4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel 4. EUKLIDOVSKÁ ANALYTICKÁ GEOMETRIE -
33
VZDÁLENOST A ÚHEL
Teorie
4.1. Definice. Nechť A, i? jsou body euklidovského prostoru Rn. Pak reálné číslo p(A, B) = \\A — B\\, tj. velikost vektoru A — B, nazýváme vzdáleností bodů A a B.
4.2. Definice. Nechť M je podprostor euklidovského prostoru Rn a A bod z tohoto prostoru. Pak, vzdáleností bodu A od afinního podprostoru M nazýváme nezáporné reálné číslo p(A,M), definované
p(A,M) = mm{\\A-B\\, B G M}
4.3. Věta. Nectí M je afinní podprostor v Rm a B ^ M je libovolný bod z M, pak vzdálenost bodu A G Rn od afinního podprostoru M je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A — B do ortogonálního doplňku zaměření podprostoru M, tj. do Z±(M).
4.4. Definice. Nechť P, Q jsou podprostory euklidovského prostoru Rn. Pak vzdáleností podprostoru P, Q nazýváme nezáporné reálné číslo p(P,Q), definované
p(P, Q) = min{P — B\\; A e P, B e Q}
4.5. Věta. Nectí P, Q jsou dva afinní podprostory, A G P je libovolný bod z P a B G Q libovolný bod z Q , pak vzdálenost podprostoru P a Q je rovna velikosti kolmého průmětu vektoru A - B do [Z{P) + Z(Q)]±.
4.6. Definice. Nechť u,v G V jsou nenulové vektory. Pak odchylkou jednorozměrných podprostoru [u], [v] ve V rozumíme reálné číslo <ft (někdy značíme <p(u,v)), pro které platí:
COS0 =  , X ,   ,/' O<0<-
kí  \\v\\ 2
4.7. Definice. Nechť U, V jsou podprostory euklidovského vektorového prostoru. Pak odchylku podprostoru U, V definujeme takto:
(a) Je-li U C V nebo V C U, pak <£(£/, V) = 0.
(b) Je-li U n V = {o}, pak (j)(U, V) = min{a(-u, v); u G U, v G V; u, v o}.
(c) Je-li u n v ^ {o}, pak <f>(u, v) = cp(u r\{ur\ y)±, vn(un v)r).
4.8. Věta. Nectí v je vektor a U je podprostor v euklidovském prostoru Rn. Nectí Pv je ortogonální projekce vektoru v do podprostoru U. Pak odchylka vektorových podprostoru
34
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
U a [v] je
cos0(ř7, [v]) = cos0(-u, P v) =
4.9. Věta. Necht! Ni, N2 jsou nadroviny v euklidovském vektorovém prostoru Rn, n > 2 a necht, a je normálový vektor nadroviny Ni a b je normálový vektor nadroviny N%. Pak odchylka těchto nadrovin je odchylka jejich normálových vektorů.
cos 0(iVi, N2) = cos 0(a, b)
4.10. Definice. Odchylkou dvou afinních podprostorů P, Q rozumíme odchylku jejich zaměření Z(P), Z(Q).
_Řešené příklady
Úloha 1: V euklidovském prostoru EA určete vzdálenost roviny o : (4,1,1, 0)+r(l, —1, 0, 0)+ s(2, 0, -1, 0) a přímky p : (5, 4,4, 5) + r(0, 0,1, -4).
Řešení:
1. způsob:
Nejprve najdeme ortogonální doplněk součtu zaměření roviny a přímky
1-10     0    I   0 \      / 1   -1    0     0    I   0 \ 2    0    -1    0    j   0     ~     0    2    -1    0 JO 00     1    -4   j   0 /      \ 0    0     1-4 |0/
Zavedeme parametr t, čili X4 = ŕ,pak x3 = 4ŕ, X2 = 2t, x\ = 2t, zvolíme-li např. t = 1, dostáváme [Z(a) + Zijp)]1- = [(2,2,4,1)T], označme tento vektor u.
