SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA 1
MARTIN KOLÁŘ
Kapitola 1
Fourierovy řady
1.1 Úvod
1.1.1 Motivační příklad
Z hlediska historie vznikla teorie Fourierových řad ve fyzice, při snaze najít řešení
rovnice vedení tepla.
Uvažujme šíření tepla v tenké tyči z homogenního materiálu, kterou modelujeme
jako jednorozměrné těleso. Budeme předpokládat že délka tyče je rovna π (toho
můžeme vždy dosáhnout volbou jednotek délky). Modelem tyče bude úsečka na
reálné ose s hraničními body 0 a π.
Teplotu tyče v počátečním čase t = 0 popisuje funkce u0(x) pro x ∈ 0, π , kterou
známe. Zajímá nás jak se teplo v tyči šíří pro t > 0. Teplotu v bodě x a čase t bude
popisovat funkce u(x, t) .
Z fyzikálních zákonu plyne, že funkce popisující teplotu splňuje diferenciální rov-
nici
uxx(x, t) = ut(x, t) (1.1)
pro všechna x ∈ (0, π) a t > 0.
K tomu, abychom mohli určit funkci u(x, t) musíme ješte vědět co se děje na
koncích tyče. Budeme uvažovat nejjednodušší situaci (z matematického hlediska),
kdy na koncích tyče udržujeme stále nulovou teplotu.
Celkem tedy chceme řešit rovnici (1.1), s počáteční podmínkou
u(x, 0) = u0(x)
pro x ∈ 0, π a okrajovými podmínkami
u(0, t) = u(π, t) = 0
pro t ≥ 0. Pro některé speciální počáteční podmínky není těžké řešení najít. Je-li
u0(x) = sin x, (1.2)
1
pak dvojnásobným derivováním podle x dostaneme
d2
dx2
u0(x) = − sin x,
tedy původní funkci s opačným znaménkem. Pokud najdeme funkci f proměnné t
která při jednonásobném derivováním podle t změní znaménko, bude součin f(t) sin x
zřejmě řešením rovnice. Pokud navíc bude hodnota f v bodě t = 0 rovna jedné, bude
splňena i počáteční podmínka. Řešení úlohy
f (t) = −f(t), f(0) = 1
najdeme snadno, je to funkce
f(t) = e−t
.
Tak jsme našli jedno řešení naší úlohy, se speciální počáteční hodnotou (1.2),
u(x, t) = sin xe−t
.
Stejnou úvahu můžeme udělat i pro další počáteční hodnoty, tvaru
u0(x) = sin nx,
pro libovolné přirozené číslo n. Máme
d2
dx2
u0(x) = −n2
sin x,
potřebujeme tedy najít funkci splňující
f (t) = −n2
f(t), f(0) = 1,
t.j.
f(t) = e−n2t
.
Celkem dostaneme řešení
u(x, t) = sin nxe−n2t
.
Zdá se že jsme se příliš daleko nedostali, máme několik příkladů řešení pro velmi
speciální počáteční hodnoty teploty. Teď ale můžeme využít toho, že jak rovnice
vedení tepla tak počáteční podmínka jsou lineární. Když tedy bude počáteční teplota
konečnou lineární kombinací funkcí sin nx,
u0(x) =
N
n=1
bn sin nx,
bude řešení odpovídající kombinací speciálních řešení,
u(x, t) =
N
n=1
bn sin nxe−n2t
.
2
Zůstává otázka jaké funkce je možné vyjádřit jako konečnou lineární kombinaci
funkcí sin nx.
Všechno co jsme zatím řekli bylo známo před Fourierovou prací. Fourier uvažoval
předchozí argument pro nekonečné lineární kombinace a vyslovil ve své době velmi
odvážnou doměnku, že každou funkci splňující f(0) = f(π) = 0 lze napsat jako
nekonečnou lineární kombinaci funkcí sin nx, a obecnou funkci pak jako nekonečnou
lineární kombinaci funkcí sin nx a cos nx. Tak by bylo možné najít obecné řešení
rovnice vedení tepla.
Fourierova hypotéza: Každou ”rozumnou” funkci na omezeném intervalu lze
napsat jako nekonečnou lineární kombinaci funkcí sin nx a cos nx.
1.1.2 Trigonometrické polynomy a řady
Definice 1.1.1. Trigonomotrický polynom je výraz tvaru
a0
2
+
N
n=1
an cos nx + bn sin nx,
kde an, bn jsou reálné nebo případně komplexní konstanty. Trigonometrický polynom
představuje poměrně jednoduše analyzovatelnou funkci, zadanou konečným počtem
konstant. Pomocí těchto funkcí bychom rádi aproximovali libovolně složité funkce.
Částečná analogie této situace je známá ze základů matematické analýzy. Podle
Taylorovy věty můžeme každou funkci n-krát diferencovatelnou v bodě x0 aproximovat
v okolí tohoto bodu pomocí Taylorova polynomu stupně n.
Z praktického hlediska má Taylorův polynom dvě nevýhody. Předpoklad nnásobné
diferencovatelnosti je značně omezující a často není splňen. Druhým nedostatkem
je to že dává pouze lokální aproximaci, na okolí daného bodu, o jehož
velikosti nemáme apriori žádnou informaci.
Oba tyto nedostatky odstraňuje tzv. Weierstrassova věta, která dává globální
stejnoměrnou aproximaci polynomy pro libovolnou spojitou funkci. Tuto větu dokážeme
jako důsledek tvrzení o aproximaci trigonometrickými polynomy.
Vedle trigometrických polynomů nás budou zajímat jejich nekonečné analogie trigonometrické
řady.
Trigonometrická řada je nekonečná funkční řada tvaru
a0
2
+
∞
n=1
an cos nx + bn sin nx.
Tuto řadu uvažujeme jako formální řadu a budeme se mimo jiné zajímat otázkami
její konvergence. Částečným součtem trigonometrické řady je trigonometrický poly-
nom
sn(x) =
a0
2
+
n
k=1
ak cos kx + bk sin kx.
3
1.1.3 Komplexní tvar trigonometrických polynomů a řad
Ve řadě případů je jednodušší pracovat s komplexním tvarem trigonometrickéhých
polynomů a řad. Klíčem pro převod mezi reálným a komplexním tvarem je Eulerův
vzorec pro komplexní exponenciálu
eiy
= cos y + i sin y,
pro libovolné y ∈ R. Existuje řada různých důkazů tohoto vztahu, jedním z nich je
důkaz pomocí mocninných řad, který předpokládá znalost Taylorova rozvoje exponenciály.
Pro komplexní exponenciálu platí stejný rozvoj do mocninné řady jako pro
reálnou, tedy
ez
=
∞
n=0
zn
n!
pro libovolné z ∈ C. Pro z = iy tedy máme
eiy
=
∞
i=0
(iy)n
n!
= 1 −
y2
2!
+
y4
4!
+ . . . + i(
y
1!
−
y3
3!
+ . . .) = cos y + i sin y.
Dosazením do reálného tvaru trigonometrického polynomu
cos nx =
enx
+ e−nx
2
, sin nx =
enx
− e−nx
2i
dostaneme komplexní tvar trigonometrického polynomu
f(x) =
N
n=−N
einx
,
kde vztahy mezi koeficienty an, bn a cn jsou následující. Pro n > 0 je
cn =
1
2
(an − ibn),
pro n < 0 je
cn =
1
2
(a−n − ib−n),
a
c0 =
a0
2
.
Stejné vztahy platí pro komplexní tvar trigonometrické řady
∞
n=−∞
einx
.
4
1.1.4 Výpočet koeficientů
Nejdříve budeme uvažovat situaci kdy trigonometrická řada konverguje a jejím součtem
je f(x). Na prostoru spojitých (reálných nebo komplexních) funkcí na intervalu
−π, π definujeme skalární součin vztahem
(f, g) =
π
−π
f(x)g(x)dx.
který je přímou analogií Euklidovského skalárního součinu v Rn
.
Věta 1.1.2. Nechť f je součtem trigonometrické řady,
f(x) =
a0
2
+
∞
n=1
an cos nx + bn sin nx, (1.3)
a předpokládejme že řada konverguje stejnoměrně na intervalu −π, π . Pak pro její
koeficienty platí
an =
1
π
π
−π
f(x) cos nxdx (1.4)
and
bn =
1
π
π
−π
f(x) sin nxdx (1.5)
Důkaz této věty je založen na ortogonálních vlastnostech systému funkcí
{1, cos nx, sin nx}, které shrnuje následující lemma.
Lemma 1.1.3. Systém funkcí {1, cos nx, sin nx} je ortogonální systém, t.j. pro
libovolné dvě funkce φ1, φ2, navzájem různé, z tohoto systému platí
(φ1, φ2) = 0.
Navíc platí následující vztahy
(cos mx, cos mx) = (sin mx, sin mx) = π
a (1, 1) = 2π. Důkaz: Zřejmě platí
π
−π
sin nxdx =
π
−π
cos nxdx = 0.
Odtud máme například
π
−π
cos mx cos nxdx =
π
−π
cos (n + m)x + cos (m − n)xdx = 0.
Podobně dostaneme ostatní vztahy.
5
Důkaz Věty 1.1.2. Vztah 1.3 vynásobíme cos mx a zintegrujeme
π
−π
f(x) cos nxdx =
π
−π
a0
2
+
∞
n=1
an cos nx + bn sin nx cos mxdx =
=
π
−π
a0
2
cos mxdx +
∞
n=1
an
π
−π
cos mx cos nx + bn
π
−π
cos mx sin nxdx =
= πam.
