Obecný postup pro afinní zobrazení f : An → Am K získání souřadnicového vyjádření afinního zobrazení f : (X ) = A(X) + B je potřeba n+1 údajů. Matice A má n sloupců a m řádků, matice B je sloupcová (má m řádků). Matici B můžeme také interpretovat jako obraz počátku Pn v daném zobrazení f. Afinní zobrazení f v zásadě zadáváme dvěma způsoby: 1. Pomocí n + 1 nekolinearních bodů z An a jejich jejich obrazů. Vzory po řádcích sepíšeme do matice, přidáme sloupeček jedniček a za čáru zapíšeme k příslušným bodům jejich obrazy. Levou stranu upravíme na jednotkovou matici En+1, za čarou nám prvních n řádků určí matici AT , poslední řádek je pak BT .      X1 1 X1 ... ... ... Xn 1 Xn Xn+1 1 Xn+1      ∼ · · · ∼     E A trans. B trans     2. Pomocí n lineárně nezávislých vektorů ze Z (An) (tedy vlastně nějakou bázi) a jejich obrazů v asociovaném lineárním zobrazení ϕf a jednoho bodu z An a jeho obrazu. Mezi zaměřeními zadaných podprostorů An a Am existuje asociované lineární zobrazení ϕf : u = Au, přičemž matice A je pro f a ϕf shodná. Dostaneme ji tak, že vlevo od dělící čáry do řádků zapíšeme vzory, napravo jejich obrazy. Pokud tuto dvojmatici upravíme tak, aby vlevo byla jednotková matice En, vpravo vyjde AT . Psaní do řádků je univerzální, narozdíl od sepisování po sloupcích lze použít vždy.    u1 u 1 ... ... un u n    ∼ · · · ∼ En|AT Po získání matice A už k určení matice B stačí dosadit bod a jeho obraz do maticové rovnice (X ) = A(X) +    b1 ... bm    , z níž jednoduchým roznásobením dostaneme přímo čísla b1 až bm. Tento druhý postup se hodí zejména u shodností a jiných afinních zobrazení, u kterých známe vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory. V těchto případech se k dopočítání matice B hodí užití nějakého samodružného bodu. 1 Vyjádření některých afinních zobrazení Rovnoběžná projekce ve směru s do nadroviny N Rovnoběžná projekce je dána nadrovinou N samodružných bodů a směrem projekce s /∈ Z (N). Pro každý bod X získáme X následovně: bodem X vedeme přímku p ve směru s a určíme její průnik s danou nadrovinou. Tento průnik je hledaným X , tj. X = N ∩{X, L(s)}. Rovnoběžná projekce je zobrazení o hodnosti h = n − 1. Prvky pro sestrojení souřadnicového vyjádření zvolíme následovně: 1. Zvolíme n nekolineárních bodů v nadrovině N. Tyto body jsou samodružné. Pro jeden bod mimo N sestrojíme obraz podle definice. 2. Vybereme n − 1 vektorů, které tvoří bázi Z(N). Jedná se o nadrovinu samodružných bodů, a tedy všechny vektory jejího zaměření jsou vlastní, příslušné vlastnímu číslu 1. Ve ϕf se zobrazí samy na sebe. I vektor s je vlastní, příslušný vlastnímu číslu 0, tj. s = o. K dopočítání matice B použijeme některý ze samodružných bodů z N. Základní afinita s charakteristikou Je určena nadrovinou N samodružných bodů a párem odpovídajících si bodů B, B , přičemž −−→ BB /∈ Z(N). Charakteristikou nazýváme číslo (B0; B, B ), což je vlastně vlastní číslo příslušné vlastnímu vektoru −−→ BB . 1. Máme pár odpovídajících si bodů B, B . Zbylých n bodů vybereme z N samodružných bodů. Pozor, aby byly nekolineární. 