Nyní zvolíme libovolné body A G c, B G p, např. A = (4,1,1, 0)T, B = (5,4, 4, 5)T, a označíme vektor A — B = x = (1, 3, 3, 5)T. Podle věty 4.5. je vzdálenost roviny a přímky rovna průmětu vektoru x do podprostorů [u]. Hledáme tedy kolmý průmět Px. Předpokládáme P x ve tvaru:
Px = au
x — Px _L u   z toho plyne   {x, u) — a{u, u) = 0 25 - 25a = 0   a tedy   a = 1   pak   Px = u = (2, 2, 4,1)T p(a, p) = \\Px\\ = 5
2. způsob:
Opět potřebujeme najít ortogonální doplněk součtu zaměření obou podprostorů, který jsme určili v předcházejícím výpočtu [Z(a) + Z(p)]± = [(2,2,4,1)T], označme tento vektor u.
4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel
35
Nyní hledáme body Aq £ a a Bq £ p jimiž se vzdálenost p(cr,p) realizuje. Vektor Aq — Bq je kolmý k rovině a i přímce p a tedy Aq — Bq £ [Z(a) + Z(p)]±, tzn. je lineární kombinací vektoru báze [Z(a) + Zijp)]1-
Aq — Bq = ku .
Dále víme:
Aq = (4,1,1, 0) + í(l, -1, 0, 0) + s(2, 0, -1, 0) Bq = (5,4,4,5)+ r(0,0,1,-4) a tedy   (4,1,1, 0) + í(l, -1, 0, 0) + s(2, 0, -1, 0) - (5,4, 4, 5) - r(0, 0,1, -4) = k(2, 2,4,1). Dostáváme tedy soustavu rovnic:
	t	+2s		-2k	=	1		
	-t			-2k	=	3		
		—s	—r	-Ak	=	3		
			Ar	-k	=	5		
řešíme užitím Gaussovy eliminace								
	2 0-2	1 1\			2	0	-2	1\
—	10 0-2	1 3		0	2	0	-4	4
0	-1   -1 -4	3		0	-1	-1 -4		3
V o	0 4-1	1 5/			0	4	-1	5/
/ 1  2    0 -2		1   1 >		/l	2	0	-2	1 \
	0 10-2	2		0	1	0	-2	2
	0 0-1-6			0	0	-1	-6	5
	\ 0  0   4 -1	i sy		\o	0	0	-25	25 /
= -	-1, r = 1, s = 0,	t = -1						
	Aq — Bq = —lu	= ("2,	-2, -	-4,-		z	toho plyne	
			= IMI =		5,			
A tedy
dále můžeme taky určit body, ve kterých se tato vzdálenost realizuje:
A0 = (4,1,1, 0) - (1, -1, 0, 0) = (3, 2,1, 0)T B0 = (5,4,4, 5) + (0, 0,1, -4) = (5,4, 5,1)T
3.způsob:
Budeme potřebovat bázi součtu zaměření, což je např. Z(a)+Z(p) = [(1, —1, 0, 0)T, (2, 0, —1, (0, 0,1, —4)T], označme tyto vektory postupně v±, v%, v%.
36
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
Nyní hledáme body Ao e a a Bo e p jimiž se vzdálenost p(cr,p) realizuje. Vektor Ao — Bo je kolmý k rovině a i přímce p a tedy A0 — B0 je kolmý k Z (a) + Z (p), tzn. je kolmý k vektorům báze Z (a) + Z (p), tedy Ao — Bo -L v±, Ao — Bo -L     Ao — Bo -L v^. Dále víme:
A0 = (4,1,1, 0) + í(l, -1, 0, 0) + s(2, 0, -1, 0) B0 = (5,4,4,5)+ r(0,0,1,-4) a tedy   A0 - B0 = (-1, -3, -3, -5) + í(l, -1, 0, 0) + s{2, 0, -1, 0) - r(0, 0,1, -4). Dostáváme tedy soustavu rovnic:
(Ao-	B0,vľ) =	0
(Ao-	B0,v2) =	0
(A0-	B0,v3) =	0
2t +2s	=	-2
2t +5s	+r =	-1
—s	-17r =	-17
tuto soustavu řešíme užitím Gaussovy eliminace
2	2	o 1	-2
2	5	1	-1
0	-1	-17 1	-17
-1 1
17
z toho plyne r = 1, s = 0, t = —1. A tedy
A0 = (4,1,1, 0) - (1, -1, 0, 0) = (3, 2,1, 0)T B0 = (5,4,4, 5) + (0, 0,1, -4) = (5,4, 5,1)T
z toho plyne
A0 - B0 = (-2, -2, -4, -1)T p(a,p) = Po -B0\\ =5.