Záměnna sumy a integrálu je možná díky stejnoměrné konvergenci. Tedy
an =
1
π
π
−π
f(x) cos nxdx
a analogicky pro bn a a0.
1.2 Dirichletova věta o bodové konvergenci
Viděli jsme, že za předpokladu stejnoměrné konvergence je vztah mezi součtem trigonometrické
řady 1.3 a jejími koeficienty dán vztahy (1.3), (1.4). Z hlediska aplikací
taková věta zdaleka nestačí, často chceme analyzovat funkce u kterých víme že konvergence
být stejnoměrná nemůže (například u funkcí s jednoduchými nespojitostmi
- součtem řady při stejnoměrné konvergenci musí být spojitá funkce).
Teď náš pohled obrátíme. Budeme definovat Fourierovy koeficienty pro co nejširší
třídu funkcí, pro než maji integrály (1.3), (1.4) smysl. Pak se budeme zajímat o to za
jakých podmínek výsledná řada konverguje a jaký je vztah jejího součtu a původní
funkce.
Přirozenou třídou funkcí pro které je (1.3) a (1.4) dobře definováno jsou funkce
absolutně integrovatelné. Označíme
L1
( −π, π )
prostor všech funkcí f(x) takových, že
π
−π
|f(x)|dx < ∞.
Je-li f ∈ L1
( −π, π ), pak automaticky
|f(x) sin nx| ≤ |f(x)|,
a analogicky pro f(x) cos nx a f(x)einx
. Integrály jsou tedy konečné a Fourierovy
koeficienty dobře definované.
Definice 1.2.1. Nechť f ∈ L1
( −π, π ). Reálné Fourierovy koeficienty funkce f
definujeme vztahy (1.3) a (1.4). Komplexní Fourierovy koeficienty jsou definovány
vztahem
ck =
π
−π
f(x)e−ikx
dx.
6
Píšeme f ∼ (ak, bk) a f ∼ (ck). Formální mocninné řady vzniklé z těchto koeficientů
se nazývají (reálná, resp. komplexní) Forierova řada funkce f.
Definice 1.2.2. Funkce f je po částech hladká na intervalu −π, π , jestliže existuje
dělení tohoto intervalu na konečně mnoho podintervalů tak, že na každém z
podintervalů lze f a f spojitě rozšířit na uzávěr tohoto intervalu.
Pro po částech hladkou funkci jsou dobře definovány jednostranné limity
f(x+) = lim
u→0+
f(x + u)
a
f(x−) = lim
u→0−
f(x + u)
pro libovolné x ∈ −π, π a analogicky pro f .
Věta 1.2.3. (Dirichletova) Nechť f je po částech hladká na −π, π . Pak Fourierova
řada funkce f konverguje v každém bodě tohoto intervalu k
1
2
[f(x+) + f(x−)].
Speciálně, je-li f spojitá v bodě x, pak řada konverguje k f(x).
Důkaz: Nechť (ak, bk) jsou Fourierovy koeficienty funkce f. Chceme dokázat, že
lim
n→∞
sn(x) = lim
n→∞
a0
2
+
n
k=1
ak cos kx + bk sin kx =
1
2
[f(x+) + f(x−)].
Nejdříve dosadíme za ak a bk,
sn(x) =
1
2
π
−π
f(t)dt +
n
k=1
π
−π
f(t)(cos kt cos kx + sin kt sin kx)dx
Použitím trigonometrické identity
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
dostaneme
sn(x) =
π
−π
f(t)
1
2
+
n
k=1
cos k(t − x) dt.
Ukážeme že pro součet na pravé straně platí
1
2
+
n
k=1
cos ku =
sin(n + 1
2
)u
2 sin(u
2
)
.
Opravdu, z trigonometricke identity
2 sin
u
2
cos ku = sin(k +
1
2
)u − sin(k −
1
2
)u
7
sečtením přes k dostaneme
2
n
k=1
sin
u
2
cos ku = sin(n +
1
2
)u − sin
1
2
u
odkud po vydělení 2 sin u
2
plyne tvrzení. Je tedy
sn(x) =
π
−π
f(t)
sin(n + 1
2
)(x − t)
2 sin(x−t
2
)
dt.
Rozšíříme f na 2π-periodickou funkci na R a položíme u = t − x. Tím se integrál
převede na interval −π − x, π − x . Protože ale integrovaná funkce má periodu 2π,
bude jeho hodnota stejná když budeme opět integrovat přes interval −π, π . Tedy
sn(x) =
π
−π
f(x + u)
sin(n + 1
2
)u
2 sin(u
2
)
du.
Označíme
s+
n (x) =
π
0
f(x + u)
sin(n + 1
2
)u
2 sin(u
2
)
du
a dokážeme, že
lim
n→∞
s+
n (x) =
1
2
f(x+).
Zcela analogicky se dokáže
lim
n→∞
s−
n (x) =
1
2
f(x−),
kde
s−
n (x) =
0
−π
f(x + u)
sin(n + 1
2
)u
2 sin(u
2
)
du
Víme, že
1
π
π
−π
f(x + u)
sin(n + 1
2
)u
2 sin(u
2
)
du =
1
2
,
neboť v uvažovaném součtu dají všechny členy při integrování nulu, s vyjímkou
konstantního členu 1
2
. Vynásobíme obě strany rovnice f(x+) a odečteme od předchozí
rovnice. Dostaneme
s−
n (x) − f(x+) =
0
−π
sin(n + 1
2
)(x − t)
2 sin(x−t
2
)
[f(x + u) − f(x+)]du.
Ale funkce
g(u) =
[f(x + u) − f(x+)]
2 sin(u
2
)
je po částech spojitá (limita pro u → 0 existuje podle L’Hospitalova pravidla).
Tvrzení tedy plyne z Riemann-Lebesgueova lemmatu, které dokážeme později.
8
1.3 L2
-teorie
V této části budeme uvažovat funkce na obecném intervalu a, b s hodnotami v C
a prostor
L2
( a, b ),
obsahující funkce pro které
b
a
|f(x)|2
dx < ∞.
L2
( a, b ) je Hilbertův prostor (nekonečněrozměrná analogie Euklidovského prostoru)
se skalárním součinem
(f, g) =
b
a
f(x)g(x)dx.
Skalární součin indukuje stejně jako v Euklidovském prostoru na
L2
( a, b )
normu
f =
b
a
|f(x)|2
dx
1
2
a také metriku. Vzdálenost dvou funkcí je číslo
ρ(f, g) = f − g =
b
a
|f(x) − g(x)|2
dx
1
2
.
Definice 1.3.1. Systém funkcí {φk}∞
k=0 se nazývá ortogonální systém, jestliže
(φn, φm) = 0
pro každé n = m. Nazývá se ortonormální systém, jestliže navíc platí
(φn, φn) = 1
pro všechna n ∈ N.
Definice 1.3.2. Nechť {φk}∞
k=0 je ortonormální systém. Čísla
ck =
b
a
f(x)¯φk(x)dx
se nazývají Fourierovy koeficienty funkce f vzhledem k systému {φk}∞
k=0. Formální
funkční řada ∞
k=0
ckφk
9
se nazývá Fourierova řada. Zkladními příklady ortonormálních systému jsou pro
nás reálný systém (T) tvořený normalizovanými siny a kosiny, a komplexní systém
(E) tvořený komplexními exponenciálami.
Pomocí Fourierových koeficientů definujeme funkce
fN =
N
k=0
ckφk
Našim cílem je zjistit za jakých podmínek konverguje fN pro N → ∞ k funkci f .
Konvergencí v tomto případě rozumíme konvergenci v normě prostoru L2
. Následující
lemma ukazuje že fN je nejlepší aproximací f mezi všemi lineárními kombinacemi
funkcí φ1, φ2, . . . φN .
Lemma 1.3.3. Nechť {φk}∞
k=0 je ortonormální systém, a f ∈ L2
. Pak pro libovolná
komplexní čísla d1, . . . , dN platí
f −
N
j=0
djφj ≥ f − fN .
Rovnost přitom nastane pouze tehdy, je-li dj = cj pro všechna j = 0, . . . , N.
Důkaz: Máme
f −
N
j=0
djφj
2
= (f −
N
j=0
djφj, f −
N
j=0
djφj) =
= (f, f) − (f,
N
j=0
djφj) − (
N
j=0
djφj, f) + (
N
j=0
djφj,
N
j=0
djφj =
= f 2
−
N
j=0
cj
¯dj −
N
j=0
¯cjdj +
N
j=0
dj
¯dj =
= f 2
+
N
j=0
|cj − dj|2
−
N
j=0
|cj|2
.
První a poslední člen nezávisí na koefientech dj, prostřední člen je nezáporný a
minimalizuje se právě tehdy když dj = cj pro j = 0, . . . , N. Tím je tvrzení dokázáno.
Pro dk = ck dostaneme z výpočtu v předchozím lemmatu jako důsledek Besselovu
identitu
f 2
=
N
j=0
|cj|2
+ f −
N
j=0
cjφj
2
Protože druhý člen na pravé straně je nezáporný, dostáváme pro N → ∞ jako
další důsledek nerovnost
N
j=0
|cj|2
≤ f 2
.
