\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage[utf8]{inputenc}

\usepackage[all]{xy}
\usepackage{amsfonts}

\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\pagestyle{empty}
\begin{document}
\def\st{\operatorname{st}}
\def\oo{\mathbf{o}}
\def\dn{\mathcal{D}_0}

\begin{center}
\bf \large Domácí úkol z 3. května 2018\\ (odevzdává se 10. května 2018)
\end{center}

\medskip

Nechť $v_0$ je libovolná valuace na tělese $k$, označme  $$\oo=\{\alpha\in k;\,v_0(\alpha)\ge0\}$$ okruh této valuace a $I_0=\{\alpha\in k;\,v_0(\alpha)>0\}$ jediný maximální ideál tohoto okruhu, nechť $F_0=\oo/I_0$ je těleso zbytků valuace $v_0$; pro libovolné $\alpha\in\oo$ bude $\overline\alpha\in F_0$ značit odpovídající zbytek.

Nechť dále $K$ je konečné rozšíření tělesa $k$, označme $v_1,\dots,v_m$ všechna prodloužení valuace $v_0$ na těleso $K$. Pro každé $s=1,\dots,m$ nechť je
$$\mathcal{O}_{s}=\{\alpha\in K;\,v_s(\alpha)\ge0\}$$ okruh valuace $v_s$ a $I_s=\{\alpha\in K;\,v_s(\alpha)>0\}$ jediný maximální ideál tohoto okruhu, nechť $F_s=\mathcal{O}_s/I_s$ je těleso zbytků valuace $v_s$; pro libovolné $\alpha\in\mathcal{O}_{s}$ bude $\overline\alpha^{(s)}\in F_s$ značit odpovídající zbytek.
Nechť $e_s$ a $f_s$ jsou index větvení a stupeň inercie valuace $v_s$ vzhledem k $v_0$, což znamená, že pro libovolné $\alpha\in k$ platí $v_s(\alpha)=e_s\cdot v_0(\alpha)$
a po kanonickém vnoření $F_0$ do $F_{s}$ (kdy $\overline\alpha\in F_0$ ztotožníme s $\overline\alpha^{(s)}\in F_s$ pro každé $\alpha\in\oo$) je $f_s$ stupeň rozšíření tělesa $F_{s}$ nad tělesem $F_0$.

Na semináři jsme dokázali, že $\mathcal{O}=\cap_{s=1}^m\mathcal{O}_{s}$ je celý uzávěr okruhu $\oo$ v~$K$. Díky větě o aproximaci víme, že lze zvolit prvky $\omega_{si}\in\mathcal{O}$, kde $1\le s\le m$, $1\le i\le f_s$, tak, aby 
$\overline{\omega_{s1}}^{(s)},\dots,\overline{\omega_{s{f_s}}}^{(s)}$ tvořilo bázi tělesa $F_{s}$ nad tělesem $F_0$ a současně aby pro každé $j\in\{1,\dots,m\}-\{s\}$ a každé $i=1,\dots,f_j$ platilo $v_j(\omega_{si})\ge e_j$. 

Víme také, že $\mathcal O$ je okruh s jednoznačným rozkladem s ireducibilními prvky $\pi_1,\dots,\pi_s$, které jsou určeny (až na asociovanost v $\mathcal O$) podmínkami
$$
v_j(\pi_s)=\begin{cases}1,&\text{je-li $j=s$,}\\0,&\text{je-li $j\ne s$.}\end{cases}
$$  

V dalším textu budeme pracovat se systémem prvků
\begin{equation}\label{system}
\omega_{si}\pi_s^j, \quad\text{kde }1\le s\le m,\,1\le i\le f_s,\,0\le j<e_s,
\end{equation}
případně s lineárními kombinacemi tohoto systému
\begin{equation}\label{komb}
\alpha=\sum_{s=1}^m\sum_{i=1}^{f_s}\sum_{j=0}^{e_s-1}c_{sij}\omega_{si}\pi_s^j, \quad\text{kde }c_{sij}\in k.
\end{equation}



\begin{enumerate}
\item Předpokládejme, že v lineární kombinaci \eqref{komb} jsou všechny koeficienty $c_{sij}\in\oo$, přičemž alespoň jeden z těchto prvků je jednotkou okruhu~$\oo$.
Vysvětlete, proč v takovém případě vždy lze vybrat $s_0\in\{1,\dots,m\}$, $i_0\in\{1,\dots,f_{s_0}\}$ a $j_0\in\{0,\dots,e_{s_0}-1\}$ tak, že $v_0(c_{{s_0}{i_0}{j_0}})=0$ a současně pro každé $i\in\{1,\dots,f_{s_0}\}$ a $j\in\{0,\dots,e_{s_0}-1\}$ platí
$$
j<j_0\quad\implies\quad v_0(c_{{s_0}{i}{j}})>0.
$$
Ukažte, že pak platí $v_{s_0}(\alpha)=j_0$.

\item Dokažte, že systém prvků \eqref{system} je lineárně nezávislý nad tělesem $k$.

\item Dokažte, že platí nerovnost
$$\sum_{s=1}^m e_sf_s \le [K:k].$$

\item Dokažte, že je-li rozšíření $K$ tělesa $k$ separabilní, pak systém prvků \eqref{system} tvoří fundamentální bázi okruhu $\mathcal{O}$ nad $\oo$.

\end{enumerate}

\medskip\hrule\medskip\bigskip


{\it Návod, jak lze postupovat: 

\begin{enumerate}
\item Vzpomeňte si, jak určit hodnotu valuace součtu v případě, kdy jeden sčítanec má valuaci menší než všichni ostatní sčítanci.
\item Užijte výsledek z první části.
\item Odvoďte ze druhé části.
\item Využijte věty ze semináře, podle které ze separability rozšíření $K/k$ plyne 
$\sum_{s=1}^m e_sf_s = [K:k]$, a tedy podle druhé části je systém prvků \eqref{system} bází tělesa $K$ nad $k$.
Protože všechny prvky systému \eqref{system} patří do $\mathcal{O}$, stačí ukázat, že pokud v rovnosti \eqref{komb} je nenulové $\alpha\in\mathcal{O}$, pak všechny koeficienty $c_{sij}\in\oo$. To můžete ukázat pro pevně zvolené nenulové $\alpha\in\mathcal{O}$ takto: označíte-li $r$ nejmenší hodnotu valuace $v_0$ na koeficientech $c_{sij}$, pak pokud $r<0$, pak po vynásobení \eqref{komb} prvkem z tělesa $k$, jehož valuace $v_0$ je $-r$, můžete pomocí výsledku z první části dostat spor.
\end{enumerate}

}

\end{document} 