6. Symetrické matice a metrická klasifíkace kuželoseček 55 6. SYMETRICKÉ MATICE A METRICKÁ KLASIFIKACE KUŽELOSEČEK
_Teorie
6.1. Definice. Reálná matice A se nazývá symetrická, právě když A = AT.
6.2. Věta. Pro každou reálnou symetrickou matici A existuje ortogonální matice P tak, že P_1 • A ■ P = PT ■ A ■ P je diagonální.
6.3. Věta. Každá kvadratická forma f na euklidovském prostoru V má ve vhodné ortonormální bázi analytický tvar f{x) = Xixl + X2X2 + • • • + Xnx\.
6.4. Věta. (Metrická klasifikace kuželoseček) Nechť ve standardní bázi v R2 je kuželosečka zadaná rovnicí kix) = aux\ + 2012X1X2 + (222^2 + 2a\X\ + 2(22^2 + ao = 0. Pak existuje ortonormální afínní báze, které říkáme kanonická báze, v níž je tato kuželosečka dána
jednou z rovnic:					
1.	(Ml'	)2 + (f)2 +	1 =	0	prázdná množina
2.		)2 + (f)2 =	0		bod
3.	(Ml'	)2 + (f)2-	1 =	0	elipsa
4.	(Ml'	)2 - (f )2 -	1 =	0	hyperbola
5.	(Ml'	)2 - (f )2 =	0		dvě různoběžky
6.		)2 - 2py2 =	0		parabola
7.	(Ml'	)2 - 1 = 0			dvě rovnoběžky
8.	(Ml'	? + 1 = 0			prázdná množina
9.	vl-	= 0			přímka
Řešené příklady
Úloha 1: Najděte ortonormální bázi, v níž má matice zobrazení <ft(x) = A ■ x,
diagonální tvar.
56
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Řešení: Matice A je symetrická a podle věty 6.2. ji lze diagonalizovat tak, že na diagonále jsou vlastní čísla a báze, ve které má matice tento tvar, je tvořena vlastními vektory.
Nejprve tedy řešíme charakteristickou rovnici:
(A-4)3-16-12(A-4) =0
vlastní čísla tedy jsou Ai = 2, a2 = 8. Dále hledáme vlastní vektory.
Pro Ai = 2:
Zavedeme parametry t a s, x% = t, X2 = s, pak x\ = — t — s, nezávislou volbou parametrů dostáváme, že podprostor vlastních vektorů je generován vektory (—1,1, 0)T, (—1, 0,1)T, užitím Gramm-Schmidtova ortogonalizačního procesu a normováním dostáváme ortonormální bázi tohoto podprostoru:
1     1 '
1 1 2 \ \/6'   \/6' VŠJ
T
Pro A2 = 8:
2 2
-4
0 0
1 1 -3 3 3 -3
Zavedeme parametr t , X3 = t, pak X2 = t, x\ = t, volbou parametru dostáváme, že podprostor vlastních vektorů je generován vektorem (1,1,1)T, normováním dostáváme ortonormální bázi tohoto podprostoru:
1     1 1
\/3' \/3' y/3
diagonální tvar matice je
a to v bázi
"v^'v^'0)   '(   V6'    Vě'Ve)   ' Vš'Vš)
T
6. Symetrické matice a metrická klasifíkace kuželoseček
57
Úloha 2: Zjistěte jakou kuželosečku popisuje rovnice
k : x\ + x\ + 4x1X2 + 2xi + 1 = 0, popřípadě určete její střed, osy a načrtněte obrázek.
/ 1  2 \
Řešení: Matice kvadratické formy je ( j a ta se dá podle věty 6.3. napsat v dia-
gonálním tvaru s vlastními čísly na diagonále.
Hledáme tedy vlastní čísla a vlastní vektory, charakteristická rovnice má tvar
(l-A)2-4 = 0.
Vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory tedy jsou:
Ai = —1       příslušný normovaný vlastní vektor je u = (^y, ~y^j
a2 = 3       příslušný normovaný vlastní vektor je v = (^y, ^y^J •
Nyní přejdeme k bázi a = [u, v], ve které má matice kvadratické formy tvar
-1 0
0 3
f   vi vi \
Přitom matice přechodu od báze a ke standardní bázi e má tvar (id)e>Q =1     ^2 ^2 )
V       2"    ~2~ /
a souřadnice xi, x2 ve standardní bázi spočítáme ze souřadnic yl5 y2 v bázi a takto:
Převedeme rovnici kuželosečky do nových souřadnic yi, y2:
k(y) : -y\ + 3y22 + V^yi + y/2y2 + 1 = 0.
Nyní ještě posuneme střed soustavy souřadnic tak, aby ležel ve středu kuželosečky. Doplníme tedy na čtverce a zavedeme nové souřadnice.
