\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsfonts}

\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\def\st{\operatorname{st}}
\def\oo{\mathbf{o}}
\def\dn{\mathcal{D}_0}

\begin{center}
\bf \large Domácí úkol z 12. dubna 2018\\ (odevzdává se 19. dubna 2018)
\end{center}

Na dnešní přednášce jsme studovali následující situaci:

\medskip

Nechť $\oo$ je obor integrity s teorií divizorů 
$\oo^*\to\dn$, označme $k$ podílové těleso okruhu $\oo$. 
Pro každý prvodivizor $p\in\dn$ máme odpovídající valuaci $v_p$ na $k$; označme $\mathcal{N}_0$ množinu všech těchto valuací.
Obrazem prvku $a\in\oo^*$ v této teorii divizorů je tedy
$$
(a)_k=\prod_p p^{v_p(a)}\in\dn,
$$
kde v součinu probíhá $p$ všechny prvodivizory z $\dn$ (tento součin je konečný, protože pro skoro všechny prvodivizory z $\dn$ je $v_p(a)=0$).

Nechť dále $K$ je konečné rozšíření tělesa $k$, označme $\mathcal{O}$ celý uzávěr okruhu $\oo$ v $K$ a $\mathcal{N}$ množinu všech prodloužení valuací z $\mathcal{N}_0$ na těleso $K$.

Dokázali jsme, že množina $\mathcal{N}$ indukuje teorii divizorů 
$\mathcal{O}^*\to\mathcal{D}$, ve které každý prvodivizor $P\in\mathcal{D}$ odpovídá právě jedné valuaci $v_P\in\mathcal{N}$.
Obrazem prvku $\alpha\in\mathcal{O}^*$ v této teorii divizorů je tedy
$$
(\alpha)_K=\prod_P P^{v_P(\alpha)}\in\mathcal{D},
$$
kde v součinu probíhá $P$ všechny prvodivizory z $\mathcal{D}$.

Fakt, že valuace $v_P\in\mathcal{N}$ je prodloužením valuace $v_p\in\mathcal{N}_0$ budeme zapisovat $P\mid p$ a příslušný index větvení označíme $e(P|p)$. To znamená, že pro každé $a\in k^*$ platí $v_P(a)=e(P|p)\cdot v_p(a)$.

Na dnešním semináři jsme také ukázali, že předpis
$$
\iota(p)=\prod_{P|p}P^{e(P|p)}
$$
pro každý prvodivizor z $p\in\dn$ indukuje injektivní homomorfismus pologrup $\iota:\dn\to\mathcal{D}$ takový, že komutuje diagram, ve kterém řádky jsou teorie divizorů:
$$
\xymatrix{ \mathcal{O}^* \ar[r] & \mathcal{D}  \\
\oo^* \ar[r]\ar@{^{(}->}[u]_{\subseteq} & \dn \ar@{^{(}->}[u]_{\iota}}
$$

Konečně můžeme formulovat zadání domácí úlohy: ukažte, že $\iota:\dn\to\mathcal{D}$ je jediný homomorfismus pologrup, pro který komutuje takový diagram. Přesněji: je-li $j:\dn\to\mathcal{D}$ homomorfismus pologrup, pro který komutuje diagram
$$
\xymatrix{ \mathcal{O}^* \ar[r] & \mathcal{D}  \\
\oo^* \ar[r]\ar@{^{(}->}[u]_{\subseteq} & \dn \ar@{^{(}->}[u]_{j}}
$$
pak $j=\iota$.


\pagebreak\hrule\medskip

{\it Návod, jak lze postupovat: 

Pro libovolný prvodivizor $p\in\dn$ sestrojte $a,b\in\oo$ tak, aby $p$ byl největší společný dělitel divizorů $(a)_k$, $(b)_k$ v $\dn$. Vysvětlete, že z definice homomorfismu $\iota$ plyne, že pak $\iota(p)$ je největší společný dělitel divizorů $(a)_K$, $(b)_K$ v~$\mathcal{D}$. Odvoďte odtud relaci dělitelnosti $j(p)\mid\iota(p)$ v~$\mathcal{D}$.

Z předpokladu $j\ne\iota$ odvoďte existenci prvodivizoru $p_0\in\dn$ a prvodivizoru $P\in\mathcal{D}$ takových, že  $j(p_0)\cdot P\mid\iota(p_0)$ v~$\mathcal{D}$. Sestrojte $a\in\oo$ tak, aby $v_{p_0}(a)=1$, pak
$$
(a)_k=p_0\cdot p_1^{c_1}\cdots p_r^{c_r},
$$
kde $p_0,p_1,\dots,p_r$ jsou různé prvodivizory $\dn$, $c_1,\dots,c_r\in\mathbb{N}$. Odvoďte odtud, že $j((a)_k)\cdot P\mid\iota((a)_k)$ v~$\mathcal{D}$,
což je ve sporu s tím, že $\iota((a)_k)=(a)_K=j((a)_k)$.

}

\end{document} 