10
Tedy řada
∞
j=0
|cj|2
má omezenou posloupnost částečných součtů, která je zřejmě neklesající. Je tedy
konvergentní a platí Besselova nerovnost
∞
j=0
|cj|2
≤ f 2
.
Besselova identita dává důležitou ekvivalentní podmínku pro konvergenci Fourierovy
řady k funkci f.
Lemma 1.3.4. Fourierova řada ∞
k=0
ckφk
konverguje v normě L2
k funkci f právě tehdy, když platí Parsevalova rovnost
∞
j=0
|cj|2
= f 2
.
Důkaz: fN konvergují k funkci f v L2
právě tehdy, když čísla
f −
N
j=0
djφj
2
konvergují k nule pro N → ∞ . Podle Besselovy identity je to ekvivalentí tomu,
že platí
∞
j=0
|cj|2
= f 2
.
Připomeňme si že v každém prostoru se skalárním součinem platí Cauchy-Schwartzova
nerovnost. Pro každé dvě funkce f, g ∈ L2
( a, b ) platí
|(f, g)| ≤ f g .
Důsledkem Cauchy-Schwartzovy nerovnosti je následující lemma o spojitosti skalárního
součinu (v metrice kterou indukuje).
Lemma 1.3.5. Nechť fn → f a gn → g pro n → ∞ v L2
. Pak
(fn, gn) → (f, g).
11
Důkaz: Máme
(fn, gn) = (f + fn − f, g + gn − g) =
= (f, g) + (fn − f, g) + (f, gn − g) + (fn − f, gn − g) → (f, g)
pro n → ∞, protože
|(fn − f, g)| ≤ fn − f g → 0
pro n → ∞ podle Cauchy-Schwartzovy nerovnosti, a analogicky pro další dva členy.
Věta 1.3.6. (Rieszova-Fischerova) Nechť {ck}∞
k=0 je posloupnost taková, že
∞
n=0
|ck|2
konverguje. Pak existuje funkce jejíž Fourierovy koeficienty jsou rovny ck a řada
∞
k=0
ckφk
konverguje k f v normě L2
.
Důkaz: L2
je úplný metrický prostor, platí v něm tedy Bolzano - Cauchyho podmínka,
posloupnost konverguje právě tehdy, když platí
b
a
|fn − fm|2
dx → 0
pro n, m → ∞. V našem případě je
fn =
n
k=0
ckφk
tedy pro n > m je
b
a
|fn − fm|2
dx =
m
n+1
|ck|2
→ 0
pro n, m → ∞, protože číselná řada ∞
0 |ck|2
konverguje, a splňuje tedy BolzanoCauchyho
podmínku pro posloupnosti reálných čísel. Existuje tedy funkce f ∈ L2
tak, že fn → f v L2
. Zbývá dokázat, že (ck) jsou Fourierovy koeicienty funkce. To
je obsahem následujícího lemmatu.
Lemma 1.3.7. Nechť
fn =
n
k=1
ckφk → f
pro n → ∞ v L2
. Pak n
k=0 ckφk je Fourierova řada funkce, t.j. cn jsou Fourierovy
koeficienty f.
Důkaz: Je
b
a
f ¯φmdx = lim
n→∞
b
a
fn
¯φmdx = lim
n→∞
cm = cm,
podle lemmatu 1.3.5.
12
1.4 Úplnost a Parsevalova rovnost
Definice 1.4.1. Ornonormální systém {φk}∞
k=0 se nazývá úplný, jestliže platí: pokud
je pro nějakou funkci (f, φn) = 0 pro vsechna n, pak f = 0. Neexistuje tedy nenulová
funkce kolmá na všechny φn. Věta 1.4.2. Nechť {φk}∞
k=0 je úplný ortonormální
systém a (ck) jsou Fourierovy koeficienty funkce f. Pak
∞
k=0
ckφk
konverguje v normě L2
k funkci f a platí tedy Parsevalova rovnost
∞
j=0
|cj|2
= f 2
.
Důkaz: Víme, že
∞
j=0
|cj|2
< ∞,
podle Besselovy nerovnosti. Funkce f je tedy rovna funkci z Riesz-Fischerovy věty.
Z úplnosti systému totiž plyne že koeficienty (ck) určují f jednoznačně. Je-li také
g ∼ (ck), pak (f − g) ∼ (0), a tedy f = g.
Věta 1.4.3. Nechť f a g jsou funkce z L2
, kde f ∼ (ck) g ∼ (dk). Pak platí
b
a
f¯g dx =
∞
j=0
cj
¯dj.
Tedy zobrazení f → (ck) z L2
do l2
je izomorfismus (zachovává skalární součin).
Důkaz: Je
b
a
fn¯gdx =
n
j=0
cm
b
a
φm¯g dx =
n
j=0
cj
¯dj.
Ale pro n → ∞ je fn → f v L2
a pravá strana konverguje k ∞
j=0 cj
¯dj. Celkem tedy
b
a
f¯gdx =
∞
j=0
cj
¯dj.
13
1.4.1 Úplnost a uzavřenost
Nechť {φk}∞
k=0 je systém funkcí z L2
. Označme φk prostor všech konečných lineárních
kombinací funkcí z {φk}∞
k=0 , t.j.
g ∈ φk ⇔ g =
n
k=0
dkφk
pro nějaké n ∈ N a dk ∈ C.
Definice 1.4.4. Systém {φk}∞
k=0 se nazývá uzavřený jestliže φk je hustý podprostor
L2
.
Věta 1.4.5. {φk}∞
k=0 je úplný právě tehdy když je uzavřený.
Důkaz: Tvrzení stačí dokázat pro ortonormální systém, neboť každý systém lze
ortonormalizovat. Nechť {φk}∞
k=0 je úplný systém a f ∈ L2
. Podle Věty 1.4.2. je
fn → f
v L2
, ale fn ∈ φk , tedy φk je hustý.
Naopak, nechť {φk}∞
k=0 je hustý a f ∈ L2
má všechny Fourierovy koeficienty
rovny nule, t.j. (f, φn) = 0 pro všechna n. Z hustoty plyne existence posloupnosti
funkcí Φn ∈ φk tak, že Φn → f v L2
, t.j. Φn − f → 0 pro n → ∞. Ale fn jsou
nejlepší aproximací, tedy i fn → f. Ale fn = 0 , tedy i f = 0. Odtud plyne, že
{φk}∞
k=0 je úplný systém.
Uzavřenost, a tedy i úplnost systémů (T) a (E) dokážeme později, jako aplikaci
Fejérovy věty.
1.5 Symetrické operátory a ortogonální systémy.
V této části ukážeme nejčastější původ ortogonálních systémů funkcí, jako systému
vlastních funkcí nějakého symerického diferenciálního operátoru.
Funkce cos kx a sin kx z trigonometrického systému (T) řeší diferenciální rovnici
y = −k2
y,
jsou to tedy vlastní funkce diferenciálního operátoru d2
dx2 příslušné vlastnímu číslu
−k2
.
Obecněji, nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem , ) a
L : V → V je lineární zobrazení. Přitom definiční obor L nemusí být celé V .
Nenulová funkce f ∈ V je vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu λ , pokud
Lf = λf.
L je symetrický operátor, je-li
(Lf, g) = (f, Lg)
14
pro každé f, g ∈ V pro než je L definován.
Příklad 1.5.1. Nechť L = d2
dx2 . Jako definiční obor L uvažujme C2
( −π, π ).
Chceme zjistit zda je L symetrický operátor. L bude symetrický, je-li (Lf, g) =
(f, Lg), tedy
π
−π
f (x)g(x)dx =
π
−π
f(x)g (x)dx.
Po dvojnásobné integraci per partes dostaneme
π
−π
f (x)g(x) =
π
−π
f(x)g (x)dx+
+f (π)g(π) − f (−π)g(−π) − f(π)g (π) + f(π)g (π).
L tedy bude symetrický, pokud omezíme definiční obor na podprostor na kterém
jsou zintegrované členy na posledním řádku rovny nule. Můžeme tedy například
požadovat splnění Dirichletovy podmínky v koncových bodech intervalu,
h(π) = h(−π) = 0.
Tuto podmínku splňují také funkce sin kx. Nebo splnění Neumannovy podmínky,
h (π) = h (−π) = 0,
kterou splňují funkce cos kx. Následující věta popisuje souvislost symetrických operátorů
s ortogonálními systémy.
Věta 1.5.2. Nechť L je symetrický lineární operátor definovaný na vektorovém
prostoru V se skalárním součinem. Jsou-li f1, f2 vlastní vektory odpovídající různým
vlastním číslům λ1, λ2, pak f1, f2 jsou ortogonální.
Důkaz: Nechť Lf1 = λ1f1 a Lf2 = λ2f2. Je
(Lf1, f2) = (λ1f1, f2) = λ1(f1, f2)
a
(f1, Lf2) = (f1, λ2f2) = λ2(f1, f2).
Ze symetričnosti jsou si obě hodnoty rovny. Ale λ1 = λ2, tedy (f1, f2) = 0.
1.5.1 Sturmův-Liouvilleův operátor
Uvažujme teď Sturmův-Liouvilleův operátor
Lf = (pf ) + qf,
kde p je jednou spojitě diferencovatelná a q je spojitá na intervalu a, b . Jako
speciální případ pro p ≡ 1 a q ≡ 0 dostaneme L = d2
dx2 .
