Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA L2 teorie, obecná Fourierova řada a podmínky pro její konvergenci, úplné ortonormální systémy a příklady takových systémů, Parsevalova rovnost, Fourierova transformace a její základní vlastnosti, věta o inverzní transformaci Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta Seminář z finanční matematiky MASARYKOVA UNIVERZITA 2016 Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 1/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace 1 Prostor L2(a, b) (Hilbertův prostor) 2 Fourierova transformace 3 Fourierova transformace v Rn 4 Inverzní Fourierova transformace Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 2/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) L2(a, b) = f : (a, b) → C, b a |f(x)|2 dx < ∞ (f, g) = b a f(x) g(x) dx ||f||2 = (f, f) ρ (f, g) = ||f − g|| = b a |f(x) − g(x)|2 dx 1 2 Cauchy-Schwarzova nerovnost: |(f, g)| ||f|| · ||g|| Skalární součin je spojitý (důkaz) Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 3/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Ortogonální systém Definice: Řekneme, že (φn)∞ n=0 je ortogonální systém funkcí, jestliže ∀n = m : (φn, φm) = 0. Pokud navíc ||φn|| = 1, systém se nazývá ortonormální. Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 4/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Fourierova řada Definice: Nechť (φn)∞ n=0 je ortonormální systém v L2(a, b), f ∈ L2(a, b). Položme cn = b a f(x) φn(x) dx = (f, φn). Čísla cn se nazývají Fourierovy koeficienty funkce f vzhledem k systému (φn). Formální řada ∞ n=0 cn φn se nazývá Fourierova řada funkce f. Příklady ortogonálních systémů: (1, sin nx, cos nx) ∞ n=1 einx ∞ n=−∞ (sin nx) ∞ n=1 Částečný součet Fourierovy řady: fN = N n=0 cn φn ∈ L (φ0, . . . , φN) Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 5/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Fourierova řada Věta: Nechť (φn)∞ n=0 je ortonormální systém, f ∈ L2(a, b), cn jsou Fourierovy koeficienty funkce f. Pak pro libovolné d0, . . . , dN platí ||f − N n=0 dnφn|| ||f − fN|| , tj. fN je nejlepší aproximací funkce f v L (φ0, . . . , φN). Rovnost nastane pouze, je-li d0 = c0, . . . , dN = cN (fN je jediná nejlepší aproximace funkce f v L (φ0, . . . , φN). Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 6/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Besselova rovnost, Besselova nerovnost, Parsevalova rovnost Důsledky: Besselova rovnost (Besselova identita): ||f||2 = N n=0 |cn|2 + ||f − fN||2 Besselova nerovnost: ∀N : N n=0 |cn|2 ||f||2 , tedy ∞ n=0 |cn|2 ||f||2 Věta: Fourierova řada ∞ n=0 cn φn konverguje v normě k funkci f právě tehdy, když platí Parsevalova rovnost ∞ n=0 |cn|2 = ||f||2 Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 7/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Rieszova - Fischerova věta Věta (Rieszova - Fischerova věta): Nechť (cn)∞ n=0 ∈ l2. Pak existuje funkce f, jejíž Fourierovy koeficienty jsou (cn)∞ n=0 a řada ∞ n=0 cn φn konverguje k funkci f Poznámka: Konvergence v normě: b a |fn − f|2 dx < (b − a) ε Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 8/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Úplný ortonormální systém Definice: Ortonormální systém (φn)∞ n=0 se nazývá úplný, jestliže platí: Pokud pro nějakou funkci f ∈ L2(a, b) je (f, φn) = 0 ∀n, pak f ≡ 0. Věta: Nechť (φn)∞ n=0 je úplný ortonormální systém, f ∈ L2(a, b), (cn)∞ n=0 jsou Fourierovy koeficienty funkce f vzhledem k (φn)∞ n=0. Pak ∞ n=0 cn φn konverguje k f a platí tedy ∞ n=0 |cn|2 = ||f||2 Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 9/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Uzavřený systém Definice: Systém (φn)∞ n=0 se nazývá uzavřený v L2(a, b), jestliže L (φn)∞ n=0 je hustý v L2(a, b), tj. L (φn)∞ n=0 = L2(a, b). Věta: Ortonormální systém (φn)∞ n=0 je úplný právě tehdy, když je uzavřený. Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 10/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Fourierova transformace Definice: Nechť f ∈ L1(R). Pro t ∈ R definujeme f(t) = ∞ −∞ f(x) e−itx dx. Funkci f nazýváme Fourierova transformace funkce f. ∀t ∈ R je f(t) konečný, protože ∞ −∞ |f(x) e−itx | dx = ∞ −∞ |f(x)| dx < ∞ a | ∞ −∞ f(x) dx| ∞ −∞ |f(x)| dx < ∞ Věta: Nechť f ∈ L1(R) je ohraničená, pak f je spojitá. Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 11/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Základní vlastnosti Fourierovy transformace: Linearita: af1 + bf2 = af1 + bf2 Změna měřítka: f ∈ L1(R), fR(x) = f(R · x), pak fR(t) = 1 |R| f t R F.T. derivace: f, f ∈ L1(R) ∩ C(R), limx→±∞ f(x) = 0, pak f (t) = it · f(t) → důsledek:f(k)(t) = (it)k f (t) Derivace F.T.: f ∈ L1(R) ∩ C(R), g(x) = x · f(x), g ∈ L1(R) ∩ C(R), pak f je diferencovatelná a platí df dt = −i · g (t) F.T. konvoluce: f, g ∈ L1, pak f ∗ g (t) = f (t) · g (t) Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 12/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Základní vlastnosti Fourierovy transformace: F.T. posunutí: f ∈ L1(R) ∩ C(R), fa(x) = f(x − a), pak fa(t) = f(t) e−iat Posunutí F.T.: f ∈ L1(R) ∩ C(R), pak f(t − a) = f(x) · ei ax (t) F.T. Gaussovy funkce: G(x) = 1√ (2π) e−x2 2 , pak G(t) = e−t2 2 Základní identita F.T.: f, g ∈ L1(R) ∩ C(R), pak ∞ −∞ f · g = ∞ −∞ f · g Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 13/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Předpokládejme: f : Rn → C, f ∈ L1(Rn), x = (x1, . . . , xn), t = (t1, . . . , tn) , t · x = n j=1 tj · xj Definice: Nechť x, t ∈ Rn. Fourierovu transformaci v Rn definujeme jako f(t) = Rn f(x) e−it·x dx. Poznámka: Funkce Schwarzovy třídy (rychle klesající v ∞) S = f : Rn → C, lim||x||→∞ |xα f(β) | = 0∀α, β C∞ 0 = {f ∈ C∞ (R), f má kompaktní nosič} Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 14/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Základní vlastnosti Fourierovy transformace v Rn : Linearita: af1 + bf2 = af1 + bf2 Změna měřítka: fR(x) = f(R · x), R > 0, pak fR(t) = 1 Rn f t R F.T. parciální derivace: ∂f ∂xj (t) = itj · f(t) → důsledek:∆f (t) = −||t||2 f (t) Základní identita F.T. v Rn: f, g ∈ L1 ∩ C, pak Rn f · g = Rn f · g Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 15/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Inverzní Fourierova transformace Věta o inverzní F.T.: f, f ∈ L1 ∩ C, f je stejnoměrně spojitá. Pak f(x) = 1 2π ∞ −∞ f (t) ei tx dt . Inverzní F.T. v R: f(x) = 1 2π ∞ −∞ f (t) ei tx dt Inverzní F.T. v Rn: f ∈ S, pak f(x) = 1 (2π)n Rn f (t) ei t·x dt Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 16/17 Prostor L2 (a, b) (Hilbertův prostor) Fourierova transformace Fourierova transformace v Rn Inverzní Fourierova transformace Aplikace Fourierovy transformace Důkaz Centrální limitní věty Řešení rovnice vedení tepla Jana Faltýnková Přírodovědecká fakulta MU SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 17/17