Osnova přednášky Analýza rozptylu dvojného třídění
Motivace
Označení
Dvojné třídění bez interakcí
Součty čtverců
Testování hypotézy o nevýznamnosti sloupcového faktoru
Testování hypotézy o nevýznamnosti řádkového faktoru
Scheffého a Tukeyova metoda mnohonásobného porovnávání
Příklad
Dvojné třídění s interakcemi
Možné problémy v analýze rozptylu dvojného třídění s interakcemi
Příklad
Analýza rozptylu dvojného třídění
Motivace: Zkoumáme vliv dvou faktorů A a B na závisle proměnnou veličinu Y.
Např. zjišťujeme, zda výnosy určité plodiny (náhodná veličina Y) jsou ovlivněny
typem půdy (faktor A) a způsobem hnojení (faktor B). Předpokládáme, že faktor A má
a úrovní (tj. počet typů půdy) a faktor B má b úrovní (tj. počet způsobů hnojení).
Přitom máme nij pokusů takových, že na i-tém typu půdy byl použit j-tý způsob
hnojení. Výsledky (tzn. výnosy dané plodiny) těchto nij pokusů označíme
ijijn2ij1ij Y,...,Y,Y . Omezíme se na případy, kdy počet pozorování nij = c ≥ 1 (jde o tzv.
vyvážené třídění). Výsledky lze zapsat do tabulky:
faktor B
1 2 ... b
1 Y111, …, Y11c Y121, …, Y12c
…
Y1b1, …, Y1bc
2 Y211, …, Y21c Y221, …, Y22c
…
Y2b1, …, Y2bc
M M M … M
faktorA
a Ya11, …, Ya1c Ya21, …, Ya2c
…
Yab1, …, Yabc
Analogicky jako u analýzy rozptylu jednoduchého třídění předpokládáme, že data se
řídí normálním rozložením, tj.
ijc2ij1ij Y,...,Y,Y ~ N(µij,σ2
), i = 1, …, a, j = 1, …, b
a jednotlivé náhodné výběry jsou stochasticky nezávislé, tedy
Yijk = µij + εijk,
kde εijk jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny s rozložením N(0, σ2
).
Zajímá nás, zda všechny střední hodnoty µij jsou stejné.
Přístup k problému se liší podle toho, zda faktory A, B jsou nezávislé (pak se jedná
o analýzu rozptylu dvojného třídění bez interakcí) nebo se mohou nějakým
způsobem ovlivňovat (jde o analýzu rozptylu dvojného třídění s interakcemi).
Označení
......
a
1i
b
1j
c
1k
ijk...
..i..i
b
1j
c
1k
ijk..i
.ij.ij
c
1k
ijk.ij
Y
n
1
M
,YY
,Y
bc
1
M
,YY
,Y
c
1
M
,YY
,abcn
=
=
=
=
=
=
=
∑∑∑
∑∑
∑
= = =
= =
=
Analogické označení zavedeme i pro jiné kombinace indexů.
Dvojné třídění bez interakcí
Předpokládáme, že řádkový faktor A a sloupcový faktor B se neovlivňují (např. to
znamená, že každý ze čtyř způsobů hnojení působí stejně na každém ze tří druhů
půdy).
Náhodné veličiny Yijk se řídí modelem
M0: Yijk = µ + αi + βj + εijk pro i = 1, …, a, j = 1, …, b, k = 1, …, c, přičemž
εijk jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny s rozložením N(0, σ2
),
µ je společná část střední hodnoty závisle proměnné veličiny,
αi je efekt faktoru A na úrovni i,
βj je efekt faktoru B na úrovni j.
Parametry µ, αi, βj neznáme. Požadujeme, aby platily tzv. reparametrizační rovnice:
0,0
b
1j
j
a
1i
i =β=α ∑∑ ==
.
Součty čtverců
Podobně jako v analýze rozptylu jednoduchého třídění se počítají součty čtverců.
( )∑∑∑= = =
−=
a
1i
b
1j
c
1k
2
...ijkT MYS … celkový součet čtverců,
počet stupňů volnosti fT = n – 1,
( )∑=
−=
a
1i
2
.....iA MMbcS … součet čtverců pro řádkový faktor A,
počet stupňů volnosti fA = a – 1,
( )∑=
−=
b
1j
2
....j.B MMacS … součet čtverců pro sloupcový faktor B,
počet stupňů volnosti fB = b – 1,
( )∑∑∑= = =
−=
a
1i
b
1j
c
1k
2
.ijijkE MYS … reziduální součet čtverců,
počet stupňů volnosti fE = n – a – b + 1.
