Teorie potřebná ke zpracování datových souborů o zoonózách
a) Interval spolehlivosti pro pravděpodobnost úspěchu
b) Testování hypotézy o nezávislosti dvou nominálních veličin a Cramérův koeficient
c) Podíl šancí ve čtyřpolní kontingenční tabulce
d) Interval spolehlivosti pro podíl šancí
a) Interval spolehlivosti pro pravděpodobnost úspěchu
Asymptotické rozložení statistiky odvozené z výběrového průměru
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení A( ϑ ) a nechť je splněna podmínka ( ) 91n >ϑ−ϑ .
Pak statistika ( )
n
1
M
U
ϑ−ϑ
ϑ−
=
konverguje v distribuci k náhodné veličině se standardizovaným
normálním rozložením.
Vysvětlení:
Protože X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení A( ϑ ), bude mít statistika ∑=
=
n
1i
in XY (výběrový
úhrn) rozložení Bi(n, ϑ ). Yn má střední hodnotu E(Yn) = n ϑ a rozptyl D(Yn) = ( )ϑ−ϑ1n . Podle
centrální limitní věty se standardizovaná statistika ( )ϑ−ϑ
ϑ−
=
1n
nY
U n
asymptoticky řídí
standardizovaným normálním rozložením N(0,1). Pokud čitatele i jmenovatele podělíme n,
dostaneme vyjádření: ( ) ( ) ( )
( )1,0N
n
1
M
n
1
X
n
1
n
1n
n
Y
U
n
1i
i
2
n
≈
ϑ−ϑ
ϑ−
=
ϑ−ϑ
ϑ−
=
ϑ−ϑ
ϑ−
=
∑=
Vzorec pro meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro
parametr ϑ:
Meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro parametr ϑ jsou:
2/12/1 u
n
)m1(m
mh,u
n
)m1(m
md α−α−
−
+=
−
−= .
Vysvětlení:
Pokud rozptyl ( ) ( )
n
1
MD
ϑ−ϑ
= nahradíme odhadem
( )
n
M1M −
, konvergence náhodné veličiny
U k veličině s rozložením N(0,1) se neporuší. Tedy







 −
+<ϑ<
−
−=
=












<
−
ϑ−
<−≤α−Ξ∈ϑ∀
α−α−
α−α−
2/12/1
2/12/1
u
n
)M1(M
Mu
n
)M1(M
MP
u
n
)M1(M
M
uP1:
(Tyto meze lze vypočítat ve STATISTICE pomocí modulu Analýza síly testu.)
b) Testování hypotézy o nezávislosti dvou nominálních veličin a Cramérův koeficient
Testujeme nulovou hypotézu H0: X, Y jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny proti alternativě
H1: X, Y nejsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny. Přitom X má r variant a Y s variant.
Kdyby náhodné veličiny X, Y byly stochasticky nezávislé, pak by platil multiplikativní vztah
r,,1j K=∀ , s,,1k K=∀ : πjk = πj. π.k neboli
n
n
n
n
n
n k..jjk
⋅= , tj.
n
nn
n
k..j
jk = .
Číslo
n
nn k..j
se nazývá teoretická četnost dvojice variant (x[j], y[k]).
Testová statistika: ∑∑= =






−
=
r
1j
s
1k k..j
2
k..j
jk
n
nn
n
nn
n
K . Platí-li H0, pak K se asymptoticky řídí rozložením χ2
((r-1)(s-1)).
Kritický obor: ( )( )( ) )∞−−χ= α− ,1s1rW 1
2
.
Hypotézu o nezávislosti veličin X, Y tedy zamítáme na asymptotické hladině významnosti α,
když K ≥ χ2
1-α((r-1)(s-1)).
Podmínky dobré aproximace
Rozložení statistiky K lze aproximovat rozložením χ2
((r-1)(s-1)), pokud teoretické četnosti
n
nn k..j
aspoň
v 80 % případů nabývají hodnoty větší nebo rovné 5 a ve zbylých 20 % neklesnou pod 2. Není-li splněna
podmínka dobré aproximace, doporučuje se slučování některých variant.
Měření síly závislosti
Cramérův koeficient: )1m(n
K
V
−
= , kde m = min{r,s}. Tento koeficient nabývá hodnot mezi 0 a 1. Čím
blíže je k 1, tím je závislost mezi X a Y těsnější, čím blíže je k 0, tím je tato závislost volnější.
Význam hodnot Cramérova koeficientu:
mezi 0 až 0,1 … zanedbatelná závislost,
mezi 0,1 až 0,3 … slabá závislost,
mezi 0,3 až 0,7 … střední závislost,
mezi 0,7 až 1 … silná závislost.
c) Podíl šancí ve čtyřpolní kontingenční tabulce
okolnostiVýsledek pokusu
I II
nj.
úspěch a b a+b
neúspěch c d c+d
n.k a+c b+d n
Poměr počtu úspěchů ku počtu neúspěchů za okolností I je
c
a
(šance na úspěch za okolností I).
Poměr počtu úspěchů ku počtu neúspěchů za okolností II je
d
b
(šance na úspěch za okolností II).
Podíl těchto dvou poměrů je podíl šancí: bc
ad
d
b
c
a
OR ==
.
Pokud OR =1, pak okolnosti nemají vliv na výskyt jevu.
Pokud OR > 1, pak za okolností I je vyšší šance na výskyt jevu než za okolností II.
Pokud OR < 1, pak za okolností I je nižší šance na výskyt jevu než za okolností II.
Podíl šancí považujeme za odhad neznámého teoretického podílu šancí
2112
2211
o
ππ
ππ
=ρ .
d) Interval spolehlivosti pro podíl šancí
Logaritmus teoretického podílu šancí oρ má přibližně normální rozložení a směrodatná odchylka jeho
odhadu, tj. logaritmu podílu šancí OR, je
d
1
c
1
b
1
a
1
+++ .
Meze 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro ln oρ jsou
2/12/1 u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORln,u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORln α−α− +++++++− .
Odlogaritmováním dostaneme meze 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti pro oρ:








++++=







+++−= α−α− 2/12/1 u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlnexph,u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlnexpd
(Tyto meze lze ve STATISTICE vypočítat pomocí modulu Pokročilé lineární/nelineární modely
– Zobecněné lineární/nelineární modely – Logitový model.)