5. Testování exponenciálního a Poissonova rozložení
5.1. Věta (test dobré shody – viz přednáška 2)
H0: náhodný výběr X1, …, Xn pochází z rozložení s distribuční funkcí Φ(x)
H1: non H0
Testová statistika:
( )
( )1pr
np
npn
K 2
r
1j j
2
jj
−−χ≈
−
= ∑=
, když H0 platí
r … počet třídicích intervalů ( 1jj u,u + ve spojitém případě resp. počet variant x[j] v diskrétním
případě.
nj … absolutní četnost j-tého třídicího intervalu resp. j-té varianty.
pj … pravděpodobnost, že náhodná veličina X s distribuční funkcí Φ(x) se bude realizovat
v j-tém třídicím intervalu resp. j-tou variantou.
p … počet odhadovaných parametrů testovaného rozložení.
Kritický obor: ( ) )∞−−χ= α− ,1prW 1
2
⇒∈ WK H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
Podmínky dobré aproximace: npj ≥ 5, j = 1, ..., r. Při nesplnění těchto podmínek se doporučuje
slučování některých třídicích intervalů resp. variant.
5.2. Příklad: Byla zjišťována doba životnosti 45 součástek (v hodinách). Ze získaných údajů byl
vypočten výběrový průměr m = 99,93 h a výběrový rozptyl s2
= 7328,9 h2
. Máme k dispozici
roztříděné údaje:
Doba životnosti Počet součástek
( 50,0 15
( 100,50 14
( 150,100 6
( 200,150 5
( 250,200 2
( 300,250 1
( 350,300 1
( 400,350 1
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že doba životnosti se řídí
exponenciálním rozložením.
Řešení: 93,99
1
m
1ˆ ==λ , testujeme H0: X1, …, X45 ~ 





93,99
1
Ex proti H1: non H0. Počítáme
pravděpodobnosti ∫
+
−
=
1j
j
u
u
93,99
x
j dxe
93,99
1
p
, j = 1, 2, …, 8
j ( 1jj u,u +
nj pj npj = 45pj
1 ( 50,0 15 0,3937 17,72
2 ( 100,50 14 0,2387 10,74
3 ( 150,100 6 0,1447 6,51
4 ( 200,150 5 0,0878 3,95
5 ( 250,200 2 0,0532 2,39
6 ( 300,250 1 0,0323 1,45
7 ( 350,300 1 0,0196 0,88
8 ( 400,350 1 0,0119 0,53
Vidíme, že pro j = 4, …, 8 nejsou splněny podmínky dobré aproximace. Posledních 5 intervalů
tedy sloučíme do jednoho.
Dostaneme novou tabulku
j ( 1jj u,u +
nj pj npj = 45pj
1 ( 50,0 15 0,3937 17,7157
2 ( 100,50 14 0,2387 10,7413
3 ( 150,100 6 0,1447 6,5127
4 ( 400,150 10 0,2046 9,2084
Testová statistika:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5133,1
2084,9
2084,910
5127,6
5127,66
7413,10
7413,1014
7157,17
7157,1715
np
npn
K
2222r
1j j
2
jj
=
=
−
+
−
+
−
+
−
=
−
= ∑=
Kritický obor: ( ) ) ( ) ) )∞=∞−−χ=∞−−χ= α− ,9915,5,114,1prW 95,0
2
1
2
⇒∉ WK H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
5.3. Poznámka: V MATLABu se test dobré shody pro exponenciální rozložení provádí pomocí
funkce tds_exp.m.
5.4. Příklad: Sledujeme rozložení počtu pacientů, kteří během 75 dnů přijdou na zubní
pohotovost. Osmihodinovou pracovní dobu rozdělíme do půlhodinových intervalů a v každém
intervalu zjistíme počet příchozích pacientů (máme 16 x 75 = 1200 intervalů).
Počet pacientů 0 1 2 3 4 5 6 7 8 a víc
četnost 79 188 282 275 196 114 45 10 11
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že počet příchozích pacientů
během půl hodiny se řídí Poissonovým rozložením.
Řešení:
( ) 7992,281171064551144196327522821188079
1200
1
mˆ =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==λ ,
testujeme H0: X1, …, X1200 ~ Po(2,7992) proti H1: non H0. Počítáme pravděpodobnosti
7992,2
j
j e
!j
7992,2
p −
= , j = 0, 1, …, 7, ∑=
−=
7
0j
j8 p1p .
j 0 1 2 3 4 5 6 7 8
nj 79 188 282 275 196 114 45 10 11
npj 73,0329 204,4313 286,1186 266,9646 186,8195 104,5878 48,7931 19,5114 9,7406
Podmínky dobré aproximace jsou splněny.