Lze dokázat, že ST = SA + SB + SE:
( )∑∑∑= = =
−
a
1i
b
1j
c
1k
2
...ijk MY = ( )∑=
−
a
1i
2
.....i MMbc + ( )∑=
−
b
1j
2
....j. MMac + ( )∑∑∑= = =
−
a
1i
b
1j
c
1k
2
.ijijk MY
Celkový průměr M… je bodovým odhadem střední hodnoty µ,
rozdíl .....i MM − představuje bodový odhad i-té úrovně řádkového faktoru αi
rozdíl ....j. MM − představuje bodový odhad j-té úrovně sloupcového faktoru βj.
Odhad ijkYˆ pozorování ijkY má tedy tvar:
( ) ( )....j......i...ijk MMMMMYˆ −+−+= .
Testování hypotézy o nevýznamnosti sloupcového faktoru
Pokud by nezáleželo na sloupcovém faktoru B, platila by hypotéza β1 = … = βb = 0 a
dostali bychom model
M1: Yijk = µ + αi + εijk
Platnost uvedené hypotézy ověřujeme pomocí testové statistiky
EE
BB
B
f/S
f/S
F = , která se řídí rozložením F(b-1,n-a-b+1), je-li model M1 správný.
Hypotézu o nevýznamnosti sloupcového faktoru tedy zamítneme na hladině
významnosti α, když platí:
FB ≥ F1-α(b-1,n-a-b+1).
Testování hypotézy o nevýznamnosti řádkového faktoru
Kdyby nezáleželo ani na řádkovém faktoru, platila by hypotéza α1 = … = αa = 0 a
dostali bychom model
M2: Yijk = µ + εijk
Rozdíl mezi modely M1 a M2 ověřujeme pomocí testové statistiky
EE
AA
A
f/S
f/S
F = , která se řídí rozložením F(a-1,n-a-b+1), je-li model M2 správný.
Hypotézu o nevýznamnosti řádkového faktoru tedy zamítneme na hladině významnosti
α, když platí:
FA ≥ F1-α(a-1,n-a-b+1).
Při uvedeném postupu tedy zjišťujeme, zda záleží na sloupcovém efektu B. Pokud ne,
platí model M1 a ptáme se, zda záleží na řádkovém efektu A, tj. zda platí model M2.
Postup lze samozřejmě provést i v jiném pořadí – nejdřív zkoumáme řádkový efekt A
(tj. ověřujeme platnost modelu M1’: Yijk = µ + βj + εijk) a poté sloupcový efekt B. Lze
ukázat, že oba řetězce M0 → M1 → M2 a M0 → M1’→ M2’ dají stejné výsledky. (To
platí pouze za předpokladu, že nij = c pro všechna i, j.)
Výsledky výpočtů zapisujeme do tabulky analýzy rozptylu dvojného třídění bez
interakcí.
Zdroj variability součet čtverců st. vol. podíl S/f
EE f/S
f/S
F =
řádkový efekt A SA fA = a-1 SA/fA
EE
AA
A
f/S
f/S
F =
sloupcový efekt B SB fB = b-1 SB/fB
EE
BB
B
f/S
f/S
F =
reziduální SE fE = n-a-b+1 SE/fE celkem
ST fT = n-1 - -
Scheffého a Tukeyova metoda mnohonásobného porovnávání
Zjistíme-li, že existují významné rozdíly mezi řádky, můžeme pomocí Scheffého nebo
Tukeyovy metody zjistit, které dvojice řádků se významně liší. Určíme tedy, které
rozdíly αi - αt jsou nenulové (na dané hladině významnosti).
Podle Scheffého metody zamítneme rovnost αi = αt, když
( ) ( )1ban,1aF
1ban
S
bc
1a2
MM 1
E
..t..i +−−−⋅
+−−
⋅
−
>− α−
a podle Tukeyovy metody, když
( )1ban,aq
1ban
S
bc
1
MM 1
E
..t..i +−−
+−−
⋅>− α− , kde q1-α(a,n-a-b+1) najdeme
v tabulkách kvantilů studentizovaného rozpětí.
Jestliže zjistíme významný rozdíl mezi sloupci, určujeme podobně, které dvojice
sloupců se mezi sebou liší, tj. které rozdíly βj – βt jsou nenulové.
