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SUR UN POINT DE LA THEORIE DES FUNCTIONS GENERATRICES D'ABEL
Dans les Sitzungsberichte de 1'Academie de Berlin pour 1'année 1885 Weierstrass a démontré un théorěme auquel on attribue une grande importance, ä savoir que tonte fonction continue d'une variable reelle pent, pour toutes les valeurs de cette variable contenues dans un intervalle fini, étre representee par une série uniformément convergente dont les termes sont des fonctions entiěres.
Présenté sous sa forme la plus simple ce théorěme n'a apporté rien de nouveau ä ceux qui avaient accepté sans critique la méthode d'inter-polation pour les fonctions arbitraires. Mais cette derniěre méthode n'etant pas établie avec une rigueur süffisante, le théorěme de Weierstrass signifie un grand progres dans la théorie de la representation analytique des fonctions, malgré la circonstance que sa méthode parait échapper ä la pratique.
Dans deux notes qui ont paru dans les mémoires de 1'Académie de Prague1 j'ai fait usage du théoréme de Weierstrass pour établir un théorěme fundamental de la théorie des fonctions generatrices d'äbel, dé-finies par les integrales de la forme
PAR
M. LEECH
á FRIBOUBG (SUI8SE).
00
(»>
0
1 Rozpravy české Akademie, 2e classe, T. I, n° 33 (1892) et T. n, n° g (1893).
Acta mathemalica. 37,  Imprimé le 22 Janvier 1903,
340
M. Leroh.
la fonction (determinante) y>(%) étant supposée indépendante de la quantité a. Dans son memoire posthume1 le grand geometre ne s'est pas borné ä cette forme speciale des functions generatrices, mais c'est cependant eile qui avait surtout attire l'attention des géomětres. Nous verrons qu'ä une fonction génératrice donnée ne corresponde pas toujours une fonction determinante, mais notre attention est consacrée surtout ä la question si, lorsque la determinante existe, elle soit unique. C'est en effet cette question qui parait la plus importante pour les applications et nous avons démontré, dans les notes citées, que la réponse est affirmative. Mais 1'equation en question
CO 00
(2) f e~ax(px{x)dx — j"e~aIfi(x)dx
0 0
revenant a la suivante
(20) fe~"f(x)dx = o
0
oú <p(x) = fi(a?) — <fi{%), nous sommes amenés ä la question quand l'in-tégrale J(a) s'annule. Nous verrons que si l'equation J [a) — o est satis-faite par une infinite de valeurs positives de a qui forment une suite arithmétique a = h + km (m = o, 1 , 2 , ...), on aura en general y(x) = o, une exception ne pouvant se presenter que pour des valeurs de % qui constituent un certain ensemble intégrable. C'est de ce théorěme general que résulte 1'impossibilité de mettre sous la forme (1) les fonctions
sinAa, costo, r(t^_fay fi>°),
car elles possědent une infinite de zeros positifs qui forment des series arithmétiques.
1 Oeuvres, edition Stlow et Lie, p. 67 et suiv.
Sur un point de la theorie das fonctious generatrices d'Abel.
341
I.
Je commence l'exposition des resultats annonces par une demonstration elementaire du th6oreme de "Weierstrass. Celle que j'avais adoptee en 1892 consiste en ce qu'on iuscrit ä la courbe qui represente geometriquement la fonction y = f{x) une ligne brisee polygonale ä des arretes suffisamment petites et qu'on developpe la fonction definie par l'ordonnee de cette ligne polygonale d'apres le theoreme de Fourier. Mais le point de vue sous lequel je me place aujourdhui est que le theoreme de Weierstrass est d'une nature plus elementaire que les raisonnements classiques par lesquels Lejeune-Dirichlet avait etabli le developpement de Fourier et que, dans un enseigne-ment eonvenablement arrange, on peut pour les applications analytiques les plus elegantes substituer au theoreme de Fourier un autre plus particulier et plus facile ä etablir. L'espace me manque pour en parier davantage et je me borne a, indiquer succinctement la demonstration que j'ai en vue.
