TEORIE ČÍSEL Pomocný text k přednášce pro postgraduální studenty konané ve školním roce 1997/98. Radan Kučera Vysázeno systémem A^/fS-T^i. 1. ALGEBRAICKÁ ROZŠÍŘENÍ 1 1. Algebraická rozšíření (dle Boreviče-Šafareviče, alg. doplněk, §2) Obsahuje-li těleso K podtěleso k, hovoříme o rozšíření K/k. Jsou-li do sebe vložena tělesa tři: k C L C K, nazývá se L mezitěleso rozšíření K/k. Každé rozšíření těles K/k lze studovat také jako vektorový prostor K nad k. Definice. Rozšíření Kj k se nazývá konečné, je-li K konečněrozměrný vektorový prostor nad k. Dimenze K nad k se nazývá stupeň rozšíření a značí se [K : k]. Libovolná baze K nad k se nazývá baze rozšíření K/k. Věta 1. Nechť L je mezitěleso rozšíření K /k. Rozšíření K /k je konečné, právě když jsou obě rozšíření K/L i L/k konečná. V tomto případě platí [K :k] = [K : L][L : k]. Důkaz. Nechť ai,..., am je baze K/L, /3i,..., (3n baze L/k. Snadno se dokáže, že součiny Q!j/3j, i £ {1,..., m}, j E {1,... ,n} tvoří bazi K/k. Nechť K/k je rozšíření. Prvek a e K se nazývá algebraický nad k, existuje-li nenulový polynom f(t) £ k[t], jehož kořenem je a. Mezi všemi normovanými polynomy z k[t], jejichž kořenem je a, vyberme polynom • ki je izomorfismus těles, Ki/k±, K2/k2 rozšíření těles. Pro i=l,2 nechť je zvolen prvek 6i £ Ki algebraický nad ki, přičemž ipe2 = aiipo^). Pak existuje jediný izomorfismus r : k\{6\) —>• ^2(^2) s vlastností r|fc1 = a a t{0\) = 62- Důkaz. Je-li m = st ipg1, pak přičemž nutně r(a0 + Mi + • • • + am_i^_1) = o"(a0) + <7(ai)02 + • • • + o-(am_i)02n_1. Protože <^6»2 = ^(^ei)) Je T požadovaný izomorfismus. Doteď byla zkoumána rozšíření, obsažená v nějakém velkém předem daném tělese. Nyní přejděme k otázce konstrukce konečného rozšíření nad fixovaným tělesem k. Věta 5. Nechť k je těleso. Pro libovolný ireducibilní polynom ip(t) nad k stupně n existuje konečné rozšíření K/k stupně n, ve kterém má polynom tp(t) kořen. Až na izomorfismus, nechávající prvky k na místě, je toto rozšíření K/k určeno jednoznačně. Je-li a e K, f (a) = 0, pak K = k(a). Důkaz. Je-li tp(t) ireducibilní polynom k[t], je hlavní ideál / = (™ ^ao, • • •, om_i e k} M = K. 1. ALGEBRAICKÁ ROZŠÍŘENÍ 3 Tvrzení o izomorfismu rozkladových těles: Nechť a : k\ —>• ki je izo-morfismus těles, /i(ŕ) £ ki[ť\, /2(í) £ takové, že • Ä"2 s vlastností r|fc1 = ■ a;£ definuje lineární transformaci Ä" (jakožto vektorového prostoru nad k). Charakteristický polynom fa(t) této lineární transformace se nazývá též charakteristický polynom prvku a vzhledem ke K/k. Je-li ..., (3n baze rozšíření K/k, a platí-li n (*) a fa = ^dijPj, ciij e k, i=i pak dle definice fa (t) = det(tE — (a«j)), kde E je jednotková matice řádu n. Snadno se ověří, že fa(t) nezávisí na volbě baze rozšíření K/k. Věta 6. Nechť K/k je konečné rozšíření, a e K. Charakteristický polynom fa(t) prvku a vzhledem ke K/k je mocninou jeho minimálního polynomu • bude v této bazi blokově diagonální matice, mající na diagonále s stejných bloků /O 1 0 ... 0 0 \ 0 0 1 ... o o 0 0 0 ... 0 1 V-Cm -Cm-1 -Cm-2 ••• ~C2 -Cl/ Snadno se spočítá, že charakteristický mnohočlen takového bloku je právě ipa(t)-Odtud plyne věta. Definice. Determinant det(ajj) matice (cijj) z vyjádření (*) se nazývá norma, a její stopa Sp(ajj) = Yľi=i aii se nazÝvá stopa prvku a e Ä" vzhledem k rozšíření -ří/fc. Normu a stopu budeme označovat NK/k(a) a SpK/k(a). Snadno se ověří, že NK/k(a) ani SpK/k(a) nezávisí na volbě baze /3i,...,/3n rozšíření K/k. Pro a e k je matice lineární transformace £ i—>■ a£ rovna diagonální matici aE. Proto pro a e k platí NK/k(a) = an a SpK/fc(a) = na. Protože při složení, resp. sečtení, lineárních transformací se jejich matice (ve zvolené pevné bazi) násobí, resp. sčítají, pro libovolné a, (3 e K platí NK/k(af3) = NK/k(a)NK/k((3), SpK/k(a(3) = SpK/k(a) + SpK/k((3). 4 1. ALGEBRAICKÁ ROZŠÍŘENÍ Matici lineární transformace £ i—>■ aa{, kde a £ k, a £ K, je možné z matice lineární transformace £ a£ získat vynásobením celé matice prvkem a. Proto pro a £ k, a £ K, platí SpK/k(aa) = aSpK/k(a). Pro a ^ 0 je zřejmě zobrazení £ i—>■ a;£ bijektivní a proto NK/k(a) ^ 0. Ukázali jsme, že zobrazení o; i—>■ N^/k(a) je homomorfismem multiplikativní grupy -říx tělesa .ří do multiplikativní grupy kx tělesa k, kdežto zobrazení a i—>■ SpK/k(a) je lineární zobrazení K do k (kde Ä" i chápeme jako vektorové prostory nad k) neboli lineární funkce na vektorovém prostoru K nad k s hodnotami v k. Věta 7. Nechť M/k je rozšíření, v němž se charakteristický polynom fa(t) prvku a £ K vzhledem ke konečnému rozšíření K/k zcela rozkládá na lineární faktory: Pak platí fa>(t) = (t - a{).. .(t - ar i=l i=l Důkaz. Je-li fa(t) = det(tE- (aij)) = tn + aitn 1H-----\-an, pak ai = - Sp(ajj), an = (—l)n det(ajj). Věta plyne z Viétových vztahů. Věta 8. V označení věty 7 pro libovolný 7 = g (a) £ .ří, kde g(t) £ fc[r], platí, že jeho charakteristický polynom /7(r) se v tělese M rozkládá ve tvaru /7(ŕ) = (ŕ - 0(e*i))... (ŕ - g(an)). Důkaz. Nejprve si všimněme, že z hlavní věty o symetrických polynomech plyne, že každý koeficient polynomu (**) (t-g(ai))...(t-g(an)) jakožto hodnota symetrického polynomu s koeficienty v k v prvcích ai,..., an patří do k (hodnoty elementárních symetrických polynomů v prvcích a±,..., an jsou podle Viétových vztahů až na znaménka koeficienty polynomu fa(t) £ k[t]). Nechť f1(t) je minimální polynom prvku 7 nad k. Jestliže na rovnost (p1(g(a)) = 0 aplikujeme izomorfismus k (a) —>• k(ai), při kterém a 1—>■ oti a prvky k zůstávají na místě, dostaneme ip1(g(ai)) = 0. Proto každý z kořenů polynomu (**) je kořenem ireducibilního polynomu <^7(r), odkud plyne, že polynom (**) je mocninou polynomu f1(t). Nyní stačí užít větu 6 a porovnat stupně polynomů. Nechť M je mezitěleso konečného rozšíření K/k. Zvolme bazi coi,. M/k a bazi 0l5..., 9m rozšíření K/M. Pro libovolné 7 £ K vyjádřeme m j6j = ^2 aJ^s a j s £ K, s=i n r=l 1. ALGEBRAICKÁ ROZŠÍŘENÍ 5 Protože m n JUJiOj = ajsirUJrOs, s=l r=l platí SpK/k(l) = YliLi Yľj=i ajja- Na druhou stranu také platí n m n j=l i=l j=l Pro libovolné 7 e K tedy máme sPK/fc(7) = SpM/fc(SpK/M(7)). Poznámka. Analogický vzorec platí také pro normy: je-li M mezitěleso rozšíření K/k, pak pro libovolné 7 e K platí NK/k{^) = NM/k{NK/M{^)). Důkaz tohoto tvrzení je složitější než předchozí důkaz pro stopy, je však elementárni. (Návod: je vhodné nejprve tvrzení dokázat v případě, kdy je M jednoduché rozšíření k.) Definice. Rozšíření K/k se nazývá separabilní, jestliže lineární funkce £ 1—>■ Sp#;/fc(£) na vektorovém prostoru K nad k není identicky nulová, tj. existuje-li nějaké £ e K s vlastností SpK/fc(£) 7^ 0. Jelikož jediný nenulový podprostor vektorového prostoru k nad k je celé k, z poznámky před větou 7 snadno plyne, že je-li K/k separabilní, pak lineární funkce a !->• SpK/fc(a;) je surjektivní. Proto pro libovolné mezitěleso M konečného rozšíření K/k platí, že K/k je separabilní právě když jsou obě rozšíření K/M a M/k separabilní. Je-li K/k konečné rozšíření a je-li charakteristika tělesa k rovna nule, platí SPif/fc(l) = [K : k] ^ 0. Libovolné konečné rozšíření tělesa k charakteristiky nula je tedy separabilní. Totéž platí pro konečná rozšíření tělesa charakteristiky p ^ 0, jejichž stupeň není dělitelný p. Zvolme v konečném separabilním rozšíření K/k bazi ui,..., u>n a sestavme matici (SpA:/fc(a;ia;i)).jie{lj___jn}. Dokažme sporem, že tato matice je regulární. Předpokládejme tedy, že je singulární. Pak existují c\,..., cn e k, ne všechny nulové, tak, že i=i pro všechna i = 1,..., n. Položme 7 = Y17=i ^^i- Předchozí rovnost pak lze psát ve tvaru Sp(7o;j) = 0 pro všechna i = 1,..., n. Protože 7 7^ 0 (připomeňme, že případ ci = • • • = cn = 0 byl vyloučen), pro libovolné £ e K lze psát ^7_1 = Yľi=i aiU3i pro vhodná ai £ k. Pak ovšem Spif/fc(0 = SpK/fc(X]a^T) =J2aiSpK/k(^a) = o, i=l i=l 6 1. ALGEBRAICKÁ ROZŠÍŘENÍ což je spor. Definice. Determinant det(sPiř/fc(wiwi))i>ie{i>...>„} se nazývá diskriminant baze ui,...,un konečného separabilního rozšíření K/k a značí se D(ui,..., un). Cvičení 2: Jsou-li ui,...,un a u[,...,u'n dvě baze konečného separabilního rozšíření K/k, pak je druhá mocnina nenulového prvku z k. Dokažte. Zvolme v konečném separabilním rozšíření K/k pevně bazi uii,... ,uin. Pro libovolné prvky ci,...,cn e k existuje jediné a G K takové, že SpK/k(u)ia) = cí pro každé i = 1,..., n. Skutečně, napíšeme-li a ve tvaru a = Yľi=i xí(jjíi předchozí podmínky znamenají, že Xi jsou řešením soustavy n lineárních rovnic o n neznámých, přičemž determinant matice soustavy je D(ui,.. .,un) ^ 0. Speciálně, v K lze najít jednoznačně určené prvky a>*,..., a>* tak, že pro libovolné i, j e {1,..., n} platí SPK/fc(^j) = \ n . , . ' l () pro i ^ j. Snadno se dokáže lineární nezávislost prvků a>*,..., a>*. Definice. Baze a>*,..., a>* konečného separabilního rozšíření K/k určená předešlou konstrukcí se nazývá duální bazí k bazi ui,..., un. Cvičení 3: Nechť K/k je konečné separabilní rozšíření a

^) pro libovolné i = 1,..., n. Předpokládejme, že K/k je separabilní rozšíření a že minimální polynom nějakého algebraického prvku a e K nad k se v nějakém rozšíření M/k, jehož mezitě-lesem je K, rozkládá na lineární činitele: (t) = (t - ai).. .(t - an). Pak je k(a)/k konečné separabilní rozšíření a z vět 7 a 8 plyne n SPfc(a)/fc(«r) = 5^«« 8=1 pro libovolné přirozené číslo r. Proto pro diskriminant baze 1, a,..., o;m_1 platí n D(l,a,..., a™"1) = det(SPfc(Q)/fc(£ a^)).je{1_n} s=l = det(a£) • det(a^) = (a* - a?)2- l<« a (fp je polynom t — (3 E MOdtud j3 E M a také a = 7 - cj3 E M. Tedy K = k(a, (3) C M, tj. K = k(-f). Věta 11. Pro libovolné konečné separabilní rozšíření K/k stupně n existuje právě n (a ne více!) vnoření (tj. injektivních homomorfismů) do vhodného rozšíření M/k, při kterých se každý prvek z k zobrazí na sebe. Jsou-li ai,...,an tato vnoření, pak pro libovolné a E K se jeho charakteristický polynom fa(t) v M rozkládá na lineární činitele takto: fa(f) = (t - • M nechávající 8 1. ALGEBRAICKÁ ROZŠÍŘENÍ prvky tělesa k na místě je určeno obrazem prvku 7, který se může zobrazit pouze na některý (avšak dle věty 4 na jakýkoli) z n různých (dle věty 9) kořenů 71,..., jn polynomu <^7(r). Podle věty 6 je charakteristický polynom /Q(ŕ) = V7(ŕ) = (ŕ-7i)---(í-7n), přičemž při vhodném označení vnoření SPx/fc (a) = ^2 Ui (a) • i=l i=l Důsledek 2. Pro libovolné konečné rozšíření tělesa racionálních čísel existuje právě n různých vnoření do tělesa komplexních čísel. 2. Normální rozšíření a Galoisova korespondence Definice: Rozšíření K/k se nazývá normální, jestliže každý ireducibilní polynom / G k[t], který má v K kořen, se v K rozkládá na lineární faktory. Věta 1. Rozšíření K/k je konečné a normální, právě když je K rozkladové těleso nějakého polynomu nad k. Důkaz. Je-li K/k konečné, je K = k(a±,..., as), z normality plyne, že K je rozkladové těleso polynomu (pai ... (pas. Naopak, nechť je K rozkladové těleso nějakého polynomu / nad k. Zvolme a e K, pak ipa se rozkládá na lineární faktory ve svém rozkladovém tělese L nad K: • k(ai) s vlastností • K(ai) s vlastností r\k(ai) = Proto [K : k(aľ)} = [K(ai) : fc(ať)]- Odtud [K(ai) : K] = [^(°0=fc^)P(°0=fc] = [K:fc(?£](Ql):fc] =!»a tedy e K- Cvičení 5. Rozhodněte, zda rozšíření Q(a)/Q, kde a = \Jl + \/2, je normální. Věta 2. Nechť M je mezitěleso konečného normálního rozšíření K/k a nechť r : M —>• K je vnoření s vlastností r\k = idfc. Pak existuje izomorfismus a : K ^ K takový, že • k(/3) takový, že a\k = idfc a a(a) = (3. Stačí užít větu 2. Definice: Nechť K/k je algebraické rozšíření. Normální uzávěr rozšíření K/k je rozšíření N tělesa K takové, že platí 1. N/k je normální, 2. je-li M mezitěleso N/K takové, že M/k je normální, pak M = N. Věta 4. Nechť K/k je konečné rozšíření. Pak existuje normální uzávěr N rozšíření K/k, který je konečným rozšířením tělesa k. Je-li M jiný normální uzávěr rozšíření K/k, pak existuje izomorfismus r : N —>• M s vlastností t|k = id^- Důkaz. Nechť K = k(a±,..., an). Snadno se ověří, že rozkladové těleso N polynomu / = Lpai .. .• M je vnoření s vlastností r|fc = idfc. Pak t(K) C N. Důkaz. Nechť a e K. Pak 0 = r((pa(a)) = (pa(r(a)), a tedy r(a) e iV. Veta 5. Nechť K/k je konečné rozšíření. Následující podmínky jsou ekvivalentní: 1. K/k je normální, 2. existuje normální rozšířením N/k s mezitělesem K takové, že pro každé vnoření r : K —>• iV s vlastností r|fc = idfc platí r(-řT) = .ří, 3. pro každé rozšířením M/k s mezitělesem K a každé vnoření r : .ří —>• M s vlastností r\k = idfc platí r(K) = K. Důkaz. (1) ==>• (3): Plyne z předchozího lemmatu, neboť [r(K) : k] = [K : k\. (3) ==>• (2): Stačí za M vzít normální uzávěr -ří/fc, jehož existenci zaručuje věta 3. (2) =>• (1): Pro libovolné a e K a libovolný kořen j3 polynomu (pa platí /3 E. N. Podle věty 3 existuje automorfismus r tělesa N s vlastností r|fc = idfc a r(a) = (3. Aplikací podmínky (2) na t\k dostáváme (3 = t (a) G K. Definice. Rozšíření těles K/k se nazývá Galoisovo, je-li konečné, normální a separabilní. Pro Galoisova rozšíření definujeme Galoisovu grupu Gaií(K/k) jako grupu všech automorfismů r tělesa K s vlastností r\k = idfc. Lemma 2. Nechť K/k je Galoisovo rozšíření. Pak platí | Gal(K/k) \ = [K : k]. Důkaz. Plyne z věty 11 první kapitoly a věty 5. Cvičení 7. Nechť L je mezitěleso rozšíření K/k. Rozhodněte, zda platí: (a) je-li K/k Galoisovo, pak je L/k Galoisovo; (b) je-li K/k Galoisovo, pak je K/L Galoisovo; (c) jsou-li K/L i L/k obě Galoisova, pak je K/k Galoisovo. Cvičení 8. Rozhodněte, zda platí: je-li N normální uzávěr konečného separabil-ního rozšíření K/k, pak je N/k Galoisovo. Lemma 3. (Dedekind) Nechť K a L jsou tělesa. Pak libovolná množina různých vnoření K —>• L je lineárně nezávislá nad L. 10 2. NORMÁLNÍ ROZŠÍŘENÍ A GALOISOVA KORESPONDENCE Důkaz. Předpokládejme, že Ai,..., An jsou různá vnoření K —>• L, která jsou nad L lineárně závislá, ale jakýchkoli n — 1 z nich už je lineárně nezávislých nad L. Existují tedy nenulová a±,..., an e L tak, že pro každé a e K platí a1X1(a) H-----h anAn(a;) = 0. Existuje (3 e K tak, že \i((3) ^ \n{(3). Proto (3^0. Navíc pro a(3 e K platí aiAi(o!/3) H-----h anAn(o!/3) = 0, tedy aiAi(o!)Ai(/3) H-----h anAn(a;)An(/3) = 0, odečtením od Ai(/3)-násobku první rovnice dostáváme spor. Věta 6. Nechť G je konečná podgrupa grupy automorfismů tělesa K a nechť k = {a G K; Ver G G : a(a) = a}. Pak platí [K : k] = \G\. Důkaz. Nechť G = { n. Položme m = n + 1 a zvolme libovolně prvky xi,...,xm G -ří lineárně nezávislé nad k. Jistě existují yi,... ,ym ^ K ne všechny nulové tak, že pro každé i = 1,..., n platí m ^(Ji{xj)yj = 0. i=i Případnou změnou ..., ym e K a záměnou indexů prvků xi,..., xm lze dosáhnout toho, že yi ^ 0, ... , yr ^ 0, = • • • = ym = 0 a že r je s touto vlastností nej menší možné. Pro každé aeG tedy platí i=i 2. NORMÁLNÍ ROZŠÍŘENÍ A GALOISOVA KORESPONDENCE 11 Zvolme r G G libovolně a aplikujme jej na poslední rovnost. Dostaneme r i=i Každý automorfismus v G lze napsat ve tvaru ra pro nějaké aeG, podle předchozí rovnosti tedy r i=i pro každé a e G. Odečtením ?/r-násobku této rovnosti od r(?/r)-násobku rovnosti (*), dostaneme r-1 ^■ H1- a L i—>■ L1- jsou navzájem inverzní bijekce mezi T a Q, přičemž pro libovolné H\, Hi e Q platí Hi C Hi '{ !► Hj~ ~D Hi~. 2. Jsou-li Li,L2 G T, pak (LiLs)^ = Li n Li, (Li n Li)1- = (Li U L^), kde (H) značí podgrupu generovanou množinou H C G. 3. Je-li L e j7, pak [K:L] = \L^\, [L:k} = -^. 