3. Exponenciální rozložení a jeho vlastnosti
3.1. Definice: Spojitá náhodná veličina X má exponenciální rozložení s parametrem λ > 0,
jestliže hustota φ(x) má tvar:
( )


 >λ
=ϕ
λ
jinak0
0xproe
x
x.
Zkráceně píšeme X ~ ( )λEx .
Průběh hustoty exponenciálního rozložení pro různé hodnoty parametru λ:
3.2. Poznámka: Náhodná veličina X udává dobu čekání na příchod nějaké události, která se
může dostavit každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud pročekanou dobu. (Jde
o tzv. čekání bez paměti.) Přitom 1/λ vyjadřuje střední hodnotu doby čekání. Lze odvodit, že:
a) distribuční funkce ( )


 >−
=Φ
λ
jinak0
0xproe1
x
xb)
funkce přežití ( ) ( )


 >
=Φ−=Ψ
λ
jinak1
0xproe
x1x
xc)
intenzita poruchy (též riziková funkce) ( ) ( )
( )
λ=
λ−
−=
Ψ
Ψ
−=λ λ−
λ−
x
x
e
e
x
x'
x
d) kvantilová funkce ( ) ( ) ( )0,1,1ln
11
∈αα−
λ
−=αΦ−
e) střední hodnota ( )
λ
=
1
XE
f) rozptyl ( ) 2
1
XD
λ
=
g) medián λ
=
2ln
x 50,0
Průběhy důležitých funkcí exponenciálního rozložení
Distribuční funkce exponenciálního rozložení
1,5
1
0,5
0 1 2 3 4 5 6
x
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Funkce přežití exponenciálního rozložení
1,5
1
0,5
0 1 2 3 4 5 6
x
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Intenzity poruchy exponenciálního rozložení
1,5
1
0,5
0 1 2 3 4 5 6
x
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
Kvantilová funkce exponenciálního rozložení
1,5
1
0,5
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
alfa
-2
0
2
4
6
8
10
3.3. Poznámka: Exponenciální rozložení Ex(λ) je speciálním případem dvouparametrického
exponenciálního rozložením Ex(A, λ), kde parametr A > 0 udává dobu, po kterou událost
nemůže nastat. Hustota:
( )
( )


 >λ
=ϕ
−λ
jinak0
Axproe
x
Ax-
.
Exponenciální rozložení je speciálním případem Erlangova rozložení Er(k, λ) pro k = 1.
Náhodná veličina X s rozložením Er(k, λ) vyjadřuje souhrnnou dobu čekání na k-tý výskyt
události, která se může dostavit každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud
pročekanou dobu. Přitom λ
1
je střední hodnota doby čekání od výskytu předešlé události.
Hustota:
( )
( )
( )





