Zkoušková písemka z Geometrie 3
Varianta A
Datum: 26. 5. 2016
Jméno a UČO:
1 2 3 4 Σ
1) (5 × 1 b.) Udejte příklad (pokud takový příklad neexistuje, podejte stručné vysvětlení, proč):
(a) homotetie v A3, která není stejnolehlostí;
(b) podobnosti s modulem m = −64;
(c) elace v A2;
(d) afinního zobrazení A2 do A2, ke kterému neexistuje inverzní zobrazení;
(e) involutorní shodnosti v E3.
2) Afinní zobrazení f : A3 → A3 je zadáno obrazem bodu A a obrazy lineárně nezávislých
vektorů u1, u2, u3 v příslušném asociovaném lineárním zobrazení ϕf :
A = [1, 2, −1] f(A) = [0, 6, 0]
u1 = (0, −3, −4) ϕf (u1) = (−4, −1, 9)
u2 = (3, −3, 0) ϕf (u2) = (6, −6, −6)
u3 = (2, −3, 1) ϕf (u3) = (5, −9, −8)
(a) (2 b.) Vyjádřete zobrazení f rovnicemi vůči standardní bázi.
(b) (1 b.) Určete samodružné body zobrazení f.
(c) (3 b.) Určete rovnice zobrazení f v repéru X; v1, v2, v3 , kde v1 = (2, 1, 0), v2 = (1, 0, 1)
a v3 = (0, 0, −3). Bod X zvolte tak, aby tyto rovnice neměly žádné absolutní členy, a svou
volbu zdůvodněte.
3) V E3 je rovnicemi zadána podobnost h.
h : x = x + y + z
√
2 +
√
2
y = x + y − z
√
2 −
√
2
z = x
√
2 − y
√
2 + 1
(a) (2 b.) Určete samodružné body, vlastní čísla a vlastní vektory podobnosti h.
(b) (2 b.) Rozložte podobnost h na stejnolehlost s se středem v počátku souřadného systému a
shodnost σ.
(c) (2 b.) Klasifikujte shodnost σ a uveďte konkrétně její určující prvky.
4) (3 b.) Je dán rovnostranný trojúhelník ABC a kružnice k(O, r), kde k leží ve vnější oblasti
trojúhelníka ABC a k ∩ ABC = ∅. Určete všechny přímky p AB takové, že je velikost
tětivy, kterou vytíná přímka p na kružnici k, stejná jako velikost úsečky vyťaté přímkou p na
trojúhelníku ABC. Napište jen rozbor, stručný postup konstrukce a možné počty řešení úlohy.
Řešení
2. (a)
f : x = 2x + z − 1
y = x + 3y − 2z − 3
z = −x + y − 3z − 4
(b) X = [11
3
, −3, −8
3
], počátek repéru v dalším podúkolu.
(c)
f : x = 5x − y + 6z
y = −6x + 5y − 15z
z = −
5
3
x + 3y − 8z
3. (a) λ1,2 = 2, u1 = (1, 1, 0), u2 = (
√
2, 0, 1);
λ3 = −2, u3 = (−
√
2,
√
2, 2)
X = [−2
√
2
3
, 2
√
2
3
, −5
3
]
(b)
s : x = 2x
y = 2y
z = 2z
σ : x =
1
2
x +
1
2
y +
√
2
2
z +
√
2
y =
1
2
x +
1
2
y −
√
2
2
z −
√
2
z =
√
2
2
x −
√
2
2
y + 1
(c) Zobrazení σ je rovinovou souměrností s rovinou samodružných bodů
: X = −
2
√
2
3
,
2
√
2
3
, −
5
3
+ s(1, 1, 0) + t(
√
2, 0, 1)
.
4. Viz Petáková, 80/47; až tři možná řešení.