4. Je-li L & T, pak L/k je normální rozšíření, právě když L1- je normální podgrupa grupy G (v obvyklém smyslu teorie grup). 5. Je-li L e .T7 a L/fc je normální rozšíření, pak Gal(L/fc) je izomorfní s faktorgrupou G/L-1-, přičemž izomorfismus je indukován homomorfismem, který aeG zobrazí na • Ľ splňující r|fc = idfc. Podle věty 2 existuje • G' dané restrikcí, tj. 4>(cr) = /5). 4. Některé aplikace Galoisovy teorie Mějme v rovině s kartézskou soustavou souřadnic dáno konečně mnoho bodů a uvažme těleso k, které je nad Q generováno jejich souřadnicemi. Protože průsečík dvou přímek v rovině lze spočítat pomocí soustavy lineárních rovnic, průsečík dvou přímek proložených některými z daných bodů bude mít opět souřadnice v tělese k. Podobně, protože výpočet průsečíků dvou kružnic či kružnice a přímky v rovině vede na výpočet kořenů jedné kvadratické rovnice, snadno se usoudí, že pokud každá z kružnic měla střed v některém z daných bodů a nějakým daným bodem procházela, resp. přímka byla proložena dvojicí z daných bodů, pak vzniklé průsečíky mají obě souřadnice v nějakém rozšíření K tělesa k, přičemž buď K = k (v případě, 4. NĚKTERÉ APLIKACE GALOISOVY TEORIE 15 kdy diskriminant uvažované kvadratické rovnice je druhou mocninou v k) anebo [K : k] = 2 (v opačném případě). Předpokládejme, že na počátku máme konečnou množinu bodů s racionálními souřadnicemi a postupně k ní přidáváme průsečíky výše uvedenými konstrukcemi. Po konečně mnoha krocích uvažme těleso K, generované souřadnicemi vzniklých bodů. Je jasné, že [K : Q] je mocnina 2. To dokazuje neřešitelnost úlohy zdvojení krychle (tj. konstrukce poměru \[2 : 1 kružítkem a pravítkem). Víme-li, že 7r je transcendentní číslo, vyplývá odtud neřešitelnost úlohy kvadratury kruhu (tj. konstrukce poměru 7r : 1 kružítkem a pravítkem). Pro předchozí úvahy Galoisova teorie nebyla nutná, vystačili bychom prakticky s větou 1 z kapitoly 1; nyní se však budeme zabývat konstrukcí pravidelných n-úhelníků, kde Galoisovu teorii už využijeme. Příklad. Nechť p je prvočíslo, C = e~. Těleso Q(C) se nazývá p-té kruhové těleso. Ukažme, že Q(C)/Q je Galoisovo rozšíření a popišme jeho Galoisovu grupu Gal(Q(C)/Q). Polynom /(ŕ) = í?5-1 + tP~2 + ■ ■ ■ + t + 1 = má kořen £ a je ireducibilní nad Q, neboť polynom /(t+D-tg)^ je ireducibilní podle Eisensteinova kriteria. Je tedy cp^ = f a platí [Q(C) : Q] = V~ 1-Protože f(t) = l[(t-(j), i=i je Q(C)/Q skutečně Galoisovo. Libovolné a e G = Gal(Q(C)/Q) je jednoznačně určeno hodnotou ■ j indukuje injektivní homomorfismus G —>• (Z/pZ)x. Protože obě grupy mají p — 1 prvků, jde o izomorfismus. Protože (Z/pZ)x je multiplikativní grupa konečného tělesa Fp = Z/pZ, je cyklická, a tedy i G je cyklická grupa. Poznámka. Situace z předchozího příkladu platí obecněji. Je-li m přirozené číslo, C = , pak m-té kruhové těleso Q(C) je Galoisovo a pro jeho Galoisovu grupu Gal(Q(C)/Q) platí, že je izomorfní s grupou invertibilních prvků okruhu zbytkových tříd Z/mZ. Potíž spojená s přechodem od prvočísla p k obecnému m je spojena s důkazem toho, že [Q(C) : Q] = kde cp je Eulerova funkce. Definice. Nechť m je přirozené číslo, C = e2^. Polynom ®m= n j = l,...,m (j,m)=l se nazývá m-tý kruhový polynom. 16 4. NĚKTERÉ APLIKACE GALOISOVY TEORIE Věta 1. m-tý kruhový polynom má celočíselné koeficienty a je ireducibilní nad Q pro libovolné přirozené číslo m. Důkaz. To, že m-tý kruhový polynom má celočíselné koeficienty, plyne indukcí z toho, že je normovaný a ze zřejmé identity xm — 1 = rid|m ®ď kde v součinu d probíhá množinu všech kladných dělitelů čísla m. (Druhá možnost: místo indukce lze užít větu ze třetí kapitoly.) Nechť p je libovolné prvočíslo nedělící m a uvažme kanonický homomorfismus Z —>• Fp, který rozšíříme (po koeficientech) na homomorfismus Z [ŕ] —>• Fp[ŕ]. Obraz polynomu / budeme značit /. Pro libovolné /, g e Z[í] platí (/ + g)p = fp + gp. Odtud a z Fermatovy věty plyne (f(t))p = f(tp). Označme h(t) = tm — 1. Protože p \ m, je h nesoudělný se svou derivací a proto nemá násobný kořen. Protože <&m|/i, platí totéž i pro <Ím. Nechť ů je libovolný kořen polynomu <&m. Minimální polynom m nemá násobné kořeny. Dokázali jsme, že fůp = n nad k, je k(C)/k normální a konečné (viz větu 1 kapitoly 2). Kompozitum dvou konečných normálních rozšíření je normální (opět z věty 1 kapitoly 2), proto je normální i rozšíření L(()/k. Restrikce Gal(k(()/k) —>• Gal(Q(C)/Q) je injektivní homomorfismus a Gal(Q(C)/Q) je komutativní grupa, proto je Gal(fc(C)/fc) ^ Gal(L(C)A)/Gal(L(C)A(C)) komutativní. Uvažme posloupnost podgrup {idL(c)} = Gal(L(C)/Lm(C)) C GaKLCO/i^-iCO) C ... • • • C Gal(I,(C)/A,(C)) C Gal(L(C)A). Abychom ukázali, že Gal(L(C)/fc) je řešitelná, stačí pro každé i = 1,..., m dokázat, že Gal(L(()/Li(()) je normální podgrupa v Gal(L(£)/-£/;_i(C)) a že faktorgrupa Gal(L(C)/-í/j-i(C))/Gal(L(C)/-í/j(C)) je komutativní, což podle hlavní věty Galoiso-vy teorie znamená, že Lj(C)/Z/j_i(C) je normální rozšíření s komutativní Galoisovou grupou. Pro stručnost označme M = L;_i(C), pak Li(() = M{oti). Jestliže olí G M, 4. NĚKTERÉ APLIKACE GALOISOVY TEORIE 19 je věc zřejmá. Předpokládejme proto a i ^ M. Platí a™1 e M. Označme £ = C™4 • Polynom • Gal(Lj/Lj+i) je injek-tivní homomorfismus a tedy [Li(Q : Li+i(()] = pi. Označme £ = CPi • Polynom i=i se v Z/j_|_i(£) rozkládá na lineární činitele a podle lemmatu 2 je Z/j(£)/-ťi+i(C) radikálové. Věta 3 je dokázána. Definice. Nechť p je prvočíslo. Konečná grupa se nazývá p-grupa, je-li její řád (tj. počet prvků) mocnina p. Definice. Nechť G je grupa. Centrum grupy G je množina C = {a G G; Vx e G : a ■ x = x ■ a}. Lemma 3. Nechť p je prvočíslo. Libovolná konečná p-grupa je řešitelná. Důkaz. Tvrzení plyne z toho, že centrum grupy je normální podgrupa (viz např. skriptum J. Rosický: Algebra, Brno 1982, věta 10.5 na str. 49) a že centrum konečné p-grupy je netriviální (tamtéž, věta 10.14 na str. 54). Definice. Řekneme, že komplexní číslo a je sestrojitelné kružítkem a pravítkem, existuje-li radikálové rozšíření K/Q takové, že a e K a [K : Q] = 2r pro nějaké přirozené číslo r. Cvičení 18. Nechť N je normální uzávěr radikálového rozšíření K/k. Je-li [K : k] mocnina 2, pak je i [N : k] mocnina 2. Dokažte. Ukažte rovněž, že pro libovolné liché prvočíslo analogické tvrzení neplatí. Poznámka. V předchozím cvičení je předpoklad radikálového rozšíření podstatný, neboť například Galoisova grupa polynomu x4 + 3x2 + 3x + 3 je symetrická grupa S4. Tento fakt však není tak snadné ověřit (viz konec této kapitoly). Věta 4. Nechť a je algebraické komplexní číslo, • C (viz větu 11 kapitoly 1). Zvolme ni,..., /im e Ä" a položme n (*) F(x1,...,xm) = JJ(Tj(AXi)a;H-----h Tj(nm)xm). i=i Existuje 6> e Ä" tak, že K = Q(9) (viz větu 10 kapitoly 1). Pak ni = gi(0), ... , A*m = 9m(0) pro vhodné gi,... ,gm e Q[í]. Označme #j = Tj(0). Protože koeficienty n F(xi,...,xm) = JJ(^i(^-)a:i H-----V gm(Bj)xm) i=i jsou hodnotami symetrických polynomů v 9±,... ,9n a minimální polynom ^ = FJj=i(í — Oj) G Q[í], má forma F racionální koeficienty. Navíc pro libovolná racionální čísla ai,..., am platí F(ai, ■ ■ ■, flm) = Nk/q(ciiHi +----h amnm) podle důsledku 1 věty 11 kapitoly 1. Věta 2. Je-li /ii = 1 a K = Q(/i2i ■ ■ ■, ^m), pak forma F určená předpisem (*) je ireducibilní nad Q. Naopak, každá forma s racionálními koeficienty, která je ire-ducibilní nad Q a rozložitelná, je až na konstantní násobek celočíselně ekvivalentní s formou F tvaru (*), kde ni = 1 a K = Q(/i2, • • •, A*™)- Definice. Nechť K je těleso algebraických čísel. Podgrupa aditivní grupy tělesa K s konečně mnoha generátory se nazývá modul. Poznámky. 1. Nechť K je těleso algebraických čísel. Je-li ni,..., \im e K, pak modul generovaný \ii,..., \im je roven {aini H-----h am/Jra; ai,...,am e Z}. Problém řešit v Z rovnici F(Xl, • • • , Xn) - Oj, kde F(xi,..., xn) je ireducibilní nad Q rozložitelná forma s racionálními koeficienty, a G Q, jsme přeformulovali na problém v daném modulu algebraických čísel najít všechna čísla, jejichž norma je dané racionální číslo. 2. Zvolíme-li v daném modulu dva systémy generátorů a předpisem (*) k nim sestrojíme odpovídající formy, budou získané formy celočíselně ekvivalentní. Definice. Nechť K je těleso algebraických čísel. Modul M v K se nazývá úplný, generuje-li celé K jakožto vektorový prostor nad Q (tj. existuje-li v něm [K : Q] čísel lineárně nezávislých nad Q). Forma odpovídající předpisem (*) úplnému modulu, se nazývá úplná. Poznámky. 1. Úplné formy stupně n je možné charakterizovat tím, že nejsou celočíselně ekvivalentní s žádnou formou s méně než n proměnnými. 24 5. ROZLOŽITELNÉ FORMY 2. Každý modul je konečně generovaná komutativní grupa bez torze (tj. jediný prvek konečného řádu je 0). Definice. Nechť (G, +) je konečně generovaná komutativní grupa bez torze, cti,..., an nějaký systém jejích generátorů. Řekneme, že systém ai,..., an je bazí grupy G, je-li Z-lineárně nezávislý, tj. jestliže pro libovolné a±,..., an e Z platí aicti + • • • + anan = 0 a\ = • • • = an = 0. Věta 3. Každá konečně generovaná komutativní grupa bez torze má bazi. Všechny baze této grupy mají stejný počet prvků. Definice. Počet prvků baze konečně generované komutativní grupy bez torze se nazývá rank této grupy. Věta 4. Nechť G je konečně generovaná komutativní grupa bez torze, H její podgrupa. Pak H má bazi. Navíc platí: je-li u>i,... ,u>m libovolná baze grupy G, pak po vhodném přeindexování u>i,... ,u>m existuje baze r/i,..., r\k podgrupy H tvaru 7/1 = CuLúi + C12U>2 H-----h ClkCVk H-----h C\mLúm V2 = C23<^2 H-----\- C2kUk H-----h C2mUm Vk = CfcfcWfc H-----h Ckm^m kde cíj jsou celá čísla, ca > 0 a k < m. Důsledek 1. Nechť G je konečně generovaná komutativní grupa bez torze s bazí ui,..., Um-, H její podgrupa generovaná prvky r/i,..., r\m e G. Nechť cíj jsou celá čísla splňující r\i = YľjLi ^i^i Pr0 každé i = 1,..., n. Pak platí: (a) \G/H\ = oo, právě když det(c;j) = 0; (b) je-li det(cij) ^ 0, pak \G/H\ = |det(cy)|. Důsledek 2. Libovolná podgrupa modulu v tělese algebraických čísel je opět modul. Definice. Nechť M je úplný modul v tělese algebraických čísel K, a e K. Řekneme, že a je násobitel modulu M, platí-li a M C M. Poznámka. Je zřejmé, že množina všech násobitelů daného úplného modulu M v tělese algebraických čísel tvoří okruh s jedničkou. Nazýváme jej okruh násobitelů modulu M. Definice. Úplný modul v tělese algebraických čísel K, který je okruh s jedničkou, se nazývá pořádek tělesa K. Poznámka. Libovolný pořádek tělesa algebraických čísel K je podokruhem okruhu celých čísel tělesa K (viz kapitola 3). Věta 5. Nechť K je těleso algebraických čísel, R pořádek tělesa K. Číslo a e R je jednotkou (tj. invertibilním prvkem) okruhu R, právě když je norma Nk/q(cí) = ±1. Věta 6. Nechť K je těleso algebraických čísel. Pak okruh násobitelů libovolného úplného modulu v tělese K tvoří pořádek tělesa K. Naopak, každý pořádek tělesa K je okruh násobitelů nějakého úplného modulu (například sebe sama). 6. TEORIE DIVIZORŮ V OBORECH INTEGRITY 25 Definice. Nechť M je úplný modul v tělese algebraických čísel, n, v e M. Řekneme, že n a v jsou asociované v modulu M, je-li podíl ^ jednotkou okruhu náso-bitelů modulu M. Věta 7. Nechť M je úplný modul v tělese algebraických čísel, a e Q. Pak v M existuje jen konečně mnoho po dvou neasociovaných čísel, jejichž norma je a. Poznámka. Problém v daném modulu algebraických čísel najít všechna čísla, jejichž norma je dané racionální číslo, jsme rozložili na dva podproblémy: 1. najít v daném modulu oněch konečně mnoho po dvou neasociovaných čísel s danou normou; 2. najít v okruhu násobitelů daného modulu všechny jednotky s normou 1. Definice. Nechť K je těleso algebraických čísel. Vnoření a : K —>• C se nazývá reálné, je-li cr(K) C M, a komplexní v opačném případě. Je-li a : K —>• C komplexní vnoření, pak též vnoření ä : K —>• C určené předpisem čr(x) = cr(x) je komplexní vnoření. Řekneme, že pak • C a právě t párů sdružených komplexních vnoření K —>• C, pak s + 2t = [K: Q}. 2. V tělese algebraických čísel K existuje jen konečně mnoho odmocnin z jedné (tj. čísel C, pro které existuje přirozené číslo m s vlastností (m = 1). Jestliže totiž cos ^ + i sin ^ e K, pak ip(m)\[K : Q]. Navíc platí: existuje-li aspoň jedno reálné vnoření K —>• C, pak jediné odmocniny z jedné v K jsou 1 a —1. Dirichletova věta o jednotkách. Nechť K je těleso algebraických čísel. Nechť existuje právě s reálných vnoření K —>• C a právě t párů sdružených komplexních vnoření K —>• C. Nechť R je libovolný pořádek tělesa K. Pak existují takové jednotky si,..., sr okruhu R, kde r = s + t — 1, že libovolnou jednotku e okruhu R lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru e = Ce?1...eř, kde ai,..., ar e Z a C e je nějaká odmocnina z jedné. Důkaz viz Borevič-Šafarevič, kapitola 2, §§3-4 6. Teorie divizorů v oborech integrity (důkazy viz Borevič-Šafarevič, kapitola 3, §3) Definice. Nechť D je komutativní pologrupa s jednotkovým prvkem e. Pro a, b e D řekneme, že a je dělitelem b (označíme a\b), jestliže existuje c e D tak, že ac = b. Řekneme, že p e D je ireducibilní, jestliže p f e a pro každé a, b e D z p = ab plyne a\e nebo 6|e. Definice. Řekneme, že D je pologrupa s jednoznačným rozkladem, jestliže D je komutativní pologrupa, ve které každý prvek a může být zapsán ve tvaru a = pi.. .pr, kde r > 0 a p±,... ,pr e D jsou ireducibilní (pro r = 0 je součin roven e) a navíc je tento rozklad určen jednoznačně až na pořadí činitelů. Poznámka. V pologrupě s jednoznačným rozkladem je e jediný invertibilní prvek. Každá pologrupa s jednoznačným rozkladem je jednoznačně určena množinou 26 6. TEORIE DIVIZORŮ V OBORECH INTEGRITY svých ireducibilních prvků. V pologrupě s jednoznačným rozkladem existuje nej větší společný dělitel a nej menší společný násobek libovolné konečné množiny prvků. Definice. Teorie divizorů oboru integrity R je homomorfismus ô : Rx —>• D multiplikativní pologrupy Rx do pologrupy D s jednoznačným rozkladem, který splňuje následující podmínky: 1. pro libovolné a, (3 e Rx platí a\/3 v R, právě když S(a)\S(f3) v D; 2. pro libovolné a, (3 e R a libovolné c E D platí: jestliže c\S(a) a c|<5(/3), pak c|• D homomorfismus. Dokažte, že (1) podmínka 3. v definici teorie divizorů je ekvivalentní s podmínkou: pro každé a G D existují ai,..., an e Rx tak, že a je největší společný dělitel prvků S(ai),..., S(an); (2) platí-li pro homomorfismus ô podmínka 3. v definici teorie divizorů, pak pro každé a e D existují ai,..., an, (3 e Rx tak, že aS((3) je nejmenší společný násobek prvků S(ai),..., S(an); (3) podmínka 2. v definici teorie divizorů je důsledkem podmínek 1. a 3. Poznámka. Výsledek obsažený v předchozím cvičení je přes svou jednoduchost významný: umožnil zobecnit pojem teorie divizorů z oborů integrity na komutativní pologrupy. Cvičení 21. Mějme teorii divizorů oboru integrity R. Dokažte, že každý divizor je největší společný dělitel nějakých dvou hlavních divizorů. Věta 1. Existuje-li pro obor integrity R teorie divizorů, je jediná. Přesněji: jsou-li Si : Rx —>• Di a S2 : Rx —>• D2 teorie divizorů, pak existuje izomorfismus / : Di —>• D2 takový, že / o Si = S2. Poznámka. Obory integrity, které mají teorii divizorů, se nazývají Krullovy okruhy. Věta 2. Nechť R je obor integrity. Pak R je okruh s jednoznačným rozkladem, právě když pro R existuje teorie divizorů, v níž je každý divizor hlavní. Věta 3. Nechť R je obor integrity, pro který existuje teorie divizorů, pak je R celouzavřený (ve svém podílovém tělese). Definice. Nechť K je těleso. Zobrazení v : K —>• Z U {oo} se nazývá exponent tělesa K, jestliže platí (1) i/(0) = oo, u(Kx) =Z; (2) pro libovolné a, (3 e K je v(a/3) = u(a) + v(/3); (3) pro libovolné a, (3 e K je u(a + (3) > min{z/(a;), v{(3)}. Poznámky. 