Zajímá nás opět kdy bude L symetrický. Po dvojnásobném integrování per partes
dostaneme
15
(Lf, g) =
b
a
((pf ) + qf)gdx =
b
a
((pg ) + qg)fdx + pf g|b
a − pg f|b
a.
Musíme se tedy omezit na funkce splňující
p(f g − g f)|b
a = 0.
Na rozdíl od předchozího operátoru může být podmínka splněna vždy, pokud je
p(a) = p(b) = 0. Tak tomu bude v následujícím příkladu.
1.5.2 Legendreovy polynomy
Uvažujme speciální případ Sturmova-Liouvilleova operátoru
Lf(x) = (1 − x2
)f (x) − 2xf (x),
který dostaneme pro p(x) = 1 − x2
a q(x) = 0. Tedy L je symetrický operátor na
intervalu −1, 1 bez hraničních podmínek, neboť p(1) = p(−1) = 0.
Hledání vlastních funkcí vede na řešení Legendreovy rovnice indexu n,
(1 − x2
)y − 2xy + n(n + 1)y = 0.
Přímým výpočtem lze ověřit že jejím řešením jsou Legendreovy polynomy
Pn(x) =
1
2nn!
dn
dxn
(x2
− 1)n
, n = 0, 1, 2, . . . .
Pn je tedy vlastní funkce operátoru L odpovídající vlastnímu číslu −n(n + 1).
Tedy podle Věty 1.6.2. tvoří Legendreovy polynomy ortogonální systém .
Opět přímým výpočtem dostaneme
1
−1
P2
n (x)dx =
2
2n + 1
, n = 0, 1, 2, . . .
tedy funkce
φn(x)
2n + 1
2
Pn(x)
tvoří ortonormální systém.
Nejlepší aproximací v prostoru L2
funkce f mezi všemi polynomy stupně n je
tedy polynom
n
k=0
ckPk(x),
kde
ck =
2k + 1
2
1
−1
f(x)Pn(x)dx.
16
1.6 Fejérova věta
Od obecné teorie se vrátíme zpět ke konkrétní situaci trigonometrických řad na
intervalu −π, π . Je-li f ∼ (ck), označíme
sn(x) =
n
k=−n
ckeikx
částečný součet Fourierovy řady
Víme, že sn je nejlepší aproximací f v L2
, ale nemusí bodově konvergovat k f.
Ukážeme, že existuje lepší volba trigonometrického polynomu, pro kterou dostaneme
konvergenci (dokonce stejnoměrnou) pro libovolnou spojitou funkci.
1.6.1 Cesárovy součty
Lemma 1.6.1. (i) Je-li {Sn}∞
n=0 posloupnost komplexních čísel a Sn → S pro n →
∞ pak také posloupnost aritmetických průměrů
An =
1
n + 1
n
j=0
Sj
konverguje k S.
(ii) Existuje posloupnost {Sn}∞
n=0 která nemá limitu taková že posloupnost An =
1
n+1
n
j=0 Sj limitu má.
Důkaz: (i) Nechť je dáno ε > 0. Odhadneme
|(
1
n + 1
n
j=0
Sj) − S| =
1
n + 1
|
n
j=0
(Sj − S)| ≤
1
n + 1
n
j=0
|Sj − S|.
Víme, že existuje N(ε) tak, že |Sn − S| < ε
2
pro n > N(ε). Označme
A =
N(ε)
j=0
|Sj − S|.
Existuje M(ε) ≥ N(ε) tak, že
2A
ε
< M(ε).
Pro n > M(ε) je
1
n + 1


N(ε)
j=0
|Sj − S| +
n
j=N(ε)+1
|Sj − S|

 <
A
n + 1
ε
2
<
ε
2
+
ε
2
< ε.
Tím je je první část tvrzení dokázána.
17
(ii) Příkladem posloupnosti která nekonverguje, ale má konvergentní posloupnost
aritmetických průměrů je
Sn = (−1)n
.
Posloupnost aritmetických průměrů je totiž rovna buď 0 nebo 1
n+1
, tedy
|
1
n + 1
n
j=0
Sj| ≤
1
n + 1
→ 0
pro n → ∞.
1.6.2 Fejérova věta
Vrátíme se zpět k trigonometrické řadě a po inspiraci z Lemmatu 1.7.1. označíme
σn =
1
n + 1
(s0(x) + . . . + sn(x)) =
1
n + 1
n
k=0
sk(x).
Po dosazení za sn je vidět, že σn je vlastně vážený průměr funkcí eikx
, kde větší
hodnoty frekvence k mají menší váhu než nižší frekvence.
Věta 1.6.2. (Fejérova) Nechť f je spojitá funkce na −π, π . Pak σn(x) konvergují
k f(x) stejnoměrně na intervalu −π, π .
Důkaz: Postupujeme podobně jako v důkazu Dirichletovy věty, nejdříve dosadíme
za ck,
σn(x) =
1
n + 1
n
k=0
sk(x) =
n
k=−n
n + 1 − |k|
n + 1
ckeikx
=
=
n
k=−n
n + 1 − |k|
n + 1
1
2π
π
−π
f(t)e−ikt
dt eikx
=
=
1
2π
π
−π
f(t)
n
k=−n
n + 1 − |k|
n + 1
e−ik(x−t)
dt =
1
2π
π
−π
f(t)Kn(x − t) dt,
kde
Kn(s) =
n
k=−n
n + 1 − |k|
n + 1
e−iks
je tzv. Fejérovo jádro. Jeho vlastnosti odvodíme ve dvou pomocných lemmatech.
Lemma 1.6.3. Platí
Kn(s) =
1
n + 1
sin(n+1
2
)s
sin s
2
pro s = 0 a
Kn(0) = n + 1.
18
Důkaz: Pro s = 0 máme
n
k=−n
(n + 1 − |k|)eiks
=
n
k=0
ei(k−n
2
)s
2
neboť pro λ ∈ C platí
(λ−n
+ λ−n+1
+ . . . + λ−1
+ 1 + λ + . . . λn
)2
=
= λ2n
+ 2λ−2n+1
+ . . . + (2n + 1)1 + . . . + λ2n
,
kde v našem případě je λ = e
is
2 . Dále máme (součtem geometrické řady)
n
k=0
ei(k−n
2
)s
2
= e
−ins
2
n
k=0
eiks
2
= e
−ins
2
1 − ei(n+1)s
1 − eis
2
Po rozšíření výrazem e
−is
2 dostaneme
e
−i(n+1)s
2 − e
i(n+1)s
2
e
−is
2 − e
is
2
2
=
sin(n+1
2
)s
sin s
2
2
Druhá vlastnost plyne přímo z definice. Tím je lemma dokázáno.
Lemma 1.6.4. Kn má následující vlastnosti:
(i) Kn(s) ≥ 0
(ii) Kn(s) → 0 stejnoměrně na doplňku −δ, δ pro každé δ > 0
(iii)
π
−π
Kn(s)ds = 2π
Důkaz: První tvrzení je zřejmé. Pro důkaz druhého odhadneme
Kn(s) ≤
1
n + 1
1
sin s
2
2
≤
1
n + 1
1
sin δ
2
2
→ 0
pro n → ∞. Třetí tvrzení plyne ze vztahu
Kn(s) =
1
n + 1
((n + 1)1 + n cos x + i sin x + . . .).
Všechny členy s vyjímkou prvního dávají nulový integrál, tedy
π
−π
Kn(s)ds =
π
−π
1 dx = 2π.
Dokončení důkazu Fejérovy věty: Nechť > 0 je dáno. f je spojitá na kompaktním
intervalu, je tedy omezená, t.j. existuje M > 0 tak že |f(s)| ≤ M pro každé
19
s ∈ −π, π . Dále ze spojitosti na kompaktní množině plyne stejnoměrná spojitost,
t.j. existuje δ > 0 tak, že
|f(s) − f(t)| ≤
ε
2
pro |s − t| < δ. Vezměme takové δ . Podle (ii) existuje N tak, že
|Kn(s)| ≤
ε
4M
pro s /∈ −δ, δ a n ≥ N. Máme
|σn(x) − f(x)| = |
1
2π
π
−π
f(x − s)Kn(s)ds −
1
2π
π
−π
f(x)Kn(s)ds| =
= |
1
2π
π
−π
[f(x − s) − f(x)]Kn(s)ds| ≤ |
1
2π s∈ −δ,δ
[f(x − s) − f(x)]Kn(s)ds|+
+|
1
2π s/∈ −δ,δ
[f(x − s) − f(x)]Kn(s)ds| ≤
≤
ε
2
1
2π −δ,δ
|Kn(s)|ds +
2M
2π s/∈ −δ,δ
|Kn(s)|ds ≤
≤
ε
2
1
2π
π
−π
Kn(s)ds +
2M
2π s/∈ −δ,δ
ε
4M
ds ≤
ε
2
+
ε
2
= ε.
Tím je dokázáno tvrzení o konvergenci. Stejnoměrná konvergence plyne z nezávislosti
předchozího odhadu na x. Prvním důsledkem Fejérovy věty je existence libovolně
přesné aproximace spojitých funkcí trigonometrickými polynomy.
Věta 1.6.5. Nechť f(x) je spojitá funkce na intervalu −π, π a nechť ε > 0. Pak
existuje trigonometrický polynom P tak, že
sup
x∈ −π,π
|P(x) − f(x)| ≤ ε.
Důkaz: Za P(x) vezmeme σn(x) pro dostatečně velké n.
