7. Systémy hromadné obsluhy s neomezenou kapacitou
7.1. Systém M/M/1/∞/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí rozložením
Ex(µ), v systému je jedna linka obsluhy, kapacita systému je neomezená, frontový režim je
„první vstupuje, první je obsloužen“.
Ilustrace:
Počet zákazníků v systému v čase t je náhodná veličina Xt. Stochastický proces { }Tt;Xt ∈ je
proces vzniku a zániku s množinou stavů J = {0, 1, …}, vektorem počátečních pravděpodobností
p(0) = (1, 0, 0, …) a maticí intenzit přechodu
( )
( )












λµ+λ−µ
λµ+λ−µ
λλ−
=
KKKKK
K
K
K
0
0
00
Q
Přechodový diagram:
Odvození stacionárního rozložení: Řešíme systém rovnic aQ = 0, 1a
0j
j =∑
∞
=
.
( )
( )
( )
( )K
KKKKK
K
K
K
K 000
0
0
00
aaa 210 =














λµ+λ−µ
λµ+λ−µ
λλ−
0110 aa0aa
µ
λ
=⇒=µ+λ−
( ) 0
2
02
2
00102210 aaaaaaa0aaa 





µ
λ
=
µ
λµ+λ+λµ−
=
µ
λ
⋅
µ
µ+λ
+
µ
λ
−=
µ
µ+λ
+
µ
λ
−=⇒=µ+µ+λ−λ
( ) 0
3
03
232
0
2
0
2
213321 aaaaaaa0aaa 





µ
λ
=
µ
µλ+λ+µλ−
=





µ
λ
⋅
µ
µ+λ
+





µ
λ
−=
µ
µ+λ
+
µ
λ
−=⇒=µ+µ+λ−λ
Obecně: 0
j
j aa 





µ
λ
= . Přitom
µ
λ
−=
µ
λ−µ
=
+
=
−
+
=⇒





µ
λ
+=+==
λ−µ
λ
µ
λ
µ
λ
∞
=
∞
=
∞
=
∑∑∑ 1
1
1
1
1
1
aaaaaa1 0
1j
0
j
0
1j
j0
0j
j
Řada
j
0j
∑
∞
=






µ
λ
absolutně konverguje, když λ < µ. Podíl µ
λ
=ρ se nazývá intenzita provozu.
Vyjadřuje využití linky obsluhy, tj. průměrný počet vstupů během průměrné doby obsluhy.
Systém se může stabilizovat, pokud 1<ρ .
Stacionární rozložení: ( )ρ−ρ= 1a j
j , j = 0, 1, …
Počet N zákazníků ve stabilizovaném systému se tedy řídí rozložením ( )ρ−1Ge .
Pro připomenutí: ( )ϑGe~X , když ( ) ( )