1. Je-li R je obor integrity, pro který existuje teorie divizorů, a p je prvodivizor, pak můžeme pro a e Rx definovat v(pt) jako exponent, se kterým 7. EXPONENTY 27 vystupuje prvodivizor p v rozkladu divizoru (a). Pak v splňuje předchozí podmínky (2) a (3) a platí u(Rx) = NU {0}. Definici v pak lze rozšířit na celé podílové těleso K oboru integrity R takto: v(0) = oo a libovolné 7 e Kx zapíšeme ve tvaru 7 = ^ a položíme ^(7) = v(a) — v((3)- Snadno se ověří korektnost této definice i to, že v je exponent tělesa K. 2. Máme-li teorii divizorů oboru integrity R, pak máme pro každý prvodivizor odpovídající exponent tělesa K, přičemž exponenty odpovídající různým prvodivi-zorům jsou různé. Na druhou stranu daná teorie divizorů je množinou všech exponentů odpovídajích prvodivizorům jednoznačně určena. Věta 4. Nechť R je obor integrity s podílovým tělesem K, M nějaká množina exponentů tělesa K. K tomu, aby M byla množinou všech exponentů odpovídajích prvodivizorům nějaké teorie divizorů okruhu R, je nutné a stačí, aby platilo (1) pro každé a e Rx existuje jen konečně mnoho v e M s vlastností u(a) ^ 0; (2) pro každé a e K platí a e R právě tehdy, když v(a) > 0 pro všechny v e M; (3) pro libovolné různé exponenty z/i,...,z/m e M a libovolná nezáporná celá čísla ki,..., km existuje a e R tak, že vi(a) = ki, ... , vm(a) = km. Cvičení 22. Absolutní hodnota určuje teorii divizorů Zx —>• N. Ukažte, že libovolný exponent tělesa Q odpovídá nějakému prvodivizoru (tj. prvočíslu). Cvičení 23. Je-li R obor integrity, pro který existuje teorie divizorů s konečně mnoha prvodivizory, pak je R okruh s jednoznačným rozkladem. Dokažte. 7. Exponenty (podrobnější důkazy viz Borevič-Šafarevič, kapitola 3, §4) Definice. Nechť v je exponent tělesa K. Okruh Ov = {a e K; v{a) > 0} se nazývá okruh exponentu v. Z vět 3 a 4 předchozí kapitoly plyne platnost následujících dvou vět: Věta 1. Okruh Ov exponentu v tělesa K je celouzavřený v K. Věta 2. Až na asociovanost existuje jediný ireducibilní prvek ir okruhu Ov (charakterizovaný podmínkou z/(7r) = 1). Libovolné nenulové aeO„ lze (při zafixovaném 7r) jednoznačně vyjádřit ve tvaru a = sir171, kde e je jednotka okruhu Ov a m nezáporné celé číslo. Je zřejmé, že Iv = {a e K; v(a) > 0} je ideál okruhu Ov, že Ov \ Iv je grupa jednotek okruhu Ov a že faktorokruh Ovjlv je těleso. Definice. Nechť v je exponent tělesa K. Faktorokruh Ovjlv se nazývá těleso zbytků exponentu v. Věta 3. Pro libovolné různé exponenty vi,..., vm tělesa K a libovolná celá čísla ki,..., km existuje a e K tak, že vi(a) = k±, ... , vm[pi) = km. Důsledek. Nechť vi,..., vm jsou libovolné po dvou různé exponenty tělesa K, 0Vl,..., 0Vm jejich okruhy. Pak průnik O = r\^L10Vi je okruh s jednoznačným 28 7. EXPONENTY rozkladem na ireducibilní prvky. Přesněji: zvolíme-li libovolně 7Ti,..., 7rm e K tak, aby platilo pak libovolné a e O, a ^ 0, lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru a = £tt1 1 .. .7r^", kde e je jednotka okruhu O a k±,... ,km nezáporná celá čísla. Náznak důkazu věty 3. Indukcí vzhledem k m. Nejprve dokažme, že vi,..., vm jsou Q-lineárně nezávislé na Kx. Kdyby ne, existovala by (případně po záměně indexů) čísla 02,..., am e Q, alespoň jedno záporné, tak, že vi(a) = a«z/«(Q!) pro každé a e Kx. Zvolme (indukční předpoklad) a±, 01.1 e Kx tak, aby pro každé i = 2,..., m platilo Pak Vi(ai + «2) = 0 pro každé i = 2,..., m a v\(ai + a^) < 0, spor. Uvažme okruh O = ^S^OVi a jeho grupu jednotek E. Kdyby vm(E) = {0}, dostali bychom, že vm je Q-lineární kombinace v\,..., vm-ii což není možné. Nechť 7Ti,..., 7rm_i vyhovují podmínkám důsledku pro vi,..., vm-i (jejich e-xistence plyne z indukčního předpokladu), označme ai = vm{^i)i ■■■ , flra-i = ^mi^m-i)- Zvolme 7 e E tak, aby / = Vm(l) bylo kladné a co nejmenší. Jestliže l\ai, ... , l\am-i, pak I = 1 z definice exponentu. V opačném případě dojdeme ke sporu: předpokládejme například, že l \ ai a uvažme a = 711(712 •... • 7rm_i)Z7s, kde s je zvoleno tak, aby ľ = ai + (a2 + • • • + am_i)/ + sl splňovalo 0 < ľ < l. Pak vm{pi) = ľ a ^(a) > 0 pro i = 1,..., m — 1. Potom £ = j + a(žEa, platí vm = ľ, spor. Je tedy Z = 1 a lze předpokládat, že Vmi^i) = 0 pro i = 1,... ,m — 1. Pak je a = 7r^ ... ir^Si lkm hledaný prvek a věta 3 je dokázána. Věta 4 (o aproximaci). Pro libovolné různé exponenty vi,...,vm tělesa K, libovolné ai,... ,am e K a libovolné přirozené číslo N existuje a e K tak, že vi(a - ai) > N, ... , vm{a - am) > N. Důkaz. Zvolme v K prvky splňující kde k > N — min{^(aj); 1 < i < m, 1 < j < m}. Pak a splňuje podmínky věty. Poznámka. Nechť K/k je konečné rozšíření těles a v exponent tělesa K. Protože K je celý uzávěr k v K, nemůže být v(k) = {0} (z k C Ov by dle věty 1 plynulo K C Ov, spor). a položme 7. EXPONENTY 29 Zvolme p G k tak, aby e = v(p) bylo kladné a co nejmenší. Pak e\v(a) pro každé a G fc. Snadno se ověří, že vq : k —>• Z U {00}, určené předpisem fo(0) = 00 a ^o(o) = Pro a G fcx, je exponent tělesa fc. Definice. Jsou-li v a fo ve vztahu z předchozí poznámky, řekneme, že exponent vq je indukován exponentem v a že exponent ť je prodloužením exponentu vq. Číslo e se nazývá index větvení exponentu v vzhledem k vq. Lemma 1. Nechť K/k je konečné rozšíření těles stupně n a vq exponent tělesa k. Pak existuje nejvýše n prodloužení exponentu vq na těleso K. Důkaz. Nechť ľi,...,ľm jsou různá prodloužení exponentu vq na těleso K. Zvolme v K prvky splňující I 1, je-h Pak /3i,... (3m jsou fc-lineárně nezávislé. Lemma 2. Nechť K/k je konečné rozšíření těles a vq exponent tělesa k. Uvažme okruh Ovo C k exponentu vq tělesa k a označme O celý uzávěr okruhu Ovo v .ří. Je-li O okruh s jednoznačným rozkladem s právě m po dvou neasociovanými ire-ducibilními prvky, pak existuje právě m různých prodloužení z/l5..., vm exponentu vq na těleso K. Navíc platí O = (ľ^l-^O^. Důkaz. Označme 7Ti,...,7rm ony ireducibilní prvky okruhu O. Podle věty 2 kapitoly 6 má O teorii divizorů s právě m prvodivizory (iti), ..., (7rm). Jsou-li ľi,...,ľm jim odpovídající exponenty, z věty 4 kapitoly 6 (podmínka 2) plyne O = r\^LxOVi. Zvolme ireducibilní prvek ir okruhu Ovo (viz větu 2). Pak v O lze rozložit 7T = ^111^1 1 kde e je jednotka okruhu O a e±,..., em jsou nezáporná celá čísla. Pro libovolné a e Ovo pak existuje rozklad a = sirs, kde e je jednotka okruhu Ovo (a tedy i O) a s nezáporné celé číslo. Pro libovolné i = 1,..., m pak Vi(pt) = CiUo(a), odkud e« 7^ 0 (viz předchozí poznámku) a tedy ví je prodloužení exponentu vq. Je-li v libovolné prodloužení exponentu vq na K, pak Ovo C 0„, z věty 1 tedy O C. Ov, odkud v(e) = 0 pro každou jednotku e okruhu O a dle věty 3 nemohou být exponenty v, vi,..., vm po dvou různé. Lemma 3. Nechť vq je exponent tělesa k. Uvažme okruh O^0, ideál IVQ a těleso zbytků E0 = Ovo/IVo exponentu vq. Nechť K/k je konečné rozšíření těles a O celý uzávěr okruhu Ovo v K. Je-li |E0| > [K : k] (například je-li E0 nekonečné těleso), pak je okruh O euklidovský (a tedy s jednoznačným rozkladem) a platí, že v okruhu O existuje jen konečně mnoho po dvou neasociovaných ireducibilních prvků. Důkaz. Pro a e Kx položme \\a\ \ = 2^°(AÍK/fc(a)). Zřejmě platí \\a/3\\ = \\a\ \ • \ \/3\\ pro libovolné a, (3 e Kx. Nechť a, (3 e K, (3 ^ 0. Dokážeme existenci 7, p e K splňujících a = (3j+p, přičemž p = 0 nebo \ \p\ \ < Předpokládejme tedy (3 \ a a označme 7 = ^ ^ O. Charakteristický polynom f{t) = tn + cií"-1 + • • • + cn e k[t] 30 7. EXPONENTY prvku 7 vzhledem ke K/k není z Oj,0[ŕ]. Proto r = — min{i/0(cj); 1 < i < n} > 0. Zvolme ireducibilní prvek ir okruhu Ovo (viz větu 2). Pak ip(t) = irrf(t) G O^0W má za alespoň jeden z koeficientů jednotku okruhu Ovo. Označme (p(t) e £o[t] jeho obraz v kanonickém homomorfismu. Pak stupeň st (a), odkud ||7 - a|| = 2~r < 1, a tedy ||o! - a(3\ \ < \ \(3\\. Pro libovolné a G Ox platí a\NK/k(a). Je-li 7r libovolný ireducibilní prvek O, pak nK/k(ir) = e ■ pf, kde e je jednotka okruhu O^0, p e k, vq(jp) = 1 (tj. p je ireducibilní prvek Ovo), f > 1. Protože je 7r ireducibilní, platí n\p, takových je však jen konečně mnoho. Věta 5. Nechť K/k je konečné rozšíření těles a u0 exponent tělesa k. Uvažme okruh Ovo C k exponentu vq tělesa k a označme O celý uzávěr okruhu Ovo v K. Pak platí 1. existuje alespoň jedno prodloužení v exponentu vq na těleso K; 2. jsou-li ľi,... ,ľm všechna prodloužení exponentu vq na těleso K, pak m o = f\oVi. i=l Užitím důsledku věty 3 (s případným přihlédnutím k důkazu Lemmatu 2) z věty 5 plyne Důsledek. V označení věty 5 platí: O je okruh s teorií divizorů určenou všemi prodlouženími 1/1,..., vm exponentu vq na těleso K. Jestliže ir je ireducibilní prvek okruhu Ovo a 7Ti,..., 7rm ireducibilní prvky O (označené tak, že Vi(iti) = 1) a roz-ložíme-li v O m i=l kde s je jednotka okruhu O a e±,..., em jsou nezáporná celá čísla, pak pro každé i = l,...,mje cí > 0 index větvení exponentu v i vzhledem k vq. Důkaz věty 5. Indukcí vzhledem k n = [K : k]. Předpokládejme, že n > 1 a že věta 5 je dokázána pro všechna rozšíření libovolného tělesa k stupně menšího než n. Má-li těleso zbytků £0 exponentu vq alespoň n prvků, plyne věta z lemmat 3 a 2. Předpokládejme tedy, že q = |Eo| < n. Nad konečnými tělesy existují ireducibilní polynomy libovolného stupně, můžeme proto zvolit nějaký normovaný ireducibilní polynom (p(t) e S0[í] stupně n — 1 a k němu nějaký normovaný polynom ip(t) £ Ovo [t] stupně n — 1 tak, aby • E0 lze považovat E0 za podtěleso tělesa E'0. Pak T,0(9) C E'0 a |Eo(^)| = ?n_1 > n. 7. EXPONENTY 31 Na druhou stranu [K' : k1] < n. Pro rozšíření K'/k' a exponent v'Q tedy věta platí. Existuje tedy prodloužení v' exponentu v'Q na K'. Uvážíme-li exponent v indukovaný exponentem v' na K, dokázali jsme část 1. Pro důkaz části 2 ukažme nejprve, že v'Q je jediné prodloužení exponentu z/o na k'. Předpokládejme, že z/g je jiné jeho prodloužení. Podle věty 3 existuje 7 e k' tak, že z/g (7) = 0 a z/q7 (7) > 0- Pak lze jednoznačně psát 7 = 7rr Yľi=o c$% •> kde 7r je ireducibilní prvek Ovo, r e Z, c« e O^0 pro všechna i = {0,..., n — 2}a pro alespoň jedno j = {0,..., n — 2} platí z/(cj) = 0. Označme a = YllZo c$% • Pak čj a proto i ä = Yľi=o Jsou nenulové prvky Eg. Proto v'0(cx) = 0. Analogicky z/g7 (a) = 0. Z ^0(7) = 0 plyne r = 0, odkud v'q^) = 0, spor. Z indukčního předpokladu pro k'/k je Ov v K'. Nechť u[,..., v'r jsou všechna prodloužení exponentu v'0 na K'. Protože pro rozšíření K'/k' a exponent Vq věta platí, je r o'=no,í- i=l Ovšem ..., v'r jsou také všechna prodloužení exponentu vq na Označíme-li v\,..., vm všechny po dvou různé exponenty na K indukované exponenty u[,..., v'r, pak r m 0 = o'r\K= f)(ov[nK) = f| 0Vi. i=l i=l Kdyby existovalo nějaké prodloužení v exponentu vq na těleso K odlišné od exponentů vi,... ,ľm, podle věty 3 by existovalo 7 e K tak, že 1/1(7) ^ 0, ... , Vmil) > 0, z/(7) < 0, spor s inkluzí OCO„, která plyne z celouzavřenosti O^. Věta 5 je dokázána. Cvičení 24. Nechť K/k je Galoisovo rozšíření, G = Gal(K/k). Nechť u0 je exponent tělesa k a z/ prodloužení exponentu z/o na těleso K. Pro libovolné ceG a libovolné a e -říx položme ua(a) = v (a (a)), ua(0) = 00. Dokažte, že (a) pro každé a e G je va prodloužení exponentu vq na těleso K; (b) libovolné prodloužení exponentu vq na těleso K je tvaru va pro nějaké a e G; (c) všechna prodloužení exponentu z/o na těleso K mají týž index větvení; (d) Dv = {a G G; z/7 = z/} je podgrupa grupy G (nazývá se dekompoziční grupa příslušná exponentu z/); (e) Dv odpovídá v Galoisově korespondenci nejmenšímu mezitělesu L rozšíření K/k takovému, že exponent tělesa L indukovaný exponentem v lze jediným způsobem prodloužit na těleso K; (f) [L : k] je rovno počtu všech prodloužení exponentu z/o na těleso K; (g) Dv je normální podgrupa grupy G právě tehdy, když existuje [L : k] různých prodloužení exponentu z/q na těleso L. 32 7. EXPONENTY 8. Teorie divizorů konečného rozšíření těles (podrobnější důkazy viz Borevič-Šafarevič, kapitola 3, §5) Věta 1. Nechť Rq je obor integrity s podílovým tělesem k takový, že existuje teorie divizorů Rq —>• Do; označme Mq množinu všech exponentů odpovídajících prvodivizorům této teorie divizorů. Nechť K/k je konečné rozšíření. Pak množina M všech prodloužení všech exponentů z M0 definuje teorii divizorů na celém uzávěru R okruhu Ro v K. Důkaz. Ověříme tři podmínky věty 4 kapitoly 6. (2) Pro libovolné v £ M platí Ro C Ov a podle věty 1 kapitoly 7 je R C Ov. Nechť a E K splňuje u (a) > 0 pro každé z/ £ M. Nechť ín + aiín_1 H-----h an je minimální polynom a vzhledem ke k. Zvolme vq £ Mq libovolně a označme z/i,...,z/m všechna prodloužení exponentu vq na K. Protože a £ r\^LxOVi, podle věty 5(2) kapitoly 7 je a z celého uzávěru okruhu Ovo, tedy a±,..., an £ Ovo. Odtud ai,..., an £ r\Vo£MoOVo = R0. Proto a £ P. (1) Existuje jen konečně mnoho exponentů i/éMs vlastností v(an) ^ 0. Jestliže í/(a„) = 0, pak v(a~1) = v(a~1(ar~1 + • • • + ar-i)) > 0, tedy v(pt) = 0. (3) Nechť ľi,...,ľm £ M a nechť ki,...,km jsou nezáporná celá čísla. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že pro každé z/o £ Mq jsou mezi vybranými exponenty buď žádné nebo všechna prodloužení v0 na K. Podle věty 3 kapitoly 7 existuje a £ K tak, že vi(a) = ki, ... , vm(a) = km. Je-li a £ iž, jsme hotovi. Pokud ne, platí v{ot) < 0 pro konečně mnoho v £ M. Označme r = — min{z/(a;); z/ £ M} > 0. Podle věty 4 kapitoly 6 existuje a £ i?o tak, že z/o (o) = 0 pro každý exponent vq indukovaný některým z exponentů z/i,..., z/m a současně z/o (a) = r pro každý exponent vq indukovaný některým exponentem v £ M s vlastností z/(a) < 0. Pak aa £ R má požadované vlastnosti. Věta 2. Nechť .ří je těleso algebraických čísel, R okruh celých čísel tělesa K. Pak R má teorii divizorů, která je určena množinou všech exponentů tělesa K. Důkaz. Plyne z cvičení 22 a předchozí věty. Poznámka. Ve zbytku kapitoly budeme předpokládat, že Rq je obor integrity s podílovým tělesem k takový, že existuje teorie divizorů Rq —>• Do, že K/k je konečné rozšíření těles, že R je celý uzávěr okruhu Ro v K a že Rx —>• D je teorie divizorů. Protože Rq C iž, odpovídají prvkům a £ .Rq divizory v Do i v D. Budeme je rozlišovat indexy: (a)k £ Do, {oí)k £ D. Věta 3. Existuje vnoření Do —>• D takové, že platí (a)k >->• (o;)k pro každé a £ • Důkaz. Zvolme libovolně prvodivizor p £ Do a uvažme příslušný exponent vq na k. Nechť z/i,..., vm jsou všechna prodloužení exponentu z/o na .