Testová statistika:
( ) ( ) ( ) ( ) 5019,8
7406,9
7406,911
4313,204
4313,204188
0329,73
0329,7379
np
npn
K
222r
1j j
2
jj
=
−
++
−
+
−
=
−
= ∑=
K
Kritický obor: ( ) ) ( ) ) )∞=∞−−χ=∞−−χ= α− ,067,14,119,1prW 95,0
2
1
2
⇒∉ WK H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
5.5. Poznámka: V MATLABu se test dobré shody pro Poissonovo rozložení provádí pomocí
funkce tds_poiss.m.
5.6. Věta: Darlingův (jednoduchý) test exponenciálního rozložení
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z exponenciálního
rozložení. Označme M výběrový průměr a S2
výběrový rozptyl tohoto náhodného výběru. Víme,
že střední hodnota náhodné veličiny X ~ Ex(λ) je E(X) = 1/λ a rozptyl je D(X) = 1/λ2
.
Test založíme na statistice
( )
2
2
M
S1n
K
−
= , která se v případě platnosti H0 asymptoticky řídí
rozložením χ2
(n-1).
Kritický obor: ( ) ( ) )∞−χ∪−χ= α−α ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
.
Jestliže WK ∈ , H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
5.7. Příklad: Pro data z příkladu 5.2. proveďte na hladině významnosti 0,05 Darlingův test.
Řešení: n = 45, m = 99,93 h, s2
= 7328,9 h2
Testová statistika:
( ) 2924,32
93,99
91,732844
M
S1n
K 22
2
=
⋅
=
−
=
Kritický obor:
( ) ( ) ) ( ) ( ) ) ∪=∞χ∪χ=∞−χ∪−χ= α−α ,202,64575,27,0,4444,0,1n1n,0W 975,0
2
025,0
2
2/1
2
2/
2
Protože se testová statistika nerealizuje v kritickém oboru, hypotézu o exponenciálním rozložení
nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
5.8. Věta: Jednoduchý test Poissonova rozložení
Testujeme hypotézu, která tvrdí, že náhodný výběr X1, ..., Xn pochází z Poissonova rozložení.
Označme M výběrový průměr a S2
výběrový rozptyl tohoto náhodného výběru. Víme, že střední
hodnota náhodné veličiny X ~ Po(λ) je E(X) = λ a rozptyl je D(X) = λ.
Test založíme na statistice
( )
M
S1n
K
2
−
= , která se v případě platnosti H0 asymptoticky řídí
rozložením χ2
(n-1).
Kritický obor: ( ) ( ) )∞−χ∪−χ= α−α ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
.
Jestliže WK ∈ , H0 zamítáme na asymptotické hladině významnosti α.
5.9. Příklad: Pro data z příkladu 5.4. proveďte na hladině významnosti 0,05 jednoduchý test
Poissonova rozložení.
Řešení: Nejprve musíme vypočítat realizaci výběrového průměru a výběrového rozptylu:
( ) 7992,281171064551144196327522821188079
1200
1
mˆ =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅==λ
( ) ( ) ( )[ ] 6594,27992,28117992,211887992,2079
1199
1
s
2222
=−⋅++−⋅+−⋅= K
( ) 1,1139
7882,2
6594,21199
M
S1n
K
2
=
⋅
=
−
=
Kritický obor: ( ) ( ) )∞−χ∪−χ= α−α ,1n1n,0W 2/1
2
2/
2
)∞∪= ;86,129693,1104;0
H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
5.10. Poznámka: Darlingův test i jednoduchý test Poissonova rozložení můžeme v MATLABu
provést pomocí funkce darling.m.
5.11. Poznámka: Pro výpočet kvantilů Pearsonova chí-kvadrát rozložení pro počet stupňů
volnosti nad 30 můžeme použít aproximační vzorec: ( ) ( )22
1n2u
2
1
n −+≈χ αα . Pro kvantily
z příkladu 5.9. dostáváme:
( ) ( ) ( ) 46,1104239796,1
2
1
111992u
2
1
1199
22
025,0025,0
2
=+−=−⋅+≈χ
( ) ( ) ( ) 42,1296239796,1
2
1
111992u
2
1
1199
22
975,0975,0
2
=+=−⋅+≈χ
5.12. Poznámka: Pro vizuální posouzení, zda naše data pocházejí z exponenciálního rozložení,
lze také použít P-P graf.
Způsob konstrukce: spočteme standardizované hodnoty s
mx
z i
i
−
= , i = 1, ..., n a uspořádáme je
podle velikosti z(1) ≤ … ≤ z(n). Na vodorovnou osu vyneseme hodnoty distribuční funkce
exponenciálního rozložení ( )( ) ( )iz
i e1z
λ−
−=Φ , i = 1, …, n a na svislou osu hodnoty empirické
distribuční funkce ( )( )
n
i
zF in = , i = 1, …, n. Pokud se body (Φ(z(i)), F(z(i))) řadí kolem hlavní
diagonály čtverce [0,1] x [0,1], lze soudit, že data pocházejí z exponenciálního rozložení.