INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Polynomy Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. Obsah 1 Základní vlastnosti polynomů 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Zavedení polynomů................................ 2 1.1.2 Operace s polynomy............................... 2 1.1.3 Kořeny polynomů ................................ 4 1.1.4 Hledání kořenů polynomů............................ 5 1.2 Řešené příklady...................................... 7 1.2.1 Největší společný dělitel polynomů....................... 7 1.2.2 Hledání kořenů polynomů............................ 8 1.3 Příklady k procvičení................................... 10 1.3.1 Největší společný dělitel polynomů....................... 10 1.3.2 Hledání kořenů polynomů............................ 10 1 Základní vlastnosti polynomů 1.1 Teorie 1.1.1 Zavedení polynomů Polynomem (mnohočlenem) stupně n rozumíme funkci tvaru P(x) = Pn(x) = anxn + an-\xn~x + • • • + a\x + ag; (1) kde n e N, ciq, a\,..., an e R, an =£ 0. Čísla ciq, a\,... ,an se nazývají koeficienty polynomu, an se nazývá vedoucí koeficient polynomu, ciq se nazývá absolutní člen polynomu, x je proměnná, n je stupeň polynomu, který se také značívá st(P). Jsou-li koeficienty ao, &i,.. ., &„ e C, mluvíme o komplexním polynomu; v případě že e R, mluvíme o reálném polynomu. V našem případě budeme pracovat právě s reálnými polynomy a stručně je označovat "polynomy". Je-li an = 1, nazývá se polynom P(x) normovaný polynom. Polynomy tvaru P(x) = ao, tj. konstanty nazýváme polynomy nultého stupně nebo konstantní polynomy. Speciálním případem konstantního polynomu je P(x) = 0 - nulový polynom. Polynom prvního stupně P(x) = a±x + a0 se nazývá lineární polynom. Polynom druhého stupně P(x) = a2X2 + a±x + ao se nazývá kvadratický polynom. Polynom třetího stupně P(x) = a$x3 + a2X2 + a±x + ap se nazývá kubický polynom. 1.1.2 Operace s polynomy Polynomy můžeme sčítat, odečítat, násobit či dělit. S příslušnými operacemi jste se jistě seznámili již na základní, či střední škole. Stručně jen připomeňme následující základní informace. Při sčítání resp. odečítání polynomů vždy sčítáme nebo odečítáme koeficienty u členů se stejným mocnitelem (exponentem). Při násobení polynomů násobíme každý člen prvního polynomu s každým členem druhého polynomu. Koeficienty násobíme klasicky jako reálná čísla. Exponenty u proměnných naopak sčítáme podle pravidel pro počítání s mocninami (např. 4x2 ■ 2x3 = 8x5). Příklad Určete součet, rozdíl a součin polynomů P a Q: P(x) = 5x3 + 3x2 + Ax + 3, Q(x) = 3x2 - x + 5. (P + Q) (x) = 5x3 + (3 + 3)x2 + (4 - í)x + 3 + 5 = 5x3 + 6x2 + 3x + 8 (P - Q) (x) = 5x3 + (3 - 3)x2 + (4 + í)x + 3 - 5 = bx3 + bx - 2 2 (P ■ Q)(x) = bx3 ■ 3x2 + bx3 ■ (-x) + bx3 ■ 5 + 3x2 ■ 3x2 + 3x2 ■ (-x) + 3x2 ■ 5+ +Ax ■ 3x2 + Ax ■ (-x) + Ax ■ 5 + 3 • 3x2 + 3 • (-x) + 3 • 5 = = 15x5 - 5x4 + 25x3 + 9x4 - 3x3 + Í5x2 + Í2x3 - 4x2 + 20x + 9x2--3x + 15 = = 15x5 + (-5 + 9)x4 + (25 - 3 + Í2)x3 + (15 - 4 + 9)x2+ + (20-3)x+ 15 = = 15x5 + 4x4 + 34x3 + 20x2 + 17 x + 15 Dělení polynomů si ukážeme na následujícím příkladě. Příklad Určete podíl polynomů P a Q: a) P(x) = x3 - 2x2 + 4x + 