ří a ei,..., em příslušné indexy větvení. Označme Pi,..., Pm prvodivizory v D odpovídající exponentům z/i,..., z/m. Přiřaďme p i—>■ P^1 ... P^™. Toto přiřazení určí vnoření Dq —>• D, o kterém se snadno ukáže, že platí (a)k >->• (a)k pro každé a £ Rq . Věta 4. Existuje homomorfismus N : D —>• D0 takový, že platí iV((a!)x) = (NK/k(a))k pro každé a £ Px. Důkaz. Zvolme libovolně prvodivizor p £ Dq a uvažme příslušný exponent vq na k. Nechť z/i,..., vm jsou všechna prodloužení exponentu z/o na K. Stejně jako v důsledku věty 5 kapitoly 7 označme ni,..., irm ireducibilní prvky okruhu O = 8. TEORIE DIVIZORŮ KONEČNÉHO ROZŠÍŘENÍ TĚLES 33 r\^=xOVi (indexované tak, že Ví{t^í) = 1) a Pi,..., Pm prvodivizory v D odpovídající exponentům i/i,..., vm. Pro libovolné i = 1,..., m je NK/k(iľi) e Ovo a tedy di = vo(NK/k(iti)) > 0. Snadno se ukáže, že di nezávisí na konkrétní volbě ttí. Přiřaďme Pi >—>■ pdi■ Toto přiřazení určí homomorfismus D —>• Pro který se snadno ověří, že platí N((cx)k) = (NK/k(a))k pro každé a e _RX. Poznámka. V označení předchozího důkazu: Protože každý prvek dělí svoji normu, platí dokonce di > 0. Jestliže v O rozložíme ireducibilní prvek 7r okruhu Ovo, dostaneme podle důsledku věty 5 kapitoly 7 m i=l kde e je jednotka okruhu O a pro každé i = l,...,mje cí > 0 index větvení exponentu ví vzhledem k vq. Nechť n = [K : k]. Přechodem k normě dostaneme m 7Tn = NK/k(7T) = NK/k[e) HNK/k(7Ti)ei, i=l odkud aplikací exponentu vq dostaneme identitu m [K :k] = Y,diei. i=l Definice. Pro libovolné a e D nazýváme N (a) normou divizoru a vzhledem k rozšíření K/k. Chceme-li v případě potřeby vyznačit, o jaké rozšíření jde, píšeme NK/k(a). Cvičení 25. Dokažte, že zobrazení konstruovaná v důkazech vět 3 a 4 jsou jediné homomorfismy splňující podmínky vět. Poznámka. Do konce kapitoly zvolme libovolně, ale pevně prvodivizor p e Do a uvažme příslušný exponent vq ~n& k. Nechť vi,..., vm jsou všechna prodloužení exponentu vq na K. Stejně jako v důsledku věty 5 kapitoly 7 označme ir ireducibilní prvek okruhu Ovo a 7Ti,...,7rm ireducibilní prvky okruhu O = r\^=xOVi (indexované tak, že ví(ití) = 1) a P±,..., Pm prvodivizory v D odpovídající exponentům v\, ■ ■ ■ i vm- Nechť i G {1,..., m} je libovolné. Protože pro libovolné a e Ovo platí vo(a) > 0 právě tehdy, když Vi(pt) > 0, existuje vnoření tělesa zbytků E0 exponentu vq do tělesa zbytků £j exponentu z/j. Pro libovolné a e 0Vi budeme jeho obraz v £j značit ä. Je jasné, že pro každé ai,...,ar e 0Vi platí: jestliže ai,...,ar jsou fc-lineárně závislé, pak äi,...,är e jsou Eo-lineárně závislé. Proto S«/So je konečné rozšíření těles a platí [Ej : E0] < [K : k]. V dalším textu budeme značit f i = P j : S0]. Definice. Stupeň f i rozšíření Ej/E0 se nazývá stupeň inercie exponentu ví vzhledem k vq. Poznámka. O stupni inercie (resp. indexu větvení) exponentu Ví vzhledem k vo někdy též hovoříme jako o stupni inercie (resp. indexu větvení) prvodivizoru Pí vzhledem k p. 34 8. TEORIE DIVIZORŮ KONEČNÉHO ROZŠÍŘENÍ TĚLES Definice. Baze ui,... ,un rozšíření K/k se nazývá fundamentální baze okruhu 0 vzhledem k Ovo, jestliže uj\,...,ujn G O a pro každé a G O existuje vyjádření a = Y17=i aiai s koeficienty clí G Ovo. Poznámka pro znalé teorie iž-modulů: fundamentální baze okruhu O vzhledem k Ovo existuje, právě když je O volný -modul. Věta 5. Existuje-li fundamentální baze okruhu O vzhledem k Ovo, pak pro každé 1 = l,...,n platí fi = di, tj. vo(NK/k(iTi)) = [E; : E0]. Důkaz. Nechť i E {1,... ,n} je libovolné. Z věty 4 kapitoly 7 plyne, že pro každé £ G 0Vi existuje a G K s vlastností Vi(a — £) > la u j (a) > 0 pro j ^ i. Pak je a E O a platí ä = £. Odtud plyne, že je-li ui,... ,un G O fundamentální baze okruhu O vzhledem k Ovo, pak je u>i,.. .,un G Ej systém generátorů vektorového prostoru Tii nad Eo. Protože f i = [Ej : Eo], lze případným přeindexováním dosáhnout toho, že u>i,... ,ujfi je baze vektorového prostoru Ej nad E0 (tj. baze rozšíření Ej/Eq). Pro j > fi platí f i UJj = ^2 fljs&s 8=1 pro vhodné (3js G Ovo. Položme je-li l 0, ... , Vi(afi) > 0, tj. právě když ^o(oi) > 0, ... , ^o(o/i) > 0, což znamená, že a±,..., an jsou všechny dělitelné ir. Ideál itíO se tedy skládá ze všech Ovo-lineárních kombinací prvků ttŮi, ..., irůft, ůfi+i, ■ ■ ■, "&n- Determinant matice přechodu mezi výše uvedenými Ovo-bázemi ideálu itíO je proto jednotka okruhu Ovo. Podle definice normy je NK/k(^i) = det(asi), kde ast G k splňují n t=l Zmíněná matice přechodu je matice (bst), kde bst = asi7r_1, je-li t < fi, a bst = ast, je-li ŕ > fi. Proto NK/k(-Ki) = det(asi) = nfi det(6flí), odkud vo(NK/k(Tn)) = fi, což jsme měli dokázat. Věta 6. Je-li K/k separabilní, pak existuje fundamentální baze okruhu O vzhledem k Ovo. Důkaz. Zvolme v K bazi ot\,..., an G O. Díky separabilitě existuje duální baze a*,..., a*n G K, tj. taková baze, že platí pro každé i, j G {1,..., n} 1 l 0 je-h t ^ J- 8. TEORIE DIVIZORŮ KONEČNÉHO ROZŠÍŘENÍ TĚLES 35 Je-li a e O a platí-li a = Yľi=i ciati kde cii • • • icn £ k, platí q = SpK/k(aai) e Ovo, neboť aai e O. Pro každé s = 1,..., n označme ujs některý prvek, který má mezi všemi prvky tvaru Yľi=sci°ít e kde c* e minimální hodnotu vq(cs). Snadno se ukáže, že uj\,..., u>n je fundamentální baze okruhu O vzhledem k Ovo. Věta 7. Nechť if/fc je separabilní, pak platí m [iř:fc] = ^/iei. i=l Důkaz. Plyne z vět 5 a 6 a poznámky za větou 4. Lemma. Nechť K/k je separabilní. Existuje-li ů e O tak, že K = k(ů) a že diskriminant D( 0, a e D^) je korektně definováno zobrazení ä : E —>• E; (c) pro libovolné cr e je ä G Gal(E/E0); (d) předpis ■ ä je surjektivní homomorfismus grup Dv —>• Gal(E/Eo); (e) jádro tohoto homomorfismu ij, (nazývá se inerční grupa příslušná exponentu v) odpovídá v Galoisově korespondenci nejmenšímu mezitělesu L rozšíření K/k takovému, že exponent tělesa L indukovaný exponentem v je totálně rozvětvený v rozšíření K/L; (f) [K : L] je rovno indexu větvení exponentu v vzhledem k z/q; (g) všechna prodloužení exponentu v§ na K mají týž stupeň inercie. 9. Dedekindovy okruhy (podrobnější důkazy viz Borevič-Šafarevič, kapitola 3, §6) Definice. Nechť R je obor integrity s teorií divizorů Rx —>• D, a e D divizor. Okruhem zbytků R/a rozumíme faktorokruh R/ä, kde ô je ideál prvků z R dělitelných a. Rovnosti v okruhu zbytků budeme často zapisovat pomocí kongruencí: pro a, (3 G R znamená a = (3 (moda) totéž, co a + ä = (3 + ä, totiž a\a — (3. Věta 1. Nechť R je okruh celých čísel nějakého tělesa algebraických čísel K. Pro libovolný divizor a okruhu R je okruh zbytků R/a konečný. Důkaz. Existuje a e Rx dělitelné a. Toto a dělí nějaké přirozené číslo n (například \NK/Q(a)\). Pak nR C ä a \R/nR\ = n^-K:Q\ Věta 2. Nechť R je okruh celých čísel nějakého tělesa algebraických čísel K. Libovolný prvodivizor p okruhu R je dělitelem jediného prvočísla q. Okruh zbytků R/p je pak konečné těleso charakteristiky q. Důkaz. Prvodivizoru p odpovídá exponent tělesa K, který je indukován nějakým exponentem tělesa Q. Ten podle cvičení 22 odpovídá nějakému prvočíslu q. Okruh zbytků R/p je netriviální a nemá dělitele nuly, proto z věty 1 plyne, že jde o těleso. Přitom q e p. Definice. Obor integrity R se nazývá Dedekindův, jestliže pro něj existuje teorie divizorů Rx —>• D taková, že pro každý prvodivizor p je okruh zbytků R/p těleso. Příklady. Dle věty 2 jsou okuhy celých čísel v tělesech algebraických čísel Dedekindovy. Dedekindův okruh je i okruh Ov pro libovolný exponent v na libovolném tělese K. Na začátku důkazu věty 5 minulé kapitoly jsme ukázali, že Dedekindův okruh je i celý uzávěr okruhu Ov v libovolném konečném rozšíření tělesa K. Stejně se dokáže, že libovolný okruh s teorií divizorů, ve které je jen konečně mnoho prvodivizoru, je Dedekindův. Z Bezoutovy identity plyne, že okruh polynomů jedné proměnné nad libovolným tělesem je Dedekindův. Dedekindovy okruhy naopak nejsou například okruh Z[x] nebo okruh K[x, y] pro libovolné těleso K, přestože to jsou okruhy s jednoznačným rozkladem. 38 9. DEDEKINDOVY OKRUHY Cvičení 27. Nechť iž je Dedekindův okruh a K jeho podílové těleso. Dokažte, že celý uzávěr okruhu R v libovolném konečném rozšíření tělesa K je opět Dedekindův okruh. Poznámky. Dedekindův okruh bývá v literatuře většinou definován jiným ekvivalentním způsobem. Obvyklá definice je následující: obor integrity R se nazývá Dedekindův okruh, jestliže 1. každý vlastní prvoideál okruhu R je maximální; 2. okruh R je celouzavřený (ve svém podílovém tělese); 3. okruh R je Noetherovský, tj. libovolná rostoucí posloupnost ideálů okruhu R je konečná (jinými slovy, jsou-li /i C J2 C ... ideály okruhu R, pak existuje přirozené číslo n tak, že Ui^i h = In)- V knize Kapitoly z obecné algebry od A. G. Kuroše (vyšlo v nakladatelství Academia v Praze roku 1977) je Dedekindův okruh definován jako obor integrity, v němž každý vlastní ideál lze vytvořit jako součin konečného počtu prvoideálů (součin ideálů A a S je ideál generovaný množinou součinů {afy a e A, (3 e B}). Lemma 1. Nechť R je Dedekindův okruh, p jeho prvodivizor, a e R nedělitelné p a m přirozené číslo. Pak je kongruence ax = 1 (modpm) řešitelná v R. Důkaz provedeme indukcí, pro m = 1 plyne přímo z definice. Nechť lemma platí pro m, zvolme £ e R tak, že a^ = 1 (modpm). Dále zvolme u G R tak, že Vp(uj) = m (zde i dále vv značí exponent příslušný prvodivizoru p). Pak divizor (u) = pma, kde divizor a není dělitelný p. Zvolme 7 e R tak, že up(j) = 0 a a\j (existence je zaručena větou 4 kapitoly 6). Pak u>\j(al; — 1), tj. existuje \i e R tak, že u\i = j(ot£ — 1). Je vidět, že řešením konguence ax = 1 (modpm+1) bude x = £ + ujX, jestliže A e R zvolíme tak, aby splňovalo a^X = —\i (modp), což lze, neboť R/p je těleso. Věta 3. Nechť R je Dedekindův okruh, pi,.. .pm jeho různé prvodivizory, a±,..., am G R a íi,..., tm přirozená čísla. Pak je systém kongruencí x = oti (modp^) i G {l,...,m} řešitelný v R. Důkaz. Pro libovolné i e {l,...,m} zvolme fy G R tak, aby vp.(fy) = t j pro j G {1,.. .,m} \ {i} a vp.(fy) = 0. Podle lemmatu 1 existuje & e R tak, že = oti (modp^). Řešením daného systému je pak YllLi Věta 4. Nechť R je Dedekindův okruh, a jeho divizor, a, f3 £ R, a =fi 0. Pak je kongruence = (3 (moda) řešitelná, právě když je (3 dělitelné největším společným dělitelem divizorů (a) a a. Důkaz. Větu dokážeme nejprve za předpokladu, že divizory (a) a a jsou nesoudělné. Nechť a = YľiLiPi* = PjJ aji kde pi,.. .pm jsou různé prvodivizory. Podle lemmatu 1 existují £í e tak, že a^ = /? (modp^). Podle věty 3 existují ^ Giž tak, že & = £^ (modp^) a & = 0 (modaj). Součet £ = 1 £« pak splňuje kongruenci a^ = (3 (moda). Přejděme nyní k obecnému případu. Označme d = YYlLiPi největší společný dělitel divizorů (a) a a. Má-li daná kongruence řešení, pak jistě d\(3. Naopak, předpokládejme, že d\(3. Podle věty 3 kapitoly 7 a věty 4 kapitoly 6 existuje v podílovém 10. DIVIZORY V TĚLESECH ALGEBRAICKÝCH ČÍSEL 39 tělese K okruhu R prvek \i takový, že vVi (\i) = —li pro každé i e {1,..., m} a současně vq(n) > 0 pro všechny ostatní prvodivizory q. Protože d\/3, platí /i(3 e R. Podobně \ia e R je nesoudělné s divizorem ř> určeným identitou bd = a. Podle první části důkazu existuje £ e R splňující a/il; = (3/i (modři). Pak vPi(a£ — (3) = vPi(a\x^ — (3/i) + U > ki a proto £ splňuje kongruenci a^ = (3 (moda). Lemma 2. Nechť R je Dedekindův okruh, a±,..., am e Rx libovolné a d největší společný dělitel divizorů (ai),..., (am). Pak libovolné a e R dělitelné d může být vyjádřeno ve tvaru Důkaz provedeme indukcí, pro m = 1 je lemma zřejmé. Předpokládejme, že m > 1 a že lemma platí pro m — 1. Označme d\ největší společný dělitel divizorů (a±),..., (am-i). Pak je d největší společný dělitel divizorů d\ a (am). Podle věty 4 existuje £ G R tak, že am^ = a (modcři). Lemma plyne z indukčního předpokladu pro a — £am. Věta 5. Pro Dedekindův okruh R je zobrazení a i—>■ ô izomorfismem pologrupy divizorů D na pologrupu všech nenulových ideálů okruhu R. Důkaz. Z definice teorie divizorů plyne, že zobrazení a i—>■ ä je injekce. Ukažme, že je to v případě Dedekindova okruhu též surjekce. Nechť A je libovolný nenulový ideál okruhu R. Pro libovolný prvodivizor p označme ap = m.m{vp(a); a e A}. Je zřejmé, že a = YlpPap Je divizor. Přitom jistě A C ä. Nechť a 6 ä je libovolný. Zvolme ai,..., am e A tak, aby a byl největší společný dělitel divizorů (a±),..., (am). Podle lemmatu 2 existují £i,...,£m e R tak, že a = YliĹi€iaii odkud aei. Platí tedy A = ä. Nechť a, b jsou libovolné divizory a označme A = ä, B = b, C = AB, c = ab. Ukážeme č = C. Platí m.m{ľp(j); a e C} = mm{ľp(a(3); a e A, (3 e B} = min{fp(Q;); «ei} + min{fp(/3); /3 G L?}, odkud plyne dokazované. 10. Divizory v tělesech algebraických čísel (podrobnější důkazy viz Borevič-Šafarevič, kapitola 3, §7) Definice. Nechť K je těleso algebraických čísel, R jeho okruh celých čísel. Pro libovolný divizor a okruhu R se norma Nk/q( 0. Označme ri,...,rm všechny ty prvodivizory, pro které ki = &Vi(0 < 0. Podle věty 3 kapitoly 9 existuje 7 e R tak, že 7 = 1 (modp) a 7 = 0 (modr^~ f) pro každé i = 1,..., m. Pak a = £7 e R a Vpipt — £) > 0. Věta je pro prvodivizory dokázána. Předpokládejme nyní, že věta platí pro nějaké divizory a, b, a dokažme, že pak platí i pro jejich součin ab. Tím bude věta dokázána. Podle věty 4 kapitoly 6 existuje 7 G R tak, že a\j a divizor (7)a_1 je nesoudělný s b. Nechť ai,...,ar (resp. fy,..., fy), kde r = N(a) (resp. s = N(/3)), je úplný systém zbyků okruhu R modulo a (resp. b). Ukážeme, že systém r s čísel ai + fy-/, i e {1,..., r}, j e {1,..., s} je úplný systém zbyků okruhu R modulo ab. Snadno se ověří, že tyto prvky jsou po dvou nekongruentní modulo ab. Nechť nyní a e R je libovolné. Pak existuje i G {1,..., r} tak, že a = oti (modo). Protože největší společný dělitel divizorů (7) a ab je a, podle věty 4 kapitoly 9 existuje £ e R tak, že 7^ = a — oti (moda6). Pak existuje j G {1,..., s} tak, že £ = /3j (mod b), odkud a = ai + fyj (mod ab). Definice. Nechť K je těleso algebraických čísel, R jeho okruh celých čísel. Divizory a, b okruhu R se nazývají ekvivalentní, píšeme a ~ b, existují-li a, (3 e R tak, že (a)a = (fy)b. Poznámka. Snadno se vidí, že relace ~ je skutečně relací ekvivalence na polo-grupě divizorů D. Navíc lze na třídách ekvivalence zavést násobení pomocí reprezentantů, přičemž se snadno ověří, že vzniklá faktorpologrupa D/~ je komutativní grupa. Definice. Grupa D/~ se nazývá grupa tříd divizorů okruhu R (popřípadě tělesa K). Počet prvků této grupy se nazývá počet tříd divizorů okruhu R (popřípadě tělesa K) a většinou se značí h. Poznámka. Z věty 2 kapitoly 6 plyne, že R je okruh s jednoznačným rozkladem, právě když h = 1. Cvičení 28. Nechť R je okruh celých čísel tělesa algebraických čísel K. Dokažte, že h = 2, právě když R není okruh s jednoznačným rozkladem, avšak libovolné dva rozklady téhož prvku z R na součin prvků ireducibilních v R mají týž počet činitelů (pro jednu implikaci užijte tvrzení (které jsme dosud nedokázali) že každá třída divizorů obsahuje nekonečně mnoho prvodivizoru). Poznámka. Připomeňme definici diskriminantu tělesa algebraických čísel K. Protože okruh celých čísel iž je modul (ve smyslu kapitoly 5), má bazi. Diskriminant této baze se nazývá diskriminant tělesa K a zřejmě je na konkrétním výběru baze okruhu R nezávislý. Lemma. Nechť -říje těleso algebraických čísel, d jeho diskriminant, R jeho okruh celých čísel, D pologrupa divizorů okruhu R, n = [K : Q]. Nechť existuje právě s 11. CHARAKTERY KONEČNÝCH ABELOVSKÝCH GRUP 41 reálných vnoření tělesa K a právě t párů komplexních vnoření (pak tedy s + 2t = n). Pak v libovolné třídě rozkladu D/~ existuje divizor a, jehož absolutní norma Důkaz je v podstatě založen na Minkowského větě o konvexním tělese a je veden podobným způsobem jako důkaz Dirichletovy věty o jednotkách. Tuto techniku jsme z časových důvodů vynechali a proto mohu čtenáře pouze odkázat na knihu Borevič-Šafarevič, kapitola 2, §§3-6. Věta 2. Grupa tříd divizorů libovolného tělesa algebraických čísel je konečná. Důkaz plyne z předchozího lemmatu vzhledem k tomu, že existuje vždy jen konečně mnoho divizorů s danou absolutní normou. Věta 3. Nechť h je počet tříd divizorů tělesa algebraických čísel. Pak pro divizory okruhu celých čísel tohoto tělesa platí (a) h-tá mocnina libovolného divizorů je hlavní divizor; (b) je-li l přirozené číslo nesoudělné s h a je-li a takový divizor, že a1 je hlavní, pak také a je hlavní divizor. Důkaz je zřejmý. 