3. Skalární součin
25
3. SKALÁRNÍ SOUČIN
Teorie
3.1. Definice. Nechť V je vektorový prostor nad polem K. Pak skalární součin na V je bilineární symetrická forma, tj. zobrazení (    ,    ) : V x V —> K takové, že (x,x) > 0 pro x G V, x    o. (To znamená, že příslušná kvadratická forma je pozitivně defmitní.) Reálný vektorový prostor se skalárním součinem nazýváme euklidovský prostor.
3.2. Definice. Nechť Rn je vektorový prostor. Definujeme skalární součin pro x,y G Rn, x = (xi, X2, . . ., xn), y = (yi,y2,..., yn) jako {x, y) = Yľi=i X%V%- Takto definovaný skalární součin nazýváme standardní skalární součin.
Euklidovský vektorový prostor Rn se standardním skalárním součinem budeme značit En.
3.3. Definice. Velikost (norma) vektoru v v euklidovském prostoru V je číslo \\v\\ =
3.4. Věta. (Cauchyova-Schwartzova nerovnost) Pro každé dva vektory v euklidovském prostoru V platí
I {u, v) I < ||lí|| \\v\\
3.5. Definice. Nechť V je euklidovský prostor, u,vEV. Úhel, který vektory u a v svírají je číslo a G (0, ir) takové, že
cos a =
3.6. Definice. Dva vektory u, v G V, kde V je euklidovský prostor, nazveme kolmé (ortogonální), pokud (u,v) = 0.
Dva vektory u,v G V, nazveme ortonormální, pokud jsou ortogonální (tj. (u,v) = 0) a pokud jejich velikost je rovna jedné (tj. ||-u|| = 1 A \\v\\ = 1).
3.7. Věta. Nechť V je euklidovský prostor a vi, v2, ■ ■ ■, vk G V jsou po dvou ortogonální vektory různé od nulového. Pak jsou tyto vektory lineárně nezávislé.
3.8. Definice. Bázi tvořenou ortogonálními vektory nazveme ortogonální báze. Bázi tvořenou ortonormálními vektory nazveme ortonormální báze.
3.9. Věta. Nechť V je euklidovský prostor a uľ, u2,..., uk G V libovolné vektory. Pak existují ortogonální vektory v\,v2, ■ ■ ■ ,vk G V, které generují tentýž prostor jako vektory ui, u2, ■ ■ ■, Uk, to znamená
[lil,li2, ...,uk] = [v1,v2, ...,vk].
26
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Algoritnus, s jehož pomocí lze nalézt vektory v±, v2,..., Vk se nazývá Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces a je popsán v úloze 1.
3.10. Definice. Řekneme, že množiny A, B C. V jsou ortogonální množiny (ozn. A _L B) jestliže
Vit G A,     G B : {u, v) = 0
3.11. Definice. Ortogonální áoplňek množiny A v euklidovském vektorovém prostoru V nazveme množinu
A± = {ueV : {u, v) = 0, Vf G A}
3.12. Definice. Nechť F je euklidovský prostor a U Q V je vektorový podprostor ve V. Kolmá projekce vektoru v G V áo U je vektor Pv G ř7 takový, že v — Pv _L U.
3.13. Věta. Nechť V je euklidovský prostor a U C F je podprostor. Potom U (b U1- = V.
_Řešené příklady
Úloha 1: Použijte Grammův-Schmidtův ortogonalizační proces na bázi a : u\ = (2, 0, —1)T, u2 = (—1, 1, 1)T, u3 = (1,1,1)T vektorového prostoru E3.
Řešení: Budeme hledat ortogonální bázi [3 : [vi, v2, v%]
1) Za -ui zvolíme libovolně jeden ze tří vektorů původní báze a , např.
