Domácí úkoly ke cvičení č. 6
1. V euklidovském vektorovém prostoru E5, to jest ve vektorovém prostoru M5 se standardním skalárním součinem najděte ke každému z níže uvedených vektorových podprostorů S, T, U, V, W C M5 nějakou jeho ortonormální bázi. Každý z těchto podprostorů je zadán jako lineární obal uvedeného souboru vektorů:
S = [(1, 2, -1,3,1), (5, 2, -1, 7,1), (2, -1, 2, -4, -2)], T = [(2, -3, 2, -2, 2), (2, 5, -5, -2, -4), (3,6, -11,4, -4)], U = [(1, 2, 2, 6,6), (5, 5, -3,11,1), (1, 2, 2,4,8)], V = [(1,1,3, 3,4), (1, 3, -5, -7, -1), (1, -1, 5, 7, -3)], W = [(3, -1, 2,3, -2), (5, -4, -1,4,1), (4,1, -11, -7,11)].
Využijte techniku Grammova-Schmidtova ortogonalizačního procesu s následným normováním vektorů.
2. Ve vektorovém prostoru WL±[x] všech polynomů jedné proměnné x stupně nejvýše 4 nad tělesem M je pro každé dva polynomy f,g E lUfic] definováno reálné číslo
(f,g) = f* f(t)g(t)dt.
Ověřte, že zobrazení WL±[x] x WL±[x] —> M přiřazující každé dvojici polynomů f,g E 1U[íc] takto definované reálné číslo (f,g) je skalární součin na vektorovém prostoru lUfic]. Dále ověřte, že množina polynomů
K = {/Gl4[x]:/(-l)=0 = /(l)}
tvoří vektorový podprostor ve vektorovém prostoru lUfic], a určete jeho dimenzi. Najděte v euklidovském vektorovém prostoru 1U[íc] s výše definovaným skalárním součinem nějakou ortonormální bázi tohoto vektorového podprostorů K.
1
3. V euklidovském vektorovém prostoru E5 jsou dány vektorové podprostory P, Q zadané jako lineární obaly níže uvedených souborů vektorů:
P = [(l, 2,-1,-3,3), (1,-2,3,1,-1)],
Q = [(1, 3, -1, -2, 2), (1, -3, 5,4, -4), (1, 5, 3, -10,10)].
Najděte ortogonální doplňky těchto vektorových podprostorů P, Q v euklidovském vektorovém prostoru E5.
4. Nechť kvadratická forma L : M5 —> M na vektorovém prostoru M5 má ve standardních souřadnicích prostoru M5 vyjádření tvaru
L(x) = (xi+x2)2+(x2+x3)2+ (x3+x4)2+ (x4+x5)2+ (xi+x5)2.
Bez použití diagonalizace kvadratické formy L ověřte, že kvadratická forma L je pozitivně definitní (tedy nikoliv pouze pozitivně semidefinitní). Nechť dále í : M5 x M5 —> M je symetrická bilineární forma na vektorovém prostoru M5 určující kvadratickou formu L v tom smyslu, že pro každý vektor xGl5 platí
L(x) = £(x,x).
Vyjádřete tuto symetrickou bilineární formu í opět ve standardních souřadnicích prostoru M5. Pak ovšem í je skalární součin na vektorovém prostoru M5. Nechť Y, Z C M5 jsou vektorové podprostory prostoru M5 zadané jako lineární obaly níže uvedených souborů vektorů:
Y =[(1,1,1,-1,-1), (1,-1,-1,1,1)],
Z = [(1,1, -1, -1, -1), (1,1, -1, -1,1), (1, -1, -1, -1,1)].
V euklidovském vektorovém prostoru M5 s výše definovaným skalárním součinem l najděte ortogonální doplňky obou uvedených vektorových podprostorů Y, Z.
2
Domácí úkoly ke cvičení č. 7
1. V euklidovském vektorovém prostoru E5 najděte ortogonální projekce vektoru u = (1,2,3,4,5) do vektorových podpro-storů V a W zadaných jako lineární obaly níže uvedených souborů vektorů:
V= [(3,3,2,1,3), (5,1,4,-1,1)],
W = [(1, -3,4, -2, 2), (1, 5, -8, -2,4), (1, -9,16,4, -4)].
(Doporučení: Ve druhém případě najděte nejprve ortogonální projekci vektoru u do ortogonálního doplňku W-1 zadaného vektorového podprostoru W v euklidovském prostoru E5.)
2. V obou následujících případech jsou v euklidovském vektorovém prostoru E4 dány přímka p a rovina p. Přímka p je v obou případech zadána prostřednictvím parametrického popisu, zatímco rovina p je v prvním případě zadána rovněž prostřednictvím parametrického popisu, kdežto v druhém případě je zadána implicitně pomocí níže uvedené soustavy lineárních rovnic:
(a) p : X=[3,5,7,4]+r-(4,-2,-2,l),
p: X = [4,3, 9,10] + s-(4,1, -1, -1) + í-(4, -1,1, -1).
(b) p : X=[l,6,2,4]+r-(2,-l,2,-2),
p :  x\ + X2 — £3 + £4 = 11, X\ + X2 + 3^3 + 3^4 = 57.
V obou případech ověřte, že přímka p a rovina p jsou navzájem mimoběžné, a tedy jsou úplně mimoběžné. Dále v obou případech zjistěte vzdálenost přímky p od roviny p v euklidovském prostoru E4. Nakonec najděte příčku těchto navzájem úplně
1
mimoběžných podprostorů, tedy přímky p a roviny p, na níž se realizuje vzdálenost přímky p od roviny p. To znamená, najděte ty jednoznačně určené body CEp&DEps vlastností, že délka úsečky CD je rovna vzdálenosti přímky p od roviny p.
3. V euklidovském vektorovém prostoru E4 jsou prostřednictvím parametrického popisu zadány dvě roviny
p :  X = [2,0,-l,3] + s-(l,-2,0,l)+7>(2,-3,-2,3), 77 :  X = [2,-1,-2, 9]+ w(3,6,6,-10)+ ^-(4,5,4,-8).
Ověřte, že roviny p a 77 jsou navzájem částečně mimoběžné. Zjistěte vzdálenost roviny p od roviny 77 v prostoru E4. (Doporučení: Vypočtěte nejprve přímo ortogonální projekci vektoru spojujícího rovinu p s rovinou 77 do ortogonálního doplňku součtu zaměření {Z(p) + Z^))1- rovin p a 77.)
4. V euklidovském vektorovém prostoru E4 jsou implicitně pomocí soustav lineárních rovnic zadány dvě roviny
p :  x\ + X2 + £3 + £4 = 9, x\ — X2 — £3 — 2^4 = 37,
77 :  x\ + 3^2 + 3^3 + 4x4 = 40, Xi — 3X2 — 3X3 — 5x4 = 1-
Ověřte, že roviny p a 77 jsou navzájem rovnoběžné, ale nikoliv totožné. Zjistěte vzdálenost roviny p od roviny 77 v euklidovském prostoru E4.
2