7, Q(x) = x + 1, ( x$ -2x- + 4x+7) : {x + l) = x2-3x+7 x* -x2 - 3x2 + Ax Zx2 + 3x 7x + 7 - 7x-7 0 V tomto případě jsme našli takový polynom R, takový že P = Q ■ R. Říkáme, že polynom Q dělí polynom P (zapisujeme Q\P). b) P{x) = x4 + x2 - 2, Q{x) = x2 + 2x - 3. f x4 +x- -2) : (x2+2x-3) = ar2-2ar+S+--- - 2xz +Ax2 2xz + Ax~2 -6a: Sx2 - Qx -2 - Sx- - Ktx + 21 - 22x + 22 V tomto případě polynom Q nedělí polynom P, dělení vyšlo se zbytkem - tím je polynom -22x + 22. Největší společný dělitel polynomů Podobně jako u přirozených čísel můžeme definovat největšího společného dělitele polynomů P a Q jako polynom, který dělí P i Q a je dělitelný všemi ostatními polynomy s touto vlastností. Největší společný dělitel polynomů P a Q budeme označovat jako NSD(P, Q). K jeho nalezení lze využít tzv. Eukleidův algoritmus: Vydělíme polynom P polynomem Qav každém dalším kroku pak dělíme polynom s menším stupněm (tj. např. ve 2. kroku polynom Q) zbytkem získaným z předchozího dělení (např. ve 2. 3 kroku zbytkem z 1. dělení). Poslední nenulový zbytek, který tímto algoritmem dostaneme, je největším společným dělitelem polynomů P a Q. Jelikož největší společný dělitel polynomů je určen jednoznačně až na násobek libovolnou nenulovou reálnou konstantou, výpočet vždy zjednodušíme tím, že každý zbytek znormujeme (vynásobíme tak, aby vedoucí koeficient zbytku byl roven jedné). Celý postup ilustrují řešené příklady 1 a 2. 1.1.3 Kořeny polynomů Každé číslo c (reálné či komplexní, podle oboru v jakém pracujeme) splňující Pn(c) = 0 (2) se nazývá kořen polynomu Pn{x) stupně n > 1. Rovnice tvaru Pn{x) = 0, tj. anxn + a„_1xrt_1 + • • • + aix + a0 = 0 (3) je tzv. algebraickou rovnicí stupně n. Hledání kořenů polynomů tedy odpovídá hledání řešení příslušné algebraické rovnice. Nalézt řešení lineární či kvadratické rovnice, tj. kořeny polynomů 1. a 2. stupně, by měl zvládnout bez potíží každý z vás. Otázkou však je, zda existuje nějaký univerzální algoritmus na hledání kořenů polynomů stupňů vyšších? Již v 16. století byly známy vzorce pro polynomy stupně 1, 2, 3 a 4. Dlouhou dobu se potom matematikové snažili nalézt podobné vzorce pro kořeny polynomů stupně 5. Teprve v polovině 19. století bylo dokázáno, že takové vzorce pro polynomy stupně většího nebo rovného pěti neexistují! Při hledání kořenů polynomů se tedy musíme spokojit s jejich odhady na základě vlastností, které si dále uvedeme. Je-li c kořenem polynomu Pn(x), lze tento polynom rozložit na tvar Pn(x) = (x-c)Qn-1(x). (4) Je-li c kořenem polynomu, pak lineární polynom [x — c) s proměnnou x se nazývá kořenový činitel příslušný ke kořeni c. Známe-li tedy kořen polynomu Pn(x), můžeme jej rozložit na součin kořenového činitele a polynomu stupně o jedno nižšího než je zadaný polynom. Polynom lze tedy beze zbytku vydělit kořenovým činitelem - výsledkem je polynom Qn-\. Řekneme že kořen c je k-násobný, jestliže existuje polynom Qn-k(%) stupně n — k takový, že platí Pn(x) = (x- c)kQn_k(x)a Q„_fe(c) ¥= 0. (5) To znamená, že c je fc-násobný kořen polynomu Pn(x), jestliže tento polynom lze beze zbytku vydělit polynomem (x — c)k, přičemž c není kořenem polynomu Qn-k{x)- Mimo to platí, že polynomy