Domácí úkoly ke cvičení č. 2
1. Nechť A4 je nejmenší afinní podprostor v prostoru M5 obsahující body
A = [1,2,-1,0,-2],   B = [2,-1,0,-2,1], C= [-1,0,-2,1,2],   D = [-2,3,-3,3,-1].
Jinak řečeno, nechť Á4 je afinní obal množiny zadaných bodů {^4, 5, C, D} v prostoru M5. Najděte nejprve parametrický popis tohoto afinního podprostoru A4. Odtud odvoďte implicitní popis afinního podprostoru A4 pomocí soustavy lineárních rovnic, tj. najděte soustavu lineárních rovnic nad R, jejíž množinou všech řešení je právě afinní podprostor A4. Navíc zjistěte dimenzi tohoto afinního podprostoru A4.
2. Nechť V je afinní podprostor v prostoru M5 zadaný implicitně jako množina všech řešení soustavy lineárních rovnic
X\ + X2 — X3 + 2^4 + 3^5 = 5, X\ + 3^2 — 2x3 + 6x4 + 2x5 = 9, 2xi + 2x2 — £3 + 2x4 + £5 = 12.
Nechť Q je afinní podprostor v prostoru M 5 zadaný implicitně jako množina všech řešení soustavy lineárních rovnic
xi + 2x2 — £3 + %4 — 2x5 = 3, 2xi — X2 + 3X3 + 2x4 + x$ = 11, 2xi + X2 + 2x3 + 4x4 — 2x5 = 7.
Zjistěte vzájemnou polohu afinních podprostoru V a Q v M5. Zejména určete dimenze podprostoru V a Q a zjistěte, zda jejich průnik V H Q je či není prázdný. Nechť V U Q značí nejmenší afinní podprostor v prostoru M5 obsahující sjednocení uvedených podprostoru V U Q. Najděte implicitní popis tohoto afinního podprostoru V U Q pomocí lineárních rovnic
1
nad R. Určete dimenzi tohoto afinního podprostoru V U Q. (Doporučený postup k nalezení implicitního popisu afinního podprostoru V U Q: Najděte nejprve parametrické popisy obou podprostoru P a Q, odtud zjistěte parametrický popis podprostoru V U Q a z tohoto popisu odvoďte implicitní popis podprostoru V U Q.)
3. Nechť V je afinní podprostor v prostoru R5 zadaný tím, že obsahuje bod S = [4, —4,3,1,-1] a že jeho zaměření Z (V) je generováno vektory
ui = (1,-1,1,0,-1), u2 = (1,-5,-1,4,1), u3 = (2,-3,0,3,-2).
Nechť Q je afinní podprostor v prostoru R5 zadaný tím, že obsahuje bod T = [5, —2,4,1, —2] a že jeho zaměření Z(Q) je generováno vektory
V! = (1,3,3,-3,-1), v2 = (1,-5,-1,5,3), v3 = (3,-1,1,3,-3).
Určete dimenze afinních podprostoru V a Q a zjistěte, zda jejich průnik Vd Q je neprázdný. Je-li tomu tak, pak najděte parametrický popis afinního podprostoru VdQ. Najděte tedy alespoň jeden bod ležící v průniku V n Q, zjistěte, zda zaměření Z(Vn Q) tohoto afinního podprostoru je nenulové, a je-li nenulové, najděte nějakou jeho bázi. Pomocí těchto údajů pak užitím parametrů vyjádřete všechny body afinního podprostoru V n Q. Určete dimenzi afinního podprostoru V n Q a stanovte vzájemnou polohu afinních podprostoru V a Q v M5. (Doporučení k výpočtu průniku VdQ : Najděte nejprve implicitní popisy obou podprostoru V a Q pomocí soustav lineárních rovnic nad R. Spojením těchto dvou soustav obdržíte soustavu, která, má-li řešení, je implicitním popisem podprostoru V n Q.)
2
4. V prostoru M4 nechť je prostřednictvím parametrického popisu zadána přímka
h: X= [1,2,-1, 2]+w(l, 1,-1, 2),
a dále nechť je implicitně pomocí soustavy lineárních rovnic zadána rovina
ů : x\ + X2 + £3 + £4 = 7, £1 +7^2 + 3^3 + 6x4 = 2.