Úloha 2: Určete vzdálenost rovin a : (4, 5, 3, 2) + í(l, 2, 2, 2) + s(2, 0, 2,1); r : (1, -2,1, v euklidovském prostoru E4.
-3) + r(2, -2,1, 2) + p(l, -2, 0, -1)
4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel
37
Řešení:
1. způsob:
Nejprve najdeme ortogonální doplněk součtu zaměření obou rovin
	2 2	2	o\	/ 1    2     2 2	o\	/i	2	2	2	o\
2	0 2	1	0	0  -4  -2 -3	0	0	4	2	3	0
2	-2 1	2	0	0   6     3 2	0	0	0	0	5	0
\ 1	-2 0	-1		\ 0  -4  -2 -3	oy	\o	0	0	0	oy
Z toho plyne, že x4 = 0, dále zavedeme parametr t, čili x 3 = t, X2 = — -^t, x\ = —t, zvolíme-li např. t = —2, dostáváme [Z (a) + Z(r)]± = [(2,1, —2, 0)T], označme tento vektor u (Je vidět, že roviny jsou částečně rovnoběžné).
Nyní zvolíme libovolné body A e a, B e r, např. A = (4, 5, 3, 2)T, S = (1, -2,1, -3)T, a označíme vektor A — B = x = (3, 7, 2, 5)T. Podle věty 4.5. je vzdálenost rovin rovna průmětu vektoru x do podprostoru [u]. Hledáme tedy kolmý průmět Px. Předpokládáme Px ve tvaru:
Px = au
x — Px _L u   z toho plyne   {x, u) — a{u, u) = 0 9 - 9a = 0   a tedy   a = 1   pak   Px = u = (2,1, -2, 0)T p(<7, t) = = 3
2. způsob:
Opět potřebujeme najít ortogonální doplněk součtu zaměření obou rovin, který jsme určili v předcházejícím výpočtu [Z(a) + Z(r)]± = [(2,1, —2, 0)T], označme tento vektor u. Nyní hledáme body Aq e o a Bq e t jimiž se vzdálenost p(a, r) realizuje. Vektor Ao — Bq je kolmý k rovině a i r a tedy ^4o — -Bo £ [-^X17) + ■^(T)]±i ^zn- Je lineární kombinací vektoru báze [Z{a) + Z{t)Y
Aq — Bq = ku .
Dále víme:
A0 = (4, 5, 3, 2) + í(l, 2, 2, 2) + s(2, 0, 2,1) S0 = (1, -2,1, -3) + r(2, -2,1, 2) + p(l, -2, 0, -1) a tedy   (4, 5, 3, 2)+í(l, 2, 2, 2)+s(2, 0, 2,1)-(1, -2,1, -3)-r(2, -2,1, 2)-p(l, -2, 0, -1) =
= k(2,1,-2,0).
Dostáváme tedy soustavu rovnic:
2k     +p +2r -2s -t = 3
/c     -2jo -2r -2í = 7
-2k +r -2s -2t = 2
—p +2r -ls -2í = 5
38
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
tuto soustavu řešíme užitím Gaussovy eliminace
	2	1	2	-2	-1 |	3\		(2 1		2	-2	-1	|	3 \	
	1	-2	-2	0	-2	7		0 -5		-6	2	-3		11	
	-2	0	1	-2	-2	2		0 1		3	-4	-3		5	
v	0	-1	2	-1	-2			\o -1		2	-1	-2	1	5 y	
		1	2	-2	-1	1   3 \		/2		1	2 -	-2 -	-1	1    3 \	
	0	-5	-6	2	-3	1 11			0	-5	-6	2 -	-3	1 11	
	0	0	9	-18	-18	36			0	0	1 -	-2 -	-2	4	
	\0	0	1	-1	-1	1 2	J		\0	0	0	1	1	| -	2/
zvolíme např. t = 1, pak s = —3, r = 0,   = —4, k = 1. A tedy
A) - 50 = lit = (2,1, -2, 0)T   z toho plyne p(cr, r) = ||ií|| = 3 , dále můžeme taky určit body, ve kterých se tato vzdálenost realizuje:
A0 = (4, 5, 3, 2) + (1, 2, 2, 2) - 3(2, 0, 2,1) = (-1, 7, -1,1)T
S0 = (1, -2,1, -3) - 4(1, -2, 0, -1) = (-3, 6,1, lf
Zde by nás mohla zmást volba t = 1, zkusme tedy, co se stane, když zvolíme t = 2, pak s = —4, r = 0, p = —5, k = 1. Hodnota /c se nezměnila a nezmění se tedy ani hodnota vzdálenosti.
