8. Systémy hromadné obsluhy s omezenou kapacitou
8.1. Systém M/M/1/1
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
exponenciálním rozložením, v systému je 1 linka obsluhy, kapacita systému je 1 (zákazník
nemůže čekat ve frontě a přijde-li k obsazenému systému, vůbec nečeká a odchází).
Počet zákazníků v systému v čase t lze modelovat HMŘ se spojitým časem { }Tt;Xt ∈
s množinou stavů J = {0, 1} a maticí přechodu 





µ−µ
λλ−
=Q .
Stacionární rozložení dostaneme ve tvaru: 





µ+λ
λ
µ+λ
µ
=a .
Význam složek stacionárního rozložení:
µ+λ
µ
=0a … pravděpodobnost, že v systému není žádný zákazník
µ+λ
λ
=1a … pravděpodobnost, že v systému je právě 1 zákazník = pravděpodobnost, že
přicházející zákazník bude odmítnut = PZ
Charakteristiky systému:
Střední hodnota počtu přijatých zákazníků za jednotku času: λP = λa0
Střední hodnota počtu odmítnutých zákazníků za jednotku času: λZ = λa1
Využití systému: 00 aa
µ
λ
=ρ=κ
Střední hodnota počtu zákazníků v systému: ( )
µ+λ
λ
==⋅+⋅= 110 aa1a0NE
Střední hodnota doby strávené v systému: ( ) ( )
µ+λ
=
λ
=
1NE
WE
8.2. Příklad: Je známo, že počet příchozích hovorů na jistou telefonní linku se řídí Poissonovým
rozložením, přičemž v průměru přichází 1 hovor za 1 h. Dále je známo, že doba trvání hovoru se
řídí exponenciálním rozložením a hovor trvá v průměru 20 minut. Jestliže je linka obsazená,
nový volající okamžitě zavěsí. Vypočtěte, jaké procento lidí se nedovolalo.
Řešení: 1=λ , 3=µ , ⇒<=
µ
λ
=ρ 1
3
1
systém se může stabilizovat.
%25
4
1
a1 ==
µ+λ
λ
= . Nedovolá se 25 % lidí.
8.3. Systém M/M/1/m/FIFO
Vstupní proud zákazníků je Poissonův proces s parametrem λ, doba obsluhy se řídí
exponenciálním rozložením s parametrem µ, v systému je 1 linka obsluhy, systém má kapacitu
m a frontový režime je FIFO. Je-li systém obsazen, další zákazníci odcházejí bez obsloužení. Ve
frontě může být nejvýše m – 1 zákazníků.
Počet zákazníků, kteří jsou v systému v okamžiku t, je náhodná veličina Xt a stochastický proces
{ }Tt;Xt ∈ je HMŘ se spojitým časem, množinou stavů J = {0, 1, …, m}, vektorem počátečních
pravděpodobností p(0) = (1, 0, 0, …, 0) a maticí intenzit přechodu
( )
( )
















µ−µ
λµ+λ−µ
λµ+λ−µ
λλ−
=
K
KKKKKKK
K
K
K
0000
000
000
0000
Q
Označme µ
λ
=ρ . Odvodíme stacionární rozložení tohoto systému. Vyřešíme systém rovnic
aQ = 0 s normalizační podmínkou 1a
0j
j =∑
∞
=
a zjistíme, že 0
j
0
j
j aaa ρ=





µ
λ
= , j = 1, 2, …, m.
Hodnotu a0 odvodíme z normalizační podmínky:
∑∑ ==
ρ
=
ρ+
= m
0j
j
m
1j
j
0
1
1
1
a
. Řada ve jmenovateli je
konečná a její součet je 




=ρ+
≠ρ
ρ−
ρ−
=ρ
+
=
∑
1pro1m
1pro
1
1 1m
m
0j
j
, tedy






=ρ
+
≠ρ
ρ−
ρ−
=
+
1pro
1m
1
1pro
1
1
a
1m
0
.
Charakteristiky systému
Stř. hodnota počtu zákazníků v systému:
( )
( )[ ]
( )( )






=ρ
≠ρ
ρ−ρ−
ρ+ρ+−ρ
==
+
+
=
∑
1pro
2
m
1pro
11
m1m1
jaNE
1m
1mm
m
0j
j
Stř. hodnota počtu zákazníků ve frontě: ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )





=ρ
+
−
≠ρ
ρ−
ρ−ρ
−
=−−=−=
+
=
∑
1pro
1m
m
NE
1pro
1
1
NE
a1NEa1jNE
1m
m
0
m
1j
jQ
Stř. hodnota počtu obsloužených zákazníků: ( )mP a1−λ=λ ,
( )






=ρ
+
≠ρ
ρ−
ρ−ρ
=
+
1pro
1m
1
1pro
1
1
a
1m
m
m
Stř. hodnota doby strávené v systému: ( ) ( )
P
NE
WE
λ
= , ve frontě: ( ) ( )
P
Q
Q
NE
WE
λ
=
Pravděp., že zákazník nebude obsloužen (tj. v systému je již m požadavků): m
0m aa ρ=
Pravděp., že zákazník bude obsloužen: 1 - am
8.4. Příklad: Během osmihodinové směny dojde v průměru ke 12 poruchám strojů. Oprava trvá
v průměru půl hodiny. Pokud je opravář obsazen, ve frontě na opravu mohou čekat maximálně
tři stroje. Stanovte základní charakteristiky systému.
Řešení: Jde o systém M/M/1/4/FIFO.
75,0
2
5,1
,2
0,5
1
,5,1
8
12
==
µ
λ
=ρ==µ==λ
Pravděpodobnost, že opravář je volný: 3278,0
75,01
75,01
1
1
a 51m0 =
−
−
=
ρ−
ρ−
= +
Pravděpodobnost, že stroj nebude opraven v důsledku omezené kapacity systému:
1037,0aa 4
04 =ρ=
Stř. hodnota počtu opravených strojů: ( ) ( ) 3444,11037,015,1a1 mP =−=−λ=λ
Stř. hodnota počtu strojů v systému: ( ) ( )[ ]
( )( )
( )
( )
4443,1
75,0125,0
75,0475,05175,0
11
m1m1
NE 5
54
1m
1mm
=
−
⋅+⋅−
=
ρ−ρ−
ρ+ρ+−ρ
= +
+
Stř. hodnota počtu strojů ve frontě: ( ) ( ) ( ) ( ) 7721,0
75,01
75,0175,0
4443,1
1
1
NENE 5
4
1m
m
Q =
−
−
−=
ρ−
ρ−ρ
−= +
Stř. hodnota doby strávené v systému: ( ) ( ) s30min4h1h0743,1
3444,1
4443,1NE
WE
P
===
λ
=
Stř. hodnota doby strávené ve frontě: ( ) ( ) 30smin34h5743,0
3444,1
7721,0NE
WE
P
Q
Q ===
λ
=
8.5. Otevřený systém M/M/n/m/FIFO
Kapacita systému s n linkami je omezená, je rovna m, m ≥ n. Zákazník, který přijde k plně
obsazenému systému je odmítnut. Ve frontě tedy může být nejvýše m – n ≥ 0 zákazníků. Počet
zákazníků, kteří jsou v systému v okamžiku t, je náhodná veličina Xt a stochastický proces
{ }Tt;Xt ∈ je HMŘ se spojitým časem, množinou stavů J = {0, 1, …, m}, vektorem počátečních
pravděpodobností p(0) = (1, 0, 0, …, 0) a maticí intenzit přechodu
kde λ > 0 je intenzita vstupního proudu a µ > 0 je intenzita obsluhy. Je-li v systému víc
zákazníků než linek obsluhy (j > n, j < m), jsou intenzity obsluhy stejné jako pro j = n.
Přechodový diagram:
Ilustrace:
Stacionární rozložení:
Označme µ
λ
=β a n
β
=ρ . Obvyklým způsobem (tj. řešením systému aQ = 0, 1a
0j
j =∑
∞
=
)
odvodíme, že stacionární rozložení je:







+=ρ
=
β
=
m,1,njproa
n!
n
n,1,2,jproa
!j
a
0
j
n
0
j
j
K
K
, kde
1
1n
0j
m
nj
j
nj
0
!n
n
!j
a
−
−
= =








ρ+
β
= ∑ ∑ .
Stacionární rozložení existuje vždy.
Charakteristiky stabilizovaného systému:
Pravděpodobnost, že přicházející zákazník bude odmítnut: 0
m
n
mZ a
!n
n
aP ρ== .
Pravděpodobnost, že přicházející zákazník bude čekat ve frontě:
( )




