Domácí úkol z 15. března 2018 (odevzdává se 22. března 2018)
Nechť K je těleso. Protože okruh polynomů K[x] je okruh s jednoznačným rozkladem, má teorii divizorů. V této teorii divizorů prvodivizory jednoznačně odpovídají normovaným ireducibilním polynomům nad K. Pro každý takový normovaný ireducibilní polynom / G K [x] označme v f jemu odpovídající valuaci na tělese racionálních funkcí K{x).
(i) Pro libovolné nenulové a G K (x) existují nesoudělné polynomy /, g G K[x], g 7^ 0 7^ /, tak, že a = A Dokažte, že předpisem
v* (a) = st g — st /
(doplněným v*(0) = oo) jsme definovali valuaci na tělese racionálních funkcí K{x).
(ii) Dokažte, že každá valuace na tělese racionálních funkcí K(x), pro kterou platí v (a) = 0 pro každé nenulové a G K, je rovna valuaci v* anebo valuaci v f pro některý normovaný ireducibilní polynom / G -řr[x].
Částečný návod:
Pro část (ii) je vhodné rozlišit dva případy: jestliže pro každý polynom g G K [x] platí v (g) > 0, lze postupovat podobně jako v semináři při studiu valuaci na Q. Jestliže naopak existuje polynom g G K [x] splňující v (g) < 0, ukažte, že v (x) < 0, a odvoďte, že pro každý polynom h G K [x] platí v (h) = (st h) ■ v (x). Odtud snadno dostanete, že v = v*.