Domácí úkol z 12. dubna 2018 (odevzdává se 19. dubna 2018)
Na dnešní přednášce jsme studovali následující situaci:
Nechť o je obor integrity s teorií divizorů o* —> T>q, označme k podílové těleso okruhu o. Pro každý prvodivizor p G £>o máme odpovídající valuaci vp na k; označme No množinu všech těchto valuaci. Obrazem prvku a G o* v této teorii divizorů je tedy
(a)fc=n^p(a) eP0,
p
kde v součinu probíhá p všechny prvodivizory z T>q (tento součin je konečný, protože pro skoro všechny prvodivizory z T>q je vp{a) = 0).
Nechť dále K je konečné rozšíření tělesa k, označme O celý uzávěr okruhu
0 v K a N množinu všech prodloužení valuaci z No na těleso K.
Dokázali jsme, že množina N indukuje teorii divizorů O* —> T>, ve které každý prvodivizor P G P odpovídá právě jedné valuaci vp G N. Obrazem prvku a G O* v této teorii divizorů je tedy
p
kde v součinu probíhá P všechny prvodivizory z T>.
Fakt, že valuace v p G J\í je prodloužením valuace vp G No budeme zapisovat P \ p a příslušný index větvení označíme e{P\p). To znamená, že pro každé a G k* platí vp{a) = e{P\p) ■ vp{a).
Na dnešním semináři jsme také ukázali, že předpis
,(p) = I]pe(P|P)
p\p
pro každý prvodivizor z p G Po indukuje injektivní homomorfismus pologrup
1 : T>o —> T> takový, že komutuje diagram, ve kterém řádky jsou teorie divizorů:
O*-*-V
c t
Konečně můžeme formulovat zadání domácí úlohy: ukažte, že i : T>q —> T> je jediný homomorfismus pologrup, pro který komutuje takový diagram. Přesněji: je-li j : T>q —> T> homomorfismus pologrup, pro který komutuje diagram
O*-
c j
pak j = l.
Návod, jak lze postupovat:
Pro libovolný prvodivizor p G £>o sestrojte a, b G o tak, aby p byl největší společný dělitel divizorů (a)k, {b)t v T>q. Vysvětlete, že z definice homomor-fismu l plyne, že pak i{p) je největší společný dělitel divizorů {cl)k, (P)k v Odvoďte odtud relaci dělitelnosti j(p) \ i{p) v T>.
Z předpokladu j / t odvoďte existenci prvodivizoru po G T>q a prvodi-vizoru P G T> takových, že j(po) ■ P \ i(po) v T>. Sestrojte a G o tak, aby vpo{a) = 1, pak
(a)k =Po - PÍ1
kde po,Pi, ■ ■ ■ ,Pr jsou různé prvodivizory T>q, c±, ..., cr G N. Odvoďte odtud, že j{{a)k)-P | t((a)fc) vT>, což je ve sporu s tím, že t((a)fc) = (a)x = j{[a)k)-