V\ = Ui
a tedy
fi = (2,0,-1)T
2) Hledáme druhý vektor báze v2 ve tvaru
tuto rovnost skalárně vynásobíme vektorem v\
{vi,v2) = {vuu2) +ř>i(ui,ui)
požadujeme, aby vektory vi, v2 byly kolmé, proto skalární součin {vi, v2) = 0; zbylé skalární součiny můžeme už lehce spočítat (vi,u2) = —3, (vi,vi) = 5, pak
3
0 = —3 + 5pi   z toho plyne    Pi = —
3. Skalární součin
27
a tedy
t* = (-l,l,l)T + f(2,0,-l)T
můžeme do báze zvolit libovolný násobek tohoto vektoru, pro snadnější počítání tedy volme
v2 = (1,5,2)T
3) Nyní zbývá najít ještě třetí vektor báze v%, který musí být kolmý k oběma předchozím vektorům v\ a v2; předpokládejme jej ve tvaru
V3 = u3 + <?iui + q2v2
tuto rovnost nejdříve skalárně vynásobíme vektorem v\ a pak vektorem v2, čímž dostáváme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých qi a q2
(v3, vi) = {u3, vľ) + qiivx, vľ) + q2(v2, vľ)
(v3, v2) = {u3, v2) + qi{vu v2) + q2(v2, v2) z požadavku vzájemné ortogonality všech vektorů báze [3 plyne
0 = 1 + hqi z toho plyne qi 0 = 8 + 30q2   z toho plyne q2
1
5
4 15
tedy
^(l.Uf-^.O.-lf-ld.^f^I.-I.f
opět můžeme do báze [3 zvolit libovolný násobek tohoto vektoru, např.
u3 = (l,-l,2)T a tedy (3 = [(2, 0, -1)T, (1, 5, 2)T, (1, -1, 2)T]
Úloha 2: Nechť W = [(1,-1,1, 0, 0)T, (1, 0,1, 0,1)T, (1,1, 0,-1,1)T] je podprostor v E5. Najděte ortogonální doplněk W1- tohoto podprostoru.
Řešení: Podle definice 3.10. je ortogonální doplněk podprostoru množina všech vektorů kolmých ke všem vektorům zadaného podprostoru. Rozmyslíme-li si tuto definici, je zřejmé, že stačí hledat množinu všech vektorů kolmých k vektorům báze podprostoru W. Označíme
28
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
si vektory báze postupně ^1,^2,^3 a uvažujeme libovolný vektor x = (xi,X2,x^,X4,x5)T takový, že x E W±, pak platí:
a tedy
x G W±   právě když   x _L v\ A x _L V2 A x _L v% x G W±   právě když   (x, v±) = 0; {x, V2) = 0; {x, v^) = 0
xl    ~x2    Jrx3 = 0
z toho plyne        x\ +X3 +x5   = 0
X\   +x2 —X4   +x5   = 0
dále řešíme tuto soustavu rovnic pro nalezení tvaru vektoru x úpravou na schodovitý tvar pomocí elementárních řádkových úprav
1-110 0 10 10 1 1    1 0-11
0		' 1	-1	1	0	0	1 0
0	H	0	1	0	0	1	0
0	/ \	,0	2	-1	-1	1	0
1	-1 1	0	0 1	°\			
0	1 0	0	1	0			
0	0 1	1	1	0 /			
zavedeme parametry a, b a dostáváme:
x5 = b; X4 = a; X3 = —a — b; X2 = —b; x\ = a
podprostor vektorů x, což je podprostor vektorů kolmých na vektory báze podprostoru W, a tedy ortogonální doplněk podprostoru W, je generován vektory, které dostáváme nezávislou volbou parametrů a a b
w1- = [(1, 0, -1,1, 0)T, (0, -1, -1, 0,1)T]
Úloha 3: Najděte kolmý průmět vektoru v do podprostoru W = [^1,^2] v E4, kde wi = (1, -1, -1, 2)T, w2 = (3,1, 0,1)T, v = (-2, 2, 2, 5)T
Řešení: Kolmý průmět Pv vektoru v předpokládáme ve tvaru lineární kombinace vektorů báze podprostoru W, do kterého promítáme
Pv = a±wi + 02^2
Aby šlo o kolmou projekci, musí být podle definice 3.11. vektor v — Pv kolmý na podprostor W, a tedy musí platit:
v — Pv   _L wi
V — Pv    _L U)2
3. Skalární součin
29
z toho plyne
(v,Wi)     —CLl{wi,Wi)     — CL2{w2,Wi)     = 0
(v,w2)   -a1{w2,w1)   -a2{w2,w2)   = 0 po vyčíslení skalárních součinů dostáváme:
8 — 7ai — 6a2 = 0 1   — 6ai   — lla2   = 0
řešením této soustavy rovnic jea1 = 2aa2 = — li tedy
Pv = 2(1,1, -1, 2) - (3,1, 0,1) = (-1,1, -2, 3)
Cvičení
1. Zjistěte zda je zobrazení g : R2 x R2 —> R skalární součin
(a) g(x, y) = xxyx + xxy2 + x2yx + x2y2
(b) g(x, y) = 4xiyi + 2xiy2 + 5x2y2
(c) g(x, y) = xxyx + xxy2 + x2yx + 2x2y2
2. Zjistěte, zda je zobrazení g : R3 x R3 —> R skalární součin
(a) g(u, v) = 3-ui-ui — u\v2 — u2v\ + 2u2v2 + uxv3 + -u3ui + -u3u3
(b) g(u, v) = 1u\V\ — U\V2 — u2V\ + 1*3^3
(c) g(u, v) = uivi + 2u\v2 — u2v\ + u2v2 + u3vx + 2u3v3
(d) -u) = uivi + 2-u2u2 — -u2u3 — u3v2 + 3-u3u3
(e) g(u, v) = 3-ui^i + u\v2 + -u2«i + -u2-u2 + u3v3
3. Ve vektorovém prostoru R2[x] je pro libovolné dva polynomy /, g definováno reálné číslo (/, g). Rozhodněte, zda je takto definován skalární součin.