A0-B0 = lu = (2,1, -2, 0)T   z toho plyne
p(<7, r) = ||ií|| = 3 ,
A0 = (4, 5, 3, 2) + 2(1, 2, 2, 2) - 4(2, 0, 2,1) = (-2, 9, -1, 2)T
B0 = (1, -2,1, -3) - 5(1, -2, 0, -1) = (-4, 8,1, 2)T
Jinou volbou se vzdálenost nezmění, pouze se změní body, ve kterých se tato vzdálenost realizuje. To znamená, že vzdálenost se může realizovat v nekonečně mnoha bodech (to odpovídá nekonečně mnoha volbám parametru), což je způsobeno tím, že roviny jsou částečně rovnoběžné.
3. způsob:
Budeme potřebovat bázi součtu zaměření. Snadno zjistíme, že je to např. Z(a) + Zir) =
[(1, 2, 2, 2)T, (2, 0, 2,1)T, (2, -2,1, 2)T], označme tyto vektory postupně vu v2, v3.
Nyní hledáme body Ao e a a Bq £ r jimiž se vzdálenost p(a, r) realizuje. Vektor Ao — Bq
je kolmý k rovině d i r a tedy A0 — B0 je kolmý k Z (a) + Z(t), tzn. je kolmý k vektorům
báze Z (a) + Z(t), tedy A0 - B0 _L vu A0 - B0 _L u2, A) - -B0 _L v3.
Dále víme:
A = (4, 5, 3, 2) + í(l, 2, 2, 2) + s(2, 0, 2,1)
4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel
39
B0 = (1, -2,1, -3) + r(2, -2,1, 2) + p(l, -2, O, -1) a tedy   A0 - B0 = (3, 7, 2, 5) + í(l, 2, 2, 2) + s(2, O, 2,1) - r(2, -2,1, 2) - p(l, -2, O, -1) Dostáváme tedy soustavu rovnic:
	<4)	-B0,Vl)	=	0	
		- B0,v2)	=	0	
	<4)	- B0,v3)	=	0	
13í	+8s	-Ar -f	-5p	=	-31
8í	+9s	-8r -	-p	=	-15
At	+8s	-13r -	-Ap	=	-4
tuto soustavu řešíme užitím Gaussovy eliminace
4	8	-13	-4	1 -4
8	9	-8	-1	-15
13	8	-4	5	1 -31
-4 -7 8
z toho plyne r = 0, zvolíme p = 1, pak s = 2, ŕ = —4. A tedy
A) = (4, 5, 3, 2) - 4(1, 2, 2, 2) + 2(2, 0, 2,1) = (4, -3, -1, -4)T S0 = (1, -2,1, -3) + (1, -2, 0, -1) = (2, -4,1, -4)T
z toho plyne
A) - B0 = (2,1, -2, 0)T
p(ct,t) = Po - -Bdi = 3.
Volba za p opět není jednoznačná, zvolíme-li jinak, dostaneme jiné body, ve kterých se vzdálenost realizuje, ale hodnota vzdálenosti se nezmění.
Úloha 3: Určete úhel přímky p : (1, 2, 3,4) + t(—3,15,1, —5) a podprostoru B : (0, 0, 0, 0) + r(l, -5, -2,10) + s(l, 8, -2, -16) v E4.
Řešení: Označme vektor, který generuje zaměření přímky p, u a vektory, ktaré generují zaměření podprostoru B, postupně x, y. Podle věty 4.8. je úhel p a B roven úhlu, který svírá vektor u a jeho ortogonální projekce Pu do Z(B). Hledáme tedy Pu:
Pu = dix + a2y
u — Pu A. B   z toho plyne   u — Pu _L x A u — Pu _L y
40
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
(u,x) —ai{x,x) —a2{x1y) = 0 {u,y)   -ai(x,y)   -a2{y,y)   = 0
po vyčíslení skalárních součinů dostáváme:
-130   -130ai   +195a2   = 0 195    +195ai   -325a2   = 0.
