Domácí úkol z 1. března 2018 (odevzdává se 8. března 2018)
Cílem této domácí úlohy je dokázat výsledek L. Skuly.
Nejprve připomeňme definici teorie divizorů oboru integrity R: nechť D je pologrupa s jednoznačným rozkladem, R* = R — {0}. Říkáme, že homomorřismus pologrup 5 : R* —> D je teorií divizorů oboru integrity R, jestliže jsou splněny následující tři podmínky:
(1) pro libovolné a,/3 G R* platí a \ (3 v R, právě když 5 (a) \ <5(/3) v D;
(2) pro libovolné a,/3 G R* a libovolné c Ě fl splňující c | S(a), c \ S(P) v D platí:
a + /3/0 =>- c | <5(a+ /3), a-P^O c\6(a-P);
(3) pro libovolné a,b G Z) platí: jestliže
{a e iT; a | c5(a)} = {/3 £ R*; b | á(/3)},
pak a = b.
A nyní konečně zadání domácí úlohy:
(i) Dokažte, že podmínka (3) je ekvivalentní s podmínkou: pro libovolné a £ D existují aa, a±,..., an £ R* takové, že a je největší společný dělitel prvků S(ao), S(ai),..., S(an);
(ii) Dokažte, že platí-li pro homomorřismus 5 podmínka (3), pro libovolné b £ Z) existují Po,Pi, ■ ■ ■, Pn, 7 £ -R* tak, že 6(5(7) Je nejmenší společný násobek prvků 5(Po), 6(Pi),..., <5(/3n);
(iii) Dokažte, že podmínka (2) je důsledek podmínek (1) a (3).
Částečný návod:
Při důkazu jednoho směru (i) nejprve odvoďte z podmínky (3), že pro dané a G D existuje a$ G R* tak, že a \ S(ao). Pak rozložte S(ao) = p^1 ... pkr™, kde pi,... ,pn jsou různé prvodivizory, k\,...,kn přirozená čísla, a dokažte pro každé i = l,...,n existenci cti £ R* splňujícího a \ S(oti), api \ 5(a.i). Nakonec vysvětlete, proč takto zvolené prvky splňují požadované.
Při důkazu (ii) nejprve odvoďte z podmínky (3), že pro dané b G D existuje p (z R* a c (z D tak, že bc = S(p). Podle části (i) k prvku c existují aa, a±,..., an G R* takové, že c je největší společný dělitel prvků S(ao), S(a±),..., S(an). Označte 7 = aQa±... an a pro každé i = 0,1,..., n položte Pí = frf/ai. Vysvětlete, proč takto zvolené prvky splňují požadované.