Jinak řečeno, trigonometrické polynomy jsou husté v prostoru spojitých funkcí
v supremové normě.
Dalším důležitým důsledkem je Weierstrassova věta
Věta 1.6.6. (Weierstrassova) Nechť f : a, b → C je spojitá funkce a ε > 0. Pak
existuje polynom P takový, že
sup
a,b
|P(x) − f(x)| < ε.
Větu zřejmě stačí dokázat pro interval 0, 1 , protože lze transformovat na pomocí
lineární transformace, která zachovává polynomy. Nejdříve odvodíme dvě pomocná
lemmata.
20
Lemma 1.6.7. Nechť f je spojitá funkce na −π, π a nechť je f sudá. Pak pro
každé ε > 0 existuje n ≥ 1 a čísla a0, a1, . . . , an ∈ C tak, že
sup
−π,π
|f(x) −
n
k=0
ak cos kx| < .
Důkaz: f je sudá, tedy bk = 0 a σn obsahuje jen kosiny. Lemma tedy plyne z
Fejérovy věty.
Lemma 1.6.8. Pro každé n ∈ N existuje reálný polynom Tn tak, že
cos nx = Tn(cos x), x ∈ −π, π
Důkaz: Indukcí. Tvrzení platí pro n = 0 a n = 1, kdy vezmeme T0(t) = 1, T1(t) =
t. Předpokládejme že platí pro každé n < m kde m ≥ 2. Pak
cos mx = cos mx − cos(m − 2)x + cos(m − 2)x =
= cos ((m − 1)x + x)+cos ((m − 1)x − x)−cos(m−2)x = 2 cos x cos(m−1)x−cos(m−2)x = Tm(c
kde
Tm(t) = 2tTm−1(t) − Tm−2(t).
Odtud plyne že Tm má požadovaný tvar Důkaz Weierstrassovy věty Nechť f :
0, 1 → C je spojitá a ε > 0 je dáno. Definujme g : −π, π → C předpisem
g(t) = f(| cos t|)
pro t ∈ −π, π . Funkce g je spojitá a g(t) = g(−t). Víme, že existuje n ≥ 1 a
a0, . . . , an ∈ C tak, že
sup
t∈ −π,π
|g(t) −
n
k=0
ak cos kt| < ε.
Ale
g(t) −
n
k=0
ak cos kt = f(| cos t|) −
n
k=0
akTk(cos t)
pro t ∈ −π, π , tedy
sup
x∈ 0,1
|f(x) − akTk(x)| ≤ sup
0≤t≤π
|f(| cos t|) −
n
k=0
akTk(cos t)| < ε.
Hledaný polynom je tedy P(x) = n
k=0 akTk(x), neboť
sup
x∈ 0,1
|f(x) − P(x)| < .
Tím je tvrzení dokázáno.
21
1.7 Gibbsův jev
Uvažujme funkci
h(x) = x pro x ∈ (−π, π)
h(π) = h(−π) = 0
rozšířenou na 2π periodickou funkci na R. Její rozvoj do Fourierovy řady má tvar
h(x) =
∞
k=1
(−1)k+1 2
k
sin kx.
V bodech nespojitosti této funkce dochází k překmitu částečného součtu Fourierovy
řady o hodnotu která se pro zvětšující se n nezmenšuje. Přesně tento jev popisuje
následující věta.
Věta 1.7.1. Nechť sn jsou částečné součty Fourierovy řady funkce h(x). Pak
sn(π −
π
n
) → Aπ
a
sn(π +
π
n
) → −Aπ
pro n → ∞, kde
A =
2
π
π
0
sin x
x
dx > 1.17.
Důkaz:
Máme
sn(x) =
n
k=1
(−1)k+1 2
k
sin kx.
Tedy
sn(π −
π
n
) =
n
k=1
(−1)k+1 2
k
sin k(π −
π
n
) =
n
k=1
2
k
sin k
π
n
= 2
n
k=1
π
n
(
n
kπ
sin
kπ
n
).
Poslední výraz je přibližným součtem z definice Riemannova integrálu, pro funkci
sin x
x
na intervalu 0, π příslušnou rovnoměrnému rozdělení na intervaly délky π
n
.
Tedy pro n → ∞ konverguje k
π
0
sin x
x
dx.
Podobně se dokáže, že
sn(−π +
π
n
) → −2
π
0
sin x
x
dx
Přímým výpočtem ověříme nerovnost
2
π
π
0
sin x
x
dx > 1.17.
22
Kapitola 2
Fourierova transformace
2.1 Definice a základní vlastnosti
Nechť f : R → C je funkce z L1
(R). Pro ξ ∈ R definujeme
ˆf(ξ) =
∞
−∞
f(x)e−iξx
dx.
Pro každé ξ je integrál konečný, protože |f(x)e−iξx
| = |f(x)| a tedy f(x)e−iξx
∈
L1
(R).
Definice 2.1.1. Funkce ˆf(ξ) : R → C se nazývá Fourierova transformace funkce
f(x).
Lemma 2.1.2. Nechť f ∈ L1
(R) je omezená funkce. Pak ˆf je spojitá.
Důkaz: Nechť ε > 0 je dáno. |f| je integrovatelná, tedy existuje R(ε) dostatečně
velké, tak, že
|t|≥R(ε)
|f(x)|dx ≤
ε
4
.
Na druhé straně, f je omezená, tedy existuje K tak, že |f(x)| ≤ K pro každé x ∈ R.
Tedy
| ˆf(ξ) − ˆf(η)| = |
∞
−∞
f(t)(e−iξt
− e−iηt
)| ≤
≤ |
|t|≥R(ε)
f(t)(e−iξt
− e−iηt
)dt| + |
R(ε)
−R(ε)
f(t)(e−iξt
− e−iηt
)dt|
≤ 2
|t|≥R(ε)
|f(t)|dt + 2R(ε) sup
t∈ −R(ε),R(ε)
f(t)(e−iξt
− e−iηt
)dt
≤
ε
2
+ 2R(ε)K sup
t∈ −R(ε),R(ε)
|e−iξt
− e−iηt
| ≤
ε
2
+ 2R(ε)K sup
t∈ −R(ε),R(ε)
|ξt − ηt|
≤
ε
2
+ 4R(ε)2
K|ξ − η| ≤ ε
23
je-li
|ξ − η| ≤
ε
8R(ε)2K + 1
.
Na druhé straně, Fourierova transformace nemusí být integrovatelná.
Lemma 2.1.3. Nechť f(x) = 1 pro x ∈ −1, 1 a f = 0 jinak. Pak
ˆf(ξ) =
2 sin ξ
ξ
a f /∈ L1
(R), t.j.
∞
−∞
| ˆf(ξ)|dξ diverguje.
Důkaz: Z definice
ˆf(ξ) =
1
−1
e−iξtdt
=
e−iξt
−iξ
1
−1
=
eiξ
− e−iξ
iξ
= 2
sin ξ
ξ
.
Integrál z této funkce diverguje.
2.1.1 Základní vlastnosti Fourierovy transformace
Z linearity integrálu plyne, že Fourierova transformace je lineární operace. Pro každé
dvě funkce f, g a konstanty a, b tedy platí
(af + bg) = a ˆf + bˆg.
Lemma 2.1.4. (O změně měřítka) Pro f ∈ L1
∩ C a R > 0 označme fR(x) =
f(Rx). Pak
fR(ξ) =
1
R
ˆf(
ξ
R
).
Důkaz: Z definice
fR(ξ) =
∞
−∞
fR(x)e−iξx
dx =
∞
−∞
f(Rx)e−iξx
dx.
Substitucí y = Rx dostaneme
∞
−∞
f(y)e−i ξ
R
y 1
R
dy =
1
R
∞
−∞
f(y)e−i ξ
R
y
dy =
1
R
ˆf(
ξ
R
).
Tím je lemma dokázáno.
Lemma 2.1.5. (O Fourierově transformaci derivace). Nechť f ∈ L1
∩ C, f ∈
L1
∩ C a limx→±∞ f(x) = 0. Pak
(f )(ξ) = iξ ˆf(ξ).
Tedy derivování se převádí na násobení.
24
Důkaz: Integrováním per partes dostaneme
(f )(ξ) =
∞
−∞
f (x)e−iξx
dx = [e−iξx
f(x)]∞
−∞ − (−iξ)
∞
−∞
f(x)e−iξx
dx = iξ ˆf(ξ).
Obecně, je-li f, f , . . . , f(k)
∈ L1
∩ C a limx→±∞ fj
(x) = 0 pro j = 0, 1, . . . , k − 1,
pak k-násobným integrováním per partes dostaneme
(f(k))(ξ) = (iξ)k ˆf(ξ).
Lemma 2.1.6. (O derivaci Fourierovy transformace) Nechť f ∈ L1
∩ C a g(x) =
xf(x) ∈ L1
∩ C. Pak ˆf(ξ) je diferencovatelná a platí
d ˆf
dξ
= −iˆg(ξ).
Důkaz: Derivováním vztahu
ˆf(ξ) =
∞
−∞
f(x)e−iξx
dx
podle parametru ξ dostaneme
d ˆf
dξ
(ξ) =
∞
−∞
f(x)(−ix)e−iξx
dx = −i
∞
−∞
[f(x)x] e−iξx
dx = −iˆg(ξ).
Další důležitou a často používanou operací je konvoluce. Pro f, g ∈ L1
je jejich
konvoluce definována vztahem
f ∗ g(x) =
∞
−∞
f(x − y)g(y)dy.
