5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice 45 5. VLASTNÍ ČÍSLA A VLASTNÍ VEKTORY, ORTOGONÁLNÍ MATICE
_Teorie
5.1. Definice. Lineární operátor je lineární zobrazení <ft : V —> V, kde V je vektorový prostor.
5.2. Definice. Nechť <p : V —> V je lineárni operátor, a = (vi, V2,..., vn) báze vektorového prostoru V. Pak matice operátoru <ft v bázi a je matice (<ft)a,a = (aij), kde ve sloupci j jsou souřadnice vektoru 4>{vj) v bázi a.
5.3. Věta. Necht! <ft : V —> V je lineárni operátor, a = (v±, V2,..., vn), [3 = (ui, U2,..., un) jsou dvě báze vektorového prostoru V. Pak pro matice zobrazení <ft v bázích a a [3 platí tento vztah:
(0W = (Íd)/3,a ■ (0)q,q • (Íd)a:/3,
kde (id)Q)/3 je matice přechodu od báze [3 k bázi a.
5.4. Definice. Řekneme, že matice A b, B jsou poäobné, existuje-li regulárni matice P taková, že B = P'1 ■ A- P.
5.5. Definice. Nechť V je vektorový prostor a <p : V —> V je lineárni operátor. Podprostor U C V se nazývá invariantní poäprostor operátoru <ft, jestliže <ft(U) C [/.
5.6. Definice. Vektor ii/o^Gl/, kde F je vektorový prostor, se nazývá vlastní vektor lineárního operátoru <ft, existuje-li číslo A G K takové, že
4>{u) = \u
Číslo A se pak nazývá vlastní číslo.
5.7. Poznámka. Je-li matice lineárního zobrazení A, pak vlastní vektory x jsou nenulová řešení rovnic
Ax = \x.
Tato soustava je ekvivalentní se soustavou
(A - \E)x = 0,
což je homogenní soustava rovnic, která má nenulové řešení právě tehdy když
det(A - XE) = 0
5.8. Definice. Rovnice det(A — XE) = 0 se nazývá charakteristická rovnice matice A.
46
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
5.9. Věta. Vlastní čísla jsou právě kořeny charakteristické rovnice. Je-li číslo Ao vlastní číslo, pak vlastní vektory jsou řešením soustavy rovnic (A — XqE) = 0.
5.10. Definice. Algebraická násobnost vlastního čísla je násobnost tohoto čísla jakožto kořene charakteristické rovnice. Geometrická násobnost vlastního čísla je dimenze pod-prostoru Ker(0 — Aid).
5.11. Věta. Je-li A = a + bi vlastní číslo reálné matice A s vlastním vektorem u = U1 + 1U2, kde ui, U2 G Rn, pak A = a — bí je taky vlastní číslo s vlastním vektorem u = u\ — iu2-
5.12. Poznámka. Podprostor generovaný vektory 111,112 v Rn z předchozí věty je invariantní podprostor zobrazení <ft. Platí, že
A ■ iui + 1U2) = (a + íb)(ui + 1U2).
Rozepsáním na reálnou a imaginární část rovnice dostáváme
A ■ ui   =   aui —bu2 A - U2   =   bui   +au2 ■
Zobrazení <ft má tedy v bázi [ui, U2] matici
a —b b a
Číslo a + ib můžeme napsat v goniometrickém tvaru a + ib = \/a2 + b2 (cos a + i sin a), pak má matice zobrazení tvar
cos a   — sin a
V a2 + b2
sin a    cos a
Tento operátor působí jako otočení o úhel a složené se stejnolehlostí na dvourozměrném invariantním podprostoru zobrazení <ft.
5.13. Věta. Necht! <ft je lineární zobrazení a necht! a = (vi,V2, ■ ■ ■ ,vn) je báze tvořená vlastními vektory příslušnými vlastním číslům Ai, A2, ..., \n. Pak matice lineárního zobrazení v této bázi má tvar
/ Ai   0   ...   0 \ 0   A2  ... 0
0 0
A„
5.14. Věta. Vlastní vektory příslušné různým vlastním číslům jsou lineárně nezávislé.
5.15. Definice. Nechť U a V jsou dva euklidovské vektorové prostory. Zobrazení <p : U V se nazývá ortogonální, právě když (<p(ui), 4>{u2)) = {u±, 112) pro Viíi, 112 G U.
