Matice bilineární formy f na vektorovém prostoru V vzhledem k bázi α = (e1, . . . , en) je
taková matice A, která splňuje
f(u, v) = (u)T
αA(v)α.
Jinými slovy, pokud napíšeme vektory u, v v bázi α, tedy jako lineární kombinace
u = a1e1 + · · · + anen
v = b1e1 + · · · + bnen,
hodnotu f(u, v) spočteme jako
f(u, v) = a1 · · · an A



b1
...
bn


 .
Matice A je takto dána jednoznačně a platí, že v i-tém řádku a j-tém sloupci je f(ei, ej).
Příklad 4. Nechť V je vektorový prostor dimenze 2 a α = (e1, e2) nějaká jeho báze. Nechť
f je bilineárni forma na V daná hodnotami na bázových vektorech:
f(e1, e1) = −1 f(e1, e2) = 0
f(e2, e1) = 3 f(e2, e2) = 1
Napište matici A této formy vzhledem k bázi α a matici B této formy vzhledem k bázi
β = (e1 + e2, e1 − 2e2).
Řešení. Matice A má v i-tém řádku, j-tém sloupci hodnotu f(ei, ej), takže můžeme okamžitě
psát
A =
f(e1, e1) f(e1, e2)
f(e2, e1) f(e2, e2)
=
−1 0
3 1
.
Ukážeme si, proč to tak skutečně vyjde. Nechť u, v ∈ V jsou libovolné vektory. Umíme je
napsat jako lineární kombinace prvků z α:
u = ae1 + be2
v = ce1 + de2
S využitím bilinearity f počítáme
f(u, v) = f(ae1 + be2, ce1 + de2) = af(e1, ce1 + de2) + bf(e2, ce1 + de2) =
= acf(e1, e1) + adf(e1, e2) + bcf(e2, e1) + bdf(e2, e2) =
= −ac + 3bc + bd = a b
−1 0
3 1
c
d
.
Tedy matice A = ( −1 0
3 1 ) má skutečně požadovanou vlastnost. (Uvědomte, si že (u)α = ( a
b ) a
(v)α = ( c
d )).
1
Nyní hledáme matici B vzhledem k bázi β = (e1+e2, e1−2e). Prvky β označíme například
˜e1 = e1 + e2
˜e2 = e1 − 2e2.
Matice B má v i-tém řádku, j-tém sloupci hodnotu f(˜ei, ˜ej):
B =
f(˜e1, ˜e1) f(˜e1, ˜e2)
f(˜e2, ˜e1) f(˜e2, ˜e2)
,
zbývá tedy spočítat tyto hodnoty. Protože platí
˜e1 = 1e1 + 1e2 ˜e2 = 1e1 − 2e2,
souřadnice ˜e1 a ˜e2 v α jsou
(˜e1)α =
1
1
(˜e2)α =
1
−2
.
S využitím matice A tak můžeme počítat
f(˜e1, ˜e1) = (˜e1)T
αA(˜e1)α = 1 1
−1 0
3 1
1
1
= 3
f(˜e1, ˜e2) = (˜e1)T
αA(˜e2)α = 1 1
−1 0
3 1
1
−2
= 0
f(˜e2, ˜e1) = (˜e2)T
αA(˜e1)α = 1 −2
−1 0
3 1
1
1
= −9
f(˜e2, ˜e2) = (˜e2)T
αA(˜e2)α = 1 2
−1 0
3 1
1
−2
= −3
Matice B tedy vyjde
B =
3 0
−9 −3
.
2