2. Bilineární a kvadratické formy 2. BILINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FORMY 15 Teorie 2.1. Definice. Nechť V je vektorový prostor nad polem K. Bilineární forma na V je zobrazení / : V x V —> K takové, že pro všechna a,b,c,d £ K a u,v,w £ V platí: f(au + bv,w) = afiu, w) + bfiv, w) fiu, cv + dw) = cfiu, v) + dfiu, w) 2.2. Definice. Nechť / : V x V —> K je bilineární forma a a = (vi,V2, ■ ■ ■ ,vn) je báze prostoru V. Pak tato báze určuje matici bilineární formy A = (al3) = (f(vl,vJ)). 2.3. Věta. Necht! f je hilineární forma na V s maticí A v bázi a. Nechť souřadnice vektorů u, v £ V v této bázi jsou x, y £ Kn. Pak pro libovolné vektory platí f (u, v) = xT ■ A - y. 2.4. Věta. Je-li A matice bilineární formy v bázi a, pak matice bilineární formy v bázi [3 je B = (id)\Ta p ■ A ■ (id)Q)ig, kde {id)a^ je matice přechodu od báze (3 k bázi a . 2.5. Definice. Dvě čtvercové matice A,B £ Matn(K) se nazývají kongruentní, jestliže existuje regulární matice P £ Matn(K) taková, že B = PT ■ A - P. 2.6. Definice. Bilineární forma se nazývá symetrická, jestliže f(u,v) = f(v,u), resp. antisymetrická, jestliže f(u,v) = —f(v,u). 2.7. Věta. Nechť f je bilineární forma a A její matice v nějaké bázi a. Pak f je symetrická, je-li matice A symetrická, a f je antisymetrická, je-li matice A antisymetrická. 2.8. Věta. Každá bilineární forma je součtem symetrické a antisymetrické bilineární formy, pricemz pro matici platí A = \(A+AT) + \(A-AT), kde první sčítanec odpovídá symetrické části a druhý antisymetrické části. 2.9. Věta. Každá symetrická matice A £ Matn(K) je kongruentní s nějakou diagonální maticí. 2.10. Algoritmus. Diagonalizace symetrických matic. Hledáme regulární matici P tak, aby matice PT ■ A ■ P byla diagonální. Předpokládejme, že au ^ 0, pak na A provádíme elementární řádkové úpravy (označíme ERO) tak, aby aa = 0 pro i = 2,..., n. Současně provádíme stejné sloupcové úpravy (označíme ESO)a tím dosáhneme u symetrické matice toho, že výsledná matice má ay = 0 pro j = 2,. .., n. Provedení sloupcové úpravy na matici A odpovídá vynásobení této matice zprava maticí Pi, která vznikne z matice jednotkové provedením stejné sloupcové úpravy. 16 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie Analogicky řádkové úpravě odpovídá vynásobení matice A zleva maticí P1T'. Provedením stejné řádkové i sloupcové úpravy na matici A dostáváme matici • A ■ Pi, která je kongruentní s maticí A. Stejný postup uplatňujeme na další řádky a sloupce. Je-li au = 0 a nějaké aM 7^ 0 provedeme výměnu řádku 1 a í a sloupce 1 a i. Je-li au = (Z22 = • • • = ann = 0 a existuje al3 7^ 0 přičteme k řádku i řádek jak sloupci i sloupec j. Po všech těchto úpravách dostaneme diagonální matici Pl... if-P[■ A-P1-P2...Pk = (P1-P2... Pk)T ■A-(P1-P2...Pk) = PT-A-P, která je diagonální s původní maticí A. Ve výpočtech postupujeme tak, že si napíšeme blokovou matici, jejíž levý blok je tvořen maticí A a pravý blok jednotkovou maticí E. Pak v levém bloku provádíme ERO a odpovídající ESO dokud nedostaneme diagonální matici. Zároveň provádíme v pravém bloku stejné úpravy jako v levém, ale pouze řádkové. Pak dostáváme v pravém bloku matici PT. (A\E) (PT ■ A- P\PT ■ E) 2.11. Definice. Zobrazení F : V —> K se nazývá kvadratická forma, jestliže existuje bilineární forma / : V x V —> K taková, že pro všechna u E V platí F(u) = f(u, u). 