Substitucí y = x − y dostaneme alternativní vyjádření
f ∗ g(x) =
∞
−∞
f(y)g(x − y)dy = g ∗ f(x).
Konvoluce je tedy komutativní operace.
Lemma 2.1.7. (O Fourierově transformaci konvoluce) Nechť f, g ∈ L1
(R). Pak
f ∗ g(ξ) = ˆf(ξ)ˆg(ξ).
Důkaz: S použitím Fubiniho věty dostaneme
f ∗ g(ξ) =
∞
−∞
(
∞
−∞
f(x − y)g(y)dy)e−iξx
dx =
25
=
R2
e−iξx
f(x − y)g(y)dydx =
R2
e−iξ(x−y)
f(x − y)e−iξy
g(y)dydx =
=
∞
−∞
∞
−∞
e−iξ(x−y)
f(x − y)dx e−iξy
g(y)dy = ˆf(ξ)
∞
−∞
e−iξy
g(y)dy = ˆf(ξ)ˆg(ξ).
Lemma 2.1.8. (O transformaci posunutí a o posunutí transformace) Nechť f ∈
L1
∩ C. Pro a > 0 označme fa(x) = f(x − a). Pak
ˆfa(ξ) = ˆf(ξ)e−iaξ
.
Naopak,
feiax(ξ) = ˆf(ξ − a).
Důkaz: Na jedné straně substitucí y = x − a dostaneme
ˆfa(ξ) =
∞
−∞
f(x − a)e−iξx
dx =
∞
−∞
f(y)e−iξ(y+a)
dy = e−iaξ
∞
−∞
f(y)e−iξy
dy =
= e−iaξ ˆf(ξ).
Naopak,
feiax(ξ) =
∞
−∞
f(x)eiax
e−iξx
dx =
∞
−∞
f(x)e−i(ξ−a)x
dx = ˆf(ξ − a).
Důsledek 2.1.9. (Modulační identity) Nechť Fourierova transformace funkce f(x)
je F(ξ). Pak Fourierova transformace funkce f(x) sin ωx je rovna
i
2
[F(ξ + ω) − F(ξ − ω)].
Důkaz: Víme, že
sin ωx =
eiωx
− e−iωx
2i
a
f(x)eiωx(ξ) = ˆF(ξ − ω).
Tedy
f(x) sin ωx(ξ) =
1
2i
[F(ξ − ω) − F(ξ + ω)] =
i
2
[F(ξ + ω) − F(ξ − ω)].
Lemma 2.1.10. (Fourierova transformace Gaussovy funkce) Je-li f(x) = 1√
2π
e
−x2
2 ,
pak
ˆf(ξ) = e
−ξ2
2 .
Důkaz: Označme opět F(ξ) = ˆf(ξ). Máme
26
f (x) = −
1
√
2π
xe
−x2
2 = −xf(x).
Na jedné straně je
(−xf(x)) = f (ξ) = iξF(ξ),
podle lemmatu o transformaci derivace Na druhé straně, z lemmatu o derivaci transformace
je
(−ixf)(ξ) = F (ξ).
Tedy celkem F splňuje rovnici
F (ξ) = −ξF(ξ).
Separací proměnných dostaneme řešení
F(ξ) = Ce
−ξ2
2 .
Konstanta C je rovna hodnotě ˆf v bodě nula, tedy Laplaceovu integrálu
ˆf(0) =
1
√
2π
∞
−∞
e
−x2
2 dx = 1.
Tím je lemma dokázáno.
Příklad 2.1.11. Označme jako H(x) Heavisideovu funkci, t.j. H(x) = 1 pro
x ≥ 0 a H(x) = 0 pro x < 0. Je-li
f(x) = e−ax
H(x)
pro nějaké a > 0, pak
ˆf(ξ) =
1
a + iξ
.
Opravdu,
ˆf(ξ) =
∞
0
e−ax
e−iξx
dx =
∞
0
e−(a+iξ)x
dx =
= −
1
a + iξ
[e−(a+iξ)x
]∞
0 =
1
a + iξ
.
Dále uvažujme funkci
f(x) = e−a|x|
.
Pomocí Heavisideovy funkce ji můžeme napsat jako
f(x) = H(x)e−ax
+ H(−x)eax
.
Její Fourierova transformace je tedy rovna
ˆf(ξ) =
1
a + iξ
+
1
a − iξ
=
2a
a2 + x2
.
27
Věta 2.1.12. (Základní identita pro Fourierovu transformaci) Nechť f, g ∈ L1
∩ C.
Pak platí
∞
−∞
fˆg =
∞
−∞
ˆfg.
Důkaz: Z Fubiniho věty dostaneme
∞
−∞
f(x)ˆg(x)dx =
∞
−∞
f(x)
∞
−∞
g(y)e−ixy
dydx =
R2
f(x)g(x)e−ixy
dydx =
∞
−∞
g(y)
∞
−∞
f(x)e−ixy
dxdy =
∞
−∞
g(y) ˆf(y)dy.
2.2 Věta o inverzní transformaci
K důkazu Věty o inverzní transformaci budeme potřebovat aproximaci identity.
2.2.1 Aproximace identity
Definice 2.2.1. Nechť φ ∈ L1
(R). Pak systém funkcí
φε(x) =
1
ε
φ(
x
ε
)
se nazývá aproximací identity příslušnou funkci φ
Z definice ihned plyne že pro všechna ε platí
∞
−∞
φε(x)dx = 1.
V našem případě vezmeme za φ Gaussovu funkci
φ(x) =
1
√
2π
e−x2
2 ,
tedy
φε(x) =
1
√
2πε
e− x2
2ε2
.
Následující lemma odůvodňuje termín aproximace identity.
Lemma 2.2.2. Nechť φε je aproximace identity a f je spojitá omezená funkce na
R . Pak f ∗ φε(x) konverguje (stejnoměrně na kompaktních intervalech ) k f(x) pro
ε → 0.
Důkaz: Nechť |f(x)| ≤ M pro x ∈ R. Máme
|f ∗φε(x)−f(x)| = |
∞
−∞
[f(x−y)−f(x)]φε(y)dy| = |
∞
−∞
[f(x−εy )−f(x)]φ(y )dy ,
28
kde jsme použili substituci y = εy . Nechť δ > 0 je dáno. Vezměme R tak velké, že
y /∈ −R,R
φ(y)dy < δ, a dále ε > 0 tak, aby
|f(x − εy) − f(x)| < δ
pro y ∈ −R, R . Máme tedy
|
∞
−∞
[f(x − εy ) − f(x)]φ(x)dy ≤ |
−R,R
[f(x − εy ) − f(x)]|+
+|
y /∈ −R,R
[f(x − εy ) − f(x)]φ(x)dy| ≤ δ1 + (2M + 1)δ = (2M + 1)δ.
Tedy f ∗ φε(x) → f(x) pro ε → 0. Z nezávislosti odhadu na x plyne stejnoměrná
konvergence na kompaktních intervalech.
2.2.2 Věta o inverzní transformaci
Věta 2.2.3. Nechť f ∈ L1
∩ C, f je stejnoměrne spojitá a ˆf ∈ L1
∩ C. Pak
f(x) =
1
2π
∞
−∞
ˆf(ξ)eiξx
dξ.
Důkaz: Nechť x ∈ R je libovolný pevně zvolený bod a ε > 0 je dáno. Označme
φ(ξ) =
1
√
2π
eiξx−ε2 ξ2
2
Víme, že
ˆφ(y) =
1
ε
e−
(y−x)2
2ε2
,
tedy
ˆφ(y) =
1
ε
√
2πg(
x − y
ε
),
kde
g(u) =
1
√
2π
e−u2
2 .
Budeme uvažovat aproximaci identity příslušnou této funkci a použijeme základní
identitu pro Fourierovu transformaci na funkce f a φ. Na jedné straně je
∞
−∞
ˆfφ =
1
√
2π
∞
−∞
e−ε2ξ2
2 eixξ ˆf(ξ)dξ.
Na druhé straně
∞
−∞
f ˆφ =
√
2π
∞
−∞
f(y)gε(x − y)dy =
√
2πf ∗ gε(x).
29
Víme, že f ∗ gε(x) → f(x) stejnoměrně na kompaktech. Ale pro x pevné je
∞
−∞
e−ε2ξ2
2 eixξ ˆf(ξ)dξ →
∞
−∞
eixξ ˆf(ξ)
pro ε → 0, neboť první člen pod integrálem konverguje k jedné. Celkem tedy pro
ε → 0 dostaneme
f(x) =
1
2π
∞
−∞
ˆf(ξ)eiξx
dξ.
Definice 2.2.4. Inverzní Fourierova transformace je definována vztahem
ˇf(ξ) =
1
2π
∞
−∞
f(x)eiξx
dξ.
Podle předchozí věty je inverzní Fourierova transformace opravdu inverzní operací
k Fourierově transformaci, platí tedy
ˇ
( ˆf) = f.
2.3 Korelace a autokorelace
Definice 2.3.1. Nechť f, g patří do L1
∩ C. Definujeme korelaci funkcí f a g
vztahem
f ◦ g(x) =
∞
−∞
¯f(y)g(y + x)dy =
∞
−∞
¯f(y − x)g(y)dy.