 =ϑϑ−
=π
jinak0
0,1,2,xpro1
x
x
K
, ( )
ϑ
ϑ−
=
1
XE
Význam parametru ρ:
Je-li ρ < 1, bude po dostatečně dlouhé době pravděpodobnost vzniku fronty určité délky stále
stejná.
Je-li ρ ≥ 1, systém se nedostane do stacionárního stavu a pravděpodobnost vzniku fronty
neomezené délky se bude blížit 1.
Odvození charakteristik stabilizovaného systému:
Protože N ~ Ge(1-ρ), je
( )
λ−µ
λ
=
µ
λ
−
µ
λ
=
ρ−
ρ
=
1
1
NE
.
Z Littleova vzorce (
( )
( )WE
NE
=λ ) dostáváme ( )
λ−µ
=
1
WE .
Dále víme, že WS ~ Ex(µ), tedy ( )
µ
=
1
WE S . Protože E(WQ) = E(W) – E(WS), dostáváme po
dosazení ( )
( ) λ−µ
ρ
=
λ−µµ
λ
=
µ
−
λ−µ
=
11
WE Q .
Z Littleova vzorce dále plyne ( ) ( ) ρ=
µ
λ
=λ= SS WENE . A dále ( ) ( )
( )λ−µµ
λ
=λ=
2
QQ WENE .
Přehled charakteristik stabilizovaného systému:
Střední hodnota počtu zákazníků v systému: ( )
λ−µ
λ
=NE .
Střední hodnota počtu zákazníků ve frontě: ( )
( )λ−µµ
λ
=
2
QNE .
Střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků: ( )
µ
λ
=SNE .
Střední hodnota doby strávené v systému: ( )
λ−µ
=
1
WE .
Střední hodnota doby strávené ve frontě: ( )
( )λ−µµ
λ
=QWE .
Střední hodnota doby obsluhy: ( )
µ
=
1
WE S .
Pravděpodobnost, že zákazník najde volnou linku: µ
λ
−=ρ−= 11a0 .
Pravděpodobnost, že zákazník bude čekat ve frontě: µ
λ
=ρ=− 0a1 .
Charakteristiky stabilizovaného systému M/M/1/∞/FIFO počítá funkce neomezeny_1.m
%Syntaxe: [a0,ro,ENS,ENQ,EN,EWS,EWQ,EW]=neomezeny_1(lambda,mi)
%Vstupní parametry:
% lambda .... parametr vstupního proudu
% mi ........ parametr obsluhy
%
% Výstupní parametry:
% a0 ........ pravděpodobnost, že v systému nebude žádný zákazník
% ro ........ intenzita provozu
% ENS ....... střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků
% ENQ ....... střední hodnota počtu zákazníků ve frontě
% EN ........ střední hodnota počtu zákazníků v systému
% EWS ....... střední hodnota doby, kterou zákazník stráví obsluhou
% EWQ ....... střední hodnota doby, kterou zákazník stráví ve frontě
% EW ........ střední hodnota doby, kterou zákazník stráví v systému
7.2. Simulace činnosti systému M/M/1/∞/FIFO
K novinovému stánku přijde v průměru 30 zákazníků za hodinu. Vstupní proud zákazníků je Poissonův
proces. Obsluha jednoho zákazníka trvá v průměru 1,5 minuty a řídí se exponenciálním rozložením.
Simulujte činnost tohoto systému hromadné obsluhy pomocí MATLABu pro 30, 300 a 3000 zákazníků a
empirické charakteristiky systému porovnejte s teoretickými. (Simulaci činnosti systému M/M/1/∞/FIFO
provádí funkce simulace_1.m)
Řešení:
Intenzita vstupního proudu zákazníků:
2
1
60
30
==λ zákazníka za 1 minutu
Intenzita obsluhy: 3
2
5,1
1
==µ zákazníka za 1 minutu
Intenzita provozu: 1
4
3
32
21
<==
µ
λ
=ρ , systém se může stabilizovat
( ) 3
2132
21
NE =
−
=
λ−µ
λ
= . U novinového stánku se průměrně nacházejí 3 zákazníci.
( )
( ) ( )
25,2
4
9
213232
41
NE
2
Q ==
−
=
λ−µµ
λ
= . Ve frontě čeká v průměru 2,25 zákazníků.
( ) 75,0
4
3
32
21
NE S ===
µ
λ
= . Průměrně je obsluhováno 0,75 zákazníků.
( ) 6
2132
11
WE =
−
=
λ−µ
= . V průměru stráví zákazník u stánku 6 minut.
( )
( ) ( )
5,4
2
9
213232
21
WE Q ==
−
=
λ−µµ
λ
= . Zákazník čeká ve frontě v průměru 4,5 minuty.
( ) 5,1
2
3
32
11
WE S ===
µ
= . Zákazník je obsluhován v průměru 1,5 minuty.
Pravděpodobnost, že zákazník nebude čekat ve frontě:
4
1
4
3
11a0 =−=
µ
λ
−=
Pravděpodobnostní rozložení počtu zákazníků v systému: ( )
4
1
4
3
1a
j
j
j 