Au moyen des formules
go
i             \->> sin zuxTt  ,    .     . , --X = > -£=—, (o < X < I) ,
et
x ■—X
CO
.   I        XCOS 2UXTI    .    ^       . v
+ 6 = E^u^'(°s«;<o;
on verifie aisement que sous les hypotheses o <I x± < xt < 1 1 'expression suivante
, sin 2vtt(x — x,) — yt sin 2vn(x —x3)
(3)   ^(O^-S^-^ + ^ + t^
\   Villi/ »=1
_i y, — yl vpv cos 2vn(x — sc,) — cos 2vt[x — xt)
2x. — *. '
represente la fonction Hneaire
»1 — s,
342
M. Leich.
lorsque la variable x est interieure ä l'intervalle (x, ... xt), tandis qu'elle se reduit ä zero pour les points qui lui sont exterieurs en restant interieurs ä l'intervalle (o... i). La representation geometrique de la fonction (3) se compose done du segment de droite M^M? qui joint les points M^x^ , y,) et M1(x2, y,) et de deux segments de l'axe des abscisses (o ... xx) et (x2... 1).
Cela etant, soient x0, a;1 , xt, ..., xn des quantites reelles qui satisfont aux inegalites
o < x0 < x-t < x2 < ... < xx_j < xn < i ,
et faisons-leur correspondre des quantites reelles choisies ä volonte y0 , yx, ?/2 ,...,«/„. On aura de la sorte dans le plan n + 1 points Ma aux co-ordonuees respectives xa et ya (a — o , 1,2,...,«), lesquels definissent une ligne brisee polygonale M^M^M^... Mn que je designe par L. La somme suivante des quantites telles que (3)
est, en general, egale a l'ordonnee du point de la ligne L correspondant a l'abscisse x.   Une exception pourra avoir lieu pour les points des inter-valles (o ... x0) et (xn ... 1) oh la quantite y s'annule, et aux sommets -M0Jf, ... Mn de la ligne L. Je designe par
cette quantite y et j'observe que l'on a
LI   x,xx     xn\    i + ya+1)(xa+1 — xa)
\ I VoVi ■ ■ ■ yJ  2 «-•
1       V, sin 2vk(x — x„) — yn sin 2vx(x — xn)
I -^>,    i    n—1
Sur un point d« la theorie des fonctions generatrices d'Abel. 343 Ici eVidemment le second membre reste continu tant que x„ < x < xn, d'ou
il suit que la quantite L\ % j donne l'ordonnee de la ligne L meme
V Vo---yJ
aux points MxM2 ... Mn_x. j3ous l'hypothese x„ < x < xn on peut effectuer la sommation de la premiere sdrie et il vient
(4)
L\x X"Xl " ' "*) = (- ~x + x0) y0 + (- ~xn + x) y„ + + y«+i)(aJ«+i — *«)
2 12 = 0
CO H—1
+ - V T—t V" ^±LZlMl [cos 2V7r(x-Xa+l)-cos 2V7t(x-Xa)} .
2 V*7t   j-* Xa+i -Xa +
Je prendrai desormais I , de sorte que la ligne L recouvre
tout l'intervalle (o ... i) et j'observe que le second membre reste continu dans tout cet intervalle sans exception. Cette expression (4) sera alors partout e"gale a l'ordonnee de la ligne L.
Ce point £tabli, la demonstration du the'oreme de Weierstrass s'acheve comme dans ma note de 1892. Soit en effet f(x) une fonction continue, d6f inie dans l'intervalle (o ... 1), choisissons sur la ligne qui repr&ente cette fonction un nombre assez grand de points suffisamment approches M1Mi... Mn^x et soient xx <«2< ... <#„_i leurs abscisses, en supposant xt> o, xn_t < 1. En prenant encore x0 = o et x„ = 1 et posant ya = f(xx), la quantity (4) formee au moyen de ces valeurs-la sera telle que la difference
/   XM ...xn\
sera en valeur absolue plus petite qu'une quantite ^ donne*e d'avance.