11. Charaktery konečných abelovských grup Definice. Nechť g je abelovská grupa. Libovolný homomorfismus g —>• Cx nazýváme charakter grupy g. Poznámka. Množina všech charakterů abelovské grupy g vzhledem k operaci násobení dané předpisem (xiX2)(g) = Xi(q)X2(q) tvoří opět abelovskou grupu, kterou značíme g. Lemma 1. Je-li g konečná abelovská grupa, pak g ~ g (nekanonicky). Důkaz. Protože g je přímý součin aditivních grup tvaru Z/mZ, je g přímý součin grup Z/mZ. Ale je-li x £ Z/mZ, pak je x určeno hodnotou x(l) (připomeňme, že Z/mZ je aditivní). Protože x(l) může být libovolná m-tá odmocnina z jedné, lemma platí pro Z/mZ a tedy i pro g. Důsledek. Je-li g konečná abelovská grupa, pak g ~ g (kanonicky). Důkaz. Libovolné g e g určuje charakter g1 grupy g předpisem g'(x) = x(q)-Předpokládejme, že pro nějaké g e g platí x G?) = 1 Pr° všechna x £ g. Označme H podgrupu generovanou g. Pak g lze chápat jako množinu různých charakterů faktorgrupy g/H, kterých je podle lemmatu nejvýše \g/H\, je tedy H = {1}. Předpis g !->• g' proto určuje injekci g —>• g. Protože |G| = |G| = jsme hotovi. Definice. Pro libovolnou podgrupu H abelovské grupy g označme H1- = {x G G; V/i e H : x(h) = 1}. Poznámka. Zřejmě máme přirozený izomorfismus H1- ~ g/H. Navíc pro libovolné podgrupy Hi, H2 platí 42 11. CHARAKTERY KONEČNÝCH ABELOVSKÝCH GRUP Lemma 2. Pro libovolnou podgrupu H konečné abelovské grupy G platí H ~ G/H^. Důkaz. Restrikce dává homomorŕismus G —>• H s jádrem H^. Zbývá ukázat surjektivitu, ovšem \H±\ = \G/H\ = \G/H\ = \G\/\H\ a proto \H\ = \H\ = IGI/IH^ = IGI/IH^. Lemma 3. Pro libovolnou podgrupu H konečné abelovské grupy G je (H-1-)1- = H, kde jsme stotožnili G = G a kde pro vnější kolmičku chápeme H1- jako podgrupu grupy G. Důkaz. Jako v předešlém důkaze se snadno spočítá, že obě grupy mají týž řád. Je-li h G H, pak h jakožto prvek G zobrazující libovolné x £ G na x(h) zobrazí všechny prvky H1- na 1. Proto H C (H^-)^-. Důsledek. -1 je tedy antiizomorfismus mezi svazem všech podgrup konečné abelovské grupy G a svazem všech podgrup její grupy charakterů G. 12. Dirichletovy charaktery Definice. Dirichletův charakter je charakter grupy (Z/nZ)* pro nějaké n e N, tj. homomorŕismus x '• fá/nZ)* —>• Cx . Je-li n\m, pak x indukuje složením s kanonickým homomorŕismem (Z/mZ)* —>• (Z/nZ)* homomorfismus x : (Z/mZ)* —>• Cx. Přitom jde vpodstatě o totéž zobrazení, můžeme tedy x uvažovat podle libosti definovaný jak modulo m tak i modulo n. Pro jednoznačnost zavedeme konvenci, že pro dané x budeme vždy uvažovat ten nej menší možný modul a budeme jej nazývat konduktor Dirichletova charakteru x a označovat fx. Příklady. Existuje jediný Dirichletův charakter s konduktorem 1, kterému se říká jednotkový nebo též triviální charakter. Žádný Dirichletův charakter nemá konduktor 2. Pro konduktory 3, 4 a 12 existuje vždy po jednom Dirichletově charakteru, pro konduktor 5 existují právě 3. Identifikace. Nechť x Je Dirichletův charakter s konduktorem fx. Pak x identifikujeme se zobrazením Z —>• C, které je určeno předpisem a i—>■ x(a + fx^) Pr0 a G Z nesoudělné s fx a a !->• 0 pro a e Z soudělné s fx. Definice. Nechť x a V' Jsou Dirichletovy charaktery. Označme n nej menší společný násobek jejich konduktorů a uvažme je oba na okamžik j ako charaktery grupy (Z/nZ)*. Součinem budeme rozumět Dirichletův charakter (s co nejmenším modulem) určený součinem obou charakterů v grupě (Z/nZ)*. Příklad. Zvolme například Dirichletovy charaktery Xi které jsou jednoznačně určeny podmínkou fx = 12, fy = 3. Pak fx^ = 4. Všimněte si, že pro a e Z obecně neplatí xO)V>(a) = (xVO(o), např. x(9) = 0, ^(9) = 0, avšak (x^)(9) = 1. Cvičení 29. Dokažte, že pro libovolné Dirichletovy charaktery x, ^ a libovolné a G Z platí, že je-li x(a)'lP(a) 0, Pak x(°)'0(a) = (X'0)(°)- Cvičení 30. Dokažte, že množina všech Dirichletových charakterů tvoří grupu. Cvičení 31. Dokažte, že pro libovolné Dirichletovy charaktery Xi jejichž konduktory jsou nesoudělné, platí fx^ = fxfy. Opakování (viz důsledek věty 1 kapitoly 4). Nechť m je přirozené číslo a Cm = e~žř. Pak m-té kruhové těleso Q(Cm) je Galoisovo, [Q(Cm) : Q] = f{m) a pro 12. DIRICHLETOVY CHARAKTERY 43 jeho Galoisovu grupu Gal(Q(Cm)/Q) platí, že je izomorfní s grupou invertibilních prvků okruhu zbytkových tříd Z/mZ, kde izomorfismus je určen tím, že libovolný automorfismus a e Gal(Q(Cm)/Q) s vlastností kde [m, n] značí nejmenší společný násobek čísel m, n; 2. průnik Qm nQ„ = Q(m,n) j kde (m, n) značí největší společný dělitel čísel m, n. Důkaz. Je zřejmé, že Q(m,n) C Qm C Q[m,n] a Q(m,n) C Qn C Q[m,n]. Z Bezoutovy identity plyne existence celých čísel a, b takových, že (m, n) = am + bn. Pak platí a _ A(m,n) _ f-am-\-bn _ ^oaď ť- tm \sn j odkud plyne 1. Označme K = Qm n Qn. Víme, že Q(m,n) C K. Dokážeme, že platí rovnost. Podle cvičení 11 (kapitola 2) platí [Qtm.nl : Q][K : Q] = [Qm : Q][Qn : Q], odkud 0}, Pv = {a e K; u (a) > 0} (pak tedy Ej, = Ov/Pv). Zřejmě platí: • a~1Ol/ = Ovv. Podle definice pro r e G platí r e Dv, právě když rOv = Ov. Je tedy r e Dv• e^. Pro ■ ä dává homomorfismus —>• Gal(Ej,/E0). Dle definice jádrem tohoto homomorfismu je Iv. Je-li tedy t e I„, je ř = id£„. Pak ale 0. Protože Frobx^/E^x) = x'E°' a Frob^/s0(x) = #'Eo') dostáváme komutativní diagram -y 12V" FrobBi/CT/Bo ) 12V" a-1 a tedy platí FrobEi/17/Eo = a~x FrobEi//Eo ä. Předpokládejme nyní, že exponent vq je v if/fc nerozvětvený, tj. e = 1. Pak jádro Iv přirozeného surjektivního homomorfismu grup Dv —>• Gal(Ej,/Eo) je triviální, jde tedy o izomorfismus. Vzor Frobeniova automorfismu rozšíření E^/Eo v tomto izomorfismu (tedy odpovídající prvek Dv C Gdl(K/k)) se nazývá Frobeniův automorfismus exponentu v vzhledem k rozšíření K/k a značí se Frob(z/, K/k), často též Frob(Q, K/k), kde Q je prvodivizor tělesa K odpovídající exponentu v. Z výše dokázaného plyne Frdb(ueT, -ří/fc) = • Gal(K/k), kde D' je podpologrupa polog-rupy divizorů D tělesa k generovaná všemi prvodivizory nerozvětvenými v K/k. Toto zobrazení hraje klíčovou roli v tzv. „class field theory". Příklad. Nechť n je přirozené číslo nedělitelné prvočíslem p. Uvažme p-adický exponent vq na Q, rozšíření Qn/Q a označme v nějaké prodloužení v0 na Qn. Chceme ukázat, že exponent vq je nerozvětvený v Qn/Q a určit Artinův automorfismus (p, Qn/Q)- Označme E, resp. Eo těleso zbytků exponentu v, resp. vq. Je tedy E0 ~ Z/pZ aE~ Fp/, kde / je (absolutní) stupeň inercie exponentu v. Pro a G Ov označme ä e E třídu obsahující a. Protože n-l p\n=l[(l-Ó, i=l jsou 1, Cn, • • •, Cn_1 různé prvky E, neboli v{Cn ~ CÍ) = 0 Pr0 0 < i < j < n. Navíc p nedělí diskriminant _D(<í>n) minimálního polynomu <&n čísla Cn (připomeňme, že diskriminant je roven druhé mocnině součinu rozdílů kořenů, a tedy v(D($n)) = 0). Můžeme tedy aplikovat větu 8 kapitoly 8 a dostáváme, že exponent u0 je skutečně nerozvětvený v Qn/Q. Protože Frob^/^0 ((n) = (nP a T, (n,..., Cn_1 jsou různé prvky E, dostáváme Fľob(v, Qn/Q)(Cn) = Cn- V přirozeném izomorfismu Gal(Qn/Q) ~ (Z/nZ)* odpovídá Artinův izomorfismus (p, Qn/Q) třídě p + nZ. Určeme ještě stupeň inercie /. Protože je exponent vq nerozvětvený, je inerční grupa triviální a tedy dekompoziční grupa je izomorfní Gal(E/E0), je tedy cyklická řádu / generovaná Frobeniovým automorfismem. Jeho řád je ovšem týž jako řád třídy p + nL v (Z/nZ)*. Je tedy / = min{j e N; p-7 = 1 (modn)}. Protože index dekompoziční grupy je počet prodloužení exponentu vq,, vidíme, že těchto prodloužení (neboli prvodivizorů tělesa Qn dělících prvočíslo p) je právě (což nyní rovněž plyne věty 7 kapitoly 8). Konkrétní příklad. Zjistěme, jak se rozkládá prvočíslo 2 v okruhu celých čísel sedmého kruhového tělesa. Podle předchozího příkladu se rozkládá na součin dvou různých prvodivizorů, jejichž stupeň inercie je 3. Věta 8 kapitoly 8 ukazuje, jak je najít: je třeba rozložit kruhový polynom $7 = xQ + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 nad Z/2Z. Hledaný rozklad je $7 = (x3 + x + l)(x3 + x2 + 1) (mod2), a tedy 2 se rozkládá na prvodivizory (2) = (C73 + C7 + 1,2)(C73 + C72 + 1,2), kde (a, (3) značí nejmenšího společného dělitele divizorů (a) a (/?). V tomto případě můžeme dokonce počítat dál, platí totiž ((3 + (7 + 1)(C| + C? + 1) = 2C| a tedy 14. POLOGRUPA DIVIZORŮ ABELOVSKÝCH TĚLES 47 2 = (I + C7 + C7XI + C7"1 + C7"3) Je rozklad čísla 2 na prvočinitele (těleso Q7 má totiž počet tříd divizorů roven 1 a tedy okruh jeho celých čísel je okruh s jednoznačným rozkladem. Věta 2. Nechť K, L jsou tělesa algebraických čísel taková, že obě rozšíření KL/K DL a L/K DL jsou Galoisova. Nechť v je exponent kompozita KL, vL, resp. VKi vq jím indukovaný exponent tělesa L, resp. K, K n L. Pak platí: je-li exponent v l nerozvětvený v L/K n L, pak je exponent v nerozvětvený v KL/K. Důkaz. Restrikce indukuje homomorŕismus Gal(K L / K) —>• Gal(L/KnL), který je injektivní, neboť Gal(KL/K)nGal(KL/L) = Gal{KL/KL) = {idKL} dle hlavní věty Galoisovy teorie. Jestliže r e Gaií(KL/K) patří do inerční grupy exponentu v (vzhledem k rozšíření KL/K), pak platí rOv = O v a pro kazde ol G Ov je v (a — t (a)) > 0. Protože 0VL = L C\Ov a r L = L, platí tOVl = 0VL a pro každé a G 0VL je u i, (a — t (a)) > 0. Odtud plyne, že t\l e Gaií(L/K n L) patří do inerční grupy exponentu (vzhledem k rozšíření L/K n L). Věta plyne z toho, že počet prvků inerční grupy je právě index větvení. Poznámka. Restrikce v předchozím důkaze indukuje izomorŕismus: označme P = K n L. Dle věty 10 kapitoly 1 existuje 9 e L tak, že L = P(9). Pak K L = K{9). Označme f g a ij)g minimální polynomy 9 vzhledem k L a K L. Platí ipe\ 1, tj. právě když existuje x £ X tak, že Xp 1> tj. právě když existuje x £ X tak, že p\fx, tj. právě když existuje x £ X tak, že x(p) = 0- 14. POLOGRUPA DIVIZORŮ ABELOVSKÝCH TĚLES 49 Věta 3. Nechť X je konečná grupa Dirichletových charakterů a K = Kx jí odpovídající abelovské těleso. Nechť p je prvočíslo; položme Y = {x e x- x(p) ^ o}, z = {xe x- x(p) = i}. Pak Ky je nej větší mezitěleso rozšíření K/Q, v němž se p-adický exponent nevětví a K z je nej větší mezitěleso rozšíření K/Q, v němž se p-adický exponent zcela rozkládá. Označme Ip, resp. Dp inerční, resp. dekompoziční grupu odpovídající p-adickému exponentu. Pak platí Ip ~ X/Y, Dp ~ X/Z, Y/Z je cyklická, a tedy |-X"/ľ| je index větvení, \Y/Z\ je stupeň inercie a \Z\ počet prodloužení p-adického exponentu na K. Důkaz. Označme v nějaké prodloužení p-adického exponentu na K. Z cvičení 26(e,f) víme, že Ip odpovídá v Galoisově korespondenci nejmenšímu mezitělesu L rozšíření K/Q takovému, že exponent v je totálně rozvětvený v K/L a platí, že [K : L] je index větvení v v K/Q. Je tedy p-adický exponent nerozvětvený v L/Q (zde užíváme toho, že Gal(-ří/Q) je komutativní, a tedy všechna prodloužení p-adického exponentu mají v L/Q týž index větvení) a ze všech mezitěles rozšíření K/Q je L maximální s touto vlastností. Podle předchozího důsledku je Ky největší mezitěleso rozšíření K/Q s touto vlastností, a proto platí L = Ky. Grupu X lze chápat jako Gal(-ří/Q) (viz poznámku na konci kapitoly 12), přitom Y odpovídá Ga^K/L)-1. Podle lemmat 2 a 1 kapitoly 11 je X/Y = Gaí(Í7Q)/ GaliK/L)1- ~ Gaí{K/L) ~ Gal(K/L) = Ip, a tedy |-X"/ľ| je index větvení p-adického exponentu v rozšíření K/Q. Označme n nej menší společný násobek konduktorů charakterů z Y, je tedy L C Qn a p \ n. Pro libovolné mezitěleso M rozšíření L/Q platí, že Artinovy automorfismy splňují (p, M/Q) = (p, Qn/Q)|M (uvědomte si, že to zřejmě platí pro Frobeniovy automorfismy v rozšířeních těles zbytků). Označme U grupu Dirichletových charakterů odpovídající tělesu M: je tedy U podgrupa Y a platí M = Kv. Chápeme-li Dirichletův charakter x £ U jako charakter na grupě Gal(M/Q) (dle poznámky na konci kapitoly 12), platí x{{Pi M/Q)) = x{{Pi Qn/Q)) = x(p)- Protože p-adický exponent se nevětví v M/Q, je zde jeho inerční grupa triviální a dekompoziční grupa je generovaná příslušným Frobeniem=Artinem. Protože index dekompoziční grupy je počet různých prodloužení, je jasné, že se p-adický exponent v rozšíření M/Q zcela rozkládá, právě když Artinův automorfismus (p, M/Q) = í<1m-Protože U je grupa charakterů grupy Gal(M/Q), nastane poslední podmínka, právě když xip) = 1 Pr° každé x £ U. Ze všech podgrup U grupy X splňujících tuto podmínku je zřejmě největší podgrupa Z, a tedy Kz je největší mezitěleso rozšíření K/Q, v němž se p-adický exponent zcela rozkládá. Označme a = (p, Ky/Q). V grupě Y charakterů grupy Gal(-řTy/Q) je Z = (a)1- a tedy podle lemmatu 2 kapitoly 11 je _ ^ Y/Z = GalfST/Q)/^ ~ (a) 50 14. POLOGRUPA DIVIZORŮ ABELOVSKÝCH TĚLES cyklická grupa, jejíž řád je stupeň inercie p-adického exponentu. Odtud plyne, že exponent tělesa Kz indukovaný exponentem v lze jediným způsobem prodloužit na těleso K; navíc je jistě těleso K z nejmenší s touto vlastností. Podle cvičení 24 v Galoisově korespondenci nejmenšímu mezitělesu L rozšíření K/Q takovému, že exponent tělesa L indukovaný exponentem v lze jediným způsobem prodloužit na těleso K, odpovídá dekompoziční grupa Dp. Podobně jako pro inerční grupu proto máme X/Z = GáS^C/Q)/ Q^K/KzÝ ^ G&\(kJKz) ^ Gdl(K/Kz) = Dp. Věta je dokázána. 15. Riemannova funkce £ Definice. Riemannova funkce C je komplexní funkce komplexní proměnné s daná v polorovině Re s > 1 řadou oo 1 71 = 1 Poznámka. Užijeme-li zřejmou nerovnost platnou pro reálné s > 1 E^ = c(*)-i< / x-'dx = —T 1 konverguje absolutně a také stejnoměrně na každé kompaktní podmnožině této oblasti. Je tedy ((s) na této oblasti holomorfní (tj. analytická). Lemma 1. (Dirichletovo kriterium) Nechť {cn}^=1 je nerostoucí posloupnost nezáporných reálných čísel taková, že lim™-^ cn = 0. Nechť {an}^=1 je posloupnost komplexních čísel taková, že posloupnost částečných součtů sn = Yľj=i aj Je ohraničená. Pak řada Yl^Li cnan konverguje. Důkaz. Existuje tedy kladné reálné h tak, že \sn\ < h pro všechna n. Pak n y^jcj - Cj+1)\Sj\ < /i(ci - Cn+i) < kcx, i=i a tedy Yľj=i(cj ~ cj+i)sj konverguje absolutně. Označme rn = Yľj=i cjaji t n = YJj=ACj - Cj+l)Sj- Platí rn = tn-l + CnSn, prOtO lim^oo Tn = lim^oo tn. Lemma 2. Funkci C lze analyticky prodloužit na polorovinu Re s > 0 s jediným jednoduchým pólem v s = 1, kde má residuum 1. Důkaz. Označme A , . ^ (-l)n_1 1 1 2 1 1 2 ^ = Z. ns > C3(s) = - + -- - + - + -- - + ... n=l 15. RIEMANNOVA FUNKCE c 51 Pro Re s > 1 platí C2(s) = (1 - ^r)C(s), CaOO = (1 - ^r)C(s). Podle Dirichletova kriteria1 konvergují sumy v definicích C^is) i Ca(s) lokálně stejnoměrně pro Re s > 0, obě funkce jsou tedy v této oblasti holomorfní. Přitom 2S_1 = 1, právě když s = 1 + pro n e Z a 3S_1 = 1, právě když s I + pro m G Z, což může nastat současně jen pro s = 1. Z výše uvedené rovnosti plyne, že lims^.i(s — 1)C(S) existuje a z poznámky před lemmatem 1 plyne lims^.i(s - l)C(s) = 1- Lemma 3. Pro Re s > 1 absolutně konverguje nekonečný součin (v němž p probíhá všechna prvočísla) Důkaz. Protože |^| < 1, platí ln(l - ^) 1 = £)~=1 7^7. Nekonečný součin konverguje právě když konverguje ^p Ylm=i mpms • Označme t = Re s. Platí y ] y ] 1 mpms 1 y ] y ] mp™* ^ y i y i p™* y i ^ y ] p* ^ y ] n* > p m=l p m=l p m=l p p n=l což konverguje, a tedy odhadovaná dvojná suma konverguje absolutně. Díky větě o jednoznačném rozkladu na prvočinitele v N pro libovolné přirozené číslo N platí p• 00. Poznámka. Všimněme si, že řada / j / j mpms p m=2 pro Re s > \ konverguje absolutně, neboť 1 mPms 1 ^ p™*=p* b*-i) ^ p5* ^ n5*' p m=2 p m=2 p p n=l 1Pro řadu C2(s); kde s = r + it, r, t £ M, r > 0, položte cn = n 2 , an = (—l)nn 2 li a pro libovolné m £ N odhadněte částečný součet takto: |X^n=2aral — 1 — I y^^d^ 1 am—2fc — am-2fe-l| = If +ií|-|EL=()2]"Vrr22fcfc-i^"1"f(cos(^ln^) + ^in(^lnx))dx| < |f + it|V2 • /^x-^ídx = |f +ií|2\/2s-1. 