53
10. AFINNÍ GEOMETRIE
Afinní podprostor prostoru Kn
je množina M = P + [u1, ..., uk], kde P ∈ Kn
, ui ∈ Kn
.
Každý prvek x ∈ M můžeme jednoznačne napsat ve tvaru
x = P +
k
i=1
tiui
kde t1, ...tk ∈ K jsou parametry. Toto vyjádření se nazývá parametrické vyjádření nebo
parametrická rovnice podprostoru M.
Afinní podprostor lze popsat soustavou lineárních rovnic
Ax = b
kde A ∈ Matm,n(K), b ∈ Km
. Množina řešení této soustavy {x; Ax = b} je buď ∅ nebo
afinní podprostor. Toto vyjáření se nazývá obecná rovnice afinního podprostoru.
Zaměřením afinního podprostoru M ⊆ K nazýváme vektorový podprostor
Dir M = [u1, ..., uk]
Dimenzí afinního podprostoru M ⊆ Kn
, ozn. dim M, nazýváme dimenzi jeho zaměření,
tedy
dim M = dim Dir M
Nechť S, T jsou dva podprostory afinního prostoru V. Řekneme, že podprostory S a T
jsou rovnoběžné, jestliže buďto Dir S ⊆ Dir T nebo Dir T ⊆ Dir S (rovnoběžné podprostory
tedy mohou i splývat). Dále řekneme, že tyto proprostory jsou různoběžné, mají-li
alespoň jeden společný bod a přitom nejsou rovnoběžné. Konečně řekneme, že tyto podprostory
jsou mimoběžné, jestliže nejsou rovnoběžné a nemají žádný společný bod.
Příklad: Určete parametrické rovnice podprostoru M zadaného rovnicemi
M : x1 + x2 − x3 + x4 = 9
x1 − x2 + x3 − x4 = −3
Řešení: Soustavu přepíšeme do matice, kterou nejprve pomocí EŘO upravíme na schodovitý
tvar:
1 −1 −1 1 | 9
1 −1 1 −1 | −3
∼
1 0 0 0 | 3
0 1 −1 1 | 6
54
Z upravené matice získáme parametrický popis následujícím způsobem: Vedoucí členy
řádků se nacházejí v prvním a druhém sloupci, proto si neznámé x3 a x4 zvolíme za parametry
a neznámé x1 a x2 pomocí nich vyjádříme. Zvolíme-li x4 = t, x3 = s, potom
x2 = 6 − s + t, x1 = 3. Parametrická rovnice pak má tvar
M : x1 = 3
x2 = 6 − s + t
x3 = s
x4 = t
Příklad: Najděte obecné rovnice afinního podprostoru M vektorového prostoru R4
,
kde M : (x1, x2, x3, x4) = (1, 0, 2, 2) + t1(1, −1, 0, 0) + t2(1, 2, 0, −1).
Řešení: Parametrické rovnice x = P + αt přepíšeme do tvaru Ex = αt + P, kde
P = (1, 0, 2, 2) je bod a α = ((1, −1, 0, 0), (1, 2, 0, −1)) vektory, které tvoří afinní podprostor
M, a x = (x1, x2, x3, x4)T
je vektor neznámých a t = (t1, t2) vektor parametrů. Soustavu
rovnic Ex = αt + P přepíseme do matice tvaru (E|α|P):




1 0 0 0 | 1 1 | 1
0 1 0 0 | −1 2 | 0
0 0 1 0 | 0 0 | 2
0 0 0 1 | 0 −1 | 2




Matici budeme upravovat pomocí EŘO tak, aby prostřední blok ve výsledné matici byl
ve schodovitém tvaru. 