=ρ−
≠ρ
ρ−
ρ−
=
−
1pronma
1pro
1
1
a
P
n
nm
n
Q
.
Střední hodnota počtu přijatých zákazníků za jednotku času: ( )ZP P1−λ=λ .
Střední hodnota počtu odmítnutých zákazníků za jednotku času: ZZ Pλ=λ .
Střední hodnota počtu zákazníků ve frontě: ( ) ( )∑+=
−=
m
1nj
jQ anjNE .
Střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků: ( ) ( )ZS P1NE −β= .
Využití systému: ( )ZP1−ρ=κ .
Ostatní charakteristiky dostaneme pomocí Littleova vzorce.
8.6. Příklad: Na jistém oddělení nemocnice jsou na dvou operačních sálech nepřetržitě
prováděny urgentní operace. Na každém sále se v průměru operují 4 pacienti za den a na
oddělení přichází v průměru 7 pacientů za den. Přitom z organizačních důvodů bylo stanoveno,
že na pořadníku může být maximálně 10 pacientů, ostatní jsou odesíláni jinam. Určete základní
charakteristiky tohoto systému hromadné obsluhy.
Řešení: Jde o systém M/M/n/m/FIFO, kde n = 2, m = 10 + 2 = 12, λ = 7, µ = 4, c, 4
7
=
µ
λ
=β ,
8
7
n
=
β
=ρ .
Pravděpodobnost, že systém je prázdný:
( ) ( ) 0821,0
!2
2
!j!n
n
!j
a
1
1
0j
12
2j
j
8
7
2j
4
7
1
1n
0j
m
nj
j
nj
0 =








+=







ρ+
β
=
−
= =
−
−
= =
∑ ∑∑ ∑
Pravděpodobnost, že pacient bude odeslán jinam:
0331,00821,0
8
7
!2
2
a
!n
n
aP
122
0
m
n
mZ =





=ρ==
Pravděpodobnost, že pacient bude čekat:
( ) ( ) ( ) 7411,0
1
1
0821,0
21
1
a
!21
1
a
1
1
aP
8
7
10
8
72
4
7
8
7
10
8
7
0
210
2
nm
nQ =
−
−
=
−
−β
=
ρ−
ρ−
=
ρ−
ρ−
=
−
Střední hodnota počtu čekajících pacientů:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8729,20821,022ja22ja2janjNE
12
3j
j
8
7
12
3j
0
j
8
7
12
3j
j
m
1nj
jQ =−=−=−=−= ∑∑∑∑ ===+=
Pravděpodobnost, že oba sály budou obsazeny:
( ) 7742,00821,00821,01aa1aa12NP 4
7
0010 =−−=β−−=−−=≥
Využití systému: ( ) ( ) 8461,00331,01P1 8
7
Z =−=−ρ=κ
Střední hodnota počtu operovaných pacientů: ( ) ( ) ( ) 6921,10331,01P1NE 4
7
ZS =−=−β=
Střední hodnota počtu pacientů v systému: E(N) = E(NS) + E(NQ) = 1,6921 + 2,8729 = 4,5651
Střední hodnota pročekané doby: ( )
( )
min51h9dne4104,0
7
8729,2NE
WE
Q
Q ===
λ
=
Střední hodnota doby operace: ( ) ( ) min48h5dne2417,0
7
6921,1NE
WE S
S ===
λ
=
Střední hodnota doby strávené v systému:
E(W) = E(WS) + E(WQ) = 0,2417 + 0,4104 = 0,6522 dne = 15 h 39 min
Charakteristiky stabilizovaného systému M/M/n/m/FIFO počítá funkce odmitani.m
% [a,PZ,PQ,lambdaP,lambdaZ,kappa,ENS,ENQ,EN,EWS,EWQ,EW]=odmitani(lambda,mi,n,m)
% Vypocita stacionarní rozlozeni, vyuziti a charakteristiky systemu
% hromadne obsluhy s omezenou kapacitou M|M|n|m|FIFO s odmitanim.
% Vstupní parametry:
% lambda .... parametr vstupniho proudu
% mi ........ parametr obsluhy
% n ......... pocet linek obsluhy
% m ......... kapacita systému
% Vystupní parametry:
% a ......... stacionární rozlození
% PZ ........ pravdepodobnost, ze prichozi zakaznik bude odmitnut
% PQ ........ pravdepodobnost, ze prichozi zakaznik bude cekat ve fronte
% lambdaP ... stredni hodnota poctu prijatych zakazniku za jednotku casu
% lambdaZ ... stredni hodnota poctu odmitnutych zakazniku za jednotku casu
% ENS ....... stredni hodnota poctu obsluhovanych zakazniku
% ENQ ....... stredni hodnota poctu zakazniku ve fronte
% EN ........ stredni hodnota poctu zakazniku v systemu
% EWS ....... stredni hodnota doby, kterou zakaznik stravi obsluhou
% EWQ ....... stredni hodnota doby, kterou zakaznik stravi ve fronte
% EW ........ stredni hodnota doby, kterou zakaznik stravi v systemu
8.7. Příklad: Je známo, že systém M/M/2/5/FIFO je využíván na 68,62 %.
a) Kolik procent přicházejících zákazníků bude odmítnuto?
b) Zjistěte střední hodnotu počtu čekajících zákazníků.
Řešení: n = 2, m = 5, ( ) 6862,0P-1,
2n
, Z =ρ=κ
β
=
β
=ρ
µ
λ
=β
0
5
05
5
0
5
0
5
2
5Z a
16
a
2
2a2a
!2
2
aP
β
=
β
=ρ=ρ== , tedy ( ) 6862,0a
16
1
2
P-1 0
5
Z =




