logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD
prof. Ing. Jiří Holčík, CSc.
holcik@iba.muni.cz

logo-IBA logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
V.
PARAMETRICKÉ METODY ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA
pokračování

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPEKTRÁLNÍ ODHAD S MAXIMÁLNÍ ENTROPIÍ (MEM)
þje založen na extrapolaci známého segmentu AK posloupnosti pro další hodnoty posunutí
þ
þmáme {gxx(0), gxx(1), …, gxx(p)}
þa jak určit {gxx(p+1), gxx(p+2), …}, aby výsledná matice zůstala semidefinitní
þexistuje nepřeberně možností
þBurg – extrapolaci provést tak, aby extrapolovaná AK posloupnost měla maximální entropii, tzn.
posloupnost má být co nejnáhodnější ze všech co mají určených p+1 prvních členů Þ funkce spektrální
hustoty bude nejplošší þtakový odhad klade nejméně požadavků na neznámou posloupnost;
þmaximální znáhodnění produkuje řešení s minimální chybou

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
SPEKTRÁLNÍ ODHAD S MAXIMÁLNÍ ENTROPIÍ (MEM)
þobecná formulace pro určení AR spektra posloupnosti s maximální entropií vede na soustavu
nelineárních rovnic
þ
þY-W odhad je odhad s maximální entropií pouze v případě, že je analyzovaná AK posloupnost
generována náhodným procesem s normálním rozložením;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
BURGOVA METODA
þnejpopulárnější metoda odhadu parametrů AR modelu z N vzorků
þpředpokládá:
èstacionární proces v širším slova smyslu
þvyužívá:
èoptimální  dopřednou a zpětnou lineární predikci z hlediska minimální energie chybové
posloupnosti;
þpožaduje:
èaby AR parametry splňovaly Levinsonovu rekurzi

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þodhad hodnoty x(nTvz):
èdopřednou lin. predikcí:
èzpětnou lin. predikcí:
þchyby odhadu:
èdopřednou lin. predikcí:
èzpětnou lin. predikcí:
þenergie chybové posloupnosti
þ
þchceme, aby byla splněna Levinsonova rekurze
þap(k)=ap-1(k)+ap(p).a*p-1 (p-k)= ap-1(k)+Kpa*p-1 (p-k)
þ (Kp=ap(p) je koeficient odrazu v mřížkovém realizačním schématu prediktoru)
BURGOVA METODA
chceme, aby byl AR model stabilní

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þobecně:
þ
LEVINSONŮV – DURBINŮV ALGORITMUS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
BURGOVA METODA
þaž se všechno podosazuje je
þ
þ
þabychom Ep minimalizovali, derivujeme podle ap(p) a výsledek položíme roven nule, z toho pak je
þ
þ
þ
þ |Ki(i)|£1 … model je tedy opravdu stabilní
þ!!! HALELUJAH !!!
þ
tohle známe z předchozí rekurze

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
BURGOVA METODA
odhad celkové energie chyby
dokážeme jej také počítat rekurzivně:
Andersonův vztah
odhad výkonového spektra podle pana Burga

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
BURGOVA METODA
E0

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
BURGOVA METODA
þvýhody:
èdobrá frekvenční rozlišovací schopnost;
èAR model je stabilní;
èdobře se to počítá
þnevýhody:
èštěpení spektrálních čar při velkém poměru signál/šum;
èparazitní vrcholy ve spektru při modelech vyšších řádů
èu harmonických signálů v šumu je odhad citlivý na počáteční fázi harmonického signálu – projevuje
se to frekvenčním posunem

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
BURGOVA METODA
þjak na uvedené nevýhody?
ènapř. woknováním posloupnosti čtverců chyb
è
è
è potom
è
è
è
è umí se to, dělalo se to s Hammingovým oknem, parabolickým oknem, adaptivně, …

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
NEPODMÍNĚNÁ METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ
þaž sem je to totéž jako u Burgovy metody, ale teď si nebudeme přát, aby koeficienty ap(k)
splňovaly Levinsonovu rekurzi
þß
þmetoda nejmenších čtverců na rovnici Ep se všemi koeficienty ap(k)

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
NEPODMÍNĚNÁ METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ
kde rxx(l,k) je cosi, čemu se říká autokorelace a je to definováno vztahem
minimální energie predikční chyby je
kde

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
LEVINSONŮV – DURBINŮV ALGORITMUS
þdopředná lineární predikce
þnormální rovnice:
þ   l=1,2,…,p; ap(0)=1
þ
þvýsledná minimální MSE
þ
þ
þrozšířené normální rovnice:
þ
þ

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
NEPODMÍNĚNÁ METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ
konečně odhad výkonového spektra:

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
NEPODMÍNĚNÁ METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ
počítání:
vGaussovou eliminační metodou – O(p3)
vdá se to zefektivnit [Marple] - O(p2)
Rp se vyjádří jako součty a součiny Toeplitzových a Hankelových matic, ve skutečnosti pracnost asi
o 20% vyšší než u Burga
zvýšení pracnosti se vrátí v lepších vlastnostech:
vje menší frekvenční posun, není štěpení spektrálních čar, nejsou parazitní vrcholy;
vmodel nemusí být stabilní – ale to nám v podstatě moc nevadí