Z definice je zřejmé že korelace má velmi blízký vztak ke konvoluci, definované
jako
f ∗ g(x) =
∞
−∞
f(y)g(x − y)dy =
∞
−∞
f(−y)g(x + y)dy.
Z druhého vyjadření je vidět že platí vztah
f(x) ◦ g(x) = ¯f(−x) ∗ g(x).
Víme, že
(f ∗ g) = ˆfˆg
a dále ¯f(ξ) = ˆf(−ξ) a f(−x)(ξ) = ˆf(−ξ), tedy
f(−x)(ξ) =
¯ˆf(ξ).
Celkem tedy platí
(f ◦ g) = ˆfˆg.
30
Dokázali jsme tedy následující tvrzení.
Lemma 2.3.2. Je-li F = ˆf a G = ˆg, pak
(f ◦ g) = ¯FG.
Definice 2.3.3. f ◦ f se nazývá autokorelace funkce f.
Důsledkem předchozího lemmatu je následující
Lemma 2.3.4. (Autokorelační identita) Nechť f ∈ L1
∩ C a ˆf = F. Pak platí
(f ◦ f) = |F|2
.
2.4 Fourierova transformace funkcí z L2
2.4.1 Parsevalova rovnost a Plancherelova věta
V této části dokážeme Parsevalovu rovnost. ||f|| lze napsat dvěma způsoby. Na jedné
straně máme
f ◦ f(0) =
∞
−∞
|f(x)|2
dx = ||f||2
.
Na druhé straně
(|f|2)(0) =
∞
−∞
|f|2
e−i0x
dx = ||f||2
.
Z autokorelační identity dostaneme vztah mezi f a ˆf,
f ◦ f(ξ) = | ˆf|2
(ξ).
Na tuto rovnici použijeme inverzní Fourierovu transformaci a dostaneme
f ◦ f(x) =
ˇ
(| ˆf|2)(x)
Do rovnice dosadíme nulu. Levá strana dává
f ◦ f(0) =
∞
−∞
|f(x)|2
dx
a pravá
ˇ
(| ˆf|2)(0) =
1
2π
∞
−∞
| ˆf|2
eix0
dx =
1
2π
∞
−∞
| ˆf|2
.
Celkem jsme tedy dokázali následující tvrzení.
Věta 2.4.1. (Parsevalova rovnost) Nechť f, ˆf ∈ L1
∩ C. Pak
∞
−∞
|f(x)|2
dx =
1
2π
∞
−∞
| ˆf|2
dx.
Tedy zobrazení P které f přiřadí 1√
2π
ˆf je izometrie.
31
2.5 Centrální limitní věta
Jednou z důležitých aplikací Fourierovy transformace je odvození centrální limitní
věty.
Věta 2.5.1. (Lindebergova) Nechť Xi, i = 1, 2, . . . je posloupnost nezávislých stejně
rozdělených náhodných veličin s hustotou pravděpodobnosti f, kde ˆf ∈ C2
(R). Nechť
E(Xi) = 0 a E(X2
i ) = 1. Pak hustota pravděpodobnosti X1+...+Xn√
n
se blíží k hustotě
standartizovaného normálního rozdělení, t.j.
Pr{a ≤
X1 + . . . + Xn
√
n
≤ b} →
1
√
2π
b
a
e−x2
2 dx
pro n → ∞.
K důkazu budeme potřebovat dvě pomocná lemmata.
Lemma 2.5.2. Nechť f je hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Pak ˆf(k)
(0)
existuje právě tehdy když existuje k-tý obecný moment a platí
ˆf(k)
(0) = (−i)k
∞
−∞
xk
f(x)dx = (−i)k
Mk,
kde Mk je k-tý obecný moment nahodné veličiny X.
Důkaz:
k-násobným derivováním rovnice
ˆf(ξ) =
∞
−∞
f(x)e−iξx
dx
podle parametru dostaneme
ˆf(k)
(ξ) = (−i)k
∞
−∞
f(x)e−iξx
xk
dx
a dosazením ξ = 0
ˆf(k)
(0) = (−i)k
∞
−∞
xk
f(x)dx = (−i)k
Mk.
Tím je lemma dokázáno
Lemma 2.5.3. Nechť f je hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X, kde EX =
0 and EX2
i = 1 a ˆf ∈ C2
(R). Pak pro Taylorův rozvoj funkce ˆf v bodě 0 platí
ˆf(ξ) = 1 − σ2 ξ2
2
+ o(|ξ|2
).
Důkaz: Plyne z předchozího lemmatu, neboť M1 = 0 a M2 = σ2
. Podle Taylorovy
věty je tedy
ˆf(ξ) = ˆf(0) + ˆf (0)ξ +
1
2
ˆf (0)ξ2
+ o(ξ2
),
32
odkud po dosazení plyne tvrzení.
Důkaz centrální limitní věty. Víme, že M0 = 1, tedy podle předchozího
lemmatu je
ˆf(ξ) = 1 −
ξ2
2
+ R(ξ),
kde
R(ξ)
ξ2
→ 0 pro ξ → ∞.
Uvažujme teď náhodnou veličinu Xi√
n
pro kterou je M1 = E( Xi√
n
) = 0 a
M2 = E(
X2
i
n
) =
1
n
.
Označme fn hustotu pravděpodobnosti Xi√
n
. Taylorův rozvoj její Fourierovy transformace
je
ˆfn(ξ) = ˆf(
ξ
√
n
) = 1 −
ξ2
2n
+ R(
ξ
√
n
),
kde
R( ξ√
n
)
ξ2
n
→ 0 pro ξ → ∞.
Víme, že X1+...+Xn√
n
má hustotu pravděpodobnosti
gn = fn ∗ fn ∗ . . . ∗ fn
n×
,
a jejíž Fourierova transformace je
ˆgn = ( ˆfn)n
.
Dosazením dostaneme
ˆgn = (1 −
ξ2
2n
+ R(
ξ
√
n
))n
Pro každé pevné ξ výraz R( ξ√
n
) je o(1
n
) a víme, že
(1 −
ξ2
2n
)n
→ e− ξ
2 .
Tedy
gn(ξ) → e−ξ2
2 .
Ze spojitosti Fourierovy transformace plyne
fn(x) → e−x2
2 .
pro n → ∞.
33
2.6 Princip neurčitosti
V aplikacích se vztah pro inverzní transformaci
f(x) =
1
2π
∞
−∞
ˆf(ξ)eiξx
dξ
často nazývá spektrální rozklad funkce (signálu) f(x). Hodnota | ˆf(ξ)| je amplituda
komponenty eiξx
ve spektrálním rozkladu funkce f. Druhá mocnina amplitudy má fyzikální
interpretaci výkonu. Hodnota | ˆf(ξ)|2
se nazývá výkonová spektrální hustota.
Pro f ∈ L2
označíme
E = ||f||2
=
∞
−∞
|f(x)|2
dx.
V aplikacích představuje E zpravidla nějakou formu energie. Dále označíme
∆x =
1
E
∞
−∞
x2
|f(x)|2
dx
1
2
.
Je-li E = 1, pak (∆x)2
je druhý centrální moment náhodné veličiny s hustotou
pravděpodobnosti |f(x)|2
. V každém případě je ∆x mírou rozptylu hodnot funkce
f(x).
Následující tvrzení uvedeme bez důkazu.
Lemma 2.6.1. Nechť f ∈ L2
(R). Pak pro každé α > 1 platí
α∆x
−α∆x
|f(x)|2
dx ≥
α2
− 1
α2
E,
tedy
−α∆x
−∞∆x
|f(x)|2
dx +
∞
α∆x
|f(x)|2
dx ≤
1
α2
E.
Například, je-li E = 1 a chceme-li lokalizovat energii s přesností 99%, stačí vzít
1
α2 = 0, 01, tedy α = 10.
Věta 2.6.2. (Princip neurčitosti) Nechť f, ˆf ∈ S a nechť
∆x = [
1
E
∞
−∞
x2
|f(x)|2
dx]
1
2
a
∆ξ = [
1
2πE
∞
−∞
ξ2
| ˆf(ξ)|2
dx]
1
2 ,
kde
E =
∞
−∞
|f(x)|2
dx =
1
2π
∞
−∞
| ˆf(ξ)|2
dξ.
34
Pak
∆x∆ξ ≥
1
2
.
Rovnost přitom platí právě tehdy když
f(x) = Ae−cx2
pro nějaké konstanty A ∈ R a c > 0.
Důkaz: Vyjdeme z identity
(f2
(x)) = 2f(x)f (x).
Dále
(xff )(0) =
∞
−∞
2f(x)f (x)xdx = xf2
(x)|∞
∞ −
∞
−∞
f2
(x)dx = −E.
Z Cauchy-Schwartzovy nerovnosti dostaneme
E = |
∞
−∞
2xf(x)f (x)dx| ≤ 2(
∞
−∞
x2
f2
(x)dx)
1
2 (
∞
−∞
f (x)2
dx)
1
2 = 2∆x
√
E(
∞
−∞
f (x)2
dx)
1
2 .
Na druhé straně, z Parsevalovy rovnosti
∞
−∞
(f (x)2
)
1
2 =
1
2π
∞
−∞
| ˆf|2
=
1
2π
∞
−∞
|iξ ˆf|2
=
∞
−∞
ξ2
| ˆf|2
= E(∆ξ)2
.
Tedy
∞
−∞
(f (x)2
)
1
2 =
√
E(∆ξ)2
.