 β
−
β
=ρ=κ
15432
1
1
0j
5
2j
jj
1
1n
0j
m
nj
j
nj
0
16842
1
2
2
!j!n
n
!j
a
−−
= =
−
−
= =





 β
+
β
+
β
+
β
+β+=













β
+
β
=







ρ+
β
= ∑ ∑∑ ∑ . Nyní a0
dosadíme do vzorce pro κ a dostaneme rovnici:
6862,0
16842
1
161
2 5432
5
=












β
+
β
+
β
+
β
+β+
β
−
β
K jejímu řešení použijeme symbolický toolbox systému MATLAB:
syms x;
solve(0.5*x*(1-(0.0625*x^5/(1+x+0.5*x^2+0.25*x^3+0.125*x^4+0.0625*x^5)))-0.6862)
Zjistíme, že β = 1,5 a dále a0 = 0,1793.
V úkolu (a) počítáme pravděpodobnost odmítnutí zákazníka, tedy
0851,01793,0
16
5,1
a
16
a
2
2a2a
!2
2
aP
5
0
5
05
5
0
5
0
5
2
5Z =⋅=
β
=
β
=ρ=ρ==
Vidíme, že bude odmítnuto 8,5 % přicházejících zákazníků.
V úkolu (b) počítáme střední hodnotu počtu čekajících zákazníků, tj.
( ) ( ) ( ) 543
5
3j
j
m
1nj
jQ a3a2aa2janjNE ++=−=−= ∑∑ =+=
m,1,njproa
n!
n
a 0
j
n
j K+=ρ=
1513,01793,0
2
5,1
2a
2
2a2a
3
0
3
0
3
3 =





=




 β
=ρ=
1135,01793,0
2
5,1
2a
2
2a2a
4
0
4
0
4
4 =





=




 β
=ρ=
0851,01793,0
2
5,1
2a
2
2a2a
5
0
5
0
5
5 =





=




 β
=ρ=
Po dosazení do vzorce pro E(NQ) máme: ( ) 6336,00851,031135,021513,0NE Q =⋅+⋅+=
Znamená to, že v průměru čeká ve frontě 0,6336 zákazníků.
8.8. Uzavřený (cyklický) systém M/M/n/m/FIFO
V tomto systému cirkuluje m zákazníků, přičemž mohou čekat v omezené frontě délky m–n ≥ 0.
Zákazníci po ukončení obsluhy opouštějí systém, ale později se do něj vracejí s novým
požadavkem.
Ilustrace:
Doba pobytu každého zákazníka mimo systém má rozložení Ex(λ), doba obsluhy u každé z n
linek obsluhy se řídí rozložením Ex(µ).
Systém, lze modelovat pomocí procesu vzniku a zániku { }Tt;Xt ∈ s množinou stavů
J = {0, 1, …, m}, kde stavy interpretujeme takto:
0 … systém je prázdný
.
.
.
n … v systému je n obsluhovaných zákazníků, ostatních m – n je mino systém
n+1 … n obsluhovaných, 1 ve frontě, m – n –1 mimo systém
.
.
.
m … n obsluhovaných, m – n ve frontě
Vektor počátečních pravděpodobností je p(0) = (1, 0, …, 0) a matice přechodu má tvar:
kde λ > 0 je intenzita vstupního proudu a µ > 0 je intenzita obsluhy.
Přechodový diagram:
Stacionární rozložení:
Označme µ
λ
=β a n
β
=ρ . Obvyklým způsobem (tj. řešením systému aQ = 0, 1a
0j
j =∑
∞
=
)
odvodíme, že stacionární rozložení je:
( )






