3. Nechť symetrická bilineární forma / na vektorovém prostoru M4 má ve standardních souřadnicích prostoru M4 vyjádření tvaru
/(x, y) = 2xiy2 + 8xiž/3 + 2x2yi - 2x2y3 - 8x2y4
Metodou stejných elementárních řádkových a sloupcových úprav matice bilineární formy / upravte tuto bilineární formu na diagonální tvar, v němž budou vystupovat pouze koeficienty 1,-1, případně 0, a to v tomto uvedeném pořadí. Najděte alespoň dvě různé báze a, f3 prostoru M4 lišící se od sebe i tehdy, když se na ně hledí jen jako na množiny vektorů, tak aby v souřadnicích vzhledem k bázi a i vzhledem k bázi (3 měla daná bilineární forma / nalezený diagonální tvar.
4. Na vektorovém prostoru ^[x] všech polynomů jedné proměnné x stupně nejvýše 3 nad tělesem M je dána bilineární forma g : WLs[x] x WLs[x] —> M následujícím předpisem. Pro kterékoliv dva polynomy p(x), q(x) z ^[x] je hodnota bilineární formy g na polynomech p(x): q(x) dána formulí
g(p{x),q{x)) = p(l)-qfff(í) + p\ľ)-q"{ľ)
+ p"{l)-q\l)+p"\l)-q{l).
Ověřte, že pak g je symetrická bilineární forma na vektorovém prostoru H^fic]. Najděte matici této symetrické bilineární formy g v souřadnicích vzhledem ke standardní bázi £ = (1, x, x2, x3) vektorového prostoru ^[x]. Metodou stejných elementárních řádkových a sloupcových úprav matice symetrické bilineární formy g upravte tuto bilineární formu na diagonální tvar, v němž budou vystupovat pouze koeficienty 1,-1, případně 0, a to v tomto uvedeném pořadí. Najděte příklad báze 7 vektorového prostoru ^[x] takové, aby v souřadnicích vzhledem k bázi 7 měla bilineární forma g nalezený diagonální tvar.
2