Oela etant, arr^tons la serie infinie qui figure au second membre de (4) et qui est uniformement convergente, a un nombre fini k de termes, dont on dispose de la sorte que le reste de la serie qu'on obtient ainsi soit en valeur
absolue plus petit que -; en designant par Lt{&) la quantite qui resulte
3
de (4) en supprimant le reste en question, on aura done
\L{x)-Lt(x)\<\,
344 M. Lercb.
et l'inegalite pr£c4dente
\f{x)-L{x)\<\
permet de conclure
\ftz)-Lt(z)\<^. La quantite Lt{x) est une expression finie de la forme
Lt{x) = (f(o)-f( 1 ))0-^ +       + 2 (ACOS + B,Sin 2VX7T)
et on a par consequent ce th^oreme que toute fonction continue dans l'intervalle (o ... i) peut fitre representee, avec l'approximation donnde, par une expression telle que Lt(x). Sans m'arr^ter a des applications qui ont quelque importance me*thodique je me borne a observer que Lt(x) etant une fonction transcendante entiere, on pourra arr^ter son developpement par la serie de Mac Laurin a un certain nombre de termes de la sorte
que le reste sera, pour o < x < i, plus petit en valeur absolue que - .
La fonction Lt(x) sera ainsi remplacee par la fonction rationnelle entiere G(x) telle que
\Lt{x)-G{x)\<^
et il s'ensuit
\f(x) — G{x)\<d.
Done, f(x) etant continue dans tout l'intervalle (o ... i), on pourra prendre, le long de cet intervalle, G(x) comme la valeur approche*e de f{x), l'erreur etant dans tout cet intervalle plus petite que 3, e'est a dire qu'une quantity donnee d'avance. (Test le theoreme de Weierstrass sous sa forme la plus simple.1
1 Je me reserve de revenir sur le role que jouit la fonction L[x la theorie de la representation des fonctions discontinues.
y, • • • y,
dans
Sur im point de la theorie des fonctions generatrices d'Äbel.
345
IL
Soit maintenant y>{%) une fonction r6elle de la variable reelle x, de-finie dans tout l'intervalle (o ... co) et telle que l'int6grale
00
(5) J[a) = / <r**9{x)dx
0
existe pour une certaine valeur a — c. Je verifie d'abord quelle existe alors pour toute valeur de a plus grande que c. En effet, «/(«) est la limite pour w infini de la quantity
J{a,w) = f e~ax<p{x)dx,
0
et en posant a — c -f- a', a' > o, puis
X
<l>{%)= f e~"<p{z)ds,
0
<p{x) sera finie et continue et la limite pour X infini est, par hypothese, une quantitd bien determince J(c). On en conclut en integrant par parties l'equation
w
J(a,w) =- </>{w)e-"'w + a'f <p[x)e-"'xdx
0
d'oü pour w infini
00
(5°) J [a) = (a — c)fe-{a-c)x<p{x)dx,
0
ce qui demontre 1'existence de J (a).
Si la fonction J(a) s'evanouit pour une infinite de valeurs positives formant une suite arithmetique a = b + p.a (^=1,2,3,...), il resulte de (50) que l'integrale
CD
j e~a'x<p{x)dx 0
Ada matlwnaticii.  27.  Impiim« le 26 janvier 1903. 44
346 M. Lerch.
s'evanouira pour les valeurs a' = b — c -f- iia egalement en suite arithmetique et Ton aura
f(T^er^^(x)dx = o 0.-1,»,^...)
0
equation qui apres la substitution e~ax = s prend la forme
i
(6) ff-lx(*)to = o, 0.-1,*,!,...) en posant pour abre"ger
b—c
^(^) = e~108>Qlogij.
Cette fonction est eVidemmcnt finie et continue dans 1'intervalle (o ... i) puisqu'elle est infiniment petite avec z, c'est ii dire pour x infini, si Ton suppose, ce qui est permis, que b> c.
Cela etant, choisissons une constant* d d'une petitesse arbitraire et formons la fonction rationnelle entiere G(z) dont l'existence a etc etablie plus haut, c'est a dire telle que Ton ait
\x{e)-G(z)\<3;
posant
0(e) = a0 + axz +      + ... + amzm, ecrivons l'inegalite precedente sous la forme
(7) =*(*) — *>,(—1<#<0,
ou & est evidemment une fonction continue.