Vyřešením této soustavy dostáváme a± = —1, a2 = 0, a tedy
Pu = -x= (-1,5,2,-10)T
\\Pu\\       /Í30 y/2
z toho plyne       cos <p(p, B) = <j>(p,B) =
\\u\\      V 260 2
4
Úloha 4: Nalezněte odchylku 0 roviny a : (2,1, 0, 1) + í(l, 1, 1,1) + s(l, -1,1, -1) a roviny r : (1, 0,1,1) + r(2, 2, 1, 0) + pil, -2, 2, 0) v prostoru E4.
Řešení: Budeme postupovat podle definice 4.7. Nejprve budeme hledat průnik zaměření obou rovin Z (a) n Z (t).
í(l, 1,1,1) + s(l, -1,1, -1) = r(2, 2,1, 0) + p(l, -2, 2, 0)
/ 1 1 -2 -1 |   0 \
1-1-2 2 |0
1 1 -1 -2 | 0
\ 1 -1 0 0 |   0 )
( 1 1 -2 -1 | 0 \
0-2 0 3 | 0
0 0 1 -1 j 0
V o o o o i o)
tzn. r = p a Z(ťr) D Z(t) = [(1, 0, 1, 0)T].
Dále musíme najít P = Z (a) n (Z (o) f\Z (t))1- a Q = Z(t) n (Z(ťr) flZ(t))1. Jde vidět, že (Z(ťr) n Z(t))1- = [(1, 0, -1, 0)T, (0,1, 0, 0)T, (0, 0, 0,1)T]. Pak najdeme P:
fci(l, 0, -1, 0) + k2{0,1, 0, 0) + fc3(0, 0, 0,1) = í(l, 1,1,1) + s(l, -1,1, -1)
/  1 0  0 -1 -1 |  0 \
0 10-1 1 jo
-1 0  0 -1 -1 | 0
V o oi-i i j o)
( 1 0 0 -1 -1 i  o \
0 10-1 1 jo
0 0 1-1 i jo
V o o o i i i o y
Tzn. t = — s a P = [(0,1, 0,1)T], označme tento vektor a. Nyní najdeme Q:
fci(l, 0, -1, 0) + k2{0,1, 0, 0) + fc3(0, 0, 0,1) = r(2, 2,1, 0) + p(l, -2, 2, 0)
4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel
41
/  1 O  O —2 —1 | O \ / 1  O  O  -2 -1
O 10—2 2 j O 010-2 2
—1 O  O —1 —2 j O 0010 O
\ O O  1 O O j O / \ O  O  O    1 1
O
o
Tzn. r = —p a Q = [(1, 4, —1, 0)T], označme tento vektor b.
Uhel daných rovin je pak roven úhlu, který svírají vektory a a b.
(a,b) 4 2
Cvičení
1. V euklidovském prostoru _E4 resp. _E5 určete vzdálenost bodu A od podprostoru P.
(a) A = (4,1, -4, -5); P : (3, -2,1, 5) + í(2, 3, -2, -2) + s(4,1, 3, 2)
(b) A = (1,1, -2, -3, -2); P : (3, 7, -5,4,1) + í(l, 1, 2, 0,1) + s(2, 2,1, 3,1)
(c) A = (2,1, -3,4); P :2xx- Ax2 - 8x3 + 13x4 + 19 = 0, xx + x2 - x3 + 2x4 - 1 = 0
(d) A = (1, -3, -2, 9, -4); P :x1-2x2- 3x3 + 3x4 + 2x5 + 2 = 0, xx - 2x2 - 7x3 + 5x4 + 3x5 — 1 = 0
(e) A = (2,1, 4, -5); P : (1, -1,1, 0) + í(0,1, 2, -2)
(f) A = (-9, 2,1, -5); P : (1, 2, 0, 0) + í(-l, 1,1, 3) + s(0, -2,1, -1)
(g) A = (4, 2, -5,1); P : 2xx - 2x2 + x3 + 2x4 - 9 = 0, 2xx - 4x2 + 2x3 + 3x4 - 12 = 0