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ILUSTRACE
skenování0001.jpg skenování0002.jpg
LS

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ILUSTRACE
skenování0003.jpg skenování0004.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
ILUSTRACE
skenování0005.jpg skenování0029.jpg skenování0030.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KOMENTÁŘE K ILUSTRACÍM
þparazitní vrcholy
þ pokud by byl analyzovaný proces přesně typu AR(p), pak koeficienty modelu
þ
þ
þprotože to tak není    pro i>p Þ existuje n-p pólů navíc; pokud jsou tyto nadbytečné póly v
blízkosti jednotkové kružnice, projeví se ve spektru
þdoporučení: řád modelu by neměl být větší než N/2; N je počet vzorků v záznamu
þfázová závislost
èu AR modelů klesá s délkou posloupnosti;
èrůzná pro různé odhady (u Burgova odhadu je až 16 %);
èpomáhá woknování;

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
KOMENTÁŘE K ILUSTRACÍM
þštěpení spektrálních čar
þ u Burgova algoritmu, když je:
èvysoký SNR;
èpočáteční fáze sinové složky je rovna lichému násobku 45°;
èdoba záznamu je taková, že obsahuje lichý počet čtvrtin periody harmonické složky;
èAR parametrů je velký počet ve srovnání s počtem vzorků v sekvenci Þ roste-li počet vzorků
relativně vůči řádu modelu, štěpení vrcholů se omezuje;
èvysvětluje se tím, že Burgův algoritmus optimálně neminimalizuje chybu

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þcitlivost na šum
þstejnosměrná složka a lineární trend znehodnocuje spektrum na nízkých kmitočtech – odstranit
předem !!!
þzobecnění problému:
þyn = xn + wn a nechť je wn bílý šum s rozptylem σw2 a je nekorelovaný s xn;
þpak výkonové spektrum
KOMENTÁŘE K ILUSTRACÍM
!!! tohle už ale není přenosová funkce AR, alébrž ARMA !!!

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
þcitlivost na šum – pokračování
þlze si pomoct:
1.použitím ARMA odhadu (o tom se dozvíme později);
2.odfiltrováním šumu (nejdřív je potřeba určit vlastnosti šumu);
3.použitím AR odhadu vyššího řádu
þ za tím je Woldova dekompozice
þ vzhledem k doporučení omezujícímu štěpení vrcholů (řád menší než polovina počtu vzorků), nelze
řád modelu zvyšovat bezhlavě; 4.kompenzovat odhad AK funkce nebo reflexních koeficientů vzhledem k
šumu
þ
þ
KOMENTÁŘE K ILUSTRACÍM

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
MODEL SIGNÁLU PRŮCHODEM LINEÁRNÍ SOUSTAVOU
þdekompoziční teorém (Wold 1938)
èjakýkoliv ARMA nebo MA proces může být jednoznačně reprezentován AR modelem max. ¥ řádu;
èjakýkoliv ARMA nebo AR proces lze reprezentovat MA modelem max. ¥ řádu;
èß
èje nám jedno, co použijeme za model, jen by měl mít co nejméně parametrů, které se snadno počítají

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
URČENÍ ŘÁDU AR MODELU
þřád nebývá znám apriori, je třeba jej odhadnout – je-li nízký – spektrum se vyhlazuje, je-li
vysoký – zvýšený výskyt parazitních detailů
èprvní možnost – zvyšovat řád, dokud predikční chyba nebude minimální
qvšechny LMS metody mají teoreticky monotónně klesající chybu
q Ei = Ei-1[1-|ai(i)|2] …. Y.-W. metoda
skenování0030.jpg

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
URČENÍ ŘÁDU AR MODELU
èkritéria, která vykazují extrém se zvyšováním řádu modelu
èkonečná predikční chyba
è(final prediction error – FPE) – Akaike
è
è N je počet vzorků
è
èzlomek roste s p®N, protože roste neurčitost odhadu Ep;
èparáda na umělých datech čistých AR procesů; na reálných datech příliš malé
è
èAkaikovo informační kritérium (AIC)
èpro normální rozložení
èAICp = ln(Ep) + 2(p+1)/N, někdy ln(Ep) + 2p/N;
èdruhý člen vyjadřuje cenu použití zbytečných AR koeficientů;
èAIC je statisticky nekonzistentní odhad; pravděpodobnost chyby odhadu řádu nejde k nule, když N®¥
è

levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU
© Institut biostatistiky a analýz
URČENÍ ŘÁDU AR MODELU
èkritéria, která vykazují extrém se zvyšováním řádu modelu
èminimalizace délky popisu (Rissanenovo informační kritérium)
è(minimization of the description length – MDL)
èMDLp = N.ln(Ep) + p.ln(N)
è
èkritérium AR přenosu (Parzenovo kritérium)
è(criterion AR transfer – CAT)
è
è
è
qpro krátké posloupnosti nefunguje nic; pÎáN/3; N/2ñ;
qpro harmonický proces v šumu – FPE a AIC – malé p, je-li SNR vysoký;
è
è
è