Domácí úkoly ke cvičení č. 11
1. Nechť lineární operátor ifj : M 3 —> M3 je ortogonální transformací euklidovského prostoru E3, která je osovou symetrií podle osy procházející počátkem a kolmé k rovině zadané implicitně jako množina všech řešení homogenní lineární rovnice
2x\ + 3^2 + 6x3 = 0.
Najděte matici lineárního operátoru i/j ve standardní bázi vektorového prostoru M3. Rozhodněte, zda tento lineární operátor ip je současně také samoadjungovaným operátorem na euklidovském prostoru E3 či nikoliv.
2. Ve vektorovém prostoru M3 buď dána rovina q procházející počátkem a zadaná implicitně jako množina všech řešení homogenní lineární rovnice
q : 3x\ + 4^2 + 5^3 = 0.
Ověřte, že zobrazení pg : M3 —> M3 přiřazující každému vektoru u G M3 jeho ortogonální projekci pg(u) do roviny g v euklidovském prostoru E3 je lineárním operátorem na vektorovém prostoru M3. Najděte matici tohoto lineárního operátoru pg ve standardní bázi vektorového prostoru M3. Rozhodněte, zda lineární operátor pg je samoadjungovaným operátorem na euklidovském prostoru E3 či nikoliv.
3. Nechť kvadratické formy U, V, W na euklidovském prostoru E3 mají ve standardních souřadnicích vyjádření tvarů
U (x) = xx + x2 + x3 + 4X\x2 + 4xi^3 + 4^2X3, y(x) = 2x\ + 5x2 + 5x3 + 4xiX2 — 4xiX3 — 8X2X3, VF(x) = 3x: + 6x2 + 3x3 — 4xiX2 — 8x1X3 — 4x2X3.
Ortogonální transformací souřadnic převeďte každou z těchto kvadratických forem na diagonální kanonický tvar. Ke každé
1
z uvedených tří kvadratických forem udejte její příslušnou ortonormální polární bázi. Tzn. najděte ortonormální bázi euklidovského prostoru E3, v jejíchž souřadnicích nabývá daná kvadratická forma zmíněného kanonického tvaru.
4. Nechť kvadratické formy G, H na euklidovském prostoru E4 mají ve standardních souřadnicích vyjádření tvarů
G(x) = 2x\ + 2x\ + 2xg + 2x\ + 2x\x2 - 2xixs + 2xix4
+ 2X2^3 — 2X2^4 + 2X3X4,
H(x) = 4x1 + 4x2 — 4:Xix% — 2x\X4 — 2x2X3 + 4x2X4.
Ortogonální transformací souřadnic převeďte každou z těchto kvadratických forem na diagonální kanonický tvar. Ke každé z uvedených dvou kvadratických forem udejte její příslušnou ortonormální polární bázi. Tzn. najděte ortonormální bázi euklidovského prostoru E4, v jejíchž souřadnicích nabývá daná kvadratická forma zmíněného kanonického tvaru.
2