(h) A = (2,1, -1, 0); P : 3xx + x3 - x4 + 6 = 0
2. Určete vzdálenost přímek p, q v euklidovském prostoru      (pro n = 3,4, 5).
(a)		(9,-2,0) +	ŕ(4,-3,l);
		(0,-7, 2) +	s(-2,9,2)
(b)		(6,3,-3) +	í(-3,2,4);
	q	(-1,-7,4)	+ s(-3,3,8)
(c)	p	(2,-2,1,7)	+ ŕ(0,4,-2,-3);
	q	(3,0,0,-1)	+ s{-2, 0,1,1)
(d)	p	(7,5,8,1) +	ŕ(2,0, 3,1);
	q	x1 — Ax3 +	7 = 0, x2 + 2x3 - 5 = 0, xA - 3 = 0
(e)	p	(-3,2,3, 3)	+ ŕ(-l, 1,1,0);
	q	(6, 5, 7, 3) +	r(0,0, -1,2)
3. Určete vzdálenost přímky p a roviny r v euklidovském prostoru E4 resp. P5.
(a) p: (1,3, -3,-1)+ í(l, 0,1,1);
r : —x\ + x2 + x3 + x4 = 3; —3x2 + 2x3 — 4x4 = 4
42
I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
(b) p : (5,4,4,5)+ r(0,0,1,-4);
r : (4,1,1, 0) + í(l, -1, 0, 0) + s{2, 0, -1, 0)
(c) p : (1,6, -6,4) + t(l,-5,8,5);
r : (6, 3, -5, 5) + s(l, -2, 2, 2) + r(2, -1, -2,1)
4. Určete vzdálenost rovin r a c v euklidovském prostoru!*^ resp. Zí^, je-li:
(a) r : xi + X3 + X4 — 2x5 = 2; X2 + X3 — X4 — x5 = 3; x\ — X2 + 2x3 — x5 = 3; a : (1, -2, 5, 8, 2) + í(0,1, 2,1, 2) + s(2,1, 2, -1,1)
(b) t : xi + X2 + 2x% = 4; 2xi + 3x2 + 4x4 = 9; o- : x\ — 2x2 — 2x4 = —25; x\ — X3 + X4 = 15
(c) r : (5, 0, -1, 9, 3) + í(l, 1, 0, -1, -1) + s(l, -1, 0, -1,1); o : (3, 2, -4, 7, 5) + r(l, 1, 0,1,1) + u{0, 3, 0,1, -2)
(d) r : (4, 2, 2, 2, 0) + í(l, 2, 2, -1,1) + s(2,1, -2,1, -1);
o- : xi — X2 = 0; xi — X3 + X4 + x5 = —1; X3 + X4 — x5 = 4
(e) r : (0, 2, 6, -5) + í(-7,1,1,1) + s(-10,1, 2, 3);
o- : x\ + 3x2 + X3 + X4 = 3; xi + 3x2 — X3 + 2x4 = 5
(f) r : (-4, 3, -3, 2,4) + t{2, 0,1,1,1) + s(-5,1, 0,1,1);
o : x\ — 2x2 + x3 — x4 + 3x5 = 6; x\ — x3 — x4 + 3x5 = 0
5. Určete odchylku <ft přímky p = {A, [u]} a podprostoru B v E4 resp. E5.
(a)	u =	(1, 0, 3, 0)T; B : (1,1,1,1) + í(l, 1, 4, 5) + s(5, 3,4, -3) + r(2, -	1,1,2)
(b)	u =	(1, 2, -2,1)T; S : (1,1,1,1) + t(2, -2,1, -1)	
(c)	u =	(1, 3, —1, 3)T; B : 3xi + X3 — 4x4 = 0, 2xi — X2 — 3x4 = —1	
(d)	u =	(3,1, y/2, -2)T; B : (1, 2,1, l)+í(-l, 1, -1, 0)+s(-l, 2, -2,1) +	r(2,-1,2,1)
(e)	u =	(2, 0, 2, -1)T; B :3x1- 2x2 + 2x3 + x4 = 7	
(f)	u =	(2, 0, 0, 2,1)T; S : xi + x2 + x3 + x5 = 7	
(g)	u =	(0,1, -1, 0, 0)T; B : (2,1,1, 2, 2)+ŕ(2,1, 0,1, -l)+s(3, 2, 0, 0,1)	+r(0,1,0,1,0)
	Í>(1,	0,0,1,3)	
(h)	u =	(3, 4,4, 3)T; S : (2, 0, 0,1) + t{-2, 0, -1, 0) + s(l, 0, 3, 0)	
(1)	u =	(3, 4,4, 3)T; S : (2, 9, 0, 6) + í(0,1, 0, 5) + s(0, 2, 0, -7)	
(j)	u =	(1, -1,1, 3)T; B : (3,1,4, 5) + t{2, -2, 3, 0) + s(-l, 1, -2, 0)	