1 0 0 0 | 1 1 | 1
1 1 0 0 | 0 3 | 1
0 0 1 0 | 0 0 | 2
1 1 0 3 | 0 0 | 7




Obecné rovnice podprostoru M určují koeficienty levého a pravého bloku, a to v řádcích,
ve kterých jsou v prostředním bloku samé nuly. Tedy
x3 = 2
x1 + x2 + 3x4 = 7
Dosazením se přesvědčíme, že bod P této soustavě skutečně vyhovuje.
Příklad: V prostoru R4
zjistěte vzájemnou polohu podprostorů
(a) π : 3x1 + x2 + 2x3 = 5, 5x1 − x2 + 2x4 = 3,
ρ : x1 + 5x2 − 4x3 = −3, 2x2 − x3 + x4 = −2,
(b) ρ : x1 + 2x2 − x3 = 1, x1 + x3 + 2x4 = 3,
p : (3, −1, 0, 0) + t(−3, 2, 1, 1),
55
(c) ρ : (3, −1, 0, 0) + s(−1, 1, 1, 0) + t(2, 1, 0, 1),
p : (3, 1, 0, 0) + r(−1, 2, 1, 1).
Řešení: (a) Hledáme společný bod podprostorů π a ρ, tj. bod R = (x1, x2, x3, x4), jehož
souřadnice splňují rovnice podprostoru π i ρ. Řešíme tedy systém rovnic
3x1 + x2 + 2x3 = 5
5x1 − x2 + 2x4 = 3
x1 + 5x2 − 4x3 = −3
2x2 − x3 + x4 = −2
Pomocí EŘO upravíme jeho rozšířenou matici na schodovitý tvar




3 1 2 0 | 5
5 −1 0 2 | 3
1 5 −4 0 | −3
0 2 −1 1 | −2



 ∼ · · · ∼




1 5 −4 0 | −3
0 1 −1 0 | −1
0 0 3 −1 | 4
0 0 0 1 | −1




ze kterého dostáváme x1 = 1, x2 = 0, x3 = 1, x4 = −1, což je jediné řešení daného systému.
Podprostory π, ρ jsou tedy různoběžné a jejich průsečíkem je bod R = (1, 0, 1, −1).
(b) Bod Q leží na přímce p, pokud Q = (3 − 3t, −1 + 2t, t, t), t ∈ R. Aby bod Q ležel
i v rovině ρ, musí jeho souřadnice splňovat rovnici roviny ρ, tedy musí platit
3 − 3t + 2(−1 + 2t) + −t = 1
3 − 3t + t + 2t = 3
Ekvivalentní úpravou dostaneme rovnici
0 · t = 0
která je splněna pro každé t ∈ R. To znamená, že každý bod přímky p je zároveň bodem
roviny ρ, tedy přímka p leží v rovině ρ.
(c) Bod Q leží v rovině ρ, pokud Q = (3 − s + 2t, −1 + s + t, s, t), a leží na přímce p,
pokud Q = (3 − r, 1 + 2r, r, r). Řešíme tedy nehomogenní soustavu rovnic
−s + 2t + r = 3 − 3
s + t + 2r = 1 + 1
s − r = 0
t − r = 0
Její rozšířenou matici upravíme pomocí EŘO na schodovitý tvar:




−1 2 1 | 0
1 1 −2 | 2
1 0 −1 | 0
0 1 −1 | 0



 ∼ · · · ∼




1 2 1 | 0
0 3 −1 | 2
0 0 1 | −2
0 0 0 | 1




56
Soustava nemá řešení, tzn. že ρ ∩ p = ∅. Vyřešíme-li tuto soustavu jako homogenní, zjistíme,
že vektory určující zaměření roviny ρ a přímky p jsou lineárně nezávislé, tedy rovina
a přímka jsou mimoběžné.
Příklad: V prostoru R3
najděte příčku mimoběžek p : (1, 2, −1) + s(1, −1, 1), q :
(0, 9, −2) + t(1, 0, 0) rovnoběžnou s vektorem (1, 2, 0).
Řešení: Protože vektory (1, −1, 1), (1, 0, 0), (1, 2, 0) jsou lineárně nezávislé, taková přímka
existuje. Stačí nalézt průsečík přímky q s rovinou ρ : (1, 2, −1) + s(1, −1, 1) + r(1, 2, 0).
Abychom tento průsečík nalezli, musíne řešit rovnici
(0, 9, −2) + t(1, 0, 0) = (1, 2, −1) + s(1, −1, 1) + r(1, 2, 0)
přičemž nám stačí znát hodnotu parametru t. Rozepsáním do složek dostaneme nehomogenní
soustavu tří rovnic o třech neznámých
t − s − r = 1
s − 2r = −7
−s = 1
Odtud spočítáme t = 3 (s = −1, r = 3) a bod (3, 9, −2) je průsečíkem přímky q s rovinou
ρ. Hledaná příčka je pak (3, 9, −2) + r(1, 2, 0).
Příklad: V prostoru R3
najděte příčku mimoběžek p : P + su = (3, 3, 3) + s(2, 2, 1)
a q : Q + tv = (0, 5, −1) + t(1, 1, 1), která prochází bodem A = (4, 5, 3).
Řešení: Snadno zjistíme, že jak vektory (1, 2, 0), (2, 2, 1), (1, 1, 1) (kde (1, 2, 0) = A−P),
tak vektory (4, 0, 4), (2, 2, 1), (1, 1, 1) (kde (4, 0, 4) = A − Q) jsou lineárně nezávislé, takže
příčka existuje. Potřebujeme najít průsečík přímky q s rovinou ρ : (4, 5, 3) + r(1, 2, 0) +
s(2, 2, 1). Pro hledaný průsečík tak dostáváme soustavu
t − r − 2s = 4
t − 2r − 2s = 0
t − s = 4
odkud t = 0. Průsečík přímky q s rovinou ρ je R = (0, 5, −1) a hledaná příčka je
(0, 5, −1) + a(4, 0, 4) = (0, 5, −1) + a(1, 0, 1).
Příklad: V prostoru R4
uvažujme roviny ρ : x1 + x2 = 3, x3 + x4 = 4 a σ : x1 + x3 =
1, x2 − x4 = 3 a bod M = (2, −2, 3, −3). Najděte přímku q, která prochází bodem M,
protíná rovinu σ a je rovnoběžná s rovinou ρ.
Řešení: Nechť τ je rovina procházející bodem M a je rovnoběžná s rovinou ρ. Pak souřadnice
bodu M splňují její rovnici, kterou získáme dosazením souřadnic bodu M do rovnice
57
roviny ρ a dopočítáním příslušných koeficientů.
x1 + x2 = c
x3 + x4 = d
dosazením souřadnic bodu M dostáváme
2 − 2 = 0
3 − 3 = 0
tedy c = d = 0 a
τ : x1 + x2 = 0
x3 + x4 = 0
Bod P tvořící druhý bod přímky q je průsečíkem rovin σ a τ. Řešíme systém rovnic
x1 + x3 = 1
x2 − x4 = 3
x1 + x2 = 0
x3 + x4 = 0
jehož matici převedeme pomocí EŘO na schodovitý tvar




1 0 1 0 | 1
0 1 0 −1 | 3
1 1 0 0 | 0
0 0 1 1 | 0



 ∼




1 0 1 0 | 1
0 1 0 −1 | 3
0 0 −1 1 | −4
0 0 0 2 | −4




ze kterého dostáváme x1 = −1, x2 = 1, x3 = 2, x4 = −2. Tedy P = (−1, 1, 2, −2) a přímka
q má rovnici
q : M + t(P − M) = (2, −2, 3, −3) + t(−3, 3, −1, 1)
Příklad: Najděte průnik afinních podprostorů Q1 : (3, 0, −3, 3)+a(1, 0, −1, 0)+b(0, 2, 0, 1),
Q2 : (4, −2, −4, 2) + s(0, 0, 1, −1) + t(1, 2, 0, 0).
Řešení: Nechť X ∈ Q1 ∩ Q2. Pak platí
X = A + au1 + bu2 = B + sv1 + tv2
tedy
au1 + bu2 − sv1 − tv2 = B − A
58
Soustavu přepíšeme do matice a upravíme na schodovitý tvar