Najděte v prostoru M4 přímku £ procházející bodem
C =[4,-1,2,2]
a protínající současně přímku h i rovinu Najděte také průsečíky této přímky l s přímkou h i s rovinou ů.
5. V prostoru M4 nechť jsou prostřednictvím parametrického popisu zadány přímky
p: X=[l,2,l,2] + S-(l,-l,-l,l), q: X=[2,l,2,l]+Í-(1,1,-1,-1),
a dále nechť je implicitně pomocí soustavy lineárních rovnic zadána rovina
77 : x\ — X2 — £3 + £4 = 2, X\ + X2 + £3 — 2^4 = 1-
Najděte v prostoru M4 přímku r rovnoběžnou s přímkou j9 a protínající současně přímku q i rovinu 77. Najděte také průsečíky této přímky r s přímkou q i s rovinou 77.
3
Domácí úkoly ke cvičení č. 3
1. V každém z následujících případů určete vzájemnou polohu afinních podprostorů V a Q v prostoru M5. Každý z podprostorů V a Q je pokaždé zadán buďto parametrickým popisem, anebo implicitně pomocí soustavy lineárních rovnic nad R. V každém z uvedených případů dále určete dimenzi spojení V U Q podprostorů P a Q, a nejsou-li tyto podprostory navzájem disjunktní, určete též dimenzi jejich průniku V n Q.
(a) P: X = [0,-7,0,-4,9]
+s-(l,-l,l,l,3) + í-(l,-2,-l,-2,2),
Q : X= [0,1,0,0,9]
+w(l, 1, -3, -3,1) + v(l, 2, -1,0, 2).
(b) V: X= [0,-1,0,4,1]
+S-(l,2,4,0,-2) + í-(4,-l,-4,0,7),
Q ■ X = [2,-3,1,4,0]
+w(2,3, -1,0, 4) + v(l, -5, 2,0, -3).
(c) V : X = [2, -6, 5, -8,1] + r-(2, -8,3, -5,1),
Q :   xi + x2 + 2x3 = 6,
X\ — X2 — 4X3 — 4x4 + 2x5 = 2, 5xi + 3x2 + 2x3 + 2x4 — 2x5 = 4.
(d) V: X= [l,l,l,l,l]+r-(l,2,-l,3,l),
Q :	Xi + 4X2 + 2X3 — ^4	-4x5 =	8,
	Xi + 4X2 + 4X3 — %4	- 2x5 =	8,
	3xi + 2X2 + 2X3 — %4	- 2x5 =	6.
P :	X\ — X2 — 2X3 — 3X4	=	-5
	X\ + X2 + 3X3 + 6X4	-3x5 =	7,
	x3 + x4	- x5 =	0,
1
Q :   x\ — 3x2 — %3 + 2^4 + 2^5 = 6, 3x\ — 3x2 — %3 + 2x4 = 4,
4^2 + 2x3 — X4 — 2x5 = 5.
2. V prostoru M4 nechť jsou implicitně pomocí soustav lineárních rovnic zadány roviny
p :   x\ — 6x2 — 9x3 + X4 = 7, 3x\ + 2x2 + 5x3 — X4 = 1,
77 :   xi + X2 — X3 — X4 = 4, 3x\ — 2x2 + 5x3 + 4x4 = 24.
Najděte v prostoru M4 přímku p procházející bodem
G = [2,-1,6,5],
rovnoběžnou s rovinou p a protínající rovinu 77. Najděte také průsečík této přímky p s rovinou 77.
3. V prostoru M4 nechť jsou prostřednictvím parametrického popisu zadány přímky
q: X= [3,2,3,8]+w(l, 2,-1,-2), r: X = [1,1,9, 5] +v(2,1,-2,-1),
a dále nechť je implicitně pomocí soustavy lineárních rovnic zadána rovina
ů :    x\ + X2 — X3 — X4 = 1, 2xi + X2 + 2x3 + 3x4 = 9.
Najděte v prostoru M4 přímku h rovnoběžnou s rovinou ů a protínající obě přímky q i r. Najděte také průsečíky této přímky h s oběma přímkami q i r.
2