6. V E3 určete odchylku rovin rad.
(a) r:2x-y + z- l = 0;cr:x + y + 2z + 3 = 0
(b) r : x + 2z - 6 = 0; a : x + 2y - 4 = 0
7. Určete odchylku podprostoru íj a ^ v £4 resp. Z^.
4. Euklidovská analytická geometrie - vydálenost a úhel
43
(a)	V	(1,2,5,1) +	ŕ(l,l,0,0) + s(3,3,0,1)
	ľ	(1,5,4,1) +	r(0,0,0,-l)+p(2, 0,0,1)
(b)	V	(4,2,0,1,0)	+ í(l,l, l,0,0) + s(2,2,2,0,3)
	ľ	(1,1,0,1,0)	+ r(0,1, 0, 0,1) + p(l, 1,1,1, 0) + q(l, 1,1,1,1
(c)	v	(7,3,5,1) +	í(0,0, l,0) + s(2,2,l,0)
	ľ	(1,3,4,1) +	r(l,0,0,0) +p(3,0,1,0)
8. Na přímce p : x\ + x2 + x4 — 7 = 0, x\ + 2x3 + x4 — 7 = 0, 2xi — x2 + 3^3 + X4 — 9 = 0 nalezněte bod Q mající stejnou vzdálenost od bodů A = (—1,1,1,1)T a B = (3, —1, —2, 2)T v euklidovském prostoru E4.
9. Na přímce p : x + y + 2z = 1, 3x + Ay — z = 29 nalezněte bod Q mající stejnou vzdálenost od bodů A = (3, 4,11)T a B = (—5, —2, —13)T v euklidovském prostom £3.
10. Nalezněte podprostor C v _E5, který prochází bodem Q = (1,0,1,0,1)T a je kolmý k podprostoru
g    19xi   +11x2   —4x3   +5x4   +x5   = 3 7xi    +2x2 +X4 =   1 .
11. Nalezněte podprostor C v E5, který prochází bodem Q = (—1, 2, 5,1,4)T a je kolmý k podprostoru B danému bodem A = (3, 2,1,1,2)T a vektory u = (7, 2,1,1, 3)T, v = (0,4,-2,1,-1)T.
12. Bodem Q = (2,1, — 3)T v E% veďte v rovině p : 3x — 2y + z = 1 přímku q, která je kolmá k přímce p : (4, 5, 3) + t(—6, 6,1).
13. V £3 nalezněte rovinu p rovnoběžnou s rovinou a : 3x — 6y — 2z + 14 = 0 a mající od ní vzdálenost 3.
14. V £3 nalezněte rovinu p rovnoběžnou s rovinou er:2x — 2y — z — 7 = 0 a mající od ní vzdálenost 5.
15. Jsou dány body A = (—4,1, 2) a B = (3, 5, —1) v £3. Určete bod C, víte-li, že střed dvojice bodů AC leží na přímce p : (1, 0,1) + ŕ(l, 1, 0) a střed dvojice bodů BC leží v rovině p : x — y + 7z + l = 0.
16. Napište rovnici geometrického místa bodů v £3 stejně vzdálených od bodu A = (a, f,a) a bodu B = (0, f,0).
17. Na přímce q : (1,-1,0) + ŕ(l, — 2, — 3) v £3 určrte bod Q mající od roviny p : 2x + y — z + 2 = 0 vzdálenost y/E.
18. Na přímce q : x — y + z — 3 = 0;2x — 3y + 3z + 6 = 0 v E3 určete bod Q mající od roviny p : x — 2y + z — 2 = 0 vzdálenost A=.
44 I. Sbírka úloh z lineární algebry a geometrie
19. Najděte rovinu v E% rovnoběžnou s rovinami p : 3x + 2y — 2z — 3 = 0 a a : 6x + 4y — 4z + 1 = 0, která dělí vzdálenost mezi nimi v poměru 2:3.
20. Odvoďte vztah pro vzdálenost bodu A = (yi, ..., yn) od nadroviny N : a\X\ + • • • + anxn + a0 = 0 v En.