1 0 0 −1 | 1
0 2 0 −2 | −2
−1 0 −1 0 | −1
0 1 1 0 | −1



 ∼




1 0 0 −1 | 1
0 1 0 −1 | −1
0 0 1 1 | 0
0 0 0 0 | 0




odkud a = p, b = p, s = p, t = −p. Tedy
X = B − pv1 + pv2 = B + p(v2 − v1) =




4
−2
−4
2



 + p




1
2
−1
1



.
Podobně pomocí vektorů u1, u2 dostaneme
X = A + pu1 + pu2 = A + p(u1 + u2) =




3
0
−3
3



 + p




1
2
−1
1



.
Cvičení:
1. Napište paramerické rovnice roviny, jestliže jsou zadány její
(a) tři body A = (−1, 1, 0), B = (2, 1, 6), C = (3, 0, 4),
(b) dva body = (1, 2, −3), B = (0, 2, 1) a směrový vektor u = (2, 1, −1),
(c) bod A = (3, 1, −2) a dva lineárně nezávislé směrové vektory u = (−1, 2, 1), v =
(3, −4, 2).
2. Najděte obecnou rovnici roviny určené
(a) třemi body A = (1, −1, 1), B = (2, 1, −3), C = (1, 4, 2),
(b) dvěma body A = (4, 1, 2), B = (2, −2, 3) a směrovým vektorem u = (3, −2, 1),
(c) bodem A = (3, 3, 3) a směrovými vektory u = (1, −1, 1), v = (−1, 1, 1).
3. Zjistěte, které z bodů A = (1, 2, −1), B = (1, 2, 2), C = (3, 1, 2), D = (−4, 2, 0) leží
v rovině
(a) (x, y, z) = (6, 2, −2) + t(5, 0, −1) + s(1, 1, 0),
(b) x = 1 + 2t, x = 3 − 2t + s, z = 4 − 2t + 2s,
(c) x + 17y + 5z − 30 = 0.
4. Najděte parametrické vyjádření přímky v R3
zadané p :
2x − y + z − 9 = 0
x + y − z = 0
. Jak
vypadají rovnice všech rovin procházejících danou přímkou p (tzv. svazek rovin)?
59
5. Najděte parametrické vyjádření podprostoru v R4
zadaného obecnými rovnicemi.
(a) x1 + x2 − 2x4 = 6, x1 + 2x2 + x3 − x4 = 11, x1 + x2 − x4 = 8,
(b) x1 + 2x2 − x3 = 4, x2 + x3 + x4 = 5, 2x1 + 4x2 − x3 = 11.
6. Určete vzájemnou polohu přímek v prostoru R2
, resp. R3
; v případě, že jsou různoběžné,
najděte jejich průsečík.
(a) p : 3x + 4y − 20 = 0, q : x = 4 − 8t, y = 2 + 6t,
(b) p : (x, y) = (2, −9) + t(1, −1), q : (x, y) = (1, −1) + t(5, 2),
(c) p : x = 3 − 6t, y = −1 + 4t, z = t, q : x = −2 + 3t, y = 4, z = 3 − t,
(d) p :
x + z − 1 = 0
3x + y − z + 13 = 0
, q :
x − 2y + 3 = 0
y + 2z − 8 = 0
,
7. Určete vzájemnou polohu rovin v R3
; v případě, že jsou různoběžné, napište paramerické
rovnice jejich průsečíku.
(a) ρ : x + y + 2z − 3 = 0, σ : x − y + z − 1 = 0,
(b) ρ : (x, y, z) = (−1, 3, −2) + t(0, 1, 1) + s(1, −1, −2), σ : x − y + z + 6 = 0.
8. V prostoru R3
, resp R4
, zjistěte vzájemnou polohu přímky a roviny; v přídadě různoběžnosti
určete jejich průsečík.
(a) p : x = 2 + 4t, y = −1 + t, z = 2 − t, σ : 4x + y − z + 13 = 0,
(b) p :
2x − y + 3z + 4 = 0
x − 2y − 2z + 2 = 0
, σ : 4x − 5y − z + 8 = 0,
(c) p : x1 + x2 = 0, x2 + x3 = 0, x3 + x4 = 0,
ρ : (0, 3, 0, 1) + s(1, 0, −1, 0) + t(1, 2, −2, 0),
(d) p : x1 + x2 = 0, x2 + x3 = 0, x3 + x4 = 3,
ρ : (1, −1, 1, 2) + s(−1, 1, 0, 0) + t(0, 0, −2, 2),
(e) p : (4, −2, 3, −1) + t(1, −1, 1, −1), ρ : x1 + x3 + x4 = 4, x1 + x2 + x3 = 3.
9. V prostoru R4
zjistěte vzájemnou polohu
(a) roviny (1, 0, 2, 2) + r(1, −1, 0, 0) + s(1, 2, 0, −1)
a přímky (0, 0, −6, 5) + t(1, 2, −3, 0),
(b) nadroviny (2, 1, 1, 1) + r(1, 1, 1, 1) + s(1, 1, 1, −1) + t(1, 1, −1, −1)
a přímky (3, 2, 0, −2) + u(1, 1, −1, 1),
(c) rovin (2, 3, 1, 3) + s(−1, 1, 0, 2) + (0, 2, −3, 2),