2.12. Věta. Nechť F je kvadratická forma na vektorovém prostoru V. Pak existuje právě jedna symetrická bilineární forma, která ji určuje. 2.13. Definice. Maticí kvadratické formy F nazveme matici symetrické bilineární formy, která tuto kvadratickou formu určuje. 2.14. Věta. (Sylvestrův zákon setrvačnosti) Každou kvadratickou formu F na reálném vektorovém prostoru Rn lze vyjádřit ve vhodné bázi (tuto bázi budeme dále nazývat kanonická báze) ve tvaru přičemž počet čísel +1, -1, 0 je nezávislý na volbě báze. 2.15. Definice. Signatura kvadratické formy F na reálném vektorovém prostoru Rn je trojice nezáporných čísel (s+,s_,so), kde s+ je počet kladných, s_ počet záporných a so počet nulových členů v diagonálním tvaru kvadratické formy. 2.16. Definice. Nechť F je kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru Rn. Řekneme, že F je 2. Bilineární a kvadratické formy 17 1. pozitivně definitní, jestliže pro každý x E Rn, x ^ o je F(x) > 0 2. pozitivně semidefinitní, jestliže pro každý x E Rn, x ^ o je F(x) > 0 3. negativně definitní, jestliže pro každý x E Rn, x ^ o je F(x) < 0 4. negativně semidefinitní, jestliže pro každý x E Rn, x ^ o je F(x) < 0 5. indefinitní, jestliže existují vektory z, y E Rn takové, že F(y) > 0 a 2.17. Věta. Nechť F je kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru Rn. Pak 1. F je pozitivně defínitní, právě tehdy když s+ = n; 2. F je pozitivně semidefínitní, právě tehdy když s_ = 0; 3. F je negativně defínitní, právě tehdy když s_ = n; 4. F je negativně semidefínitní, právě tehdy když s+ = 0; 2.18. Věta. Kvadratická forma je pozitivně defínitní, právě když všechny hlavní minory její matice jsou kladné. Kvadratická forma je negativně defínitní, právě když pro hlavní minory její matice platí F(x) = X\X2 + zadanou ve standardních souřadnicích převeďte pomocí ESO a ERO na diagonální tvar. Řešení: Napíšeme si vpravo jednotkovou matici a vlevo matici dané kvadratické formy. Na matici A kvadratické formy provádíme řádkové a tytéž sloupcové úpravy, dokud nedostaneme diagonální tvar matice, na jednotkové matici přitom provádíme tytéž úpravy, ale vždy jen řádkové (viz. poznámka 2.10.). F {z) < 0. (-l)ldet(A) > 0. 2.19. Definice. Kvadrikou nazveme množinu Řešené příklady Úloha 1: Kvadratickou formu 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ( 222 1 0 i 2 u 2 0 i o 111 1 1 o o 1 o o o 1 ) 18 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie Nejdříve druhý řádek přičteme k prvnímu, protože au = 0, tutéž úpravu provedeme také na pravé matici, pak provedeme stejnou operaci se sloupci, ale to už pouze na levé matici. Tak jsme dostali na pravé straně opět symetrickou matici, ale au 7^ 0, dále vynulujeme pomocí prvku au zbylé prvky prvního řádku a sloupce tak, že přičteme — | násobek prvního řádku nejprve k druhému a pak ke třetímu řádku, a pak provedeme odpovídající sloupcovou úpravu, ale pouze na levé matici. 1 0 0 1 4 1 Dále přičteme druhý řádek k třetímu a provedeme odpovídající sloupcovou úpravu. 