52 15. RIEMANNOVA FUNKCE c což pro Re s > \ konverguje. Zavedeme-li označení f(s) ~ g(s) pro dvě funkce, jejichž rozdíl je funkce holomorfní v s = 1, platí ln£(s) ~ ^p Ze dříve dokázaného plyne CO) ~ -jhí a lnC(s) ~ In^j. 16. Dedekindova funkce (,k Definice. Nechť K je těleso algebraických čísel, Dedekindova funkce je komplexní funkce komplexní proměnné s daná v polorovině Re s > 1 nekonečným součinem <«w=n(i-^r. kde p probíhá v součinu všechny prvodivizory tělesa K a N (a) = Nk/q(ci) značí absolutní normu divizoru a. Poznámka. Pro Riemannovu C funkci platí C = Cq- Označme n = [K : Q]. Protože každý prvodivizor tělesa K dělí jediné prvočíslo a pro libovolné prvočíslo p existuje nejvýše n prvodivizorů tělesa K dělících p, přičemž jejich norma je mocnina p, platí v oblasti Re s > 1 oo oo Yl Yl I mN(P)m. I 1 je dána absolutně konvergentní řadou kde a probíhá v sumě všechny divizory tělesa K. Poznámka. Stejně jako v lemmatu 3 minulé kapitoly se ukáže, že platí kde p probíhá v sumě přes všechny prvodivizory, které se v K/Q nevětví (větvících se je přece jen konečně mnoho) a mají stupeň inercie roven 1 (ty s větším stupněm inercie lze zahrnout do součtu, který je holomorfní pro Re s > ^). Definice. Nechť K je těleso algebraických čísel. Nechť existuje právě s reálných vnoření • C a právě t párů sdružených komplexních vnoření Ti, ři,..., Tt, f t '■ K —>• C. Označme E grupu jednotek tělesa K (tj. grupu jednotek okruhu celých čísel tohoto tělesa). Z Dirichletovy věty o jednotkách (viz konec kapitoly 5) víme, že E je konečně generovaná grupa, jejíž rank je r = s + t — 1. 16. DEDEKINDOVA FUNKCE Ck 53 Zvolme pevně nějaké fundamentální jednotky si,..., er (tj. jednotky, které spolu s odmocninami z jedné ležícími v K generují E). Uvažme matici /m|<7i(ei)| ... m|<7s(ei)| ln|n(£i)2| ... ln|rr(£i)2|\ \ln| 0. Pak platí: existuje analytické prodloužení funkce F (z) na celé C s výjimkou z = 0 a z = 1, kde má jednoduché póly, a 54 16. DEDEKINDOVA FUNKCE Ck platí F (z) = F(l — z) pro všechna z G C. (Zmínku o tomto tvrzení lze najít v knize Washingtona, poznámka za větou 4.5, jeho důkaz v knize S. Lang, Algebraic Number Theory, GTM 110, Springer-Verlag, 1986, kapitola XIII.) 17. Dedekindova funkce pro abelovská tělesa Lemma. Nechť G je konečná abelovská grupa, G její grupa charakterů s triviálním (tj. jednotkovým) charakterem xo- Pak pro libovolné g e G a libovolné ip e G platí \G\ je-li 0 = 1, ,/,\ í \G\ Je-uV^Xo, 0 jinak. Důkaz. Vzhledem k dualitě (důsledek za lemmatem 1 kapitoly 11) stačí ukázat jen první z identit. Je-li g = 1, plyne tvrzení ze zmíněného lemmatu. Nechť tedy g ^ 1. Dle důkazu zmíněného důsledku existuje charakter xi £ G tak, že Xi(g) 1-Platí odkud plyne tvrzení. Definice. Pro libovolný Dirichletův charakter x definujeme L-funkci mocninnou řadou n° n=l (kde užíváme konvence x(n) = 0 Pr0 n soudělné s konduktorem fx). Poznámka. Pro triviální charakter xo Je ťedy L(s,xo) = C(s); Pr0 netriviální charaktery suma na pravé straně konverguje lokálně stejnoměrně pro Re s > 0 dle Dirichletova kriteria s přihlédnutím k předchozímu lemmatu, jde tedy v této polorovině o holomorfní funkci. Věta 1. Nechť x Je libovolný Dirichletův charakter. Pro Re s > 1 absolutně konverguje nekonečný součin (v němž p probíhá všechna prvočísla) x(p) 11(1-^)"' = ^.*) Důkaz se provede stejně jako u lemmatu 3 kapitoly 14. Věta 2. Nechť X je konečná grupa Dirichletových charakterů, K = K x jí odpovídající abelovské těleso. Pak platí Ck(s)= Y[L{8,x)- Důkaz. Stačí porovnávat součiny odpovídající pevně zvolenému prvočíslu p, tj. ukázat, že platí iK-^r^rK-f)-1. 17. DEDEKINDOVA FUNKCE PRO ABELOVSKÁ TĚLESA 55 Předpokládejme, že divizor (p) se v pologrupě divizorů tělesa K rozkládá ve tvaru ip) = PÍ ■ ■ ■ Pg a ze stupeň inercie prvodivizorů pi,..., pg je /, tj. N(pi) = ■ ■ ■ = N(pg) = Pak levou stranu lze upravit do tvaru 11(1-^)"'= (i-*-")-- p\p Podle věty 3 kapitoly 14 obsahuje podgrupa Y = {x G X; x(p) 0} právě f g charakterů a jádro homomorfismu Y —>• Cx určeného předpisem x >->• x(p) ma právě g prvků (tímto homomorŕismem se grupa Y zobrazí na grupu /-tých odmocnin z jedné v C). Proto platí n(i-^r=(i-P-'-)-». Věta 3. Pro libovolný netriviální Dirichletův charakter x platí L(l,x) 0. Důkaz. Nechť X je grupa generovaná charakterem Xi n = \X\ a K = K x těleso odpovídající X. Podle věty 2 platí n-l Ck(s)= l[L(S,x) = as)l[L(S,xj). Přitom £(s) má v s = 1 jednoduchý pól a pro j = 1,..., n — 1 jsou funkce L(s, xJ) v polorovině Re s > 0 holomorfní. Kdyby 1/(1, x) = 0, byla by v s = 1 holomorfní i Dirichletova funkce Ck(s), což by bylo ve sporu s větou 2 minulé kapitoly. Věta 4. (Dirichletova věta o aritmetické posloupnosti.) Nechť n je přirozené číslo, a celé číslo s n nesoudělné. Pak existuje nekonečně mnoho prvočísel kongruentních s a modulo n. Důkaz. Pro libovolný Dirichletův charakter x platí in£(s, x) = - E mi - x(rtP-> = E ž ~ E p p m=l p přičemž pro Re s > 1 konvergují všechny uvedené sumy absolutně. Pro všechny Dirichletovy charaktery, jejichž konduktor je dělitelem n, vynásobíme předchozí vztah x(°)_1 a sečteme: £x(«)-'i»*(«.x)~E*(«)-'£# = **•> E i X X P pEa(modn) podle lemmatu. Na druhou stranu ^X(a)_1lnl(s,x) ~ InC(s) ~ - ln(s - 1) x 56 17. DEDEKINDOVA FUNKCE PRO ABELOVSKÁ TĚLESA (viz konec kapitoly 15 a poznámku za definicí L-funkce). Odtud plyne věta. Poznámka. Ačkoli předchozí věta je tvrzení z elementární teorie čísel, není znám žádný její elementární důkaz. Definice. Nechť M množina je prvočísel. Pokud existuje limita lim T'^P~' s->-i+ — m(s — 1) nazývá se tato limita Dirichletova hustota množiny M. Poznámka. V předchozím důkaze jsme spočítali, že pro nesoudělná přirozená čísla a, n má množina prvočísel ve zbytkové třídě a+nZ hustotu ^^y- Jsou tedy prvočísla do zbytkových tříd rozdělena „rovnoměrně". Analogicky lze definovat Dirich-letovu hustotu množiny prvodivizorů tělesa algebraických čísel jako limitu Jim ———-r—. s-ti+ — ln(s — 1) Platí věta (pro jejíž důkaz by bylo nutné studovat charaktery na grupě tříd divizorů a zavést pro ně L-funkce) tvrdící, že hustota prvodivizorů v každé třídě divizorů pevně zvoleného tělesa algebraických čísel je stejná. Tento výsledek byl potřeba pro jednu implikaci ve cvičení 28. 18. Gaussovy sumy Definice. Dirichletův charakter x se nazývá lichý, resp. sudý, je-li x(~ 1) = — 1) resp. x(-l) = I- Cvičení 32. Nechť X je konečná grupa Dirichletových charakterů, Kx jí odpovídající těleso. Dokažte, že (a) je-li Kx C M, pak X obsahuje pouze sudé charaktery; (b) neplatí-li Kx C M, pak X obsahuje polovinu sudých a polovinu lichých charakterů. Definice. Nechť x Je Dirichletův charakter, fx jeho konduktor, ( = e27™/^*. Pro libovolné a G Z definujeme Gaussovu sumu ra(x) předpisem Ta(X)= e x(t)C\ t mod* fx kde t probíhá nějakou redukovanou soustavu zbytků modulo fx (tj. z každé zbytkové třídy modulo fx, která obsahuje čísla nesoudělná s fx, je vybráno jedno číslo). Klademe r(x) = Ti(x)- Lemma 1. Pro libovolný Dirichletův charakter x ° konduktoru / = fx a libovolné a G Z platí: je-li a soudělné s /, pak ra(x) = 0; je-li a nesoudělné s /, pak Ta(x) = x(o)_1r(x). Speciálně r(x) = x(-1)t(x)- Důkaz. Je-li d = (a, /) > 1, pak existuje n e Z tak, že (n, f) = 1, n = 1 (mod ^) a x(n) 1 (z definice konduktoru). Platí ^ = ^ (mod^), tedy an = a (mod/), odkud Can = C°S a proto Ta(x)= e x(t)Cat= e x(tn)Ctn = X(n) ^ xWC* = xfaMx), t mod* fx t mod* fx t mod* fx 18. GAUSSOVY SUMY 57 odkud Ta(x) = 0. Nechť (a, /) = 1, pak platí X{a)ra{x)= E x(at)Cat = r(X)- t mod* fx Poslední tvrzení dostaneme pro a = — 1, neboť r(x) = t_i(x)- Lemma 2. Pro libovolný Dirichletův charakter x s konduktorem f = fx platí \r(x)\ = V7- Důkaz. Dle lemmatu 1 platí / / ^/)|r(x)|2 = Ě|r&(x)|2 = Ě E x(a)Cb E X^C* 6=1 6=1 a mod* fx c mod* fx = E E x(a)x(C)Ec6(a-c) a mod* /x c mod* /x 6=1 = / E x(a)x(a) = Mf). a mod* fx Věta 1. Pro libovolný netriviální Dirichletův charakter x o konduktoru f = fx platí m^x) = —7^— 2^xO)a, a=l je-li x lichý, a a=l je-li x sudý, kde C = e2ni/f. Důkaz. Platí l(i,x) = eím= £ ^ n=l ngN VA/ (n,/)=l podle lemmatu 1. Z definice rn(x) t(x) ^ . ^-í n a mod* / n=l Řada ^2n=1 ^- konverguje v kruhu \z\ < 1 k té větvi logaritmu — ln(l — z), jejíž imaginární část leží v intervalu (—^, Podle Ábelovy věty o konvergenci na hranici kruhu platí E — = -lnd-cc ' * TI 1 u n=l 58 18. GAUSSOVY SUMY Je tedy L(l,X) = -7fe J2 X(a)ln(l-Ca)- a mod* / Předpokládejme nejdříve, že x Je sudý. Pak pro libovolné a platí x(~a) = x(a) a ln(l —Ca)+ln(l —C_a) = 21n |1 —Ca|- Podle lemmat 1 a 2 dostáváme r(x) = t(x) = T^yj odkud plyne výsledek. Předpokládejme nyní, že x Je lichý. Pak pro libovolné a platí x(~a) = ~x(a)-Je-li navíc 0 < a < f, pak l-C = ea7ľi/f (e-a7ľi/f - ea7ľi/f) = -2i sin f- (cos ^ + i sin sji) a tedy ln(l - Ca) = ln(2sin^) + ítt(^ - ±). Odtud plyne L(l,x) = -^ J2 a mod* / Podle lemmat 1 a 2 dostáváme r(x) = —t(x) = — T^y, odkud plyne výsledek, přihlédneme-li k $^amod* ^ x(°) = 0 {V1Z lemma kapitoly 17). Poznámka. Předchozí věta nám umožňuje spočítat limitu z věty 2 kapitoly 16 (tj. reziduum Dedekindovy funkce v i) pr0 abelovská tělesa. Je-li X konečná grupa Dirichletových charakterů a K = Kx jí odpovídající abelovské těleso, pak platí dle věty 2 kapitoly 17 a lemmatu 2 kapitoly 15 lim(*-l)C*:(*)= II ^t1'*)' x€*\{xo} kde xo značí triviální charakter. Vzorec z věty 2 kapitoly 16 lze pro abelovská tělesa ještě dále upravit, uveďme si bez důkazu některé další výsledky: Je-li X konečná grupa Dirichletových charakterů a K = Kx jí odpovídající abelovské těleso, pak n t(y) = i ^ je_li KxCR 11 W | i\x\P^ď\ jinak. Odtud plyne snadný vzorec pro výpočet diskriminantu abelovského tělesa: \d\ = IIxgx fx- Je-li K = Kx reálné (tj. všechny x £ X jsou sudé), platí fx-i Rh= II \• C zobrazení. Pak platí det(f(gh-1))gjheG=HJ2f(9)x(9) detifigh-1) - f(9))g,heGX{1} = II E fi9)xi9), x€G\{xoHeG kde v determinantech jsou řádky i sloupce uspořádány stejným lineárním uspořádáním na G a xo značí triviální charakter na G. Důkaz. Označme M = (x(<7)) eg g£G- Protože M • MT dle lemmatu kapitoly 17 je |G|-násobek permutační matice, platí |detM| = |G|IGI/2. Označme A = (figh-1))^. Pro B = (6x>h)xeô>heG = M ■ A platí K,h = E fiah-'Mg) = E /(«)#) = x{h) E /fo)xfo)> gSG g£G g£G a tedy detM-detA = detM- J] ^/(^)x(^), odkud plyne první identita. Nyní dokažme druhou. Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že ^2geo f (d) ^ 0- V opačném případě totiž můžeme zobrazení / pozměnit přičtením nějaké konstanty, což evidentně nezmění hodnotu determinantu a podle lemmatu kapitoly 17 ani pravou stranu identity. Pak můžeme druhou identitu odvodit z první takto: přičtěme všechny řádky determinantu k řádku s indexem 1, vytkněme ^2geQ f(g) z tohoto řádku (zůstanou tam jedničky), odečtěme sloupec s indexem 1 od všech ostatních sloupců a rozviňme determinant podle řádku s indexem 1. 60 19. KRUHOVÉ JEDNOTKY Cvičení 33. Nechť k C L C K jsou tělesa algebraických čísel, a e K. Pak pro normy platí NK/k(a) = NL/k(NK/L(a)). (Návod: předpokládejte nejprve, že K/k je Galoisovo rozšíření.) Definice. Nechť K je abelovské těleso, E jeho grupa jednotek. Pro libovolné přirozené číslo n označme (n = e27"/n, n-té kruhové těleso Qn = Q(Cn) a Kn = K n Qn. Pro libovolné celé číslo a nedělitelné n je 1 — Cn nenulové číslo v Qn a tedy NQn/Kn(l — ^) e K* C Kx. Označme D podgrupu multiplikativní grupy Kx generovanou {-1} U {NQn/Kn (1 - C); n e N, a e Z, n \ a}. Průnik C = E n D se nazývá grupa kruhových jednotek tělesa K. Poznámky. 1. Libovolná odmocnina z jedné, která leží v K, je kruhová jednotka tělesa K. Skutečně, je-li Cd e K, pak Kd = Qd a /"fei = —Cd £ C. 2. Je-li d = (a, n) > 1, pak pro a' = n' = ^, platí 1 - Cn = 1 - Cm a tedy podle cvičení 33 a poznámky za větou 2 kapitoly 13 _ Cn) = NQn/kn(l ~ Cn') = NQn> kn/kn(NQn/Qn> kA1 ~ Cn')) = NQnlKn/Kn{± - G)[Q":Q-^] = íVq„,/k„,(i - G)[Q":Q"'K"]- V předchozí definici tedy stačí vzít pouze čísla a nesoudělná s n. Lemma 2. Nechť přirozené číslo n není mocninou prvočísla. Pak pro libovolné celé číslo a nesoudělné s n je 1 — Cn jednotka tělesa Qn. Důkaz. Připomeňme, že pro m-tý kruhový polynom 1, tvrzení plyne indukcí z věty 1. Je-li naopak d = 1, pak N^n/Kn (1 —C^) = iVQn/Q(l — Cn) = ^n(l)- Pro libovolné m|/, m > 1, označme n největšího dělitele čísla / dělitelného pouze prvočísly dělícími to. Z věty 1 plyne NQn/Qm(l — Cn) = 1 — Cm pro libovolné a e Z nesoudělné s / a tedy generátory tvaru 1 — Cm takové, že (to, ;£) > 1, lze vypustit. Věta 2. Nechť K je abelovské těleso, / jeho konduktor. Grupa kruhových jednotek tělesa K je generována následující konečnou množinou generátorů: kde {-1} U {en,a; 1 < n\f, (n, {) = 1, a e Z, (a, w) = 1}, NQn/Kn(l — C^) pokud n není mocninou prvočísla, NQn/Kn ((! - C)(! - Cn)-1) pokud n je mocninou prvočísla. Důkaz. Má-li být nějaký součin mocnin generátorů D z předchozího důsledku jednotkou tělesa K, musí být norma tohoto součinu vzhledem k K/Q jednotkou Q, tj. ±1. V tom případě to je součin mocnin generátorů zmíněných ve větě. Naopak každé en!a je jednotka tělesa K. Lemma 3. Nechť x Je Dirichletův charakter s konduktorem fx, nechť to, / G N jsou taková, že m\f a fx\f- Pak platí J- x(a)ln|!