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
47
5.16. Věta. Necht! <ft : U —> U je lineárni operátor. Pak <ft je ortogonální zobrazení, právě tehdy když pro matici zobrazení v ortonormální bázi a platí, že A-1 = AT.
5.17. Definice. Matici A, pro kterou platí A-1 = AT, nazýváme ortogonální maticí.
5.18. Definice. Nechť U a V jsou dva unitární vektorové prostory. Zobrazení <p : U —> V se nazývá unitární právě když (<p(ui), 4>{u2)) = (^1,^2) pro Viíi,ií2 G U.
5.19. Věta. Necht! <ft : U —> U je lineární operátor. Pak <ft je unitární zobrazení, právě tehdy když pro matici zobrazení v ortonormální bázi a platí, že A~x = A .
5.20. Definice. Matici A, pro kterou platí A-1 = A , nazýváme unitární maticí.
5.21. Věta. Je-li matice A unitární, pak |det^4| = 1 a její vlastní čísla mají absolutní hodnotu rovnu 1.
5.22. Věta. Necht! <ft : U —> U je unitární zobrazení. Pak v U existuje ortonormální báze a tvořená vlastními vektory taková, že v této bázi má matice zobrazení diagonální tvar
/ Ai   0   ...   0 \ 0   A2  ... 0
0 0
Ar,
5.23. Poznámka. Každá ortogonální matice A je unitární. Má-li A reálná vlastní čísla, pak jsou to 1 nebo -1.
Má-li komplexní vlastní číslo a + íb, pak má také vlastní číslo a — íb, a protože |a + ž6| = 1, tak a2 + b2 = 1. Je-li u± + iui vlastní číslo, pak u\ — iui je také vlastní číslo. Z toho, že (u\ +ÍU2) -L iui — ÍU2) plyne, že ||iíi|| = H^H a -ui _L ui. u\,U2 tedy tvoří ortogonální bázi dvourozměrného invariantního podprostoru.
A(u\ + 1U2) = (a + íb)(ui + 1U2)
Z toho plyne
Au\ = aui — bu2, Au2 = bu± + au2. V bázi ui,u2 je tedy matice tohoto zobrazení (tuto bázi nazýváme kanonická báze)
/ a —b \ / cos a — sin a \ y b    a  J     y sin a    cos a J
Toto zobrazení je tedy otočení o úhel a .
Z toho plyne, že každá ortogonální matice řádu 3 reprezentuje geometricky otočení kolem osy složené případně se symetrií podle roviny kolmé k této ose procházející počátkem.
48 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
_Řešené příklady
Úloha 1: Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru zadaného maticí
A =
ve standardní bázi.
Řešení: Podle věty 5.9. jsou vlastní čísla řešením charakteristické rovnice det(A — \E) = 0. Spočteme tedy tento determinant, položíme ho roven nule a řešíme charakteristickou rovnici.
/l-A    -1       1 \ det      -1    1-A     1 =0 \   -1      -1    3 — A /
z toho plyne
(1 - A)2(3 - A) + 1 + 1 + (1 - A) + (1 - A) - (3 - A) = 0 (1-A)(2-A)2 = 0
Jako řešení charakteristické rovnice dostáváme dvě vlastní čísla, Ai = 1 s algebraickou násobností 1, A2 = 2 s algebraickou násobností 2. Podle věty 5.9. jsou vlastní vektory řešením homogenní soustavy rovnic (A — \E) = 0.
Pro Ai = 1 má homogenní soustava tvar
Zavedeme parametr t, x3 = t, pak x2 = t, x\ = t.
Řešením je podprostor generovaný vektorem (1,1,1)T, tedy podprostor vlastních vektorů
Ki,i, in
Geometrická násobnost vlastního čísla Ai je 1. Pro A2 = 2 má homogenní soustava tvar
-1 -1 1 I 0 \ / -1 -1 1 I 0 -1  -1  1   j  0     ~      0     0   0  j 0
-1-1110/    Vo   o 010
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
49
Zavedeme parametry t a s, x% = t, X2 = s, pak x\ = t — s.