Podle Scheffého metody zamítneme rovnost βj = βt, když
( ) ( )1ban,1bF
1ban
S
ac
1b2
MM 1
E
.t..j. +−−−⋅
+−−
⋅
−
>− α−
a podle Tukeyovy metody, když
( )1ban,bq
1ban
S
ac
1
MM 1
E
.t..j. +−−
+−−
⋅>− α− .
Příklad:
Byly zaznamenány tržby za prodej určitého zboží během tří stejně dlouhých časových
období. Přitom byl sledován jednak vliv balení zboží (řádkový faktor A, úroveň 1 –
balení v sáčku, úroveň 2 – balení v krabičce) a jednak vliv druhu reklamy (sloupcový
faktor B, úroveň 1 – bez reklamy, úroveň 2 – reklama v novinách, úroveň 3 – reklama
v TV a novinách). Výsledky prodeje (tj. hodnota prodaného zboží v miliónech Kč)
jsou zaznamenány v tabulce:
B
1-bez reklamy 2-reklama v novinách 3-reklama v TV a novinách
1-balení v sáčku 1 1 6A
2-balení v krabičce 3 4 9
Na hladině významnosti 0,05 je třeba posoudit vliv reklamy i vliv balení zboží na jeho
prodej.
Řešení:
B
1-bez reklamy 2-reklama v novinách 3-reklama v TV a novinách
1-balení v sáčku 1 1 6A
2-balení v krabičce 3 4 9
Data zpracujeme pomocí analýzy rozptylu dvojného třídění bez interakcí. Přitom
a = 2, b = 3, c = 1, n = 6. Nejprve provedeme pomocné výpočty:
Součet všech hodnot: X… = 24
Průměr všech hodnot: M… = 24/6 = 4
Řádkové součty a průměry:
X1.. = 8, X2.. = 16, M1.. = 8/3 = 2,67, M2.. = 16/3 = 5,33
Sloupcové součty a průměry:
X.1. = 4, X.2. = 5, X.3. = 15, M.1. = 4/2 = 2, M.2. = 5/2 = 2,5, M.3. = 15/2 = 7,5.
a = 2, b = 3, c = 1, n = 6,
Celkový součet a průměr: X… = 24, M… = 24/6 = 4
Řádkové součty a průměry: X1.. = 8, X2.. = 16, M1.. = 8/3, M2.. = 16/3,
Sloupcové součty a průměry: X.1. = 4, X.2. = 5, X.3. = 15, M.1. = 4/2 = 2, M.2. = 5/2, M.3. = 15/2.
Řádkový součet čtverců:
( )∑=
−=
a
1i
2
.....iA MMbcS 6,10
3
32
4
3
16
4
3
8
3
22
==














−+





−= ,
Sloupcový součet čtverců:
( )∑=
−=
b
1j
2
....j.B MMacS ( ) 374
2
15
4
2
5
422
22
2
=














−+





−+−= ,
Celkový součet čtverců:
( )∑∑∑= = =
−=
a
1i
b
1j
c
1k
2
...ijkT MYS ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 48494443464141
222222
=−+−+−+−+−+−= ,
Reziduální součet čtverců:
3,0376,1048SSSS BATE =−−=−−= .
Výsledky zapíšeme do tabulky analýzy rozptylu dvojného třídění bez interakcí.
Zdroj variability součet čtverců st. vol. podíl S/f
EE f/S
f/S
F =
způsob balení 6,10 1 6,10 63,99
druh reklamy 37 2 18,5 110,98
reziduální 3,0 2 61,0 celkem
48 5 - Odpovídající
kvantily:
pro řádkový efekt F0,95(1,2) = 18,1,
pro sloupcový efekt F0,95(2,2) = 19.
Protože FA = 63,99 ≥ 18,1, zamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že způsob
balení nemá vliv na prodej zboží. Podobně FB = 110,98 ≥ 19, tedy na hladině
významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že druh reklamy nemá vliv na prodej zboží.
V případě sloupcového faktoru – druh reklamy - lze pomocí Scheffého nebo Tukeyovy
metody zjistit, které druhy reklamy se od sebe liší na hladině významnosti 0,05.
Nejprve vypočítáme absolutní hodnoty rozdílů sloupcových průměrů:
5
2
15
2
5
MM,5,5
2
15
2MM,5,0
2
5
2MM .3...2..3...1..2...1. =−=−=−=−=−=−
Pravá strana Scheffého vzorce je:
( ) ( )1ban,1bF
1ban
S
ac
1b2
1
E
+−−−⋅
+−−
⋅
−
α− = 52,21961,0
2
2
=⋅⋅ .