2. Vektorům ze Z(N) přísluší vlastní číslo 1. Vektor −−→ BB se zobrazí na svůj (B0; B, B )násobek. Potřebný bod vezmu samodružný, z nadroviny SB. Složitější. Je-li (B0; B, B ) = −1, a přitom −−→ BB ⊥ Z(N), nazýváme tuto afinitu šikmá symetrie. Šikmou symetrii nacházíme například u elipsy. Každá elipsa je šikmo symetrická podle každého svého průměru ve směru průměru k němu sdruženému. Elace-základní afinita bez charakteristiky Je určena nadrovinou N samodružných bodů a párem odpovídajících si bodů B, B , přičemž −−→ BB ∈ Z(N). 1. Máme pár odpovídajících si bodů B, B . Zbylých n bodů vybereme z N samodružných bodů. Pozor, aby byly nekolineární. 2. Nevhodné. Stejnolehlost Dána středem S a koeficientem κ. Střed S je jediným samodružným bodem. Pro všechna X = S je −−→ SX = κ −→ SX. Všechny směry jsou tedy vlastní, příslušné právě vlastnímu číslu κ. 1. Máme jeden samodružný bod S, zbylých n bodů musíme zobrazit podle definice, tj. rozepsáním X − S = (X − S)κ → X = κX + (1 − κ)S, čímž jsme už našli vyjádření stejnolehnosti, aniž bychom těchto n bodů vlastně potřebovali. 2 2. Všechny směry jsou vlastní, tedy matice A bude diagonální, na diagonále bude právě κ. K dopočítání B použijeme střed S. NĚKTERÉ SHODNOSTI Shodnosti mohou mít vlastní čísla pouze ±1, případně dvojice komplexně sdružených komplexních čísel, které jsou ale taktéž komplexními jednotkami. Podprostory, které tato vlastní čísla určují jsou navíc navzájem kolmé. Posunutí Je určeno (nenulovým) vektorem u. Každému bodu X přiřazuje bod X = X + u, a žádný bod tedy není samodružný. Naopak Všechny směry samodružné jsou, přísluší vlastnímu číslu +1. Matice A je proto jednotková. Matice B je obrazem počátku, a tedy její koeficienty jsou přímo souřadnice vektoru posunutí. Symetrie podle podprostoru B Obecně: Je zadán podprostor samodružných bodů Bk dimenze k < n. Zaměření tohoto prostoru tvoří vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu 1. Vektorový podprostor k němu totálně kolmý tvoří vlastní vektory příslušné vlastnímu číslu −1. Připomeňme, jak jednoduše získat bázi totálně kolmého podprostoru. Je-li B zadán neparametricky (soustavou rovnic), určují koeficienty u xi v jedné rovnici souřadnice jednoho vektoru ze zaměření B⊥ . Máme-li naopak B zadán pomocí báze, použijeme každý z bázových vektorů pro vytvoření jedné z rovnic zadávajících zaměření. Pro všechny body X /∈ B najdeme X následovně: bodem X vedeme podprostor B⊥ . Zjistíme bod X0 = B ∩ B⊥ . Pro X pak platí −−→ XX0 = − −−−→ X X0. Nejlepší je, prochází-li B počátkem: Protože je počátek samodružným bodem, matice B zmizí. 1. Zvolíme k + 1 nekolineárních bodů v B. Zbylých n − k bodů volíme mimo B a zobrazíme podle postupu výše. Postup usnadní, zvolíme-li si za jeden z těchto bodů počátek souřadnic. Pozor na to, aby byly v obecné poloze! Hodí se vlastně jen pro symetrie podle nadroviny. Čím větší rozdíl n − k, tím horší. Lepší je: 2. Zvolíme bázi Z(B), jejíž vektory se zobrazí samy na sebe, a bázi Z(B⊥ ), jejíž vektory se zobrazí na vektory opačné. Pro získání matice B dosadíme nějaký samodružný bod z B. SYMETRIE V E2 a E3 • Rovinná symetrie v E3 Zadána rovinou samodružných bodů (rovinou symetrie), vektorům jejího zaměření přísluší vlastní číslo +1. Má i další vlastní vektor kolmý na zaměření roviny, příslušný vlastnímu číslu -1. Jedná se o nepřímou shodnost. 