Řešením je podprostor generovaný vektory (1, 0, 1)T, (—1,1, 0)T, tedy podprostor vlastních vektorů
[(1,0,1)T, (-1,1, O)2]. Geometrická násobnost vlastního čísla A2 je 2 .
Všimněte si, že v bázi a : [(1,1,1)T, (1, 0,1)T, (—1, 1, 0)T] je matice daného lineárního zobrazení diagonálni
'10 0 0 2 0 0  0 2
Úloha 2: Analýzou vlastních čísel a vlastních vektorů matice
/   I      1     & \
A =
2 2
1 1
2 2 V2 V2
V2 2
zjistěte, jaké geometrické zobrazení euklidovského prostoru fž3 popisuje lineárni operátor daný touto maticí. Určete matici operátoru ve vhodné ortogonální bázi.
Řešení: Lehce ověříme, že A ■ AT = E a tedy matice A je ortogonální. Nejprve hledáme vlastní čísla, to znamená, že najdeme charakteristický polynom.
	(\-^	1 2	^/2 2	\
det	1 2		_V2 o	
	^/2 \ 2	^/2 2	Z —A	/
= -X(--A) H---1---h (-
y2      '     4    4 y2
\) + ]\ = -A3 + A2 4
A + l
Řešením charakteristické rovnice jsou vlastní čísla
Ai = 1      A2 = i      A3 = —i. Dále hledáme vlastní vektory, tj. řešíme vždy homogenní soustavu rovnic (^4 — \E) = 0. Pro Ai:
	1 2	1 2	V2 2	0	\
	1	_1		0	
v	2 v2 2	2 2	2 -i	0	/
Řešením této soustavy je podprostor vlastních vektorů [(1,1, 0)T]. Pro A2 = i:
í
1
2
V2 2
1 2	^/2 2	0	\
— í	V2 2	0	
V2 2	—i	0	/
1
2
V2 2
0
50
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Řešením této soustavy je podprostor vlastních vektoru [(—1,1, \/2i)T].
Podle věty 5.11. je podprostor vlastních vektoru pro A3 roven [(-1,1,—v/2i)T].
Podle poznámky 5.21. zvolíme novou reálnou ortonormální bázi
T
44.0) ,<0.0,lf
Protože A2 = í, tak cos a = 0 a sin a = 1 z toho plyne, že se jedná o otočení o úhel | kolem osy dané směrem (1,1, 0)T, musíme ale ještě určit orientaci otočení. Z matice zobrazení je vidět, že druhý vektor báze se zobrazí na třetí vektor báze a třetí vektor báze se zobrazí na vektor opačný k druhému vektoru báze. Otočení je tedy ve směru od druhého ke třetímu vektoru báze.
Tvar matice operátoru v nové bázi je
0
Úloha 3: Ve standardních souřadnicích napište matici zobrazení, které je otočení o úhel I kolem přímky x = 0, y — z = 0.
Řešení: Nejprve určíme matici v jisté ortonormální bázi f3, ve které má matice tvar
1     0 0
0  cos a   — sin a 0   sin a    cos a
Zobrazení je otočení kolem přímky x = 0, y — z = 0, první vektor báze [3 tedy bude jednotkový směrový vektor této přímky (0, ^,^)T. Pak j3 doplníme na ortonormální bázi:
f3:
Ok/3 =
0  cos f
srn j
0   sin |    cos I
Matice zobrazení ve standardní bázi pak je
{4>)e,e = (Íd)£l/3 • (0)/3,/3 ■ (Íd)/3,£ = (Íd)£i/3 ■ {<j))f},f} ■ (Íd)J^ .
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
51
kde (id)£)ig je matice přechodu od báze [3 k bázi e.
(id)
Z toho plyne
Cvičení
1. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory lineárního operátoru daného matici:
A =
-1 -3
2
3
B =
-1 0
D =
7 -12 6 10 -19 10 12  -24 13
E =
G =
H =
C =
F =
I =
í3	-1	0	0	\
1	1	0	0	
3	0	5	-3	
\ 4	-1	3	-1	/
4 2	-5	\		
6 4	-9			
5 3	-7	/		
J =
1
-1
1 \
-1 -1
vi -i -i i y
2. V R3 určete podprostor vlastních vektoru příslušných vlastní hodnotě A
1
= 3.