(−1, 0, 2, 1) + u(2, 4, −9, 2) + v(1, 1, 1, 1)
60
10. V prostoru R4
(a) určete parametry a, b tak, aby přímka (1, 2, 1, 2) + r(1, a, 0, 2) ležela v rovině
(1, 1, 2, b) + s(1, 2, 1, 2) + t(1, 1, 2, 2),
(b) v závislosti na parametru a určete vzájemnou polohu rovin (3, −1, −1, 6) +
s(−2, 1, −2, 1) + t(4, −1, −1, 0), (4, 1, 3, a) + u(0, −2, 0, 1) + v(2, 2, −1, −1).
11. V prostoru R5
určete vzájemnou polohu podprostorů:
(a) (1, 1, 1, 1, 1) + r(2, −8, 3, −5, −9),
(1, 1, 2, −1, 3) + s(1, −1, 0, 2, 3) + t(0, 2, −1, 3, 5),
(b) (−2, 10, −1, 2, −1) + r(2, −8, 3, −5, 1),
(1, 1, 2, −1, 3) + s(1, −1, 0, 2, 3) + t(0, 2, −1, 3, 5).
12. V prostoru R3
najděte příčku mimoběžek
(a) (x, y, z) = (1, −1, 2) + t(1, −1, 3), (x, y, z) = (3, −1, 1) + t(2, 1, 4), která prochází
bodem M = (3, −2, 13).
(b) x−2
1
= y−1
3
= z−1
−2
, (x, y, z) = (2, 0, 1) + t(1, −1, 1) rovnoběžnou s přímkou
x − y + z + 11 = 0, x − 3y − z − 6 = 0.
(c) x − 2 = y+3
2
= −z−1
2
, x − 3 = y = z+58
3
, která je rovnoběžná s průsečnicí rovin
2x − z − 15 = 0, x − y + 324 = 0.
(d) (1, 3, 4)+t(1, 0, 2) a 2x−z+2 = 0, y−3 = 0, která prochází bodem (13, 17, 29).
13. V prostoru R3
napište parametrické rovnice přímky, která prochází bodem A =
(3, −2, −4) rovnoběžně s rovinou ρ : 3x − 2y − 3z − 7 = 0 a protíná přímku p :
2x + 3y + 8 = 0, y + z + 3 = 0.
14. V prostoru R3
určete přímku q, která prochází bodem M = (3, 2, 1), protíná přímku
p : x1 − x2 = 1, x1 + x3 = 6 a je rovnoběžná s rovinou ρ : 2x1 + x2 + x3 = 5.
15. V prostoru R4
určete přímku q, která
(a) prochází bodem M = (8, 9, −11, −15) a protíná přímky p : (1, 0, −2, 1) +
s(1, 2, −1, −5), r : (0, 1, 1, −1) + t(2, 3, −2, −4),
(b) prochází bodem M = (1, 2, −1, −2), protíná rovinu σ : x1 + x2 = 1, x3 − x4 = 3
a je rovnoběžná s rovinou ρ : x1 + x3 = −5, x2 + x4 = 3,
(c) prochází bodem M = (1, 0, 3, 1), protíná přímku p : (7, 0, 0, 0) + t(0, 1, 0, 1)
a je rovnoběžná s nadrovinou ρ : x1 + x2 + x3 + x4 = 0.
16. V prostoru R5
určete přímku q, která prochází bodem M = (5, 3, 4, 6, 2) a protíná
roviny ρ : (3, 1, 0, 4, 0) + a(0, 1, 0, 0, 0) + b(0, 0, 1, 0, 1) a π : (0, 1, −2, 1, 0) +
c(1, 0, 0, 0, 0) + d(0, 0, 0, 1, 0).
17. Najděte příčku mimoběžek p : (1, 5, 2, −1) + t(1, 2, 1, 0), q : (0, −1, 1, 1) + t(3, 1, 0, 1)
procházející bodem M = (0, 1, −5, −3).
61
18. Najděte parametrickou a implicitní rovnici nadroviny σ v R4
určenou body B1 =
(−1, 0, −1, 0), B2 = (0, 2, 0, 1), B3 = (0, −2, 2, 0), B4 = (1, 0, 0, −1). Určete její zamě-
ření.
19. V R4
najděte obecné rovnice afinního podprostoru
(a) M : (x1, x2, x3, x4) = (1, 0, 0, 0) + s(1, −1, 1, 0) + t(3, −2, 0, 1),
(b) M : (x1, x2, x3, x4) = (0, 3, 1, 3) + s(1, 1, −2, −2) + t(1, 5, −4, 0).
20. Najděte průnik afinních podprostorů
(a) P1 : (2, 3, 1, 3) + a(−1, 1, 0, 2) + b(0, 2, −3, 2),
P2 : (−1, 0, 2, 1) + s(2, 4, −9, 2) + t(1, 1, 1, 1),
(b) P1 : (−9, 2, 1, −5) + a(5, −1, 0, 2) + b(3, 1, 2, 0),
P2 : (1, 2, 3, 4) + r(1, 0, 0, 0) + s(0, 1, 0, 0) + t(0, 0, 1, 0).
21. V R2
je dán trojúhelník ABC. Označme po řadě A , B , C středy jeho stran BC, AC,
AB. Dokažte, že platí
(A − A) + (B − B) + (C − C) = 0.
67