(a) (f,g) = J1_1f(t)g(t)dt
(b) </,</> = 1
4. Ve vektorovém prostoru Mat22 (R) je pro libovolné vektory A = ( Ql  Q2  ) , i? =
) definováno reálné číslo (A, B). Rozhodněte, zda je takto definován skalární b3  h J x 1
součin.
(a) {A,B) = det(A.B)
(b) (A,B) = det(A + B)
30
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
(c) {A, B) = ai&i + a4b4
(d) {A, B) = dibi + a2b2 + 03^3 +
5. Zkuste na R2 najít takový skalární součin, aby vektory u a v byly na sebe kolmé.
(a) u = (1,2)T, v = (2,3)T
(b) u = (-5,2)T, v = (10,-4)T
6. Najděte ortogonální bázi podprostoru generovaného vektory (3, 2, —4, 6)T, (8,1, —2, —16)T, (5,12, -14, 5)T, (11, 3,4, -7)T v euklidovském prostoru E4.
7. Určete ortogonální bázi podprostoru generovaného vektory (1, 0,4, — 1)T, (1, —4, 0,1)T, (—4,1,1, 0)T a jeho ortogonálního doplňku v euklidovském prostoru E4.
8. Gramm-Schmidtovým ortogonalizačním procesem sestrojte ortogonální bázi podprostoru generovaného vektory (1,1, —1, — 1)T, (1, —1,1, 1)T, (—1, —2, 0,1)T v euklidovském prostoru E 4.
9. V euklidovském prostoru V nalezněte ortogonální bázi podprostoru W, je-li:
(a) V = £4, W = [(1, 2, 2, -1)T, (1,1, -5, 3)T, (3, 2, 8, -7)T]
(b) V = E4, W = [(1, 0,1, 0)T, (0,1, 0, -7)T, (3, -2, 3,14)T]
(c) F = E5, W = [(1, 2, 0,1, 2)T, (1,1, 3, 0,1)T, (1, 3, -3, 2, 3)T, (1, -1, 9, -2, -1)T]
(d) V = E5,W = [(1, -1, 0,1,1)T, (1, -1,1, 0, -1)T, (1, -2, -2, 0, 0)T, (1, -4,1, 3,4)T]
10. V euklidovském prostoru E4 jsou dány vektory -u, v. Ukažte, že tyto vektory jsou ortogonální a doplňte je na ortogonální bázi celého prostoru. Přitom:
(a) u = (1, -2, 2,1)T, f = (1, 3, 2,1)T
(b) u = (2, 3, -3, -4)T, w = (-1, 3, -3,4)T
(c) ií = (1,7,7,1)T, w = (-1,7,-7,1)T
11. Najděte ortogonální bázi vektorového prostoru Rs[x] se skalárním součinem definovaným (/, g) = f(t)g(t)dt. Najděte matici přechodu od nalezené báze a do standardní báze [1
12. V euklidovském prostoru E5 je dán podprostor W. Nalezněte ortogonální bázi ortogonálního doplňku W±, je-li:
(a) W = {(r + s + t, -r + t, r + s, -t, s + ŕ); r, s, t G iž}
(b) W = [(1, -1, 2,1, -3)T, (2,1, -1, -1, 2)T, (1, -7,12, 7, -19)T, (1, 5, -8, -5,13)T]
13. V euklidovském prostoru E4 nalezněte ortonormální bázi podprostoru vektorů, které jsou ortogonální k vektorům u = (1, 1,1,1)T, v = (1, —1, —1,1)T, w = (2,1,1, 3)T.