A =
B =
C =
52
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
3. Zjistěte, zdaje daná matice podobná diagonálni matici nad poli Q, R, C. (To nastane právě tehdy, když vlastní vektory generují celý prostor.)
A =
B =
-5
-4
C =
4. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matic.
A =
2	-1	1 \	
-1	2	"i	B
0	0	1 /	
í	1	2	0	3	\
	-1	-2	0	-3	
	0	0	2	0	
\	1	2	0	3	/
5. Najděte vlastní čísla a vlastní vektory matice lineárního operátoru. U vlastního čísla určete jeho algebraickou a geometrickou násobnost a zjistěte, zdaje matice podobná nějaké diagonální matici.
A =
1 0
D =
í ~ 1
0
V o
B =
0 0
o \
-2
0
"1/
0	-1	\			
2	-1			C	=
1	2	J			
/2		0	2	0	\
	1	2	2	-2	
	0	0	2	0	
		0	1	2	/
6. Zjistěte, jak závisí vlastní hodnoty a vlastní vektory matice na parametrech a, b.
A =
B =
7. Zjistěte, jak vypadají a jaká geometrická zobrazení určují všechny ortogonální matice řádu 2.
8. Analýzou vlastních čísel a vlastních vektoru najděte matici lineárního operátoru ve vhodné bázi, pomocí které určíte, o jakou geometrickou transformaci se jedná, je-li operátor zadán ve standardní bázi maticí:
A = \
2	2	-1
2	-1	2
-1	2	2
2	-1	2
2	2	-1
-1	2	2
1	i	-y/2
1	i	V2
V2		0
3	1	-Vš
1	3	y/6
	-Vq	2
5. Vlastní čísla a vlastní vektory, ortogonální matice
53
E = h
F = -
1 2
1 1 1 -1
V 1 -1
1
-1
G =
( 1   1   1     1 \
1 1-1-1 -11-1 1
-íi i -i y
6
1 \
-1
1 -1 "I    1 J
-1 2 2
1
4
-8 4 4 7 1 4
j =
i
V2
o
1
"V2
k=   ^- -l-
1    3^2     3^2 3y/2 3      ~~ 3 3
L =
í
\
3 1 VÍ
4 4 4
1 3 V6
4 4 4
Vř Vř I
"4 4 2
9. Analýzou vlastních čísel a vlastních vektorů zjistěte o jakou geometrickou transformaci euklidovského prostoru iž3 se jedná.
A =
í	0	v2 2	V2 \ 2		í	1 2	1 2	2	\
	VI	1	_1	B =		1	1		
	2 v2 2	2 1 2	2 i )		\	2 2	2 v2 2	2 0	/
c =
o
3 5
10. Najděte ortonormální bázi tvořenou vlastními vektory a matici v této bázi unitárního operátoru daného maticí ve standardní bázi:
A~ V3
c = \
l + l 1
-1 l-l
2 + 3* -y/Š
VŽ 2-3i
4 + 3i Aí
-Ai A - 3i 6 + 2i  -2 - 6i
1
-1
11. Ve standardních souřadnicích v iž3 napište matici zobrazení, které je otočením o úhel 7T kolem přímky x — z = 0, y = 0.
12. Ve standardních souřadnicích v iž3 napište matici zobrazení, které je otočením o úhel | kolem přímky x + y = 0, z = 0, přičemž /(—1, 1, 1) = (a, 6, 0), kde a + b > 0.
13. Ve standardních souřadnicích v iž3 napište matici zobrazení, které je symetrií podle roviny \/3y — x = 0.
14. Lineární zobrazení v iž3 je otočení kolem osy procházející počátkem se směrovým vektorem (1,1, 0)T takové, že /(l, —1, 0) = (0, 0, \/2). Najděte matici zobrazení ve standardní bázi.
15. V Rn napište matici symetrie podle roviny kolmé k vektoru v v ortonormální bázi [v,v2, .. .,vn].
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Definujte na fž3 dva skalární součiny (, )i a (, )2 tak, aby zobrazení <ft : (fž3, (, )i) (iž3, (, )2), <ft(xi, x2, £3) = ixi + x2 + X3, —X! + x2, X3), bylo ortogonální.