Nestability na rozhraní dvou tekutin
Tomáš Hoder
F2080 Demonstrační experimenty
k základnímu kurzu fyziky 2
Masarykova Univerzita
Úvod a obsah
1
• Nestability obecně
• Plateau-Rayleigh nestabilita
• Rayleigh-Bénard nestabilita
• Rayleigh-Taylor nestabilita
• Kelvin-Helmholtz nestabilita
• Saffman-Taylor nestabilita:
- teorie
- experiment
Nestability obecně
2
Pojem nestabilita je definován v různých odvětvích přírodních,
matematických apod. různými způsoby, od relativně jednoduchých
definic až po matematicky přesné výrazy.
Pro naše účely postačí tento:
Nestabilita systému je obecně charakterizována tehdy, pokud
některý z jeho parametrů, charakteristik vnitřních stavů či výstupů
začne růst nade všechny meze.
Nestability obecně - příklad
3
Příklad: Plasma generované v bublině silikonového oleje v Hele-Shaw komoře
Povrchové napětí stabilizuje rozhraní a působí proti objevujícím se odchylkám.
Lokální zahřívání plazmatem pak mění (snižuje) povrchové napětí a odchylky podporuje.
Chu et al. 2011 PRL
deGennes 2004 Capillarity and wetting phenomena
Laplace pressure
povrchové napětí
Plateau-Rayleigh nestabilita
4
Popisuje jev, kdy se proud padající kapaliny roztrhne do menších kusů/kapek
o stejném objemu jako původní proud ale o menší povrchové energii.
Wiki
deGennes 2004 Capillarity and wetting phenomena
Laplace rovnice Minimalizace povrchu
povrch válce proudu
povrch n-kapek
Rayleigh-Bénard nestabilita
5
Projevuje se v kapalinách vystavených teplotnímu gradientu. Chladnější (hustší) část
Kapaliny je gravitací tažena dolů, zatímco teplejší (řidší) je pak vynášena nahoru. Klesání
hustší kapaliny je bržděno viskozitou kapaliny. Soupeření těchto sil je pak popsáno tzv.
Rayleigh číslem RaL, které je poměrem gravitační a brzdné (viskositou) síly. Čím vyšší číslo
tím je gravitační síla dominantní, kritické hodnoty se pohybují kolem několika set až
jednoho tisíce.
teplota
dole
teplota
nahoře
výška
kontejneruviskozita
termální
difuzivita
gravitační
zrychlení
koeficient
teplotní objemové
roztažnosti
Wiki
Faber 2001 Fluid dynamics for physicists
Rayleigh-Taylor nestabilita
6
Projevuje se tehdy, když lehčí kapalina je tlačena
(gravitační silou např.) proti těžší kapalině. Typicky
voda nad olejem. Těžší voda klesá proti oleji pod ní.
Gravitace způsobí pokles části těžší kapaliny do lehčí,
S tím, že stejný objem lehčí kapaliny je vytlačen
nahoru. Uvolní se tak potenciální energie – systém
snižuje svůj energetický stav.
Když taková situace nastane, tak má prorůstání vody
Do oleje exponenciální charakter, popsaný:
Kde gama značí koeficient růstu, alfa je prostorové
Vlnové číslo nestability a A je tzv. Atwoodovo číslo.
Wiki
Faber 2001 Fluid dynamics for physicists
Kelvin-Helmholtz nestabilita
7
Wiki
Faber 2001 Fluid dynamics for physicists
Vzniká na rozhraní dvou různě rychle se pohybujících
kapalin, případně na rozhraní dvou vrstev jedné
kapaliny, kde dojde ke smyku.
Nejčastějšími příklady jsou vítr foukající přes hladinu
vody a vytvářející vlny, zvlnění okrajů rudé skvrny na
Jupiteru, či interakce dvou vrstev atmosféry Saturnu
(viz obrázek vlevo dole).
Proti iniciaci této nestability působí povrchové napětí
kapalin a startovní podmínka pro vznik nestability
je dána Richardsonovým číslem Ri > 0.25.
Richardsonovo číslo je podílem vztahů zastupujících
vztlakovou složku a smykovou složku. Je podílem tzv.
Grashofova a Reynoldsova čísla.
Saffman-Taylor nestabilita
8
Wiki
Paterson 1981 JFM
Jde o formování složitějšího obrazce na nestabilním
rozhraní dvou tekutin v porózním prostředí. Vzniká
Pokud méně viskózní tekutina vytlačuje více viskózní.
Typickým příkladem, proto je této nestabilitě také
věnována obrovská pozornost, je dočerpávání ropných
ložisek přičerpáváním vody do zbylé suti v ložisku.
Druhým násvem pro tento jev je tzv. viscous fingering,
protože při daném jevu se nestabilní rozhraní protahuje
do tzv. prstů.
Matematicky vychází popis jevu z tzv. Darcyho
zákona, který je dán vztahem:
viskozita
permeabilita
tekutiny
Saffman-Taylor: teorie, část I.
9
Darcyho zákon vychází z řešení Navier-Stokesových rovnic, je obdobou např.
Ohmovu zákonu v elektřině. Dá se přepsat následujícím způsobem:
kde
Což je v polárních souřadnicích, pro
Což vede na rychlostní potenciál:
který budeme dále řešit pro zadanou poruchu rozhraní.
Paterson 1981 JFM
Saffman-Taylor: teorie, část II.
10
Zavedeme periodickou poruchu rozhraní:
a použijeme řešení rovnice pro rychlostní potenciál:
Z podmínky kontinuity pak dostaneme při aproximaci
prvního řádu:
Paterson 1981 JFM
Z poklesu tlaku na rozhraní daném:
pak použitím předchozích vztahů získáváme rovnici:
Která pro M1>>M2 dává:
Saffman-Taylor: teorie, část III.
11
Podmínka dává vztah pro minimální vlnovou délku udržitelné perturbace,
Což se dá přepočítat na kritický počet prstů po obvodu rozhraní:
Podmínka maximálního růstu nestability:
pak dává pro počet prstů na obvodu:
A přepočítáno skrze pak pro vlnovou délku:
Což je vztah, který si alespoň pro parametr b (vzdálenost mezi deskami Hele-Shaw
komory), kde , ověříme…
Saffman-Taylor: experiment
12
Instruktážní video je součástí studijních materiálů.