1 0 0 0 -I I 0 0 0 1 1 o _I I o 2 2 u -1 o 1 1 o o o -\ o , 2 2 0 0 0 1-1 0 1 1 1 o 1 1 o Dostáváme tedy diagonální tvar kvadratické formy F(y) = y\ — -^y\. Levá matice je (id)^^ a její řádky nám udávají bázi, ve které má daná kvadratická forma tento tvar: a : Úloha 2: Najděte diagonální tvar kvadratické formy F(x) = x\ + x2 — 2x\X2 + 2x1X3 + IOX2X3 zadané ve standardních souřadnicích v B? pomocí algoritmu doplnění na čtverce. Řešení: Všechny smíšené členy obsahující x\ připojíme k členu x\ a doplníme na čtverec. Pak všechny smíšené členy obsahující x2 připojíme k členu x\ a opět doplníme na čtverec. F{x) = (Xi — X2 + X3)2 — x\ — x\ + 2X2X3 + x\ + IOX2X3 = = (xi — X2 + X3)2 — x\ + 12x2X3 = (xi — X2 + X3)2 — (X2 — 6X3)2 + 36x2 nyní můžeme zavést nové souřadnice: Ví = xx -x2 +x3 2/2 = x2 -6x3 2/3 = x3 2. Bilineární a kvadratické formy 19 diagonální tvar je: F(y) =A- A + 36J/1 /! -1 1 idQ>£ =0 1 -6 \ 0 0 1 Hledáme matici inverzní k této matici přechodu a dostáváme 115 idF.„ = | 0 1 6 0 0 1 Sloupce této matice udávají vektory báze, ve které má matice diagonální tvar. a : 1 0 0 1 1 0 5 6 1 Úloha 3: Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice k : x\ + x\ + 4x1X2 + 1x\ + 1 = 0. Řešení: Použijeme metodu doplnění na čtverce; nejprve bereme v úvahu pouze kvadratické členy (xi + 2x2)2 - + xl + 2xi + 1 = 0 transformujeme souřadnice: yi = xi + 2x2 2/2 = x2. Odtud spočítáme x\ = yi — 2y2, po transformaci dostáváme y[ - 3y22 + 2Vl - Ay2 + 1 = 0 a nyní opět doplňujeme na čtverce (Vl + I)' - 3 yi + -y2=0 (yi + i)2-3^2 + ^ +^ = o 3 , , 9 / 2\ i(yi + i)-ih/2 + - +i = o 20 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie po další transformaci souřadnic dostáváme: zi = ^(2/1 + 1) = 4(x1 + 2x2 + l) Z2 = f(y2 + |) = §(Z2 + |) /c : ^ - + 1 = 0. Jedná se tedy o hyperbolu, jejíž střed S je dán z\ = 0 a z2 = 0, v původních souřadnicích 2 3 ' 4 1 1 x-i =--1 = - . 3 3 Tedy S = (|, — |)T . Nyní ještě najdeme bázi pro nové souřadnice. Víme <*w = (f f) ■ Inverzní matice k této matici je 2yH _4 2^ (^)£,a = ( g a její sloupce nám určují vektory báze a : [vi, v2], kde v\ = ^^p, 0^ a v2 = (—|, |). Pro souřadnice libovolného bodu tedy platí x = S + (id)^a ■ z . Úloha 4: Najděte nějakou kvadratickou formu F hodnosti 5 na vektorovém prostoru iž5 v analytickém vyjádření vzhledem ke kanonické bázi, která je pozitivně definitní na podprostoru generovaném vektory (1,1,0,0,0), (0,0,0,1,0), (0,-1,0,0,0) a je negativně definitní na podprostoru generovaném vektory (0, 0, —1, 0, 0), (0, 0,1, 0,1). Řešení: Podle Sylvestrova zákona setrvačnosti (věta 2.14.) má kvadratická forma F vzhledem ke kanonické bázi tvar F(x) = a\x\ + a2x\ + (23X3 + a^x\ + a^x\ , kde aj, i = 1...5 nabývají hodnot +1, —1, 0. Přičemž kvadratická forma je pozitivně definitní na nějakém podprostoru, pokud pro všechny vektory x z tohoto podprostoru platí F(x) > 0. 2. Bilineární a kvadratické formy 21 Jde vidět, že podprostor generovaný vektory (1,1, 0, 0, 0), (0, 0, 0,1, 0), (0, —1, 0, 0, 0) je vlastně podprostor vektorů tvaru (a, b, 0, c, 0); a, b, c 6 R. A tedy F{a,b,0,c,0) > 0. Z toho plyne ai = 1, a2 = 1 a 04 = 1. Analogicky podprostor generovaný vektory (0,0,-1,0,0), (0,0,1,0,1) je podprostor vektorů tvaru (0, 0, e, 0, /); e, / 6 R. Má-li být na tomto podprostoru kvadratická forma negativně definitní, musí platit F(0, 0, e, 0,/) < 0 Z toho plyne a3 = —1, a5 = —1. Kvadratická forma má tedy tvar 2 i 2 2 i 2 2 _ r\ Cvičení 1. Nechť je na R4 dána bilineární forma / souřadnicovým vyjádřením vzhledem ke standardní bázi f(x, y) = -xxy2 + xiy3 + x2yi + x2y2 + x2y4 - x3y4 + x4y3 . Určete matici v bázi e a hodnost formy. 2. Pro bilineární formu zadanou ve standardní bázi f(x,y) = x\y\ — clx2y2Jr?