezáporných náhodných veličin.
Nechť X1, …, Xn jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají
p.v.f. ( ) ( )zg,,zg n1 XX K . Pak pro p.v.f. transformované náhodné veličiny ∑=
=
n
1i
iXY platí:
( ) ( )∏=
=
n
1i
XY zgzg i .
Důkaz:
( ) ( ) ( ) ( )∏∏∏ ===
==





=







 ∑
== =
n
1i
X
n
1i
X
n
1i
X
X
Y
Y zgzEzEzEzEzg i
ii
n
1i
i
10.7. Příklad: Nechť X1, ..., Xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ A(ϑ ),
i = 1, 2, .., n. Najděte pro pravděpodobnostní vytvořující funkci transformované náhodné
veličiny ∑=
=
n
1i
iXY .
Řešení: Xi ~ A(ϑ)
( ) n,1,2,i,
jinak0
0,1kpro1
p
k1k
k K=


 =ϑ−ϑ
=⇒
−
,
( ) ( ) ϑ+ϑ−=ϑ−ϑ=ϑ−ϑ== ∑∑∑ =
−
=
−
∞
=
z1)1(zz1zp)z(g
1
0k
k1k
1
0k
kk1k
0k
k
kXi . Podle věty 10.6. platí:
( ) ⇒ϑ+ϑ−=⋅⋅=
n
XXY z1)z(g)z(g)z(g n1
K Y ~ Bi(n,ϑ )
10.8. Věta: Věta o pravděpodobnostní funkci součtu n stochasticky nezávislých celočíselných
nezáporných náhodných veličin.
Nechť X1, …, Xn jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají
všechny stejnou pravděpodobnostní funkci ( ) n,,1i,
jinak0
,2,1,0kprop
kXP k
i K
K
=


 =
== . Pak
transformovaná náhodná veličina ∑=
=
n
1i
iXY má pravděpodobnostní funkci
( ) { }


 =
==
jinak0
,2,1,0kprop
kYP
*n
k K
.
Důkaz: Nechť gX(z) je p.v.f. náhodné veličiny Xi, i = 1, …, n. Pak podle věty 10.6.
gY(z) = [gX(z)]n
. Podle věty 10.7. kurzu Markovské řetězce je posloupnost ( ){ }∞
== 0kkYP n-tou
konvoluční mocninou posloupnosti { }∞
=0kkp .
10.9. Příklad: Nechť X1, X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, přičemž
Xi ~ Bi(n,ϑ), i = 1, 2. Pomocí věty 10.8. určete rozložení transformované náhodné veličiny
Y = X1 + X2.
Řešení:
( )





=ϑ−ϑ





=
−
jinak0
n,1,0kpro1
k
n
p
knk
k
K
( ) { } ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) kn2k
k
0j
kn2k
k
0j
jknjkjnj
n0knk1kn1k1n1
knkn0
0k1k1k0
*2
k
1
k
n2
jk
n
j
n
11
jk
n
1
j
n
1
0
n
1
k
n
1
1k
n
1
1
n
1
k
n
1
0
n
pppppppkYP
−
=
−
=
+−−−
−+−−−
−
−
ϑ−ϑ





=





−





ϑ−ϑ=ϑ−ϑ





−
ϑ−ϑ





=
=ϑ−ϑ





ϑ−ϑ





++ϑ−ϑ





−
ϑ−ϑ





+
+ϑ−ϑ





ϑ−ϑ





=+++===
∑∑
K
K
k = 0, 1, ..., 2n. Znamená to, Y ~ Bi(2n,ϑ).
10.10. Věta: Věta o pravděpodobnostní funkci součtu náhodného počtu stochasticky nezávislých
celočíselných nezáporných náhodných veličin.
Nechť X1, X2, … jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají
všechny stejnou pravděp. funkci ( ) K
K
,2,1i,
jinak0
,2,1,0kprop
kXP k
i =


 =
== a N je celočíselná
nezáporná náhodná veličina, která má pravděpodobnostní funkci ( )


 =
==
jinak0
,2,1,0nproq
nNP n K
. Pak
transformovaná náhodná veličina ∑=
=
N
1i
iXS (součet náhodného počtu náhodných veličin) má
pravděpodobnostní funkci ( )
{ }





==
==
∑
∞
=
jinak0
,2,1,0kpropqh
kSP 0n
*n
knk K
.
Důkaz: Použijeme vzorec úplné pravděpodobnosti ( ) ( ) ( )∑∈
=
Ii
ii H/APHPAP , kde I je nejvýše
spočetná indexová množina a { }Ii;Hi ∈ je úplný systém hypotéz. Označme A={S=k}, Hn={N=n}.
Pak P(Hn) = P(N=n), P(A/Hn) = P(S=k/N=n) = P(X1+…+XN=k/N=n) = P(X1+…+Xn =k), ovšem
podle věty 10.8. { } *n
k
n
1i
i pkXP =