1. Tři (nekolineární) body vybereme samodružné v rovině (A = A , B = B , C = C ). Čtvrtý bod D vybereme mimo rovinu a zobrazíme podle pravidel symetrie (vedeme bodem D kolmici k ⊥ , zjistíme bod D0 = k ∩ , −−−→ D D0 = − −−→ DD0). Pokud rovina neprochází počátkem [0, 0, 0], hodí se volit za bod D právě jej. 2. Vektory zaměření se zobrazí v asociovaném lineárním zobrazení samy na sebe (vybereme z nich libovolně dva lineárně nezávislé), směr k němu kolmý se zobrazí na vektor opačný. Za bod volíme některý ze samodružných bodů, tj. bodů roviny . 3 • Osová symetrie v E2 Zadána přímkou p samodružných bodů (osu symetrie), jejímuž směrovému vektoru přísluší vlastní číslo +1. Má i druhý vlastní vektor kolmý na směr přímky, příslušný vlastnímu číslu -1. Jedná se o nepřímou shodnost. 1. Dva body vybereme samodružné na přímce p (A = A , B = B ). Třetí bod C vybereme mimo přímku a zobrazíme podle pravidel symetrie (vedeme bodem C kolmici k ⊥ p, zjistíme bod C0 = k∩p, −−→ C C0 = − −−→ CC0). Pokud přímka p neprochází počátkem [0, 0], hodí se volit za bod C právě jej. 2. Směr přímky se zobrazí sám na sebe, směr k němu kolmý na vektor opačný. Za bod volíme některý ze samodružných bodů, tj. bodů na přímce p. • Symetrie podle přímky p v E3 Zadána přímkou p samodružných bodů (osu symetrie), jejímuž směrovému vektoru přísluší vlastní číslo +1. Dále má vektorovou rovinu vlastních vektorů kolmou na směrový vektor osy, příslušných vlastnímu číslu -1. Jedná se o přímou shodnost. 1. Zvolíme dva samodružné body A = A , B = B na p. Zvolíme bod C /∈ p, vedeme jím pomocnou rovinu kolmou na p, zjistíme C0 = ∩ p a dopočítáme C . Bod D je nejlepší volit ne náhodně, ale také v rovině , je pak totiž D0 = C0, a odpadne nám jeden krok. Velký pozor je třeba dát na volbu nekolineárního D, je-li C0 = A ∨ C0 = B. 2. Směrový vektor u = (u1, u2, u3) přímky p se v asociovaném lineárním zobrazení zobrazí sám na sebe. Všechny vektory x = (x1, x2, x3) příslušné vlastnímu číslu -1 (zobrazí se na vektor opačný) pak vyhovují rovnici u1x1 +u2x2 +u3x3 = 0, vybereme nějaké dva lineárně nezávislé. Matici B určíme pomocí nějakého samodružného bodu na přímce p. • Středová symetrie v E2 Je dána jediným samodružným bodem, středem S. Všechny směry jsou vlastní, příslušné vlastnímu číslu -1. Jedná se o přímou shodnost. 1. Máme samodružný bod S, k němu vybereme další dva body A, B (pozor, aby A, B, S neležely na jedné přímce). Ty zobrazíme podle pravidla −−→ X S = − −→ XS. 2. Všechny směry jsou samodružné, matice A je diagonální s dvěma -1 na diagonále. Ke zjištění B dosadíme střed. • Středová symetrie v E3 Je dána jediným samodružným bodem, středem S. Všechny směry jsou vlastní, příslušné vlastnímu číslu -1. Jedná se o nepřímou shodnost. 1. Máme samodružný bod S, k němu vybereme další tři body A, B, C (pozor, aby žádné tři neležely na jedné přímce). Ty zobrazíme podle pravidla −−→ X S = − −→ XS. 2. Všechny směry jsou samodružné, matice A je diagonální se třemi -1 na diagonále. Ke zjištění B dosadíme střed. 4