Domácí úkol z 3. května 2018 (odevzdává se 10. května 2018)
Nechť vq je libovolná valuace na tělese k, označme
o = {a G k; vo(a) > 0}
okruh této valuace a Iq = {a G k; v o (a) > 0} jediný maximální ideál tohoto okruhu, nechť Fq = o/Iq je těleso zbytků valuace vq; pro libovolné a G o bude ä G Fq značit odpovídající zbytek.
Nechť dále K je konečné rozšíření tělesa k, označme v±,..., vm všechna prodloužení valuace vq na těleso K. Pro každé s = 1,..., m nechť je
Os = {a G K- vs(a) > 0}
okruh valuace vs a Is = {a G K; vs(a) > 0} jediný maximální ideál tohoto okruhu, nechť Fs = Os/Is je těleso zbytků valuace vs; pro libovolné a G Os bude čč(s) G Fs značit odpovídající zbytek. Nechť es a fs jsou index větvení a stupeň inercie valuace vs vzhledem k vq, což znamená, že pro libovolné a G k platí v g (o.) = es -vq^a) a po kanonickém vnoření Fq do Fs (kdy ä G -Fo ztotožníme s q7*5) G -Fs pro každé a G o) je fs stupeň rozšíření tělesa Fs nad tělesem Fo.
Na semináři jsme dokázali, že O = C^^Og je celý uzávěr okruhu o v K. Díky větě o aproximaci víme, že lze zvolit prvky losí G O, kde 1 < s < m, 1 < i < fs, tak, aby u}si^s\ ■ ■ ■, usfa^ tvořilo bázi tělesa Fs nad tělesem Fq a současně aby pro každé j G {1,..., m} — {s} a každé i = l,...,fj platilo v j (u si) > ej.
Víme také, že O je okruh s jednoznačným rozkladem s ireducibilními prvky 7Ti,..., tvs, které jsou určeny (až na asociovanost v O) podmínkami
ŕ   s     fl,   je-lij = s, [0, je-lijT^s.
V dalším textu budeme pracovat se systémem prvků
lúsí^I,    kde 1 < s < m, 1 < i < fs, 0 < j < es, (1)
případně s lineárními kombinacemi tohoto systému
m f s  es — l
a = ^2 ^2 ^2 CsíjU)sí^Í,    kde csij G k. (2) s=l i=l j=0
1. Předpokládejme, že v lineární kombinaci (2) jsou všechny koeficienty csij £ °, přičemž alespoň jeden z těchto prvků je jednotkou okruhu o. Vysvětlete, proč v takovém případě vždy lze vybrat sq G {1,... ,m},
Íq G {1,..., /So} a jo £ {0,... ,eSo-l} tak, že v0(cSoiojo) = 0 a současně pro každé i G {1,..., fso} a j G {0,..., eso - 1} platí
Ukažte, že pak platí vso(a) = Jq.
2. Dokažte, že systém prvků (1) je lineárně nezávislý nad tělesem k.
3. Dokažte, že platí nerovnost
4. Dokažte, že je-li rozšíření K tělesa k separabilní, pak systém prvků (1) tvoří fundamentální bázi okruhu O nad o.
Návod, jak lze postupovat:
1. Vzpomeňte si, jak určit hodnotu valuace součtu v případě, kdy jeden sčítanec má valuaci menší než všichni ostatní sčítanci.
2. Užijte výsledek z první části.
3. Odvoďte ze druhé části.
4- Využijte věty ze semináře, podle které ze separability rozšíření K/k plyne Y^s=i esfs = '■ a tedy podle druhé části je systém prvků (1) bází tělesa K nad k. Protože všechny prvky systému (1) patří do O, stačí ukázat, že pokud v rovnosti (2) je nenulové a G O, pak všechny koeficienty csíj G o. To můžete ukázat pro pevně zvolené nenulové a (z O takto: označíte-lir nejmenší hodnotu valuace vq na koeficientech csij, pak pokud r < 0, pak po vynásobení (2) prvkem z tělesa k, jehož valuace vq je —r, můžete pomocí výsledku z první části dostat spor.
J < Jo
m
J2esfs<[K :k].