>λ
−
λ
=ϕ
λ
−
jinak0
0xproe
!1k
x
x
x-
1k
.
(Erlangovo rozložení je speciálním případem gama rozložení, kde první parametr je přirozené
číslo.)
Grafy hustot Er(3, 1), Er(5, 1), Er(7, 1): Grafy intenzit poruchy Er(3, 1), Er(5, 1), Er(7, 1):
Intenzita poruchy Erlangova rozložení je rostoucí funkce, proto je toto rozložení vhodné pro
modelování procesů stárnutí.
3.4. Příklad (Praktické využití základních vlastností exponenciálního rozložení)
Dlouhodobým pozorováním v určité prodejně bylo zjištěno, že 40 % zákazníků je obslouženo do
3 minut. Lze předpokládat, že doba čekání se řídí exponenciálním rozložením.
a) Určete parametr λ exponenciálního rozložení.
b) Vypočtěte střední hodnotu doby čekání na obsluhu.
c) Jaká je doba čekání, kterou polovina osob nepřekročí?
d) Jaké procento zákazníků bude na obsluhu čekat déle než 6 minut?
Řešení:
Ad a) Je známo, že ( ) 34,01
=Φ−
. Přitom ( ) ( )α−
λ
−=αΦ−
1ln
11
, tedy
( )
( )
( ) 1703,0
3
4,01ln1ln
1
=
−
−=
αΦ
α−
−=λ −
Ad b) ( ) s52min5min87,5
1703,0
11
XE ===
λ
=
Ad c) Hledáme medián, tedy počítáme s4min4min07,4
1703,0
2ln2ln
===
λ
Ad d) ( ) ( ) 36,0ee66XP 61703,06
===Ψ=> ⋅−⋅λ−
.
Znamená to, že 36 % zákazníků bude čekat déle než 6 minut.
3.5. Věta: Nechť X ~ ( )λEx . Pak platí: ( ) ( )hXPtX/htXP:0h,0t >=>+>>∀>∀
Vysvětlení: Tato věta vysvětluje, proč se exponenciálnímu rozložení říká rozložení bez paměti.
Jestliže náhodná veličina X udává dobu do poruchy nějakého zařízení, pak pravděpodobnost, že
zařízení, které pracovalo po dobu aspoň t, bude pracovat bez poruchy aspoň po dobu t + h, je
stejná jako pravděpodobnost, že zařízení bude pracovat bez poruchy po dobu aspoň h – jako
kdyby „zapomnělo“ již odpracovanou dobu t.
Důkaz:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )hXPt
e
e
e
t
ht
tXP
htXP
tXP
tXhtXP
tX/htXP h
t
ht
>=Ψ=
===
Ψ
+Ψ
=
>
+>
=
>
>∧+>
=>+> λ−
λ−
+λ−
3.6. Příklad: Výrobce žárovek udává, že průměrná doba životnosti jeho žárovek je 10 000 h.
V rámci své propagační kampaně chce garantovat dobu t, do níž s spálí nejvýše 3 % žárovek.
Stanovte tuto dobu za předpokladu, že životnost žárovky se řídí exponenciálním rozložením.
Řešení: X ~ ( )λEx , ( )
10000
1
10000
1
XE =λ⇒=
λ
= . Hledáme t tak, aby platilo:
( ) ( ) h6,30497,0ln10000te1ttXP03,0 10000
t
=⋅−=⇒−=Φ=≤=
−
3.7. Věta: Nechť X ~ ( )λEx . Pak transformovaná náhodná veličina Y = λX ~ ( )1Ex .
(Rozložení ( )1Ex se nazývá standardizované exponenciální rozložení.)
Důkaz: ( ) ( ) ( )


 >−
=





λ
Φ=





λ
≤=≤λ=≤=Φ
−
jinak0
0yproe1yy
XPyXPyYPy
y
* , tedy Y ~ ( )1Ex .
3.8. Věta: Nechť X ~ Rs(0, 1). Pak transformovaná náhodná veličina Y = -ln X ~ ( )1Ex .
Důkaz:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


 >−
=Φ−=−≤−=−≥=≤−=≤=Φ
−
−−−
jinak0
0yproe1
e1eXP1eXPyXlnPyYPy
y
yyy
*
3.9. Poznámka: Vět 3.7. a 3.8. se využívá při generování realizací náhodné veličiny Y ~ ( )λEx
na počítači: vygenerujeme n náhodných čísel x1, …, xn ~ Rs(0, 1) a transformujeme je vztahem
( ) n,1,i,x1ln
1
y ii K=−
λ
−= . Čísla y1, …, yn jsou realizace náhodné veličiny Y ~ ( )λEx .
3.10. Věta: Nechť X1, X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ Ex(λi), i = 1, 2. Pak
transformovaná náhodná veličina Y = min{ X1, X2} ~ Ex(λ1 + λ2).
Důkaz:
( ) ( ) { }( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )


 >=−
=ΨΨ−=
=>>−=≤∨≤=≤=≤=Φ
λ+λλ−λ−
jinak0
0yproe-1ee1
yy1
yXPyXP1yXyXPyX,XminPyYPy
y-yy
21
212121*
2121
,
tedy Y ~ Ex(λ1 + λ2).
3.11. Poznámka: Tvrzení věty 3.10. lze zobecnit i na n stochasticky nezávislých veličin
X1, …, Xn, Xi ~ Ex(λi), i = 1, …, n. Pak transformovaná náhodná veličina Y = min{ X1, …, Xn}
~ Ex(λ1 + … + λn).
3.12. Věta: Nechť X1, X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ Ex(λ), i = 1, 2. Pak
transformovaná náhodná veličina Y = X1 + X2 ~ Er(2, λ).
Důkaz:
Podle věty o konvoluci dostáváme:
( ) ( ) ( ) ( )
jinak00,yproyedxe
dxeeyx00xy,0xdxxyxy
y2
y
0
1
y2
y
0
1
xyx
11111211*
11
=>λ=λ=
=λλ=<<⇒>−>=−ϕϕ=ϕ
λ−λ−
−λ−λ−
∞
∞−
∫
∫∫
Přitom rozložení Er(2, λ) má hustotu
( )
( )
( )





>λ=λ
−
λ
=ϕ
λλ
−
jinak0
0xproxee
!12
x
x
x-2x-
12
.
3.13. Poznámka: Tvrzení věty 3.12. lze zobecnit i na n stochasticky nezávislých veličin
X1, …, Xn, Xi ~ Ex(λ), i = 1, …, n. Pak transformovaná náhodná veličina ( )λ= ∑=
,nEr~XY
n
1i
i .
3.14. Příklad: Zákazník prochází třemi nezávislými stanicemi obsluhy, přičemž v každé z nich
se doba obsluhy řídí exponenciálním rozložením se střední hodnotou 1 minuta. Jaká je
pravděpodobnost, že celková doba obsluhy nepřesáhne 2 minuty?
Řešení: Označme Xi dobu obsluhy na i-té stanici, Xi ~ Ex(1), i = 1, 2, 3 a Y = X1 + X2 + X3
celkovou dobu obsluhy. Podle poznámky 3.13. se celková doba obsluhy řídí rozložením Er(3,1),
tedy hustota ( ) 0yproe
2
y
y y
2
>=ϕ −
. Počítáme:
( ) 3233,0e51dye
2
y
2YP 2
2
0
y
2
=−===≤ −−
∫ K
Pravděpodobnost, že celková doba obsluhy nepřesáhne 2 minuty, je 0,3233.
3.15. Věta: Nechť X1, X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ Ex(λ), i = 1, 2. Pak
( )
21
1
12 XXP
λ+λ
λ
=> .
Důkaz: ( ) ( )( )SX,XPXXP 2112 ∈=> , kde ( ){ }1221
2
21 xx,0x,0x;Rx,xS >>>∈= , tedy
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
[ ]
21
1
0
x
21
1
0
1
xx
1
0
1
x
x
2
x
21
0
1
x
2
x
2
x
1
S
212211
S
212121
2111211
1
2211
1
2211
edxeedxe
1
e
dxdxeedxdxxxdxdxx,xSX,XP
λ+λ
λ
=
λ+λ
λ
−=λ=





λ
−λλ=
=








λλ=ϕϕ=ϕ=∈
∞λ+λ−
∞
λ−λ−
∞ ∞
λ−λ−
∞ ∞
λ−λ−
∫∫
∫ ∫∫∫∫∫
3.16. Věta: Nechť X ~ Ex(λ). Pak transformovaná náhodná veličina Y = 2λX ~ χ2
(2).
Důkaz: Hustota rozložení χ2
(n) je
( )







>






Γ=ϕ
−−
jinak0
0xproex
2
2
n
1
x
2
x
1
2
n
2
n
. V našem případě n = 2,
tedy
( )





>
=ϕ
−
jinak0
0xproe
2
1
x
2
x
. Počítáme distribuční funkci veličiny Y:
( ) ( ) ( ) jinak00,yproe1
2
y
2
y
XPyX2PyYPy 2
y
* =>−=