=∑=
. Po dosazení do vzorce úplné pravděpodobnosti dostaneme
( ) ( ) ( ) ( ) { } K,2,1,0k,pqH/APHPkSPAP
0n
*n
knn
0n
n ===== ∑∑
∞
=
∞
=
10.11. Definice: Definice složeného rozložení.
Rozložení { }∞
=0kkh transformované náhodné veličiny ∑=
=
N
1i
iXS se nazývá složené rozložení.
10.12. Příklad: Nechť X1, X2, ... jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, přičemž
Xi ~ A(ϑ ), i = 1, 2, ... Nechť N je na nich nezávislá náhodná veličina, N ~ Po(λ). Najděte
rozložení náhodné veličiny S = X1 + ... + XN.
Řešení:
( ) { }
( )





=ϑ−ϑ





=


 =ϑ−ϑ
=
−−
jinak0
n,,1,0kpro1
k
n
p,
jinak0
1,0kpro1
p
knk
*n
k
k1k
k
K





=
λ
=
λ−
jinak0
,2,1,0nproe
!nq
n
n
K
( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ⇒
λϑ
=λϑ=
ϑ−λ
λϑ=
=−==
−
ϑ−λ
λϑ=
−
ϑ−λ
λϑ=
=λ=λ=ϑ−λ
−
ϑ=ϑ−ϑ




λ
=
λϑ−ϑ−λλ−
∞
=
λ−
∞
=
−
λ−
∞
=
−
λ−
−
∞
=
−λ−
∞
=
−λ−
∑
∑∑
∑∑
e
!k
ee
!k
1
!j
1
e
!k
1
knj
)!kn(
1
e
!k
1
)!kn(!k
1
e
1
)!kn(!k
1
e1
k
n
e
!n
h
k
1k
0j
j
k
kn
kn
k
kn
kn
kk
k*knn
kn
knnk
kn
knk
n
k
S ~ Po(λϑ ).
10.13. Věta: Věta o pravděpodobnostní vytvořující funkci náhodné veličiny S.
Pro p.v.f. náhodné veličiny S platí gS(z) = gN(gX(z)).
Důkaz:
( ) { } { } ( )[ ] ( )( )zggzgqzpqzpqzhzg XN
0n
n
Xn
0n 0k
k*n
kn
0k
k
0n
*n
kn
0k
k
kS ===== ∑∑ ∑∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
10.14. Příklad: Pro náhodnou veličinu S z příkladu 10.12. odvoďte pravděpodobnostní
vytvořující funkci.
Řešení: Xi ~ A(ϑ ) ( ) ϑ+ϑ−=ϑ−ϑ==⇒ ∑∑ =
−
∞
=
z1z1zp)z(g
1
0k
kk1k
0k
k
kX ,
N ~ Po(λ)
)1z(
N e)z(g −λ
=⇒ , gS(z) = gN(gX(z)) = ⇒= −λϑ−ϑ+ϑ−λ )1z()1z1(
ee S ~ Po(λϑ ).
10.15. Věta: Věta o střední hodnotě a rozptylu náhodné veličiny S .
Nechť X1, X2, ... jsou stochasticky nezávislé celočíselné nezáporné náhodné veličiny, které mají
všechny totéž rozložení se střední hodnotou µ a rozptylem σ2
. Nechť N je na nich nezávislá
celočíselná nezáporná náhodná veličina. Pak náhodná veličina S = X1 + ... + XN má střední
hodnotu E(S) = E(N) µ a rozptyl D(S) = D(N)µ2
+ E(N)σ2
.
Důkaz:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )µ===
===== ===
NEXENE1'g1'g
1'g1g'gz'gzg'g)zg(g
dz
d
)z(g
dz
d
)S(E
XN
XXN1zXXN1zXN1zS
[ ]2
1z
S2
2
)S(E)S(E)z(g
dz
d
)S(D −+=
=
. Nejprve spočteme 2. derivaci p.v.f. v bodě z=1:
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )1''gNE1''g
1''g1'g1'g1''gz''gzg'gz'gzg''g)z(g
dz
d
X
2
N
XN
2
XN1zXXN
1z
2
XXN1zS2
2
+µ=
=+=+= ===
Ze vzorce pro rozptyl plyne, že ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2
N NENEND1''g +−= , ( ) 22
X 1''g µ+µ−σ= , tedy
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 222222
1zS2
2
NENENENENEND)z(g
dz
d
µ+µ−σ+µ+µ−µ== . Po dosazení:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) 22
22222222
NEND
NENENENENENENENDSD
σ+µ=
=µ−µ+µ+µ−σ+µ+µ−µ=