3. Skalární součin
31
14. Určete všechny hodnoty parametru a 6 R, pro které je zadaný vektor u z euklidovského prostoru V normovaný. Přitom:
(a) V = E5, u = (a + 1, 0, a + 2, 0, a + 1)T
(b) V = r2[x], se skalárním součinem (f,g) = Jq f(t)g(t)dt, u = 3x2 + a
(c) V = r2[x], se skalárním součinem (/, g) =      f(t)g(t)dt, u = 3x2 + a
15. Najděte ortogonální doplněk podprostoru P generovaného vektory (—1, 2, 0, 1)T, (3,1,-2,4)T, (-4,1,2,-4)T vE4.
16. V euklidovském prostoru E4 jsou dány podprostory W = [«1,^2,^3] a S = [v], kde lil = (1,1,1,1)T, u2 = (-2, 6, 0, 8)T, u3 = (-3,1, -2, 2)T, v = (1, a, 3, fo)T.
(a) Nalezněte ortogonální bázi W.
(b) Určete hodnoty a, b tak, aby podprostory W, S byly kolmé.
17. Najděte ortogonální průmět vektoru (1, 2, 3)T do podprostoru generovaného vektory (-1,1, lf, (l,l,lfvE3.
18. Nechť je L = [u,v,w] podprostor v E4. Najděte kolmý průmět vektoru z do L^.
(a) z = (4, 2, -5, 3)T, u = (5,1, 3, 3)T, v = (3, -1, -3, 5)T, w = (3, -1, 5, -3)T
(b) z = (2, 5, 2, -2)T, u = (1,1, 2, 8)T, f = (0,1,1, 3)T, w = (1, -2,1,1)T
19. V euklidovském prostoru V najděte ortogonální projekci vektoru u do podprostoru W, je-li:
(a) V = E4,u = (-2, 2, 2, 5)T, W = [(1,1, -1, 2)T, (3,1, 0,1)T, (2, 0,1, -1)T]
(b) V = E4,u = (2, 7, -3, -6)T, W = {(r + s, r + s, -r - 3s, 2r + 3s); r, s G iž}
(c) V = E4,u = (1, 2, 3,4)T, W = [(0,1, 0,1)T]
(d) V = E4, u = (4, -1, -3,4)T, W = [(1,1,1,1)T, (1, 2, 2, -1)T, (1, 0, 0, 3)T]
20. Nechť u, v jsou vektory z euklidovského prostoru V. Dokažte, že platí nerovnost
IIMI — IMII ^ ll^í— ^||•
21. Dokažte, že pro libovolných n reálných čísel platí nerovnost
X\ + X2 + • • • + xra       /x^ + x\ + • • • + n ~ V n
(Návod: Použijte Cauchyovu-Schwartzovu nerovnost.)
32
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
22. Dokážte, že pro libovolnou spojitou funkci / platí
(Návod: Použijte Cauchyovu-Schwartzovu nerovnost.)
23. Dokažte, že je-li 2x + 4y = 1, pro libovolná x, y E R, pak x2 + y2 > ^.
24. Dokažte, že pro libovolná x, y, z E R platí nerovnost
25. Dokažte,že pro libovolná al5 a2, ■ ■ ., an E R+ platí
--1---h----1---1--> ai + a2 + • • • + a-
a2     a3 an ai
26. Dokažte,že pro libovolná ai, a2, ■ ■ ■, an E R+ platí
a ŕ 1 1
(ai + a2 H-----ha„)--1---h
27. Určete velikost výslednice F čtyř komplanárních sil (tj. sil ležících v jedné rovině) Fi, F2, F3, F4 působících z jediného bodu, jestliže velikost každé síly je 10 iV a úhel mezi dvěma sousedními silami je
(a) a = 30°
(b) /3 = 45°
28. Tři síly F±, f2, F3 působí z jednoho bodu v prostoru. Každé dvě síly svírají stejný úhel a. Velikosti těchto sil jsou |Fi| = 2N, \F2\ = 3N, \F3\ = AN. Určete úhel a tak, aby velikost výslednice sil byla F = 5 N.