>x\y2 na R2 určete její souřadnicové vyjádření a matici v nové bázi v\ = (3, — 1)T, v2 = (1, — 1)T. 3. Ve standardní bázi na iž3 je dána bilineární forma f(x, y) = xxyx + 2x2y2 + 2x2y3 Určete matici bilineární formy v bázi v\ = (1, 0, 1)T, v2 = (0, 1, 1)T, «3 = (1, 1, 0)T. 4. Pro bilineární formu z příkladu 1 určete symetrickou a antisymetrickou bilineární formu f s a f a, pro které platí / = fs + fA. 5. Pro bilineární formu na iž3 určete symetrickou a antisymetrickou bilineární formu f g a f a, pro které platí / = fs + fA. (a) f(x, y) = 2x1y1 + Axľy2 - 2x1y:i + x2y2 - x2y3 + x3y2 + x3y3 (b) /(x, y) = 2x±y2 + 4x2y3 + 6x3yi 6. Najděte nějakou bázi symetrické bilineární formy / na vektorovém prostoru iž3, ve které má tato forma diagonální tvar. Analytické vyjádření / vzhledem ke standardní bázi je f(x, y) = 2x2y3 + 2x3y2 + x3y3 22 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie 7. Najděte nějakou bázi symetrické bilineární formy / na vektorovém prostoru fž3, ve které má tato forma diagonálni tvar. Analytické vyjádření / vzhledem ke standardní bázi je f(x,y) = 3xiyi + 2x2y2 8. Najděte symetrickou bilineární formu, která určuje kvadratickou formu F. F má ve standardní bázi v fž3 rovnici (a) F(x) = 2x1X3 — 4x2X3 (b) F(x) = x\ + x\ — 2x2x3 9. Najděte diagonální tvar kvadratické formy F na R? a bázi, ve které má forma tento tvar, je-li souřadnicové vyjádření ve standardní bázi Fix) = x\ + X3 — 2xix2 + 2xix3 + 10x2x3 . 10. Najděte diagonální tvar kvadratické formy na fž3 pomocí algoritmu doplnění na čtverce a bázi, ve které má forma tento tvar, je-li souřadnicové vyjádření ve standardní bázi (a) F(x) = Ax\ + 2x2 + 15x| + 4xix2 — 4xix3 — 8x2x3 (b) F(x) = x\x2 + X1X3 + X2X3 11. Zjistěte vlastnosti reálných kvadratických forem, např. definitnost a signaturu, jestliže jejich souřadnicové vyjádření vzhledem ke standardní bázi je (a) F(x) = x\ — x\x2 + x2, na R2 (b) Fix) = 2x\x2 + 4xiX3, na iž3 (c) Fix) = —2x\ — 8x2 — 3x| + 2xix2 + 4xxx3 — 2x2x3, na R3 12. Najděte diagonální tvar kvadratické formy na iž3 a zjistěte, zda je pozitivně definitní F(x) = x\x2 + X2X3 + 3x1X3 13. Ve standardní bázi na R? je dána kvadratická forma. Určete její signaturu. (a) Fix) = X1X3 (b) F(x) = x\ + X2 + 3x| + 4xiX2 + 2x1X3 + 2x2X3 (c) Fix) = x\ — 2x\ + x\ + 2xiX2 + 4x1X3 + 2x2X3 14. V nějaké bázi na reálném vektorovém prostoru R4 je dána kvadratická forma F. Určete její diagonální tvar, definitnost, signaturu. (a) F(x) = x\ + X2 + x\ + x\ + 2xiX2 + 4x1X3 + 2x1X4 + 4x2X3 + 4x2X4 + 2x3X4 (b) Fix) = 3x| + 2x| + 4x1X4 + 4x2X3 + 2x2X4 + 2x3X4 2. Bilineární a kvadratické formy 23 (c) F(x) = X1X3 + X1X4 15. Uvažme bilineární formu zadanou ve standardní bázi f(x, y) = 2x1y1 - Axxy2 - 3x2y2 + 2x2y3 - 4x3y2 - x3y3 definivanou na C3. Nechť F(x) její definovaná kvadratická forma, napište analytické vyjádření F a najděte diagonální tvar F. 16. Najděte všechny hodnoty parametru a, pro které je kvadratická forma F na fž3 pozitivně definitní (použijte Sylvestrovo kritérium). (a) F(x) = x\ + x2 + Aax\x2 + a2x\x^ (b) = aij + ax\ + (a — 3)x| + 1x\x R definované předpisem f (A, B) = tr(A ■ M ■ B), pro M A, B G Mat^R) (tr znamená stopu matice, tj. součet prvků na hlavní diagonále) je bilineární forma. Pak najděte matici této bilineární formy v bázi a. a : 1 0 0 0 0 1 o o 0 o 1 o o o 0 1