Domácí úkol z 8. března 2018 (odevzdává se 15. března 2018)
(i) Dokažte následující zobecnění Eisensteinova kritéria:
Nechť K je těleso, v : K —> ZU{oo} valuace na K. Nechť pro polynom
/ = anxn + • • • + a\x + ao £ K[x]
je splněno v{an) = 0, v{ao) = 1 a pro každé i = 1, 2,..., n — 1 platí v(aí) > 1- Pak Je polynom / ireducibilní nad tělesem K.
(ii) Dokažte, že existuje-li alespoň jedna valuace v : K —> 7L U {oo} na tělese K, pak pro každé přirozené číslo n existuje konečné rozšíření tělesa K stupně n.
Částečný návod:
Dokažte si následující užitečné vlastnosti každé valuace v : K —> ZU{oo} na libovolném tělese K:
• v(l) = 0;
• jsou-li a,b (z K takové, že v (a) 7^ v(b), pak v (a + b) = min{u(a), v(b)}.
Úlohu (i) můžete řešit sporem takto: jestliže polynom f není ireducibilní nad tělesem K, pak existují nekonstantní polynomy 51,52 £ K[x] tak, že f = 9i92> navíc lze předpokládat, že g\ je normovaný polynom. Pro i = 1,2 označme m; nejmenší hodnotu valuace v na koeficientech polynomu gi, přičemž nejmenší j takové, že valuace v nabývá minimální hodnoty m; na koeficientu u x3, označme ji. Ukažte, že v{aj1+j2) = m\ + 1712, m\ < 0, m2 < 0, odkud odvoďte m\ = 1712 = 0, j\ + J2 = n a dojděte ke sporu.