_Ca| = / ^Ä^mod*mX(&)ln|l-Cml pokud/x|TO, amod*/ m 1° pokud /x f TO. Důkaz. Předpokládejme nejdříve, že fx\m. Pak v sumě sčítanec odpovídající a je určen pouze zbytkovou třídou modulo to, v níž a leží. Kanonický homomorfismus (Z//Z)* —>• (Z/toZ)* je surjektivní, proto na libovolnou třídu b + toZ se zobrazí právě |^£y tříd a + /Z. Předpokládejme nyní, že /x f to. Uvažme diagram (Z//Z)* -^ (Z//XZ)* c (Z/toZ)* Existuje celé číslo c = 1 (modm) nesoudělné s / takové, že x(c) ^ 1- V opačném případě by totiž fx\m. Odtud plyne X(c) E x(«)ln|l-CI= E xMlnll-C^H E x(«)ln|l-CI- a mod* / a mod* / a mod* / 19. KRUHOVÉ JEDNOTKY 63 Lemma 4. Nechť x Je netriviální Dirichletův charakter s konduktorem fx, nechť m je přirozené číslo takové, že fx\m. Označme m1, resp. f , součin všech prvočísel dělících m, resp. fx. Jestliže prvočíslo p a přirozené číslo d splňují f'x\d a pd\m', pak platí E X(&)ln|l-dl = (l-x(p)) E X(&)ln|l-&l- 6=1,...,771 6=1,...,771 (6,pd)=l (6,d)=l Důkaz. Platí E X(6)ln|l-C^l" E X(&)ln|l-&l= E x(&)ln|l-C 6=1,...,m b=l,...,m b=l,...,m (6,d)=l (6,pd)=l (6,d)=l Pl& = E xMln|l-CI=x(p) E X(c)lnn|l-C^| c=l,...,^ c=l,...,^ i=l (c,d)=l (c,d)=l b i m I = X(P) E Xíxfc + ťfWl-C^NxCp) E X(6)ln|l-C c=l,...,^ i=l 6=1,...,m 6 i m 11 (c,d)=l (6,d)=l odkud plyne lemma. Důsledek. Nechť x je netriviální Dirichletův charakter s konduktorem fx, nechť m je přirozené číslo takové, že fx\m. Pak platí E X(b)ln\l-£l\=(l[(l-x(p)j) E X(6)ln|l-Cí *6 ___ sm i' tmoďra p|m (6./x)=l kde v součinu probíhá p všechna prvočísla dělící m. Důkaz. Indukcí dostaneme z lemmatu 4 uvedený vzorec, v němž však v součinu bude p probíhat prvočísla p\m, p\ fx. Avšak pro p\fx je příslušný činitel roven 1. Lemma 5. Nechť x je netriviální sudý Dirichletův charakter s konduktorem fx, nechť m je přirozené číslo takové, že fx\m. Pak platí E x(&)ln|l-C™l = -r(xW,x), 6=1,...,m (b,fx) = l kde r(x) značí Gaussovu sumu a L(l,x) je hodnota příslušné L-funkce. Důkaz. Platí m/fx E X(6)ln|l-C^|= E X(«) E ln|l-C^c/x| 6=l,...,Tn a mod* fx c=l m/ fx = E *(°H n^-cc/zjl a mod* fx c=l = E x(a)ln\l-Cfx\=-^-Ml,X) a mod* fx 64 19. KRUHOVÉ JEDNOTKY podle věty 1 kapitoly 18. Lemma plyne z lemmat 1 a 2 kapitoly 18. Věta 3. (Ramachandra) Nechť K je reálne abelovské těleso. Rozložme konduk-tor / tělesa K na prvočinitele: / = 111=1 PiS kde pi,... ,ps jsou různá prvočísla, ei,..., es G N. Pro libovolné I C {1,..., s} položme m/ = ILe/P^ • Označme #=NQf/K( n (í-cmj), ^=°-^i 0//C{l,...,fl} pro každé a e Gal(Ľ/Q). Pak platí ea e C a označíme-li C grupu generovanou v E všemi jednotkami sa, kde a e Gal(Ľ/Q) \ {id^}, spolu se všemi odmocninami z jedné ležícími v K, pak má C v E konečný index \e/c\=21*1-^.n n (tegai(Ä-/q)\{idjr} = (ai^)aeGai(K/Q)\{idK} ' (H^i)!) i=i, i=l,...,r r€Gal(K/Q)\{idK} Ovšem podle důsledku 1 věty 4 kapitoly 5 platí | det(ajjť7)ť7j| = \E/C'\ a podle definice regulátoru R = | det(ln |r(r/j)|)j;T|, tedy det(ln|r(£f7)|)f7)reGai(K/Q)\{idK} = \e/c'\ • R. Na druhou stranu det(ln \r(ea) |)a,reGai(K/Q)\{idK} = det(ln |t(t_1(^)| - ln |t(í?) |)CT>TeGai(Ä'/q)\{idjr} = ii e X(r)ln|r(0)| x€^\{xo}reGal(K/Q) 19. KRUHOVÉ JEDNOTKY 65 podle lemmatu 1, v němž klademe f (t) = ln |t($)|, neboť X je možné identifikovat s grupou charakterů na Gal(Ä"/Q) (viz konec kapitoly 12). Ovšem J2 X(r)ln|r(0)|= e ^ e ln ii ™(1 " U] T£Gal(K/Q) T£Gal(K/Q) a£Gal(Qf/K) 0^/C{l,...,s} = e *(°)m| íl imoď/ 0^/C{l,...,s} = e e x(a)ln|l-Cj 0#/C{l,...,s}amod*/ = e Äy e x(&)in|i-C| 0//C{l,...,fl} &mod*/x fx\mi podle lemmatu 3. Důsledek lemmatu 4 a lemma 5 pak dají e X(r)ln|r(0)| T€Gal(K/Q) = e ÄdK1"^))) e X(6)ln|l-Cl 0^/C{l,...,s} p|m/ 6=1,...,m/ /xl™/ (6./x)=l =-r(X)L(i,x) e ( n ^pnxní1-*^))) 0//c{i,...,fl} íg{i,-,«}\/ *e/ /xlm/ = -t(x)L(1,x) ii W) + l-x(Pi)) ie{i,...,s} Pi-f/x Dosazením dostaneme \E/C'\-R=\ j] (-r(x)L(l,x) ii &(P?) +1 ~ XÍPi))) x€*\{x0> i£{l,...,s} Pi\fx Dle vzorce na konci kapitoly 18 platí ii r(X)L(hx) = ^-1Rh, X€X\{X0} odkud plyne věta. Důsledek. Nechť K je abelovské těleso. Grupa kruhových jednotek C tělesa K má konečný index v grupě E všech jednotek tohoto tělesa. Důkaz. Stačí ukázat, že obě grupy E a, C mají týž rank. Jestliže K není reálné, pak mají grupa jednotek K a grupa jednotek jeho maximálního reálného podtělesa K+ = K n M týž rank (viz Dirichletovu větu o jednotkách), přitom grupa kruhových jednotek tělesa K+ je podgrupou grupy kruhových jednotek tělesa K. Stačí tedy větu dokázat pro reálná K. To však plyne z předchozí věty. 66 19. KRUHOVÉ JEDNOTKY Věta 4. Nechť p je liché prvočíslo, n e N. Pro index grupy kruhových jednotek pn-tého kruhového tělesa Qp™ platí \E/C\ = h+, kde h+ značí počet tříd divizorů tělesa Qp™ n M = Q(CP™ + Cp™1)- Důkaz. Označme E grupu jednotek tělesa K = Qp™, W grupu odmocnin z jedné v tomto tělese; je tedy W generovaná —1 a C = Cpn- Dále E+ = E n M značí grupu jednotek tělesa K+ = Qpn n M. Označme dále C, resp. C+, grupy kruhových jednotek tělesa K, resp. K+. Užijme větu 3 pro těleso K+. Pak ů = NK+ (1 — () = (1 —C)(l —C-1)- Pr0 libovolný automorfismus a e G = Gal(-ří/Q), určený předpisem v-1(0=(s, Platí = (i-C)(i-C-s)=r(1-s)(i-C)2=r72 e° (1-cXi-C-1) ^ (i-C)2 ^' kde V, C (1_c) £E . Dle věty 3 pro grupu C' generovanou v E+ množinou { — 1} U {ea\ a e G} platí \E+/C'\ = 2^K+:(^~1h+. Odtud plyne, že pro grupu C" generovanou v E+ množinou {-1} U {r]a; aeG} platí \E+/C"\ = \E/C'\/\C"/C'\ = h+, neboť \C"/C'\ = 2lX+:Q]-i_ věta bude dokázána, ukážeme-li, že \E/C\ = \E+/C"\. Nejprve ukažme, že C = WC". Podle věty 2 je C generováno —la jednotkami (1 — CpO(l — Cpr)-1> kde přirozené číslo r < n a celé číslo a není dělitelné p. Podle věty 1 platí (i - CPa0(i - CpO-1 = N%n/%r ((i - goa - Cp-)-1), a tedy (1 — CpO(l — Cpr)_1 ^ WC". Opačná inkluze je zřejmá. Pro důkaz věty nyní postačí dokázat E = WE+. Inkluze WE+ C E je jasná. Pro důkaz opačné inkluze bude zapotřebí dokázat následující dvě lemmata, proto nyní důkaz věty 4 přerušíme s tím, že bude dokončen, jakmile dokážeme lemma 7. Lemma 6. Nechť p je liché prvočíslo, n e N. Pak okruhem celých čísel tělesa K = Qpn je okruh z[c] = {/(C); f(x) e Z[x]}, kde c = Cp- Důkaz. Protože K = Q(() = Q(l — C) je těleso stupně s = (p(pn) (viz důsledek věty 1 kapitoly 4), tvoří 1,1 — (, (1 — C)2,..., (1 — C)s_1 bazi K (jakožto vektorového prostoru nad Q). Nechť a je celé číslo tělesa K. Pak existují racionální čísla ao, ai,..., as_i tak, že (*) a = 5>(l-C)ť. i=0 Chceme ukázat a; e Z. Podle věty 1 kapitoly 14 se prvočíslo p totálně větví v K, neboť pro divizory platí (p) = (1 — C)s- Uvažme exponent v tělesa K příslušný prvku 1 — C; v je tedy jediné prodloužení p-adického exponentu na K. Platí tedy 19. KRUHOVÉ JEDNOTKY 67 z/(l — C) = 1- Protože u (a) = 0 (mods) pro libovolné a e Q, je v(di(l — C)*) = i (mods). Proto v součtu (*) mají sčítanci různou hodnotu exponentu v a tedy 0 < v(pt) = min (i + v{ai)). 0<« 0 pro každé i = 0,1,..., s — 1. Upravme (*) do tvaru s-l i=0 kde 6j G Q nemají p ve jmenovateli. Pro libovolné a e G = Gal(-ří/Q) pak platí s-l "(C)ť- «=0 Protože |G| = s, můžeme z těchto s lineárních rovnic spočítat bi pomocí a (a). Matice soustavy je (0-(C)%€G,i=O,l,...,s-l, její diskriminant je Vandermondův, tedy roven součinu rozdílů 1, pak a = 29~2 + 1 — g. V roce 1980 Sinnott zobecnil svůj vzorec na libovolné abelovské těleso, opět je index určen jako součin h+ s jistým výrazem, který již počet tříd divizorů neobsahuje. Toto zobecnění však není explicitní, zmíněný výraz totiž obsahuje počty prvků jistých konečných faktorgrup, které bývá velmi nesnadné určit (v podstatě jde o kohomologické grupy). Je jasné, že někdy lze získat jistou informaci o počtu tříd divizorů studiem kruhových jednotek; pokud bychom například pro p-té kruhové těleso našli nějakou jednotku e, která by nebyla kruhová, znamenalo by to, že pro nějaké přirozené číslo r > 1 je jednotka er kruhová, a je-li r nejmenší s touto vlastností, pak r\h+. V současné době však nikdo neví, jak takové nekruhové jednotky konstuovat (výjimkou jsou snad reálná kvadratická tělesa, pro které je znám algoritmus na výpočet fundamentální jednotky pomocí řetězových zlomků). V celé kapitole předpokládáme, že K je těleso. Definice, n-rozměrným afinním prostorem nad K rozumíme kartézskou mocninu Kn. Budeme jej značit An(K), tj. Definice, n-rozměrným projektivním prostorem nad K rozumíme rozklad na množině Kn+1 — {(0, ...,0)} příslušný ekvivalenci ~ definované takto: pro libovolné (n+l)-tice (xi,...,xn+i), (2/i,...,2/„+i) e Kn+1 položíme (xi,..., xn+1) ~ (yi, ■ ■ ■, Un+i) právě tehdy, když existuje A e Kx, které pro každé i e {1,..., n + 1} splňuje podmínku Xi = Xyi. Tento n-rozměrný projektivní prostor nad K budeme značit Pn(K), třídu rozkladu (tj. bod projektivního prostoru) obsahující (n + l)-tici (xi,..., xn+i) budeme značit [xi,..., xn+i]. Poznámka. Nechť xi,...,xn+i G K, přičemž alespoň jedno z nich je různé od nuly. Jestliže xn+1 ^ 0, pak platí [xi,..., xn+1] = [^7, • • •, 1], čímž je pevně dán bod (^—,..., ) G An{K). Jestliže naopak xn+i = 0, určuje 20. Některé nezbytnosti z algebraické geometrie Xn G K}. 20. NĚKTERÉ NEZBYTNOSTI Z ALGEBRAICKÉ GEOMETRIE 69 [xi,..., xn+i] jednoznačně bod [xi,..., xn] e Pn_1(.řr). Můžeme tedy n-rozměrný projektivní prostor „rozdělit" na n-rozměrný afinní prostor a na „část nevlastních bodů", kterou je (n—1)-rozměrný projektivní prostor. Toto rozdělení není kanonické - lze to provést mnoha způsoby. Poznámka. Je-li dán homogenní polynom F(ti,..., ín+i) £ K\pi, ■ ■ ■, tn+i] 0 n + 1 proměnných nad K stupně k a bod [xi,... ,xn+i] £ Pn(K), má smysl se ptát, zda F(x±,..., xn+1) = 0. Je-li totiž [x±,..., xn+1] = [yľ,..., yn+i], pak existuje A e Kx, které pro každé i e {1,..., n + 1} splňuje podmínku Xi = Xyi. Pak ovšem F{xu ..., xn+1) = F(Xy1,..., Xyn+1) = Xk ■ F{yu ..., yn+1) a tedy F(xi,xn+1) = 0 právě když F(y1,yn+i) = 0. Definice. Nechť F(ti,..., ín+i) £ K[ti, ■ ■ ■, ín+i] Je homogenní polynom stupně k. Množina C = {[n,...,j;Il+i]EPB(if); F(a;i,...,a;n+i) = 0} se nazývá nadplocha stupně k v Pn(K). Je-li n = 2, hovoříme také o křivce stupně k v P2(£T). Poznámka. Parciální derivací homogenního mnohočlenu je opět homogenní mnohočlen. Má proto smysl následující definice. Definice. Nechť F(ti,..., rn+i) £ K\pi, ■ ■ ■, tn+i] je homogenní polynom stupně k a C = {[x1,...,xn+1]ePn(K); F(Xl,...,xn+1)=0} příslušná nadplocha. Bod [xi,..., xn+i] e C se nazývá singulární, jestliže pro každé 1 G {1, ..., n + 1} platí dF — (xi,...,xn+i) = 0. Nadplocha C se nazývá singulární, existuje-li alespoň jeden její singulární bod. Příklad. Uvažme reálnou projektivní rovinu P2(M). Abychom se vyhnuli indexům, budeme psát x, y, z místo íi, t2, Í3. Kubický mnohočlen Fi(x,y,z) = x3 + x2z — y2z nám definuje kubickou křivku C\ (tj. křivku stupně 3) Ci = {[x, y, z] e P2(E); F1(x, y, z) = 0}. Jistě [0, 0,1] G Ci. Tento bod je singulární, neboť 9Fi n o „ dF! n dF! o o —— = 3x + 2xz, —— = -2yz, —— = x - y . ox oy oz Je tedy Ci singulární křivka. Uvažme nyní mnohočlen F2(x, y, z) = x3 + xz2 — y2z a příslušnou kubickou křivku C2 = {[x, y, z] e P2(E); F2(x, y, z) = 0}. Hledejme singulární body na C2. Platí dF2 2 2 dF2 dF2 2 —— = 3x + z , -w- = -2yz, —— = 2xz-y . ox oy oz 70 20. NĚKTERÉ NEZBYTNOSTI Z ALGEBRAICKÉ GEOMETRIE Z 2q£- = 0 plyne x = 0 a z = 0, pak ale z 4^ = 0 plyne i y = 0. Singulární bod na C2 tedy neexistuje a proto C2 není singulární křivka. Definice. Eliptická křivka nad K je uspořádaná dvojice (£, O), kde £ je nesin-gulární kubická křivka v P2(K) a O e £. Poznámka. Je možné zavést pojem biracionální ekvivalence dvou křivek, spočívající v tom, že existují transformace prostoru převádějící jednu křivku na druhou a obráceně, přičemž tyto transformace jsou „pěkné" v tom smyslu, že transformační rovnice jsou dány homogenními polynomy téhož stupně nad K. Precizní zavedení tohoto pojmu je však časově náročné a proto od něj upouštím. Tento pojem je zde zapotřebí pouze proto, abychom si ukázali, že vlastně neztrácíme nic na obecnosti, omezíme-li se na eliptické křivky speciálního tvaru. Nebudeme tedy ani dokazovat následující větu. Věta. Libovolná eliptická křivka nad K je biracionálně ekvivalentní s nějakou eliptickou křivkou (£,0) následujícího tvaru (přičemž transformace převádějí vyznačený bod jedné křivky na vyznačený bod druhé křivky) £ = {[x,y, z] e P2(K); F(x,y, z) = 0}, kde F(x, y, z) = y z + a\xyz + a2yz — x — a3x z — a^xz — a^z , ai, ..., a5 e K a O = [0,1, 0]. Poznámka. Každá eliptická křivka ve výše uvedeném tvaru má jeden nevlastní bod (totiž O) a v afinní části je dána rovnicí y2 + aixy + a2y = x3 + a3x2 + a4x + a5. Tato rovnice se nazývá Weierstrassova rovnice. Pokud charakteristika tělesa K není ani 2 ani 3, lze Weierstrassovu rovnici dále zjednodušit. Můžeme pak totiž předpokládat, že ai = a2 = 03 = 0 a tedy Weierstrassova rovnice je tvaru y2 = x3 + a^x + 05. 21. Aritmetika eliptických křivek V celé kapitole předpokládáme, že K je těleso charakteristiky různé od 2 a 3 a že je dána eliptická křivka (£,0), kde O = [0,1,0] a £ je dána Weierstrassovou rovnicí y2 = x3 + ax + b, kde a, b e K. Jak plyne z následující věty, důsledkem našich předpokladů je, že 4a3 + 27b2 ^ 0. Věta. Rovnice y2 = x3 + ax + b je Weierstrassovou rovnicí nějaké eliptické křivky, právě když platí 4a3 + 27b2 ^ 0. Důkaz. Položme F(x, y, z) = y2z — x3 — axz2 — bz3. Platí 21. ARITMETIKA ELIPTICKÝCH KŘIVEK 71 Předpokládejme, že [x, y, z] je singulární bod. Pak z = 0 implikuje x = y = 0, spor. Je tedy z ^ 0. Proto i/ = 0a pro 7 = f platí 372 = —a, 2a7 = —36. Jestliže a = 0, pak také 6 = 0. Naopak pro a = b = 0 je bod [0, 0,1] singulární. Zabývejme se dále případem a ^ 0. Platí 7 = -g, 72 = -f = |g, tj. 4a3 + 2762 = 0. Zbývá ověřit, že [7,0,1] vyhovuje rovnici, což je snadné: 73 + a7 + 6=(-i)(-f)+a(-i)+6=|-f+ 6 = 0. Poznámka. Naším cílem je definovat na £ grupovou operaci +. Je třeba tedy najít nějaký předpis, jak dvěma bodům z £ přiřadit třetí. Máme-li dány dva různé body z £, můžeme jimi vést přímku. Dosazením rovnice této přímky do Weierst-rassovy rovnice získáme kubickou rovnici, jejíž dva kořeny známe. Existuje proto třetí kořen, který lze snadno spočítat. Tento třetí kořen odpovídá třetímu průsečíku přímky s eliptickou křivkou (který může popřípadě i splynout s některým z daných bodů). Podobně můžeme postupovat i v případě, kdy vezmeme dvakrát týž bod z £: sestrojíme v tomto bodě tečnu k £. Protože K nemusí být těleso reálných čísel, je možná vhodné upřesnit, co rozumíme touto tečnou: je to taková přímka, že po dosazení její rovnice do rovnice eliptické křivky dostaneme kubickou rovnici, ve které bod dotyku odpovídá kořenu alespoň dvojnásobnému. Zbylý kořen pak odpovídá dalšímu průsečíku přímky s eliptickou křivkou (který by opět mohl splynout s daným bodem). V obou případech nám dvojice bodů z £ určila další bod z £. Tato binární operace by nám však nevytvořila z £ grupu (je zřejmé, že tato operace obecně nemá neutrální prvek). Operaci + na £ definujeme takto: pro libovolné body A, B e £ označme C bod z £ jimi určený. Součtem A + B pak nazveme bod z £ určený body C a O. Příklad. Nevlastní přímka z = 0 má s £ trojnásobný bod dotyku O: dosazením z = 0 do rovnice y2z = x3 + axz2 + bz3 dostaneme rovnici x3 = 0, která má trojnásobný kořen x = 0. Proto pro A = B = O je i C = O a tedy i A + B = O. Je tedy 0 + 0 = 0. Uvažme případ A = O, B ^ O. Pak B = [a, f3,1] pro vhodné a, (3 e K. Přímka určená body O, B má rovnici x = az (nevlastním bodem této přímky je O, vlastní body jsou [a, y, 1] pro všechna y e K). Je zřejmé, že C = [a, —(3,1] a že třetí bod na přímce určené C a O je B. Ověřili jsme tedy, že platí O + B = B. Je zřejmé, že operace + je komutativní. Víme tedy, že (£, +) je komutativní grupoid s neutrálním prvkem O a že pro každý bod A e £ existuje bod B e £ splňující A + B = O (je-li A = O, vezmeme B = O; je-li A = [a, f3,1], vezmeme B=[a,-(3,1]). Poznámka. K důkazu tvrzení, že (£, +) je komutativní grupa, je třeba dokázat, že + je asociativní operace. To ale není snadné a omezíme se pouze na konstatování tohoto faktu bez důkazu. Věta. Na eliptické křivce (£, O) nad K definujeme operaci + takto: 1. Pro libovolné A e £ klademe A + 0 = 0 + A = A. 2. Pro libovolné A = [a, /3,l]e£ je také B = [a, -/3,1] e £ a klademe A + B = O. (Tento bod B pak označujeme —A.) 72 21. ARITMETIKA ELIPTICKÝCH KŘIVEK 3. Pro libovolné A = [a, f3,1] E £, B = [7, 6,1] E £ takové, že B ^ —A, položme £=1 je-li A ŕ B, k ' ^ je-liA = B, 2 = {^i<^i + n2U>2', ni,n2 E Z}. Takovým podgrupám C říkáme mřížka (anglicky lattice). Ačkoli lze generátory L zvolit různými způsoby, ukazuje se, že mřížka L jednoznačně určuje čísla g2, g3 pomocí vzorců Pomocí mřížky L můžeme definovat Weierstrassovu p funkci předpisem Platí, že řada definující Weierstrassovu p funkci konverguje absolutně a stejnoměrně na každé kompaktní podmnožině C \ L a definuje meromorfní funkci na C, která má dvojnásobný pól s nulovým residuem v každém bodě L a jinde póly nemá. Definice. Nechť L C C je mřížka. Eliptická funkce (vzhledem k L) je meromorfní funkce f (z), která je periodická vzhledem k L, tj. pro kterou platí f (z + u) = f (z) pro každé u E L, z E C. Weierstrassova p funkce je tedy sudá eliptická funkce. Platí dokonce, že libovolnou sudou eliptickou funkci lze získat dosazením funkce p do vhodné racionální lomené funkce. Protože p' = ^f- je lichá eliptická funkce, z předchozího plyne, 22. BODY KONEČNÉHO ŘÁDU NA ELIPTICKÝCH KŘIVKÁCH 73 že {p')2 lze vyjádřit racionální lomenou funkcí pomocí funkce p. Toto vyjádření můžeme dokonce popsat explicitně pomocí g2,g3'- platí O')2 =4P3 - 92p- #3- Pro libovolné komplexní číslo u ^ L tedy dostáváme bod (s komplexními souřadnicemi) P(u) = (p(u),p'(u)) na eliptické křivce £ : y2 =4x3 - g2x - g3, přitom pro u e L dodefinujeme P{u) jako nevlastní bod na zmíněné křivce. Tím jsme definovali zobrazení P : C —>• £(C). Napoprvé asi překvapí, že toto zobrazení je homomorfismus aditivních grup, tj. že platí P(u1 + u2)=P(u1)+P(u2), kde na levé straně je sčítání komplexních čísel, kdežto + na pravé straně znamená sčítání bodů na eliptické křivce (kde bod O je nevlastní). Proto máme izomorfismus grup C/L ~ £(C). Uvědomme si, že grupa C/L je izomorfní s přímým součinem dvou kopií grupy M/Z, neboli součinem dvou jednotkových kružnic v C (chápaných jako multiplikativní grupy), tj. je to torus. Tvrzení. Nechť £(C) je eliptická křivka (daná Weierstrassovou rovnicí), označme £(C)[n] podgrupu grupy £(C) složenou z těch bodů, jejichž řád (v této grupě) dělí n. Pak £(C)[n] je přímý součin dvou cyklických grup řádu n. Pro libovolné těleso algebraických čísel K platí K C C Jsou-li koeficienty Weier-strassovy rovnice prvky K, má smysl hovořit o podgrupě £(K) grupy £(C) (do které patří kromě nevlastního bodu O právě ty body £(C), které mají souřadnice v K). Předpokládejme nyní, že K/Q je Galoisovo rozšíření a že koeficienty Weierst-rassovy rovnice jsou racionální čísla. Pro libovolné a e Gal(-ří/Q) a libovolné P E £{K) definujeme a(P) e £{K) takto: a(0) = O a pro P ^ O, P = (x, y) klademe cr(P) = (a(x), a(y)). Snadno se ověří, že a : £(K) —>• £(K) je grupový homomorfismus. Tvrzení. Nechť £ je eliptická křivka dána Weierstrassovou rovnicí y2 = x3 + ax2 + bx + c s a, 6, c e Q. Pak platí 1. Je-li P = (xi, yi) G £(C) bod řádu n, pak x\ a y\ jsou algebraická čísla. 