+=ρ
−
⋅
=β





=
m,1,njproa
!jm
!m
n!
n
n,1,2,jproa
j
m
a
0
j
n
0
j
j
K
K
, kde ∑=
−=
m
1j
j0 a1a .
Stacionární rozložení existuje vždy.
Charakteristiky systému:
Střední hodnot počtu zákazníků v systému: ( ) ∑=
=
m
0j
jjaNE .
Střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků: ( ) ∑∑ =
−
=
+=
m
nj
j
1n
0j
jS anjaNE .
Střední hodnota počtu zákazníků mimo systém: ( ) ( )NEmNE R −= .
Střední hodnota počtu zákazníků přicházejících z jednotku času: ( )RR NEλ=λ .
Využití systému: ( )RNEρ=κ .
Další charakteristiky lze získat z Littleova vzorce.
8.9. Příklad: Ve firmě jsou k dispozici 2 kopírky pro 5 zaměstnanců, přičemž každý z nich
přichází kopírovat v průměru jednou za 40 minut. Průměrná doba kopírování je 4 minuty.
Předpokládáme, že vstupní proud je Poissonův proces a doba kopírování se řídí exponenciálním
rozložením.
a) Jaká je pravděpodobnost, že kopírky nebudou využity?
b) Jaká je pravděpodobnost, že zaměstnanec, který přichází ke kopírkám, bude muset čekat?
c) Jaká je střední hodnota délky fronty?
Řešení: n = 2, m = 5, 20
1
n
,
10
1
,
4
1
,
40
1
=
β
=ρ=
µ
λ
=β=µ=λ . Vypočteme stacionární rozložení
( )






+=ρ
−
⋅
=β





=
m,1,njproa
!jm
!m
n!
n
n,1,2,jproa
j
m
a
0
j
n
0
j
j
K
K
, kde ∑=
−=
m
1j
j0 a1a .
001 a
2
1
a
10
1
1
5
a =





= , 00
2
2 a
10
1
a
10
1
2
5
a =











= , 0
3
0
3
3 a
20
1
120a
20
1
!2
!5
2a 





=





= ,
0
4
0
4
4 a
20
1
240a
20
1
!1
!5
2a 





=





= , 0
5
0
5
5 a
20
1
240a
20
1
!0
!5
2a 





=





= , 6186,0a1a
5
1j
j0 =−= ∑=
Ad a) Pravděpodobnost, že kopírky nebudou využity, je a0 = 0,6186.
Ad b) pravděpodobnost, že zaměstnanec, který přichází ke kopírkám, bude muset čekat, je
( ) ( ) 0721,03093,06186,01aa11NP12NP 10 =−−=−−=≤−=≥
Ad c) Střední hodnota délky fronty: E(NQ) = E(N) – E(NS), přičemž
( ) 4648,0jaNE
m
0j
j == ∑=
, ( ) 4535,0anjaNE
m
nj
j
1n
0j
jS =+= ∑∑ =
−
=
, tedy E(NQ) = 0,0113.
Charakteristiky uzavřeného systému M/M/n/m/FIFO počítá funkce uzavreny.m.
Syntaxe: [a,ENS,ENR,EN,lambdaR,kappa]=uzavreny(lambda,mi,n,m)
Vstupní parametry:
lambda .... parametr vstupního proudu
mi ........ parametr obsluhy
n ......... počet linek obsluhy
m ......... kapacita systému
Výstupní parametry:
a ......... stacionární rozložení
ENS ....... střední hodnota počtu obsluhovaných zákazníků
ENR ....... střední hodnota počtu zákazníků mimo systém
EN ........ střední hodnota počtu zákazníků v systému
lambdaR ... střední hodnota počtu zákazníků přicházejících za jednotku času
kappa ..... využití systému