Celkem dostáváme
E ≤ 2∆x
√
E
√
E∆ξ,
t.j.
∆x∆ξ ≥
1
2
.
Rovnost nastane právě tehdy, když nastane rovnost v Cauchy-Schwartzově nerovnosti,
t.j. když
2f(x)x = kf (x),
tedy
f(x) = Ae−cx2
pro nějaké konstanty A a c. Tím je tvrzení dokázáno.
35
Kapitola 3
Fourierova transformace v Rn
3.1 Základní vlastnosti
Nechť f : Rn
→ C je absolutně integrovatelná funkce. Proměnnou v Rn
budeme
značit
x = (x1, x2, . . . , xn),
proměnnou Fourierovy transformace ξ = (ξ1, . . . ξn). Dále označíme
ξ · x =
n
j=1
xiξi.
Budeme používat standartní multiindexové označení.
Definice 3.1.1. Pro ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn
definujeme
ˆf(ξ) =
Rn
f(x)e−iξ·x
dx.
Funkce f(ξ) : Rn
→ C se nazývá (n-rozměrná) Fourierova transformace funkce f.
3.1.1 Základní vlastnosti Fourierovy transformace
Většina základních vlastností n-rozměrné Fourierovy transformace je zcela analogická
odpovídajícím vlastnostem jednorozměrné transformace. Pro jednoduchost budeme
všechny vlastnosti dokazovat pro funkce rychle klesající v nekonečnu.
Definice 3.1.2. f je funkce rychle klesající v nekonečnu, neboli funkce Schwartzovy
třídy, jestliže pro každé dva multiindexy α, β platí
lim
|x|→∞
|xα
f(β)
| = 0.
Prostor funkcí Schwartzovy třídy označujeme S.
Vícerozměrná Fourierova transformace je lineární, t.j.
(af + bg) = a ˆf + bˆg.
36
Lemma 3.1.3. (O změně měřítka) Pro f ∈ S a R > 0 označme fR(x) = f(Rx).
Pak
fR(ξ) =
1
Rn
ˆf(
ξ
R
).
Důkaz: Substitucí y = Rx dostaneme
fR(ξ) =
Rn
fR(x)e−iξ·x
dx =
Rn
f(Rx)e−iξ·x
dx =
=
Rn
f(y)e−i ξ
R
·y 1
Rn
dy =
1
Rn
Rn
f(y)e−i ξ
R
·y
dy =
1
Rn
ˆf(
ξ
R
).
Tím je lema dokázáno.
Lemma 3.1.4. (O Fourierově transformaci parciální derivace). Nechť f ∈ S. Pak
(
∂f
∂xj
)(ξ) = iξj
ˆf(ξ).
Tedy parciální derivace se při transformaci převádí na násobení odpovídající
komponentou vektoru ξ.
Důkaz:
(
∂f
∂xj
)(ξ) =
Rn
(
∂f
∂xj
)(x)e−iξ·x
dx = (−iξj)
Rn
f(x)e−iξ·x
dx =
= iξj
ˆf(ξ),
kdeb druhá rovnost plyne z Greenovy věty a toho že f je rychle klesající funkce.
Obecně, je-li f ∈ S a α je multiindex, pak
(f(α))(ξ) = (i)|α|
ξα ˆf(ξ).
Zvlášť jednoduchý tvar má Fourierova transformace Laplaceova operátoru,
(∆f)(ξ) = |ξ|2 ˆf(ξ).
Věta 3.1.5. (Základní identita pro Fourierovu transformaci) Nechť
f, g ∈ L1
∩ C Pak platí
Rn
fˆg =
Rn
ˆfg
Důkaz: Z Fubiniho věty, analogicky jako v jednorozměrném případě.
37
3.2 Věta o inverzní transformaci
3.2.1 Věta o inverzní transformaci
Věta 3.2.1. Nechť f ∈ S, pak
f(x) =
1
(2π)n
Rn
ˆf(ξ)eiξ·x
dξ.
Důkaz je analogický jako v R1
.
Definice 3.2.2. Inverzní Fourierova transformace je definována vztahem
ˇf(ξ) =
1
(2π)n
Rn
f(x)eiξ·x
dξ.
Stejně jako v jednorozměrném případě je inverzní Fourierova transformace opravdu
inverzní operací k Fourierově transformaci, platí tedy
ˇ
( ˆf) = f
3.3 Řešení rovnice vedení tepla na přímce
Jak jsme se zmínili v úvodu, jednou z důležitých aplikací Fourierovy analýzy je řešení
diferenciálních rovnic.
Chceme řešit rovnici vedení tepla na přímce, t.j.
ut(x, t) = uxx(x, t)
pro x ∈ R a t ≥ 0. u(x, t) je teplota v bodě x a čase t. Teplota tyče v počátečním
čase je známa, daná počáteční podmínkou
u(x, 0) = ψ(x).
Pro každé pevné t > 0 budeme uvažovat Fourierovu transformaci funkce u v proměnné
x. Na jedné straně máme
(
∂2u
∂x2
)(ξ, t) = (iξ)2
ˆu(ξ, t),
na druhé straně t hraje při integraci roli parametru, tedy je
(
∂u
∂t
)(ξ, t) =
∂ˆu
∂t
(ξ, t).
Transformovaná rovnice má tedy tvar
∂ˆu
∂t
(ξ, t) = −ξ2
ˆu(ξ, t).
38
Pro pevné ξ je to obyčejná diferenciální rovnice v proměnné t, kterou umíme vyřešit,
ˆu(ξ, t) = Ce−ξ2t
kde C = ˆu(ξ, 0), tedy
C = ˆψ(ξ).
Celkem
ˆu(ξ, t) = ˆψ(ξ)e−ξ2t
.
Zpětnou transformací, podle pravidla o transformaci konvoluce dostaneme
u(x, t) = (ψ ∗ Gt)(x, t),
kde Gt(x) je zpětná transformace funkce e−ξt
. Tu najdeme ze znalosti transformace
Gaussovy funkce a lemmatu o transformaci po změně měřítka, kde vezmeme R =√
4πt. Tak dostaneme
Gt(x) =
1
√
4πt
e−x2
4t .
Řešení počáteční úlohy pro rovnici vedení tepla má tedy tvar
u(x, t) =
1
√
4πt
∞
−∞
e−
(x−y)2
4t ψ(y)dy.
39
Kapitola 4
Zobecněná Fourierova
transformace
V této kapitole ukážeme jak je možné přirozeným způsobem rozšířit Fourierovu
transformaci na velmi širokou třídu funkci a navíc i na zobecněné funkce, tzv. dis-
tribuce.
4.1 Testovací funkce a distribuce
Definice 4.1.1. Prostor C∞
0 (R) hladkých funkcí s kompaktním nosičem nazýváme
prostor testovacích funkcí.
Definice 4.1.2. Spojitý lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí se nazývá
distribuce.
Je-li g distribuce pak její hodnotu na testovací funkci φ označujeme
g(φ) = g, φ .
Nechť f je spojitá funkce na R. Přiřadíme jí jednoznačně určenou distribuci,
kterou budeme označovat stejným písmenem, předpisem
f, φ =
∞
−∞
f(x)φ(x)dx.
Hodnota na testovací funkci je tedy obyčejný skalární součin těchto dvou funkcí.
Naopak, jsou-li f, g dvě různé funkce pak se snadno dokáže že jim odpovídající
distribuce musí být také různé. Můžeme tedy spojité funkce ztotožňovat s příslušnou
distribucí.
4.2 Operace na distribucích
Ukážeme jak je možné operace definované na prostoru testovacích funkcí rozšířit na
distribuce. Uvažujme operátor T : C∞
0 (R) → C∞
0 (R) a předpokládejme že k němu
40
existuje adjungovaný operátor T∗
, takový, že
(Tf, g) = (f, T∗
g)
pro každé dvě funkce f, g z C∞
0 (R). Pak můžeme definovat rozšíření operátoru T na
prostor distribucí. Je-li f distribuce, definujeme distribuci Tf vztahem
Tf, φ = f, T∗
g .
Například, je-li operátor derivování, t.j. T = d
dx
, máme integrováním per partes
(
df
dx
, g) =
∞
−∞
df
dx
gdx = −
∞
−∞
dg
dx
gdx = (f, T∗
g),
neboť zintegrovaný člen fg|∞
−∞ je roven nule protože funkce mají kompaktní nosič.
Je tedy T∗
= −T. Derivace distribuce je tedy definována vztahem
f , φ = f, φ .
4.3 Fourierova transformace distribucí
Je-li T operátor Fourierovy transformace, t.j. Tf = ˆf, víme ze základní identity že
pro f, g ∈ C∞
0 (R) je
∞
−∞
fˆg =
∞
−∞
ˆfg
a tedy T∗
= T. Můžeme tedy definovat Fourierovu transformaci pro libovolnou
distribuci.
Definice 4.3.1. Nechť f je distribuce. Definujeme její Fourierovu transformaci vzta-
hem
ˆf, φ = f, ˆφ .
Odvodíme teď zobecnnou Fourierovu transformaci některých důležitých funkcí. Je-li
f = 1, dostaneme z definice
ˆ1, φ = 1, ˆφ =
∞
−∞
ˆφ =
ˆˆφ(0) = 2πφ(0) = 2πδ0,
kde δ0 je Diracova delta funkce v nule. Podobně odvodíme Fourierovu transformaci
mocninné funkce a tím libovolného polynomu.
41