~ _ r,. vž _ V2 V2 vž
z\   —   yi       y   —   ~xi       2~ 2 t
Z2    =    V2 =    ^1    + ^2 +f
k : —1=     -   ^     -1 = 0
58
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Jedná se tedy o hyperbolu, jejíž osy jsou přímky zadané parametricky S + tu a S + tv. Střed má souřadnice      z2) = (0, 0), (yi, y2) = (^, a (x1,x2) = (|, — §).
Cvičení
1. Najděte diagonální tvar symetrické matice.
A =
1 2
2 4
S =
d =
E =
1 -	-4	2 \		1	1	1\		
-4	1	"2	c=\	1	1	1		
2 -	-2	"2/		1	1	1/		
ÍA	4	0  0 \	í		2	-1	0	o \
4	4	0 0	T?		-1	2	0	0
0	0	0 0	r —		0	0	2	-1
\o	0	0 0/		v	0	0	-1	2 J
2. Najděte diagonální tvar symetrické matice a bázi, ve které má matice tento tvar.
A =
d =
3 1 1 3
0
-36
B =
0
6 2VŽ 2VŽ 7
E =
c =
6 -2 -2 3
f =
G =
( 3  1 0 0 \
13 0 0
0  0 0 0
V o o o o y
H =
( -7 24 0 0 \
24 7 0 0
0 0 -7 24
\ 0 0 24 7 7
3. Určete o jakou kuželosečku se jedná, případně určete její střed, osy a nakreslete obrázek.
(a) k : Axy + 3y2 + 6x + 12y - 36 = 0
(b) k :
6xy + 9y2 - 12x + 24y + 15 = 0
(c) k : x2 + 2xy + y2 - 2x - 2y - 3 = 0 4. Určete typ a kanonickou rovnici kuželosečky, případně nakreslete obrázek.
(a) k : 3x2 + lOxy + 3y2 - 2x - Uy - 13 = 0
(b) k : 25x2 - Uxy + 25y2 + 64x - 64y - 224 = 0
(c) k : Axy + 3y2 + 16x + 12y - 36 = 0
(d) k:7x2+ 6xy - y2 + 28x + 12y + 28 = 0
6. Symetrické matice a metrická klasifíkace kuželoseček
59
(e) k : 19x2 + 6xy + 11y2 + 38x + 6y + 29 = O
(f) k : 5x2 - 2xy + 5y2 — 4x + 20y + 20 = O
(g) k:9x2- 2Axy + 16y2 - 20x + 110y - 50 = O
(h) k:9x2 + 12xy + 4y2 — 24x — 16y + 3 = 0
(i) k : 16x2 - 24xy + 9y2 - 160x + 120y + 425 = O
5. Určete typ kuželosečky a délky jejích poloos.
(a) k : 41x2 + 24xy + 9y2 + 24x + 18y - 36 = 0
(b) k :8x2 + Axy + 5y2 + 16x + 4y - 28 = 0
(c) k : 4x2 + 24xy + 11y2 + 64x + 42y + 51 = 0
(d) k : 12x2 + 26xy + 12y2 - 52x - 48y + 73 = 0
6. Ověřte, že daná kuželosečka je parabola a určete její parametr.
(a) k : 9x2 + 24xy + 16y2 - 120x + 90y = 0
(b) k : 9x2 - 24xy + 16y2 - 54x - 178y + 181 = 0
(c) k : x2 - 2xy + y2 + 6x - Uy + 29 = 0
(d) k:9x2 - 6xy + y2 - 50x + 50y - 275 = 0
7. Určete typ kuželosečky, případně délky jejích poloos a střed.
(a) k:3x2+ 8xy - 3y2 - 1 = 0
(b) k:5x2+ 6xy + 5y2 - 32 = 0
(c) k : \x2 - xy + \y2 - ^2x - ^2y + 3 = 0
(d) k : xy + 3x — 2y — 6 = 0
(e) k : 6x2 + 4xy + 6y2 — 16 = 0
(f) k : 5x2 + 6xy + 5y2 - 8 = 0
(g) k : x2 + 2\/3xy - y2 - 2 = 0
8. Najděte ortonormální bázi kvadratické formy f(x, y, z) = 17x2 + 4xy — Axz + 14y2 + 8yz + 14z2, ve které má forma diagonální tvar, na euklidovském prostoru iž3 se standardním skalárním součinem vzhledem ke standardní (rovněž ortonormální) bázi. Přitom jedno z vlastních čísel matice kvadratické formy je 18.
9. Najděte ortonormální polární bázi kvadratické formy f(x, y, z) = 3x2 — 4xy, ve které má forma diagonální tvar, na euklidovském prostoru iž3 se standartním skalárním součinem vzhledem ke standardní (rovněž ortonormální) bázi.