3 2 5
2
−2 −3 −1
2
5 1 6

 , (w)β = (−7
2
, 23
2
, 6)T
. 12.


0 0
−1
2
1
8
3
4
3

. 13. (a) f(x) = (x1 +2x3, −x1 +x2);
(b) f(x) = (4x1 + 2x2 + 12x3, −3x1 − 3x2 − 6x3). 14. f(x) = (3, −12), f(y) = (−3, −21).
15. f : R3
→ R5
, g : R5
→ R3
; zobrazení f ◦ g : R5
→ R5
je dáno maticí AB, nejedná se
o isomorfismus, zobrazení g ◦ f : R3
→ R3
je dáno maticí BA, jedná se o isomorfismus.
10. AFINNÍ GEOMETRIE
1. (a) (x, y, z) = (−1, 1, 0) + t(1, 0, 2) + s(4, −1, 4); (b) (x, y, z) = (1, 2, −3) + t(−1, 0, 4) +
s(2, 1, −1); (c) (x, y, z) = (3, 1, −2) + t(−1, 2, 1) + s(3, −4, 2). 2. (a) 22x − y + 5z − 28 = 0;
(b) x − 5y − a3z + 27 = 0; (c) x + y − 6 = 0. 3. (a) A, D; (b) B, C; (c) A, C, D. 4.
p : (x, y, z) = (3, −3, 0) + t(0, 1, 1), svazek rovin: a(2x − y + z − 9) + b(x + y − z) =
0, (a, b) = (0, 0). 5. (a) (7, 3, 0, 2) + t(1, −1, 1, 0); (b) (3, 2, 3, 0) + t(−2, −1, 0, 1). 6. (a)
totožné; (b) různoběžné, R = (−4, −3); (c) mimoběžné; (d) různoběžné, R = (−3, 0, 4).
7. (a) x = 2 + 3t, y = 1 + t, z = −2t; (b) totožné. 8. (a) (−2, −2, 3); (b) přímka leží
v rovině; (c) mimoběžné; (d) přímka leží v rovině; (e) různoběžné, P = (2, 0, 1, 1). 9.
(a) protínají se v bodě (−8
3
, −16
3
, 2, 5); (b) přímka leží v nadrovině; (c) protínají se v
přímce (1, 2, 3, 4) + t(2, 4, −9, 2). 10. (a) a = 3, b = 2; (b) pro a = 11
4
se protínají v
přímce (4, −21
10
, 3, 43
10
) + t(10, −2, −5, 1), pro a = 11
4
mimoběžné. 11. (a) rovnoběžné; (b)
protínají se v bodě (0, 2, 2, −3, 0). 12. (a) x = 3 + t, y = −2, z = 13 + 8t; (b) x =
1 + 2t, y = −2 + t, z = 3 − t; (c) x − 4 = y − 1 = z+5
2
; (d) příčka neexistuje, přímky
jsou totožné. 13. x = 3 + 5t, y = −2 + 10t, z = −4 + 9t. 14. q : (3, 2, 1) + t(−1, −1, 3).
15. (a) (8, 9, −11, −15) + t(6, 7, −8, −11); (b) q : (1, 2, −1, −2) + t(−2, 0, 2, 0); (c) q :
(1, 0, 3, 1) + s(6, −1, −3, −2). 16. q : (5, 3, 4, 6, 2)+ t(2, 1, 3, 2, 1). 17. příčka neexistuje. 18.
(x1, x2, x3, x4) = (−1, 0, −1, 0) + r(1, 2, 1, 1) + s(1, −2, 3, 0) + t(2, 0, 1, −1), −10x1 + 7x2 +
8x3 − 12x4 = 2. 19. (a) 2x1 + 3x2 + x3 = 2, −x1 − x2 + x4 = −1; (b) 3x1 + x2 + 2x3 =
5, 4x1+x3+x4 = 4. 20. (a) X = (−1, 0, 2, 1)T
+p(2, 4, −9, 2)T
= (2, 3, 1, 3)T
+p(2, 4, −9, 2)T
;
(b) X = (−9, 2, 1, −5)T
+ p(3, 1, 2, 0)T
= (1, 2, 3, 4)T
+ p(3, 1, 2, 0)T
.