Vidíme, že podle Scheffého metody se na hladině významnosti 0,05 liší sloupce 1, 3
(tj. bez reklamy a s reklamou v TV a novinách) a sloupce 2, 3 (tj. s reklamou jen
v novinách a reklamou v TV a novinách).
Pravá strana Tukeyova vzorce je:
( )1ban,bq
1ban
S
ac
1
1
E
+−−
+−−
⋅ α− = ( ) 4,233,8
2
61,0
2,3q
2
61,0
95,0 =⋅=⋅ .
Podle Tukeyovy metody se na hladině významnosti 0,05 také liší sloupce 1, 3 a
sloupce 2, 3. Výhodnější je hodnota získaná Tukeyovou metodou, protože je menší.
Podívejme se ještě na počítačové výstupy. Nejprve ověříme předpoklady metody.
Nezávislost: splněno, plyne přímo za způsobu získání dat.
Normalita dat: ověříme pomocí N-P grafu a S-W testu aplikovaného na rezidua:
Normální p-graf z X Rezid.
Pozorované, předpovězené a reziduální hodnoty v PS1 3v*6c
-0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4
Pozorovaný kvantil
-1,4
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
Oček.normál.hodnoty
X Rezid.: SW-W = 0,9129; p = 0,4558
Na hladině významnosti 0,05 hypotézu o normalitě nezamítáme, p-hodnota S-W testu
je 0,4558, což je větší než 0,05.
Homogenita rozptylů: nelze ověřit, všech šest výběrů má rozsah 1.
Výpočet průměrů:
Efekt
Úroveň
Faktor
N X
Průměr
Celkem
A
A
B
B
B
6 4,000000
sacek 3 2,666667
krabicka 3 5,333333
bez reklamy 2 2,000000
reklama v novinach 2 2,500000
reklama v TV a novinach 2 7,500000
Tabulka dvoufaktorové ANOVY bez interakcí:
Jednorozm. výsledky pro každou záv. proměnnou (baleni_a_reklama.sta)
Přeparametrizovaný model
Dekompozice typu III
Efekt
Stupně
volnosti
X
SČ
X
PČ
X
F
X
p
A
B
Chyba
Celkem
1 10,6667 10,66667 64,0000 0,015268
2 37,0000 18,50000 111,0000 0,008929
2 0,3333 0,16667
6 144,0000
Na hladině významnosti 0,05 zamítáme jak hypotézu o nevýznamnosti typu balení
výrobku tak hypotézu o nevýznamnosti druhu reklamy.
Tabulka p-hodnot pro Tukeyovu metodu mnohonásobného porovnávání druhů
reklamy:
Č. buňky
B {1}
2,0000
{2}
2,5000
{3}
7,5000
1
2
3
bez reklamy 0,548301 0,010156
reklama v novinach 0,548301 0,012218
reklama v TV a novinach 0,010156 0,012218
Na hladině významnosti 0,05 se liší dvojice variant (bez reklamy, reklama v TV a
novinách) a dvojice (reklama v novinách, reklamy v TV a novinách). Naopak se neliší
dvojice (bez reklamy, reklama v novinách).
Graf závislosti prodeje na typu balení:
A; Vážené průměry
Současný efekt: F(1, 2)=64,000, p=,01527
Dekompozice typu III
Vertikální sloupce označují 0,95 intervaly spolehlivosti
sacek krabicka
A
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
X
Graf závislosti prodeje na druhu reklamy:
B; Vážené průměry
Současný efekt: F(2, 2)=111,00, p=,00893
Dekompozice typu III
Vertikální sloupce označují 0,95 intervaly spolehlivosti
bez reklamy
reklama v novinach
reklama v TV a novinach
B
-25
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
X
Dvojné třídění s interakcemi
Nyní předpokládáme, že faktory A a B se mohou ovlivňovat (např. některý způsob
hnojení má zcela specifický vliv na určitý typ půdy). Náhodné veličiny Yijk se řídí
modelem
M0: Yijk = µ + αi + βj + γij + εijk pro i = 1, …, a, j = 1, …, b, k = 1, …, c, přičemž
γij je interakce mezi faktorem A na úrovni i a faktorem B na úrovni j. V této situaci
předpokládáme, že c ≥ 2. Parametry µ, αi, βj neznáme. Požadujeme, aby platily tzv.
reparametrizační rovnice:
0,0,0,0
b
1j
ij
a
1i
ij
b
1j
j
a
1i
i =γ=γ=β=α ∑∑∑∑ ====
.
