logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz SPEKTRÁLNÍ ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. holcik@iba.muni.cz logo-IBA logo-MU © Institut biostatistiky a analýz V. PARAMETRICKÉ METODY ODHADU VÝKONOVÉHO SPEKTRA pokračování MA A ARMA MODELY levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁKLADNÍ VZTAHY MEZI PARAMETRY MODELU A AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTÍ ARMA: předpokládáme kauzální filtr gxy(mTvz) … vzájemná korelační posloupnost mezi x(nTvz) a y(nTvz) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ZÁKLADNÍ VZTAHY MEZI PARAMETRY MODELU A AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTÍ nelineární vztah mezi gyy(mTvz) a parametry ak a bk, protože impulzní charakteristika h(kTvz) = f(ak,bk) ARMA: levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þopakování: þ AR: ZÁKLADNÍ VZTAHY MEZI PARAMETRY MODELU A AUTOKORELAČNÍ POSLOUPNOSTÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MA MODELY þopakování: levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MA MODELY þ(b0z0+b1z1+…+bqzq).(b0z0+b1z-1+…+bqz-q) = þ= b02+b0b1z+…+b0bqzq+b0b1z-1+b12+b2b1z+…+bqb1zq-1+…+ þ +b0bqz-q+b1bqz-q+1+b2bqz-q+2+…+bq2 = þ= (b0b0+b1b1+…+bqbq).z0 +(b0b1+b1b2+…+bq-1bq).z-1 + þ þ d0 d-1 þ+(b1b0+b2b1+…+bqbq-1).z1 +…+(…).zq þ þ ß d1 þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz Česká filharmonie pod taktovkou francouzského dirigenta Ludovica Morlota koncertovala 4. září v pražském Rudolfinu na závěr festivalu Dvořákova Praha. MA MODELY þTedy þ þ þa výkonové spektrum þ þ þodhad spektra: metoda momentů !!! A TO JE KLASIKA !!! aneb metoda Blackmanova- Tukeyho !!! nepočítáme parametry MA modelu, ale jen výkonovou spektrální hustotu !!! levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz skenování0004.jpg levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MA MODELY þALTERNATIVA: þstanovení {bk} založené na aproximaci MA procesu AR procesem vysokého řádu, þ tj. p » q þ þdekompoziční teorém (Wold 1938) èjakýkoliv ARMA nebo MA proces může být jednoznačně reprezentován AR modelem max. ¥ řádu; èjakýkoliv ARMA nebo AR proces lze reprezentovat MA modelem max. ¥ řádu; þ þ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MA MODELY þALTERNATIVA: þstanovení {bk} založené na aproximaci MA procesu AR procesem vysokého řádu, þ tj. p » q þ þv tom případě platí, že B(z) = 1/A(z), resp. B(z).A(z)=1 a proto þ þ þ clanok2-priebeh MA a AR frekvenční charakteristiky Hammingovy MA DP s délkou impuzní odezvy 322 vzorků (modrá) a její AR ekvivalent řádu 274 (černá) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz MA MODELY þALTERNATIVA: þodhad {bk} můžeme zpřesnit pomocí metody nejmenších čtverců þurčíme kvadratickou chybu þ þ þ þa tu minimalizujeme výběrem parametrů {bk} þ þ þkde þ vymyslel to Durbin a ukázalo se, že je to přibližně odhad s maximální věrohodností, je-li proces normální levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz URČENÍ ŘÁDU MA MODELU þpro vyjádření úzkých pásem je třeba hodně vysoký řád; þintuitivně: þ hodnoty odhadu autokorelační funkce musí rychle klesat k nule, protože gyy(mTvz)=0 pro |m|>q þ test, zda ryy(mTvz)®0 je založený na srovnávání ryy(qTvz) s rozptylem hodnot ryy(mTvz) pro mq je þdosadíme gyy a řešíme p lineárních rovnic (pro modely vyšších řádů horší výsledky díky slabším odhadům gyy(mTvz) pro větší m); þpřeurčená soustava lineárních rovnic (pro m>q) þjejí řešení opět optimalizací metodou nejmenších čtverců levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ARMA MODELY METODA PRVNÍ þpředpokládejme, že známe odhady autokorelační funkce až do zpoždění M > p+q þ þ þ þ þ þ þprotože Ryy je rozměru (M-q) x p a M-q > p, lze použít metodu nejmenších oo; þvýsledkem minimalizace je þ þ(může být použito i váhování k potlačení méně spolehlivých odhadů AK funkcí) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ARMA MODELY METODA PRVNÍ þanalyzovanou sekvenci vyfiltrujeme FIR filtrem a dostaneme þ þ þkaskádní zapojení ARMA(p,q) [HARMA(z)=B(z)/A(z)] s AR(p) reprezentuje přibližně MA(q) proces s HMA(z)=B(z) levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz ARMA MODELY METODA PRVNÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þz filtrované sekvence u(nTvz) pro p£n£N-1 je ruu(mTvz), odhad výkonového spektra potom je þ þ þ(opět můžeme „woknovat“ k potlačení méně spolehlivých odhadů autokorelačních funkcí nebo filtrace AR(q) oběma směry Þ dvě různé posloupnosti autokorelační funkce) ARMA MODELY METODA PRVNÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þvstupní/výstupní identifikace metodou nejmenších oo þ þopakování: þ þ þnelinearita vztahu pro výpočet gyy(mTvz) plyne z toho, že neznáme gxy(mTvz-kTvz), protože neznáme x(nTvz) ARMA MODELY METODA DRUHÁ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þy = H.θ + n þy = [y(0) y(Tvz) … y(NTvz-Tvz)]T þn = [x(0) x(Tvz) … x(NTvz-Tvz)]T þθ = [-a1 –a2 … -ap b1 b2 … bq ]T þ þ þ þ þ þ þ þmatice vstupních/výstupních dat o rozměru N x (p+q) þ ARMA MODELY METODA DRUHÁ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þminimalizace nejmenšími oo þ þ þ þpočáteční podmínky y-p, …, y-1, x-q, …, x-1 buď specifikovat nebo nulové þ þodhad hodnot vstupní šumové posloupnosti z analyzované posloupnosti AR modelem vysokého řádu ARMA MODELY METODA DRUHÁ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þ(už tu částečně byla) þ þ þkoeficienty {ck} se určí nějakým AR algoritmem a z nich {ak} a {bk} þ þ þ þje-li p>q, pak þnebo v časové oblasti ARMA MODELY METODA TŘETÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þprotože by mělo platit an = 0 pro n>p, je þ þ þ þ þ þ þpo určení se spočítají z ARMA MODELY METODA TŘETÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz þcož je maticově ARMA MODELY METODA TŘETÍ levy-panel-IBA-se-zavojem logo-IBA-transparent logo-MU © Institut biostatistiky a analýz URČENÍ ŘÁDŮ ARMA MODELU þdodatečné kritérium: þposouzení bělosti posloupnosti po inverzní filtraci analyzované posloupnosti navrženou ARMA soustavou þodhad p þ þ þ þdet(R’yy)=0, pokud je rozměr modelu větší než řád analyzovaného procesu je odhad rozptylu vstupní chybové posloupnosti rozšířené modifikované Y.-W. rovnice