Binární relace

vztah prvků jedné množiny k druhé (může být stejná jako první)

• Rovnost a různost – lze určit jen zda jsou prvky shodné nebo rozdílné
• Nerovnost – lze prvky vzájemně porovnat

Některé základní vlastnosti relací:

• Reflexivní (rovnost)
• Symetrická (rovnost, různost)
• Tranzitivní (rovnost, nerovnost)

Kvantifikované údaje

Míra kvantifikovanosti

velikost údaje se může lišit podle míry a může být složený (fyzikální jednotky)

• Rozdílové údaje – můžeme určit jen rozdíl, ale nevíme jaká je pozice absolutní nuly.

• Poměrové údaje – můžeme určit nejen rozdíl,ale známe i poměr velikostí

Míra složenosti veličin:

• skalár – určen jedním číslem
• vektor – má velikost a směr
• tenzor – je znázorněn elipsoidem (musíme znát orientaci os elipsoidu)

 

• skalár = tenzor nultého řádu
• vektor = tenzor prvního řádu
• tenzor 2. řádu
• tenzor 3. řádu
• tenzor n-tého řádu

Základní algebraické operace

Algebraická operace přiřazuje uspořádané n-tici prvků jeden výsledný.
Podle počtu prvků rozlišujeme operace na:

• unární (jeden prvek)
• binární (dva prvky)
• ternární (tři prvky)
• ... n-prvků

Podle vztahu mezi vstupními a výstupními prvky:

• vnější – pokud vstupní a výsledný prvek patří různým množinám
• vnitřní – vstupní a výsledný prvek patří jedné množině
  • na množině – operace platí pro všechny kombinace prvků množiny
  • v množině – operace platí pro některé členy množiny

Vlastnosti binárních operací

binární operace na množině se nazývá zobrazení

• Neomezená existence operace – vlastnost E – ke každé dvojici vstupů existuje i výsledek
• Komutativnost operace – vlastnost K – výsledek operace nezávisí na pořadí vstupů
• Asociativnost operace – vlastnost A – výsledek operace nezávisí na pořadí výpočtu
• Existence neutrálního prvku – vlastnost N – neutrální prvek nemění hodnotu prvku druhého
• Existence inverzního prvku – vlastnost I – výsledkem operace s prvkem a inverzním prvkem je neutrální prvek
• Existence inverzní operace – vlastnost L, P – levá a pravá inverzní operace, tedy existuje opačná operace a je tak možné řešit rovnice
• Distributivnost jedné operace vzhledem k druhé – vlastnost D – je možné distribuovat jednu binární operaci přes druhou

Algebraické struktury

Struktury s jednou vnitřní operací

• Grupoid – neprázdná množina na níž je definována jedna operace s vlastností E.
• Pologrupa – grupoid jehož operace je asociativní (A).
• Grupa – je pologrupa, jejíž operace má vlastnost N a I. Pokud má grupoid, pologrupa či grupa i vlastnost K, je nazývána Abelovská.

Struktury s dvěma vnitřními operacemi

• Polookruh – neprázdná množina s dvěma vnitřními operacemi, první má vlastnost E1, A1, K1 a druhá E2 a mají společnou vlastnost D druhé operace vzhledem k první.
• Okruh – je polookruh jehož první operace má ještě vlastnosti N1, I1. Pokud platí komutativnost a příp. asociativnost, nazývá se komutativní, asociativní.
• Těleso – je asociativně-komutativní okruh, kde druhá operace má ještě vlastnosti N2, I2 pro nenulové prvky.