Nyní můžeme utvořit modely
M1: Yijk = µ + αi + βj + εijk
M2: Yijk = µ + αi + εijk
M3: Yijk = µ + εijk
(Lze samozřejmě použít i jiný řetězec modelů, kdy postupně klademe rovny nule
parametry αi, βj, γij v jiném pořadí.)
Vypočítáme součty čtverců:
celkový ( )∑∑∑= = =
−=
a
1i
b
1j
c
1k
2
...ijkT MYS , fT = n – 1,
řádkový ( )∑=
−=
a
1i
2
.....iA MMbcS , fA = a – 1,
sloupcový ( )∑=
−=
b
1j
2
....j.B MMacS , fB = b – 1,
reziduální ( )∑∑∑= = =
−=
a
1i
b
1j
c
1k
2
.ijijkE MYS , fE = n – ab
a součet čtverců pro interakce ( ) ( )[ ]∑∑= =
−−−=
a
1i
b
1j
2
....j...i.ijAB MMMMcS , fAB = (a-1)(b-1).
Vliv interakcí je prokázán na hladině významnosti α, když
( )( )( )abn,1b1aF
f/S
f/S
F 1
EE
ABAB
AB −−−≥= −α .
Výsledky zapisujeme do tabulky analýzy rozptylu dvojného třídění s interakcemi:
Zdroj variability součet čtverců st. vol. podíl S/f
EE f/S
f/S
F =
řádkový faktor A SA fA = a-1 SA/fA
EE
AA
A
f/S
f/S
F =
sloupcový faktor B SB fB = b-1 SB/fB
EE
BB
B
f/S
f/S
F =
interakce A,B SAB fAB = (a-1)(b-1) SAB/fAB
EE
ABAB
AB
f/S
f/S
F =
reziduální SE fE = n-ab SE/fE celkem
ST fT = n-1 - Je
třeba si povšimnout, že součet SAB + SE resp. fAB + fE dá hodnotu SE resp. fE
v tabulce bez interakcí.
Možné problémy v analýze rozptylu dvojného třídění s interakcemi
a)Ukáže-li se vliv interakcí nevýznamný, vzniká otázka, zda testovat vliv řádků resp.
sloupců pomocí tabulky s interakcemi nebo provést novou analýzu rozptylu, ale
tentokrát bez interakcí. Převládá názor, že je zapotřebí dokončit analýzu rozptylu
s interakcemi.
b)Pokud interakce vyjdou významné a řádky a sloupce rovněž, zpravidla se
nedoporučuje provádět mnohonásobné porovnávání, protože by se mohlo stát, že
některá interakce by byla mnohem výraznější než příslušný řádkový resp. sloupcový
efekt.
c)Nejsou-li interakce významné a řádky resp. sloupce ano, pak lze provést
mnohonásobné porovnávání zcela analogicky jako v případě třídění bez interakcí,
avšak je jiný počet stupňů volnosti fE.
Tabulka odhadů různých parametrů a rozptylů těchto odhadů
parametr odhad rozptyl odhadu
µ M… σ2
/n
µ + αi Mi.. σ2
/bc
µ + βj M.j. σ2
/ac
µ + αi + βj + γij Mij. σ2
/c
αi Mi.. – M... σ2
(a-1)/n
βj M.j. – M… σ2
(b-1)/n
γij (Mij. - Mi..) – (M.j. – M…) σ2
(a-1)(b-1)/n
Neznámý rozptyl σ2
nahradíme jeho odhadem, tj. průměrným reziduálním čtvercem
abn
S
s e2
−
= .
Příklad:
Byly zkoumány výnosy sena (v q/ha) v závislosti na typu půdy (řádkový faktor A,
úroveň 1 – normální půda, úroveň 2 – kyselá půda) a na způsobu hnojení (sloupcový
faktor B, úroveň 1 – bez hnojení, úroveň 2 – hnojení chlévskou mrvou, úroveň 3 –
hnojení vápenatým hnojivem). Každá kombinace faktorů A a B byla realizována
čtyřikrát nezávisle na sobě. Výnosy sena jsou uvedeny v tabulce:
B
1-bez hnojení 2-chlévská mrva 3-vápenaté hnojivo
1-normální půda 28 32 30 30 37 36 39 36 34 38 37 36A
2-kyselá půda 31 27 30 29 34 34 30 38 42 40 41 39
Na hladině významnosti 0,05 máme posoudit vliv typu půdy a způsobu hnojení (včetně
případných interakcí) na výnosy sena.