Pn{x) a Qn-k(%) z předchozí definice mají stejné kořeny včetně násobnosti, s výjimkou kořene c. Hledáme-li kořeny polynomu Pn (x), je vhodné po nalezení jednoho z nich vydělit polynom Pn{x) kořenovým činitelem příslušným tomuto kořeni "maximálně-možně-krát". Tím zjistíme násobnost kořene (je to číslo, udávající, kolikrát se nám podařilo provést dělení beze zbytku) a obdržíme polynom Qn-k(x) z předchozí definice (je to poslední podíl, který vyšel beze zbytku). Dále budeme hledat kořeny polynomu Qn-k(x). Ten je totiž nižšího stupně a tedy jednodušší. 4 Základní věta algebry, Gaussova věta: Každý nekonstantní polynom s komplexními koeficienty má alespoň jeden komplexní kořen. Gaussova základní věta algebry z roku 1799 tedy říká, že (pro nekonstantní polynomy) aspoň jeden kořen vždy existuje. Z této věty plyne velmi důležitý důsledek. Důsledek: Každý polynom (každá algebraická rovnice) stupně n má v oboru komplexních čísel právě n kořenů (řešení). Přitom každý kořen počítáme i s jeho násobností. Víme tedy kolik kořenů polynomu v oboru C existuje, neexistuje však univerzální návod, jak tyto kořeny nalézt. Pro řadu úloh v matematice je vhodné umět rozložit polynom na součin polynomů jednodušších. Lze ukázat, že každý polynom lze (v oboru reálných čísel) rozložit na součin, v němž jsou jenom kořenové činitele, tj. lineární polynomy tvaru (x — c) u jednoduchých reálných kořenů a tvaru (x — c)k u fc-násobných reálných kořenů, případně kvadratické výrazy x2 + px + q, které mají 2 komplexně sdružené kořeny nebo mocniny těchto kvadratických výrazů (x2 +px + q)kl . Rozklad však není možné provést bez znalosti kořenů tohoto polynomu. V praxi dokážeme zpravidla rozložit na součin pouze kvadratické polynomy, polynomy, které mají celočíselné či racionální kořeny, případně polynomy, kde rozklad na součin lze provést postupným vytýkáním. Více nám ukáže následující kapitola "Hledání kořenů polynomů". 1.1.4 Hledání kořenů polynomů Při hledání kořenů polynomů nám může pomoci několik následujících vět. Počet kladných kořenů polynomu (1) (řešení algebraické rovnice (3) je roven počtu znaménkových změn v posloupnosti koeficientů an, o„_i, .. ., a\, oq, nebo o sudé číslo menší. Případné koeficienty, které jsou rovny nule, přitom neuvažujeme. Počet záporných kořenů polynomu (1) (řešení algebraické rovnice (3) je roven počtu znaménkových změn v posloupnosti koeficientů polynomu P(—x), nebo o sudé číslo menší. Případné koeficienty, které jsou rovny nule, přitom neuvažujeme. Praktický význam věty je vidět v řešených příkladech 3 a 4. Podmínka pro celočíselné kořeny Nechť všechny koeficienty polynomu (1) jsou celá čísla. Je-li c e Z kořenem tohoto polynomu, pak je číslo a0 dělitelné číslem c, tj. c\a0. Předchozí věta se týká pouze polynomů s celočíselnými koeficienty a říká, že celočíselným kořenem takového polynomu může být pouze dělitel absolutního člene. Je tedy možné si všechny dělitele vypsat a po řadě je otestovat, např. Homérovým schématem. Navíc, najdeme-li takový kořen, zjistíme opakovaným testováním současně i jeho násobnost. Hornerovo schéma Hornerovo schéma je metoda, která umožňuje snadno určit, zda dané číslo je kořenem polynomu Pn (tj. zda Pn{c) = O2 ) a umožňuje rozložit zadaný polynom na součin kořenového činitele (x — c) příslušného nalezenému kořeni a polynomu Qn—i stupně o jedno nižšího než je 1 V oboru komplexních čísel bychom mohli rozložit i kvadratické výrazy se záporným diskriminantem. Pro naše účely však postačí rozklad v oboru reálných čísel. 