2. Nechť {(xi, yi),..., (xm, ym), O} = £(C)[n]. (Z předchozího víme, že m = n2 — 1.) Označme K = Q(£[n]) = Q(xi, y±,..., xm, ym) těleso generované souřadnicemi všech bodů, jejich řád dělí n. Pak platí, že K/Q je Galoisovo rozšíření. Cvičení 34. Nechť ni,n2 jsou nesoudělná přirozená čísla. Dokažte, že pak Q(£[nin2]) je kompositum těles Q(£[ni]), Q(£[n2]). 74 22. BODY KONEČNÉHO ŘÁDU NA ELIPTICKÝCH KŘIVKÁCH Pro libovolné a e Gal(-ří/Q) máme definován automorfismus grupy £(K). Protože prvek řádu n se automorfismem zobrazí na prvek téhož řádu, dostáváme zúžením automorfismus grupy £(C)[n]. To je však součin dvou cyklických grup řádu n. Označme Pi, P2 generátory £(C)[n]. Protože automorfismus je určen obrazy generátorů, pro určení a : £(C)[n] —>• £(C)[n] stačí znát celá čísla aa, ba, ca, da splňující • GL2(Z/nZ), kde GL2(P) značí multiplikativní grupu všech 2x2 matic s prvky v okruhu R, jejichž determinant je jednotka okruhu R. Poznámka. Vnoření nějaké studované grupy do jiné jednodušší se nazývají reprezentace, proto pn se nazývá Galoisova reprezentace. O užitečnosti reprezentací jsme se už přesvědčili, uvědomme si, že reprezentací je námi užívaný izomorfis-mus Gal(Qm/Q) —>• (Z/mZ)*. Jak vyplyne z následujících příkladů, pn bijekcí být nemusí. Příklad 1. Uvažme eliptickou křivku £ : y2 = x{x - 1)0 - 2). Pak £(C)[2] = {O, (0,0), (1,0), (2,0)} se skládá výhradně z racionálních bodů. Je tedy Q(£[2}) = Q, Gal(Q(£[2])/Q) = {a0} a p2(a0) = Příklad 2. Uvažme eliptickou křivku £ : y2 = x3 + x. Pak £(C)[2] = {O, (0,0), (i,0), (-i,0)}. Je tedy Q(£[2]) = Q(i), Gal(Q(£[2])/Q) = {• C (C) definované předpisem (f>(0) = O a (f>(P) = (—x, iy) pro P = (x, y) je zřejmě grupový homo-morfismus (uvědomte si, že grupová operace je definována tak, že body P a —P jsou bodu se stejnou x-ovu a opačnou y-ovou souřadnicí a že platí P1+P2 + P3 = O právě když body P±, P2, P3 leží na jedné přímce; obě tyto podmínky zobrazení (f> zachová). Protože 4>((j)(P)) = —P pro každé P e C (C), je (j) automorfismus grupy C(C). Nechť K/Q je Galoisovo rozšíření takové, že i e K a nechť a e Gal(-ří/Q). Víme, že a určí automorfismus grupy C(K), zúžení ip na C(K) je také automorfismem této grupy. Zjistěme, kdy platí a o 0 = 0 o {o{P)) = (a(x),a(y)) = (-a(x),ia(y)). Podmínka (P) = mP. Označme r prvek Gal(-řín/Q) odpovídající komplexní konjugovanosti (při nějakém zafixovaném vložení Kn —>• C). Protože t (i) = —i, pro libovolné P = (x,y) e C[£] platí r(0(P)) = r(-a;,Í2/) = (r(-x),r(iy)) = (-r(x), -irfe)) = -0(r(P)), a tedy mr(P) = r(mP) = r((j>(P)) = -0(r(P)) = -mr(P), odkud 2mr(P) = O pro každé PeC[!],a tedy 2mP = O pro každé P e C[£\, neboť r jen permutuje prvky C[£]. Platí tedy £|2m. Kdyby £\m, platilo by (f>(P) = O pro každé C[£], což není možné, neboť 4>((j)(P) = —P. Je tedy £ = 2, což se snadno vyvrátí výpočtem: v označení příkladu 2 odpovídá 4> matice Lemma 2. Nechť A e GL2(Z/nZ) je matice, která A není skalární maticí modulo £ pro žádné prvočíslo £ dělící n. Pak {B e GL2(Z/nZ) : AB = BA} je abelovská podgrupa grupy GL2(Z/nZ). Důkaz. Lze snadno (i když poněkud zdlouhavě) provést metodami lineární algebry (viz Silverman, Tate, Rational points on elliptic curves, str. 208-210). Poznámka. Námi dokázanou větu 1 lze obrátit, značně hluboká je následující věta (srovnejte s větou Kroneckera-Webera). Věta 2. Nechť C je eliptická křivka y2 = x3 + x. Pro každé přirozené číslo n označme Kn = Q(i)(C[n]) těleso generované i a souřadnicemi bodů křivky C, jejichž řád dělí n. Pak platí: pro libovolné Galoisovo rozšíření F/Q(i) takové, že Gal(P/Q(i)) je komutativní, existuje přirozené číslo n tak, že F C Kn. Poznámka. Pokusme se stručně shrnout, jak vypadá zobecnění vět 1 a 2 pro ostatní imaginární kvadratická tělesa. Nejprve zmiňme výsledek tzv. „class field theory" (český překlad „teorie těles tříd" se nevžil). Nechť K je těleso algebraických čísel. Pak existuje těleso H, které je nej větší těleso obsahující K takové, že H/K je Galoisovo rozšíření s komutativní Galoisovou grupou a současně v H/K není rozvětvený žádný prvodivizor tělesa K. Těleso H se nazývá Hilbertovo těleso tříd tělesa K a jeho nej důležitější vlastnost je ta, že grupa tříd divizorů tělesa K je izomorfní s Galoisovou grupou Gal(H/K), přičemž izomorfismus je dán Artinovým zobrazením (viz kapitolu 13). Nechť K je nyní libovolné imaginární kvadratické těleso, R jeho okruh celých čísel. Pak R je mřížka v C, proto pomocí vzorců z úvodu kapitoly pro L = R dostaneme komplexní čísla g2, g% a tedy i eliptickou křivku E : y2 = Ax3 - g2x - g3 23. MODULÁRNÍ KŘIVKY 77 s diskriminantem A = g3 — 27'g1 a tzv. j-invariantem j = —^2~- Tato křivka je analyticky izomorfní (tj. biracionálně ekvivalentní, přičemž neutrální bod jedné křivky je převáděn na neutrální bod druhé) s eliptickou křivkou zadanou rovnicí s koeficienty v K(j), konkrétně s £ : y + xy = x — j_3i728x ~ j-1728' je-li j ^ 0, j ^ 1728 (pro j = 0 je třeba vzít křivku danou rovnicí y2 + y = x3, pro j = 1728 zase nám známou y2 = x3 + x). Pak platí, že j je celé algebraické číslo, že [K(j) : K] = [Q(j) : Q] a že H = K(j) je Hilbertovo těleso tříd tělesa K. Pro libovolné přirozené číslo n označme Hn = H(£'[n\). Pak platí, že Hn/K je Galoisovo rozšíření a Gal(Hn/H) je komutativní (přitom Ga\(Hn/K) být komutativní nemusí). Naopak, libovolné abelovské rozšíření tělesa K je podtělesem tělesa Hn pro vhodné n. Všimněte si, že pro j = 1728 jde o obsah vět 1 a 2, pro obecnější případ, kdy j e Q, jde o jejich přesnou analogii. Jestliže však j Q, platí H ^ K. Situaci však lze pro j ^ Q zachránit takto: místo tělesa Hn uvažujeme těleso H'n vzniklé přidáním k H nikoli obou souřadnic těch bodů £', jejichž řád dělí n, ale jen x-ových souřadnic těchto bodů. Pak abelovská rozšíření tělesa K jsou právě podtělesa těles H'n. 23. Modulární křivky Uvažme dvě eliptické křivky ři, ^ a jim odpovídající mřížky Li, L2. Platí věta tvrdící, že £\ je analyticky izomorfní s £2, právě když mřížky L\ a L2 jsou podobné (tj. existuje nenulové aeC tak, že L\ = aL2). Pro danou mřížku L a dané přirozené číslo k > 1 označme (srovnejte s g2, g% ze začátku kapitoly 22). Dále položme A(L) = (60G4(L))3 - 27(140G6(L))2, j(L) = 1728(60G4(L))3(A(L))-1 (všimněte si, že A(L) je diskriminant a j(L) je j-invariant eliptické křivky odpovídající mřížce L). Snadno se ověří, že platí G2k(aL) = a-2kG2k(L), A(oL) = o;-12A(L), j(aL) = j(L). Definiční obor těchto funkcí je množina mřížek. Je jasné, že funkci j lze uvažovat na rozkladu množiny mřížek podle ekvivalence dané podobností. (Poznamenejme, že všechny uvedené funkce jsou příklady tzv. modulárních forem.) Označme H = {r e C; Im(r) > 0}, a Lr = Z + Zr 78 23. MODULÁRNÍ KŘIVKY pro tgE Dále položme G2k(r) = G2k(LT), A(r) = A(LT), j(r) = j(LT). Je zřejmé, že každá mřížka je podobná s LT pro vhodné reE Promysleme si, kdy jsou dvě mřížky LT, LT< pro r, r' g H podobné. Je to právě tehdy, když existuje nenulové a g C tak, že Za + Zar' = Z + Zr, tj. právě když existují a, b, c, d g Z tak, že t'q! = ar + 6, a = cr + d aad — bc = ±l. Přitom podmínka r, r' g H implikuje ad — bc > 0. Jsou tedy Lr, Lr/ pro r, t' g H podobné, právě když r' = ^Vj^, kde a, 6, c, d g Z splňují ad — bc = 1. Dostáváme tedy, že grupa SL2 (Z) = I ^ ° ^ ^ ; a, b, c, d g Z, aH 7(r) =--. \c d J 'K ; cr + d 7 Přitom zřejmě triviální účinek mají pouze matice (J J) a ŕ"1 _°A Fak- torizací podle podgrupy mající tyto dva prvky dostaneme tzv. modulární grupu PSL2(Z) = SL2(Z)/{±1}. Tvrzení. Pro zmíněnou akci SL2(Z) na H platí: (a) Pro libovolné r g H existuje jeho okolí U tak, že pro libovolné 7, 7' g SL2(Z), 7 7^ ±7' platí, že jU a 7'i7 jsou disjunktní. (b) Oblast F = {r g H; |Re(r)| < ^, |r| > 1} je fundamentálni oblastí pro H/ SL2(Z), tj. kanonické zobrazení F —>• H/ SL2(Z) je surjekce a jeho restrikce na vnitřek .F je injekce. (c) Označme S = ~1^,T=^J j^;pak52 = -la (ST)3 = -1. Platí, že PSL2(Z) je grupa generovaná prvky S1 a ST volně vzhledem k relacím S2 = 1 a (ST)3 = 1. (d) Zobrazení j : H/SL2(Z) C je komplexní analytický izomorfismus (otevřených) Riemannových ploch. Máme tedy bijekci mezi Riemannovou plochou H/ SL2(Z) a rozkladem množiny všech eliptických křivek nad C na třídy analyticky izomorfních křivek. Pro libovolné r g H bodu r(modSL2(Z)) odpovídá třída eliptických křivek analyticky izomorfních s C/(Z + Zr). Přitom platí, že v této třídě existuje eliptická křivka s rovnici s koeficienty z tělesa Q(j(r)). Definice. Pro libovolné přirozené číslo n definujme podgrupu Tq(N) grupy SL2(Z) takto: r°(iV) = {(c d) eSL2(Z);iV|c}. 23. MODULÁRNÍ KŘIVKY 79 Uvažme nyní H/T0 (iV). Pak máme přirozené zobrazení H/T0 (N) —>• H/ SL2(Z) a tedy opět libovolnému r e H bodu r (modro(iV)) máme přiřazenu třídu eliptických křivek analyticky izomorfních s C/(Z + Zt). Toto zobrazení samozřejmě pro N > 1 už není bijekce. Bod r (modr0(iV)) v sobě obsahuje ještě další informaci. Ukažme si jakou. Zvolme pevně ■>={: ä)^(m a uvažme zobrazení / : C —>• C dané předpisem f (z) = CTz+d- Protože Z + Zr = Z(ar + b) + Z(ct + d), platí /(Z + Zr) = Z + Z7(r) a tedy / indukuje zobrazení f : C/(Z + Zr) C/(Z + Z7(r)). Zřejmě {0, ..., ^T"} je podgrupa řádu N grupy C/(Z + Zr). Ukážeme, že platí (modZ + Zr)) = $ (modZ + Z7(r)). Totiž iV|6c = 1 - ad a platí t x ač č ač (ač-^-)r — č 1 — aa f(-)--= —;-r--= -— e ř(Z + Zr) = Z + Z7ír). jyN) N N(cr + d) N cr + d Dostali jsme, že akce libovolného 7 e r0(iV) nechává podgrupu {0, ^, ^,..., ^T"} na místě. Je však možné dokázat více, jak ukazuje následující věta. Věta. Nechť N e N. Existuje hladká afinní křivka Yo(N) definovaná nad Q (tj. určena polynomiálními rovnicemi s racionálními koeficienty) a komplexní analytický izomorfismus jN-. H/r0(AO^y0(iv) takový, že platí: nechť r e H/T0(N) a nechť K = Q(Jn(t)), pak r jednoznačně odpovídá jisté třídě rozkladu množiny všech dvojic (£,C), kde £ je eliptická křivka nad C a C její cyklická podgrupa řádu N, podle ekvivalence ~ dané podmínkou (£,C) ~ (S'jC1), právě když existuje analytický izomorfismus £ —>• £' zobrazující C na C. V této třídě existuje dvojice (£, C) taková, že rovnice £ má koeficienty v K a body z C mají souřadnice v K. Komplexní přímka C = Yq(1) má přirozenou kompaktifikaci - projektivní přímku P1(C), vzniklou přidáním jediného bodu k C. Proto je jasné, že přirozenou kompaktifikaci H/ SL2(Z) dostaneme přidáním jediného bodu. Podobně ke křivce Y0(N) existuje její přirozená kompaktifikace X0(N). Křivka X0(N) je příkladem tzv. modulárních křivek. Některé modulární křivky jsou samy eliptické (například Xq(11) je eliptická křivka), pro některé další existuje surjektivní zobrazení (f> : Xq(N) —>• £ definované pomocí polynomů s racionálními koeficienty do nějaké eliptické křivky £ nad Q (tj. £ je určena rovnicí s racionálními koeficienty). Pokud pro eliptickou křivku £ nad Q pro nějaké N takové zobrazení (f> existuje, řekneme, že £ je Weilova křivka. Je jasné, že Weilova křivka je bohatší o strukturu modulární křivky přenesenou na ni zobrazením 0 a že tuto strukturu bude asi možné využít při studiu aritmetiky této křivky. Hypotéza (Taniyama — Weil). Každá eliptická křivka definovaná nad Q je Weilova křivka. Nedávno byla tato hypotéza dokázána pro tzv. semistabilní eliptické křivky A. Wilesem. 80 23. MODULÁRNÍ KŘIVKY Definice. Pro danou eliptickou křivku £ definovanou nad Q vyberme mezi všemi eliptickými křivkami, které jsou s ní izomorfní nad Q (tj. izomorfismus je zadán pomocí polynomů s racionálními koreficienty) a jejichž rovnice má celočíselné koeficienty, tu eliptickou křivku, která má nejmenší absolutní hodnotu diskriminantu. Pro libovolné prvočíslo p můžeme koeficienty této rovnice nahradit příslušnou zbytkovou třídou modulo p a uvažovat tak tuto rovnici nad tělesem Z/pZ. Pokud p nedělí diskriminant vybrané eliptické křivky, získaná rovnice je rovnicí eliptické křivky nad Z/pZ. Pokud naopak p dělí zmíněný diskriminant, určí získaná rovnice kubickou singulární křivku nad Z/pZ. Taková křivka má právě jeden singulární bod, v němž má buď dvě různé tečny nebo jednu dvojnásobnou tečnu. Řekneme, že £ je semistabilní, jestliže pro žádné prvočíslo p nenastane případ dvojnásobné tečny. Z Wilesova důkazu hypotézy Taniyamy a Weila byla jako důsledek získána velká Fermatova věta; už dříve se vědělo, že z případného protipříkladu k velké Ferma-tově větě lze konstruovat příklad semistabilní eliptické křivky, která nemůže být modulární (viz přiložený Rokytův překlad pořadu odvysílaného BBC pro pro širší veřejnost, další podrobnosti lze najít v článku J. Nekováře „Modulární křivky a Fermatova věta", Mathematica Bohemica 119 (1994), str. 79-96, kterým doplňuje zprávu K. A. Ribeta „Wiles dokázal Taniyamovu hypotézu; důsledkem je Fermatova věta", str. 75-78 tamtéž). Literatura Z. I. Borevič, R. I. Šafarevič: Teorie čísel, Nauka, Moskva 1964 J. H. Silverman, J. Tate: Rational points on Elliptic Curves, UTM, Springer, 1992. J. H. Silverman: The arithmetic of elliptic curves, GTM 106, Springer, 1986. I. Stewart: Galois Theory, second edition, T. J. Press, Padstow (Great Britain) 1989 L. Washington: Introduction to Cyclotomic Fields, GTM 83, Springer-Verlag 1982, 1996