Řešení:
Data zpracujeme pomocí analýzy rozptylu dvojného třídění s interakcemi. Přitom a = 2, b = 3,
c = 4, n = abc = 24.
Ověření předpokladů:
Nezávislost všech šesti výběrů: splněno, plyne přímo ze způsobu získání dat.
Normalita dat: ověřeno pomocí N-P grafu a S-W testu aplikovaného na rezidua.
Normální p-graf z X Rezid.
Pozorované, předpovězené a reziduální hodnoty v PS1 3v*24c
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Pozorovaný kvantil
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Oček.normál.hodnoty
X Rezid.: SW-W = 0,9759; p = 0,8093
Příslušná p-hodnota je 0,8093, tedy na hladině významnosti 0,05 hypotézu o normalitě reziduí
nezamítáme.
Homogenita rozptylů: nemusí se zkoumat, jde o vyvážené třídění. Jinak lze ověřit pomocí
Levenova testu.
PČ
Efekt
PČ
Chyba
F p
X 0,600000 1,555556 0,385714 0,852058
Levenův test hypotézu o homogenitě rozptylů nezamítá na hladině významnosti 0,05, protože
jeho p-hodnota je 0,852.
Průměrné výnosy ve všech šesti skupinách:
Č. buňky
A B X
Průměr
N
1
2
3
4
5
6
normální bez hnojení 30 4
normální chlévská mrva 37 4
normální vápenaté hnojivo 36,25 4
kyselá bez hnojení 29,25 4
kyselá chlévská mrva 34 4
kyselá vápenaté hnojivo 40,5 4
Tabulka dvoufaktorové ANOVY s interakcemi:
Zdroj variability součet čtverců st. vol. podíl S/f
EE f/S
f/S
F =
typ půdy 0,166 1 0,166 0,04
způsob hnojení 318,25 2 159,125 41,81
interakce 55,084 2 27,542 7,24
reziduální 68,5 18 3,8056 celkem
442 23 - Odpovídající
kvantily:
pro řádkový efekt F0,95(1,18) = 4,41, pro sloupcový efekt F0,95(2,18) = 3,55, pro interakce
F0,95(2,18) = 3,55.
Protože FA = 0,04 < 4,41, nezamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu, že typ půdy
neovlivňuje výnos sena.
Dále FB = 41,81 ≥ 3,55, tedy na hladině významnosti 0,05 se prokázal rozdíl mezi použitými
způsoby hnojení.
Jelikož FAB = 7,24 ≥ 3,55, zamítáme na hladině významnosti 0,05 hypotézu o nevýznamnosti
interakcí (tj. aspoň jeden způsob hnojení působí jinak na půdu normální než kyselou).
Počítačový výstup:
Jednorozměrné testy významnosti pro X (seno.sta)
Přeparametrizovaný model
Dekompozice typu III
Efekt
SČ Stupně
volnosti
PČ F p
A
B
A*B
Chyba
0,1667 1 0,1667 0,04380 0,836585
318,2500 2 159,1250 41,81387 0,000000
55,0833 2 27,5417 7,23723 0,004938
68,5000 18 3,8056
Vidíme, že p-hodnota pro testovou statistiku FB je velmi blízká 0, tedy na hladině
významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že způsob hnojení nemá vliv na výnosy sena.
Podobně p-hodnota pro testovou statistiku FAB je 0,004938, což znamená, že na
hladině významnosti 0,05 zamítáme hypotézu, že způsob hnojení působí na oba typy
půd stejně.
Graf závislosti průměrného výnosu sena na typu půdy:
A*B; Nevážené průměry
Současný efekt: F(2, 18)=7,2372, p=,00494
Dekompozice typu III
Vertikální sloupce označují 0,95 intervaly spolehlivosti
B
bez hnojení
B
chlévská mrva
B
vápenaté hnojivo
normální kyselá
A
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
X
Graf závislosti průměrného výnosu sena na způsobu hnojení:
A*B; Nevážené průměry
Současný efekt: F(2, 18)=7,2372, p=,00494
Dekompozice typu III
Vertikální sloupce označují 0,95 intervaly spolehlivosti
A
normální
A
kyselá
bez hnojení
chlévská mrva
vápenaté hnojivo
B
24
26
28
30
32
34
36
38
40
42
44
46
X
V obou grafech se objevuje křížení, které je typické pro případ, kdy působí interakce
mezi faktory A, B.