=ρ−ρ= , j = 0, 1, 2, …
počet zákazníků pravděpodobnost kumulovaná pravděpodobnost
0 0,250 0,250
1 0,188 0,438
2 0,141 0,578
3 0,105 0,684
4 0,079 0,763
5 0,059 0,822
6 0,044 0,867
7 0,033 0,900
8 0,025 0,925
9 0,019 0,944
10 0,014 0,958
Grafické znázornění pravděpodobnosti a kumulované pravděpodobnosti počtu zákazníků
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
počet zákazníků
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,20
0,22
0,24
0,26
pravděpodobnost
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
počet zákazníků
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
kumulovanápravděpodobnost
Výsledky simulace pro 30 zákazníků
Vysvětlivky:
IMP … intervaly mezi příchody zákazníků
DO … doby obsluhy zákazníků
OPZ … okamžiky příchodů zákazníků
ZO … začátky obsluhy zákazníků
KO … konce obsluhy zákazníků
CZ … čekání zákazníků na obsluhu
NLO … nevyužití linky obsluhy
Č.
zák.
IMP DO OPZ ZO KO CZ NLO
1 4,4764 1,311 4,4764 4,4764 5,7874 0 4,4764
2 0,0777 4,504 4,554 5,7874 10,2914 1,2333 0
3 10,7486 0,1535 15,3026 15,3026 15,4561 0 5,0112
4 0,51 0,0852 15,8126 15,8126 15,8978 0 0,3565
5 0,4035 1,0674 16,2161 16,2161 17,2835 0 0,3183
6 0,2815 1,0723 16,4977 17,2835 18,3558 0,7859 0
7 4,9435 1,6283 21,4412 21,4412 23,0695 0 3,0854
8 1,8337 0,158 23,2748 23,2748 23,4328 0 0,2054
9 2,6951 1,4944 25,97 25,97 27,4644 0 2,5372
10 0,4461 3,2946 26,4161 27,4644 30,759 1,0483 0
11 1,6814 0,3722 28,0975 30,759 31,1312 2,6615 0
12 0,1872 1,4134 28,2847 31,1312 32,5447 2,8466 0
13 3,4092 2,1301 31,6939 32,5447 34,6748 0,8508 0
14 2,6651 1,3598 34,359 34,6748 36,0346 0,3158 0
15 3,8546 3,508 38,2136 38,2136 41,7216 0 2,179
16 3,9892 3,0377 42,2028 42,2028 45,2405 0 0,4812
17 0,2802 0,0895 42,4829 45,2405 45,3301 2,7576 0
18 1,0905 0,0673 43,5734 45,3301 45,3973 1,7567 0
19 1,1962 0,8295 44,7696 45,3973 46,2269 0,6278 0
20 3,8627 4,2256 48,6323 48,6323 52,8579 0 2,4054
21 0,3179 2,1737 48,9502 52,8579 55,0316 3,9077 0
22 0,9495 1,5613 49,8996 55,0316 56,5928 5,1319 0
23 2,0942 0,2955 51,9938 56,5928 56,8883 4,599 0
24 1,334 6,2597 53,3278 56,8883 63,1481 3,5605 0
25 1,8236 4,719 55,1514 63,1481 67,8671 7,9967 0
26 5,1549 2,6669 60,3063 67,8671 70,5339 7,5607 0
27 2,8549 0,6482 63,1612 70,5339 71,1821 7,3727 0
28 4,186 0,4685 67,3472 71,1821 71,6507 3,8349 0
29 3,3866 0,6514 70,7338 71,6507 72,3021 0,9168 0
30 2,8546 1,1947 73,5885 73,5885 74,7832 0 1,2864
x Průměr=2,45 Průměr=1,75 x x x Průměr=1,99 Součet=22,34
Ověření, že vstupní proud zákazníků je Poissonův proces:
Nejprve na hladině významnosti 0,05 otestujeme hypotézu, že intervaly mezi příchody zákazníků se řídí
exponenciálním rozložením. Použijme jednoduchý (Darlingův) test exponenciálního rozložení. Testová
statistika
( )
2
2
M
S1n
K
−
= nabývá hodnoty 23,794, odpovídající p-hodnota je 0,522, tedy na asymptotické
hladině významnosti 0,05 hypotézu o exponenciálním rozložení nezamítáme.
Ověření, že doba obsluhy se řídí exponenciálním rozložením:
Dále budeme testovat hypotézu, že doby obsluhy zákazníků se řídí exponenciálním rozložením. V tomto
případě K = 24,6565, p = 0,6081, tudíž na asymptotické hladině významnosti 0,05 nelze zamítnout hypotézu,
že doby obsluhy zákazníků mají exponenciální rozložení.
Rozbor simulovaných výsledků:
Celková doba simulace průchodu 30 zákazníků tímto systémem hromadné obsluhy je 74,78 min. Je to doba,
kdy 30. zákazník odchází od novinového stánku.
Zákazník stráví v průměru 1,99 min ve frontě, v průměru je obsluhován 1,75 min, u novinového stánku tedy
stráví průměrně 3,74 min.
Z celkové doby simulace 74,78 min byl stánek nevyužit v 22,34 min, tedy odhad pravděpodobnosti, že
obslužná linka bude pracovat, tzn., že v systému je aspoň jeden zákazník, je 1 - 22,34/74,78 = 0,7.
Z celkového počtu 30 zákazníků muselo 19 zákazníků čekat na obsluhu, 11 bylo obslouženo ihned. Z toho
lze odvodit odhad pravděpodobnosti, že zákazník bude čekat, jako 19/30 = 0,63, což je odhad intenzity
provozu.
Pro stanovení průměrného počtu zákazníků v systému, ve frontě a u obsluhy musíme určit počty zákazníků
v jednotlivých časových úsecích.
Lze zjistit, že po dobu 22,34 min je systém prázdný. Právě jeden zákazník byl v systému po dobu 19,56 min,
právě dva 11 min, právě tři 16,88 min a právě čtyři po dobu 5 min. Vezmeme-li v úvahu délku sledovaného
období 74,78 min, pak odhady pravděpodobností, že v systému je 0, 1, 2, 3, 4 zákazníci, jsou 0,2988
0,2615 0,1471 0,2258 0,0669.
Výsledky pro opakované simulace:
Simulaci provedeme znovu pro n = 300 a posléze pro n = 3000 zákazníků.
Hodnota charakteristikyCharakteristika
n=30 n=300 n=3000 n=∞
Průměrná doba mezi příchody zákazníků 2,45 1,97 2,04 2
Průměrná doba strávená v systému 3,74 5,13 5,47 6
Průměrná doba čekání 1,99 3,61 3,96 4,5
Průměrná doba obsluhy 1,75 1,53 1,51 1,5
Průměrný počet zákazníků v systému 1,5004 2,47 2,68 3
Průměrný počet zákazníků ve frontě 0,7992 1,74 1,99 2,25
Průměrný počet obsluhovaných zákazníků 0,7012 0,73 0,74 0,75
Využití systému 0,70 0,72 0,73 0,75
Rovněž do tabulky zaznamenáme odhady pravděpodobností počtu zákazníků od 0 do 10:
odhad pravděpodobnosti
počet zákazníků
n=30 n=300 n=3000 n=∞
0 0,2988 0,2663 0,2927 0,2500
1 0,2615 0,2148 0,2156 0,1875
2 0,1471 0,1508 0,1464 0,1406
3 0,2258 0,1005 0,1080 0,1055
4 0,0669 0,0847 0,0779 0,0791
5 0,0000 0,0450 0,0495 0,0593
6 0,0000 0,0499 0,0342 0,0445
7 0,0000 0,0356 0,0255 0,0334
8 0,0000 0,0111 0,0158 0,0250
9 0,0000 0,0114 0,0124 0,0188
10 0,0000 0,0085 0,0087 0,0141
7.3. Systém M/M/1/∞/FIFO s netrpělivými zákazníky
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí rozložením
( )µEx , v systému je n linek obsluhy, kapacita systému je neomezená, frontový režim je „první
vstupuje, první je obsloužen“. Přijde-li zákazník do systému, v němž je již n zákazníků, pak je
ochoten čekat pouze s pravděpodobností bn. Přitom 1 = b0 ≥ b1 ≥ … ≥ 0.
Označme c0 = 1, cj = b1b2…bj-1, j = 1, 2, …
Stacionární rozložení:
K,2,1j,aca 0
j
jj =