λ
Φ=





λ
≤=≤λ=≤=Φ
−
Derivováním obdržíme hustotu:
( ) ( ) jinak00,yproe
2
1
dy
yd
y 2
y
*
* =>=
Φ
=ϕ
−
, tedy Y ~ χ2
(2).
3.17. Poznámka: Tvrzení věty 3.16. lze zobecnit i na n stochasticky nezávislých veličin
X1, …, Xn, Xi ~ Ex(λ), i = 1, …, n. Pak transformovaná náhodná veličina ( )n2~X2Y 2
n
1i
i χλ= ∑=
.
3.18. Věta: Nechť X1, …, Xn je náhodný výběr z rozložení Ex(λ). Označme ∑=
=
n
1i
iX
n
1
M
výběrový průměr. Pak meze 100(1-α)% intervalu spolehlivosti pro střední hodnotu λ
1
jsou:
( )n2
nM2
D
21
2
α−χ
= , ( )n2
nM2
H
2
2
αχ
= .
Důkaz: Podle poznámky 3.17. náhodná veličina Y = 2λnM ~ χ2
(2n). Z definice 100(1-α)%
intervalu spolehlivosti dostáváme:
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )





χ
<
λ
<
χ
=
=





χ
<
λ
<
χ
=χ<λ<χ=α−>λ∀
αα−
αα−
α−α
n2
nM21
n2
nM2
P
n2
1
nM2
1
n2
1
Pn2nM2n2P1:0
2
2
21
2
2
2
21
221
2
2
2
3.19. Příklad: V jisté prodejně potravin bylo na základě náhodného výběru 50 zákazníků
zjištěno, že průměrná doba obsluhy u pokladny je 30 s. Předpokládejme, že doba obsluhy je
náhodná veličina s exponenciálním rozložením. Najděte 95% empirický interval spolehlivosti
pro střední hodnotu doby obsluhy.
Řešení: n = 50, m = 30, α = 0,05
( ) ( )
16,23
501,129
3000
100
30502
n2
nm2
d
975,0
2
21
2
==
χ
⋅⋅
=
χ
=
α−
( ) ( )
42,40
222,74
3000
100
30502
n2
nm2
h
025,0
2
2
2
==
χ
⋅⋅
=
χ
=
α
Střední hodnota doby obsluhy se s pravděpodobností aspoň 0,95 nachází v intervalu 23 s až 40 s.
3.20. Poznámka: Pro větší rozsahy náhodných výběrů (n ≥ 30) lze pro střední hodnotu λ
1
použít
asymptotický 100(1-α)% interval spolehlivosti založený na centrální limitní větě.
Nechť X1, …, Xn je náhodný výběr z rozložení Ex(λ), ∑=
=
n
1i
iX
n
1
M je výběrový průměr. Pak
střední hodnota ( )
λ
=
1
ME a rozptyl ( ) 2
n
1
MD
λ
= . Standardizací výběrového průměru
dostaneme veličinu
( )
( )
( ) ( )1,0N
nMM
MD
MEM
U 1
1
n
1
1
2
≈
−
=
−
=
−
=
λ
λ
λ
λ
. Konvergence k rozložení
N(0,1) se neporuší, když λ
1
ve jmenovateli nahradíme M, tedy
( ) ( )1,0N
M
nM
U
1
≈
−
= λ
.
( )






+<
λ
<−=








<
−
<−≤α−>λ∀ α−α−α−
λ
α− 212121
1
21 u
n
M
M
1
u
n
M
MPu
M
nM
uP1:0
, tedy
2121 u
n
M
MH,u
n
M
MD α−α− +=−= .
3.21. Příklad: Pro údaje z příkladu 3.19. spočtěte meze 95% intervalu spolehlivosti pro střední
hodnotu doby obsluhy podle vzorů uvedených v poznámce 3.20.
Řešení: n = 50, m = 30, α = 0,05
68,2196,1
50
30
30u
n
m
md 21 =−=−= α−
32,3896,1
50
30
30u
n
m
mh 21 =+=+= α−
Střední hodnota doby obsluhy se s pravděpodobností aspoň 0,95 nachází v intervalu 22 s až 38 s.
3.22. Poznámka: Výhody a nevýhody exponenciálního rozložení v praxi
Výhoda: Exponenciálního rozložení má jednoduché vyjádření hustoty a jeho hustota má průběh,
který dobře popisuje řadu reálných dějů.
Nevýhoda: Exponenciální rozložení závisí pouze na jediném parametru, je tedy málo flexibilní.
V některých situacích, např. při modelování výše pojistného plnění, špatně modeluje interval
nejnižších hodnot a také interval nejvyšších hodnot, protože hustota příliš rychle klesá k nule.