2 To lze samozřejmě zjistit dosazením x = c do P„(c) = 0. Dostaneme-li platnou rovnost, jedná se o kořen polynomu. U složitějších polynomů však výpočet s pomocí Homérova schématu může být mnohem jednodušší. 5 zadaný polynom. Opakovaným užitím Homérova schématu lze zjistit násobnost nalezeného kořene a rozložit polynom na součin kořenových činitelů. Testování kořene polynomu probíhá pomocí následující tabulky. V jejím záhlaví jsou v 1. řádku koeficienty zadaného polynomu P„, do 1. sloupce se zapíše testované číslo (potenciální kořen c). Postupně získáváme čísla ve 3. řádku: nejdříve opíšeme koeficient an do 2. sloupce. Hodnoty ve 3. a dalších sloupcích získáme vždy vynásobením kořene s hodnotou v předchozím sloupci (mezivýsledek se zapíše do 2. řádku) a následně sečtením čísel v 1. a 2. řádku daného sloupce. »„ c c-arl c ■ bí C c ■»„ +»„-\ C - í>£ + Ů! Pokud bg =£ 0, pak c není kořenem polynomu Pn a bg je hodnota P(c). Pokud vyjde bg = 0, je c kořenem polynomu Pn. Čísla an, ■ ■ ■ ,b\ jsou pak koeficienty polynomu Qn—i stupně o jedno nižšího než je zadaný polynom Pn. Pn tak můžeme rozložit na součin kořenového činitele (x — c) příslušného nalezenému kořeni a polynomu Qn-\. Další kořeny polynomu Pn musí být zároveň kořeny polynomu Qn—i, tj. musí dělit bg -díky této vlastnosti se okruh testovaných čísel (dělitelů a>o) může zúžit. Při hledání dalšího kořene můžeme sestavit samostatnou tabulku pro Qn-i, nebo pokračovat v původní tabulce. Příklad Ověřte, je-li x = 2 kořenem polynomu P(x) = x7 - 6x6 - x5 + 70x4 - 120x3 - Íí2x2 + 432x - 288. Sestavíme Hornerovo schéma: 1 -6 - 1 70 - 120 - 112 432 -288 2 -8 - 18 104 -32 -288 2S8 1 - i -9 52 - 10 - 144 144 0 Jelikož vyšlo bg = 0 (zarámovaná hodnota), je x = 2 kořenem zadaného polynomu. Můžeme také ověřit, zda x = 2 je dvojnásobným kořenem zadaného polynomu P7. Sestavíme tabulku pro koeficienty polynomu Qq (stupně o jedno nižšího než je zadaný polynom). 1 - 4 -0 52 - 16 - 144 1 L L 2 -4 - 26 52 72 - 144 1 - 2 - 13 20 36 - 72 0 Vyšlo nám, že x = 2 je kořenem polynomu Qq a tedy minimálně dvojnásobným kořenem zadaného polynomu P7. Polynom P7 lze rozložit na (x — 2)2 • Q5. Nalezením dalších kořenů polynomu Q5 bychom mohli rozložit polynom P7 na součin všech kořenových činitelů. 6 1.2 Řešené příklady 1.2.1 Největší společný dělitel polynomů Příklad 1. Nalezněte největší společný dělitel polynomů P a Q: P(x) = x4 + x2 — 2, Q(x) x2 + 2x - 3. Řešení Postupujeme dle Eukleidova algoritmu. Nejdříve vydělíme polynom P polynomem Q: (x4 +x- - 2) : (x- + 2x - 3) = x- - 2x-\-&-\--r——— - 2*3 + Ax2 2xz + Ax~ -§x 8x- - (ix -2 - Sx- - Ktx + 21 — 22x -f- 22 Získaný nenulový zbytek znormujeme (vydělíme číslem —22): —22x + 22 ~ x — 1. Ve 2. kroku vydělíme polynom Q normovaným zbytkem získaným v předcházejícím kroku: ( x- + 2x-3) : (x - 1) =x + 3 - x- + x 3ar - 3 - 3x + 3 0 Ve 2. kroku jsme dostali nulový zbytek, algoritmus tedy končí. Největším společným dělitelem polynomů P a Q je x — 1 - poslední nenulový zbytek. Příklad 2. Nalezněte největší společný dělitel polynomů P a Q: P(x) = x5 + x2 — 2, Q(x) = x3 + 2x - 3. Řešení Postupujeme dle Eukleidova algoritmu. Nejdříve vydělíme polynom P polynomem Q: ( + 1» _2):(l3 + 2,.3) = ^_2+^=| -r- 2ar + 3x~ - 2x* + Ax2 - 2 2xz + Ax - G Ax- + Ax - B Získaný nenulový zbytek znormujeme (vydělíme číslem 4): 4x2 + 4x — 8 ~ x2 + x — 2. Ve 2. kroku vydělíme polynom Q normovaným zbytkem získaným v předcházejícím kroku: 7 ( ■ 2 j 3) : (ar2+ ar-2) !iar - T) ar- + ar - 2 - x2 + 4ar ar + ar 3 2 5ar — 5 Získaný nenulový zbytek znormujeme (vydělíme číslem 5): bx — 5 ~ x — 1. Ve 3. kroku vydělíme polynom ar2 + ar — 2 normovaným zbytkem získaným v předcházejícím kroku: Ve 3. kroku jsme dostali nulový zbytek, algoritmus tedy končí. Největším společným dělitelem polynomů P a Q je x — 1 - poslední nenulový zbytek. 1.2.2 Hledání kořenů polynomů Příklad 3. Určete počet kladných, záporných, reálných, komplexních (a imaginárních) kořenů polynomu P: P(x) = x4 + 2x3 - 25x2 - 26x + 120. Řešení. Stupeň polynomu st(P) = 4 —> podle důsledku Základní věty algebry je počet komplexních kořenů roven 4. Koeficienty P(x) jsou 1, 2,—25,—26,+120 —> 2 znaménkové změny —> 2 nebo 0 kladných reálných kořenů. Koeficienty P{-x) = xA - 2x3 - 25x2 + 26x + 120 jsou 1, -2, -25, 26,120 -> 2 znaménkové změny —> 2 nebo 0 záporných reálných kořenů. Pro kořeny polynomu P jsou následující možnosti: a) 0 reálných kořenů, 4 kořeny imaginární, b) 2 reálné kořeny (buď 2 kladné, nebo 2 záporné), 2 kořeny imaginární (2 komplexně sdružené kořeny a + j3i), c) 4 reálné kořeny (2 kladné a 2 záporné), 0 kořenů imaginárních. Příklad 4. Určete počet kladných, záporných, reálných, komplexních (a imaginárních) kořenů polynomu P: P(x) = x3 — 6x2 + ííx — 6. Řešení. Stupeň polynomu st(P) = 3 —> podle důsledku Základní věty algebry je počet komplexních kořenů roven 3. Koeficienty P{x) jsou 1, —6,11, —6 —> 3 znaménkové změny —> 3 nebo 1 kladných reálných kořenů. Koeficienty P{—x) jsou —1, —6, —11, —6 —> žádná znaménková změna —> 0 záporných reálných kořenů. ( x- +x-2) : (x - 1) = ar -f 2 -x2 +-ar 2ar - 2 - 2ar +2 li 8 Pro kořeny polynomu P jsou následující možnosti: a) 1 reálný kladný kořen, 2 kořeny imaginární (2 komplexně sdružené kořeny a ± j3i), b) 3 reálné kladné kořeny, 0 kořenů imaginárních. Příklad 5. Ověřte, je-li x = 1 kořenem polynomu P(x) = 4x4 — 6x3 + 3x — 5. Řešení Sestavíme Hornerovo schéma: 4 -6 li 3 l _ 2 _ 2 [ ■1 - 2 _ 2 1 - 4 Jelikož vyšlo bg = —4 # 0 (zarámovaná hodnota), není x = 1 kořenem zadaného polynomu. Příklad 6. Rozložte polynom P(x) = x5 + x4 — 5x3 — 9x2 — 24x — 36 na součin kořenových činitelů v oboru reálných čísel. Řešení Podle podmínky pro celočíselné kořeny mohou být kořeny polynomu pouze dělitelé čísla -36, tj. ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12, ±18 a ±36. Postupně sestavíme Hornerovo schéma pro potenciální kořeny. x = 1 není kořenem zadaného polynomu: 1 l - r> - í) -24 -36 l 2 - 3 - 12 -36 1 2 - 3 - 12 -30 - 72 x = — 1 není kořenem zadaného polynomu: 1 l -ti - 24 - 30 [ -1 ií í 20 1 0 -5 -4 - 20 - 10 x = 2 není kořenem zadaného polynomu: 1 l - 5 - 0 - 24 - 36 2 r. a - 14 - 70 1 3 1 - 7 - 38 - 112 x = —2 je kořenem zadaného polynomu: 1 1 2 - Ti 2 -ti r. - 24 ľ. - 36 36 1 - 1 -3 -3 - 18 0 Jelikož kořeny zadaného polynomu P5 musí být zároveň kořeny polynomu Q4 = x4 — x3 — 3x2 — 3x — 18, musí dělit —18. Lze tedy okruh testovaných čísel zúžit na —2, ±3, ±4, ±6, ±9, ±12 a ±18 Otestujeme znovu x = —2: 9 1 -1 -3 -3 - 18 - 2 6 -6 L8 1 -3 3 - 9 0 x = —2 je kořenem zadaného polynomu. Jelikož kořeny zadaného polynomu P5 musí být zároveň kořeny polynomu Q3 = x3 — 3x2 + 3x — 9, musí dělit —9. Lze tedy okruh testovaných čísel zúžit na +3 a +9. Víme tedy že x = —2 nemůže být více než dvojnásobným kořenem zadaného polynomu. x = 3 je kořenem zadaného polynomu: 1 -3 3 - 0 3 3 li 1 0 3 0 Kořeny zadaného polynomu P5 musí být zároveň kořeny polynomu Q2 = x2 + 3. Rovnice x2 + 3 = 0 nemá celočíselné kořeny ale 2 komplexně sdružené kořeny3 . Rozklad zadaného polynomu na součin kořenových činitelů je tedy tvaru: (x + 2)2(x — 3)(x2 + 3). 1.3 Příklady k procvičení 1.3.1 Největší společný dělitel polynomů Příklad 1. Nalezněte největší společný dělitel polynomů P a Q: a) P(x) = x4 + x3 - bx2 - 3x + 6, Q(x) = x4 - bx2 + 4 b) P{x) = 2x4 + Í2x3 + ííx2 - 39x - 58, Q(x) = 2x3 + Í6x2 + Alx + 34 Řešení, a) x2 + x — 2 b) x + 2 1.3.2 Hledání kořenů polynomů Příklad 2. Určete počet kladných, záporných, reálných, komplexních (a imaginárních) kořenů polynomu P: P(x) = x7 — Í4x5 + 3x2 + 1. Řešení. 7 komplexních kořenů s následujícími možnostmi: a) 1 reálný záporný kořen, 6 kořenů imaginárních (3 • 2 komplexně sdružené kořeny) b) 1 reálný záporný kořen, 2 reálné kladné kořeny, 4 kořeny imaginární (2 • 2 komplexně sdružené kořeny) Příklad 3. Ověřte, je-li c kořenem polynomu P(x) = x5 + x4 + x3 — x2 — x — 1: 3 Lze zjistit např. tak., že ve vzorci pro řešení dané kvadratické rovnice vyjde záporný diskriminant. 10 a) c = — 1 b) c= 1 Řešení, a) není b) je Příklad 4. Rozložte polynom P(x) = x5 — AxA + 2x3 + 2x2 + x + 6 na součin kořenových činitelů v oboru reálných čísel. Řešení, x5 - 4x4 + 2x3 + 2x2 + x + 6 = (x + l)(x - 2)(x - 3)(x2 + 1) Literatura [1] http://vydavatelství.vscht.cz/katalog/uid_isbn-978-80-7080-656-2/anotace/ [2] http://user.niendelu.cz/niarik/niat-web/niat-webse22.html [3] http://math.feld.cvut.cz/mt/txtb/4/txc3ba4b.htm [4] http: //www.slu.cz/math/cz/knihovna/docs/algebra 1/15 .-polynomy [5] http://www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/vladimira_pavlicova_bp/Operace.php [6] http: / /www. matweb. cz/mnohočleny [7] http://kam.mff.cuni.cz/ sbirka/show_exercise.php?c=65e=335 [8] http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/21 _MI_KAPI_l_l.pdf [9] http://kam.mff.cuni.cz/ hladik/LA/text_la.pdf [10] http://mathonline.fme.vutbr.cz/download.aspx?id_file=915 [11] http://brkos.math.muni.cz/files/povidani/povidanil65.pdf [12] http://mks.mff.cuni.cz/library/PolynomyLB/PolynomyLB.pdf [13] http://www.talnet.cz/documents/18/975952a7-b849-4a9e-a358-21cl0c29a4d0 [14] http://user.mendelu.cz/hasil/Data/CZ/Teach/Prez/09-Aproximace.pdf 11