µ
λ
= ,
1
0j
j
j0 ca
−
∞
= 













µ
λ
= ∑
Střední hodnota počtu zákazníků v systému: ( ) ∑
∞
=
=
0j
jjaNE
Střední hodnota doby strávené v systému: ( ) ( )
λ
=
NE
WE
7.4. Systém M/M/n/∞/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí rozložením
( )µEx , v systému je n linek obsluhy, kapacita systému je neomezená, frontový režim je „první
vstupuje, první je obsloužen“.
Ilustrace:
Počet zákazníků v systému v čase t je náhodná veličina Xt. Stochastický proces { }Tt;Xt ∈ je
proces vzniku a zániku s množinou stavů J = {0, 1, …}, vektorem počátečních pravděpodobností
p(0) = (1, 0, 0, …) a maticí intenzit přechodu
Přechodový diagram:
Je-li systém ve stavu j > n (tj. v systému je víc zákazníků než linek obsluhy), zůstává intenzita
obsluhy stále nµ a tvoří se fronta.
Označme µ
λ
=β . Podíl n
β
=ρ se nazývá intenzita provozu. Systém se může stabilizovat, pokud
1<ρ .
Stacionární rozložení získáme řešením systému rovnic aQ = 0, 1a
0j
j =∑
∞
=
.
Výsledek:







++=
β
=
β
=
−
K
K
,2n,1njproa
n!n
n,,2,1jproa
!j
a
0nj
j
0
j
j
,
kde ( )
1
1n
0j
nj
0
n!n
n
!j
a
−
−
=






β−
β
+
β
= ∑
Charakteristiky stabilizovaného systému:
Využití systému: µ
λ
=
β
=ρ=κ
nn
Pravděpodobnost, že přicházející zákazník bude čekat ve frontě: ( )ρ−
β
=
1!n
aP
n
0Q
Střední hodnota počtu zákazníků v systému: ( ) ρ+
ρ−
ρ
= n
1
PNE Q .
Střední hodnota počtu zákazníků ve frontě: ( )
ρ−
ρ
=
1
PNE QQ .
Střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků: ( ) ρ= nNE S .
Střední hodnota doby strávené v systému: ( )
( ) µ
+
ρ−λ
ρ
=
1
1
PWE Q .
Střední hodnota doby strávené ve frontě: ( )
( )ρ−λ
ρ
=
1
PWE QQ .
Střední hodnota doby strávené obsluhou: ( )
µ
=
1
WE S .
7.5. Příklad: Myčka aut má dvě linky. Auto stráví mytím v průměru 6 min a průměrně přijede
do myčky 8 aut za 1 h. Předpokládáme, že vstupní proud aut je Poissonův proces a doba mytí
auta má exponenciální rozložení. Zjistěte, zda se systém může stabilizovat. Pokud ano, řešte
následující úkoly:
a) Jaká je pravděpodobnost, že obě mycí linky budou prázdné?
b) Jaká je pravděpodobnost, že v systému bude právě 1 auto resp. právě dvě auta?
c) Spočtěte průměrnou délku fronty.
Řešení: 8=λ , 10=µ , 2n = , 10
8
=
µ
λ
=β , ⇒<=
β
=ρ 1
20
8
n systém se může stabilizovat.
Ad a) ( ) ( )
428,0
7
3
8,02!2
8,02
!j
8,0
n!n
n
!j
a
1
1
0j
nj
1
1n
0j
nj
0 ==





−
⋅
+=





β−
β
+
β
=
−
=
−
−
=
∑∑
Pravděpodobnost, že obě linky jsou prázdné, je 0,428.
Ad b) Pro j = 1,2: 0
j
j a
!j
a
β
= , tedy 343,0
35
12
7
3
!1
8,0
a1 ==⋅= , 137,0
175
24
7
3
!2
8,0
a
2
2 ==⋅=
S pravděpodobností 0,343 resp. 0,137 bude v systému 1 resp. 2 auta.
Ad c) ( )
2286,0
35
8
6,0!2
8,0
7
3
1!n
aP
2n
0Q ==
⋅
⋅=
ρ−
β
= , ( ) 1524,0
105
16
6,0
4,0
35
8
1
PNE QQ ==⋅=
ρ−
ρ
=
Průměrná délka fronty je 0,1524 auta.
Charakteristiky stabilizovaného systému M/M/n/∞/FIFO počítá funkce neomezeny_n.m
%syntaxe: [a0,ro,PQ,ENS,ENQ,EN,EWS,EWQ,EW]=neomezeny_n(n,lambda,mi)
% Vypočítá prvek a0 stacionárního rozložení, intenzitu provozu
% a charakteristiky systému hromadné obsluhy M|M|n|Inf|FIFO.
% Vstupní parametry:
% n ......... počet linek obsluhy
% lambda .... parametr vstupního proudu
% mi ........ parametr obsluhy
% Výstupní parametry:
% a0 ........ pst, že v systému nebude žádný zákazník
% ro ........ intenzita provozu (využití systému)
% PQ ........ pst, že přicházející zákazník bude čekat ve frontě
% ENS ....... střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků
% ENQ ....... střední hodnota počtu zákazníků ve frontě
% EN ........ střední hodnota počtu zákazníků v systému
% EWS ....... střední hodnota doby, kterou zákazník stráví obsluhou
% EWQ ....... střední hodnota doby, kterou zákazník stráví ve frontě
% EW ........ střední hodnota doby, kterou zákazník stráví v systému
Pro informaci: simulaci činnosti systému M/M/n/∞/FIFO provádí funkce simulace_n.m.