Cela etant, on tire de l'equation (6) en y faisant successivement fx = i , 2 ,..., m -f- i et ajoutant apres avoir mnltiplie par a0, ax, tf2,..., am, liquation suivante
fx(z)G(*)dz = o.
0
Faisant usage de la valeur (7), j'en tire
Sur un point de la théorie des functions generatrices d'Abel. 347
d'ou enfin
fzWde<df\x[z)\dz.
0 9
Cotte inégalité devient impossible, si %(si) n'etant pas identiquement nulle, on prend pour d une quantité plus petite que le quotient
fxWde: f\X(*)\dg.
0 0
II faut done que Ton ait partout x(s)~°> ce <lu^ donne <l>(x) = oi e'est a dire
x
fe~"<p{s)ds = o
0
pour chaque valeur positive de x. Cela exige que Ton ait, tout au plus a l'exception d'un certain ensemble intégrable, partout p(x) = o.
On vient de démontrer le théorěme d'importance capitale annoncé plus haut, et qui s'exprime:
»Si 1'intégrale définie
DO
J (a) = J" e~ax<p(x)dx
0
correspondant ä une fonction determinante <p(x) intégrable, continue ou discontinue, existe pour une certaine valeur de a, elle existera pour toute valeur plus grande. Elle ne pout pas s'annuler pour une infinite de valeurs positives de a qui forment une suite aritbmétique sans que Ton ait identiquement J(a)=o et, en general, p(x) = o.»
Soit maintenant f(a) une fonction de la variable reelle et positive a, qui a partir d'une certaine limite reste finie pour chaque valeur finie de a sans étre identiquement nulle.   Alors les produits
f{a) sin ha, f( a) cos ha,     ^_ ,
formes ä l'aide d'une constante positive k, ne pourront pas étre mis sous la forme de 1'intégrale (5) pour a variable et illimité, car ces fonctions de a possědent une infinite de zeros formant une suite arithmétique.
348 M. Lerch.
Soit maintenant J{a) 1'integrale (5), je dis que si l'equation
{a + r)'J(a) = *
peut etre satisfaite pour une infinite de valeurs <le a formant une suite aritkmetique, k ,r, s etant des constantes dont la derniere soit positive, on aura necessairement
Car en effet notre equation s'ecrit
et le reste de la demonstration est evident.
II y a des propositions analogues au sujet des expressions
et plusieures autres.
III.
Les applications du thcoreme fondaraental qu'on vient d'etablir sont noaibieuses, mais l'espace manquant, je me borne a une seule. Je veux obtenir la valeur de 1'integrale
GO
0(u,e)= jsin (j + suxyr+d*
pour £ = + 1, u etant reel et positif, tandis que s peut etrc eomplexe, mais sa jjartie reelle restant positive et ne depassant pas deux. Pour ce but je considere la fonction generatrice
CP
./=/ <P[u)e-axdu
0
Sur tin point de la theorie des fonetions generatrices d'Abel. 349 qui a pour valeur, comme cela se voit aisement, 1'integrale de'finie suivante
J = S cos — 2
0 0
En faisant usage de Fidentite
__J_= _L_ ___!_\
(a1 + x*Xi + x*)    a'— a*+ W''
puis employant les formules
/" _ w8-'2 C x'dx _
v 2 sin — «-
TIC'"
2 sin— «-' 2 cos —
pour c = « et pour c = i, nous aurons
J=-2.jiri[(a + e)-(i+e)ar
ou bien
2 \a— s     a'— i / Dans le cas oil e = — i on a
J = -—J— = - f e-aue-"du, 2 a + i     2 J '
ce qui démontre la formule de Cauchy
OB
(8) J sui ^T-«0J j —-j—5 = - c («>o).
0
Le deuxieme cas, oil £ = i, donne le résultat un peu plus compliqúé
j^-U—24-~)
2 \a — i        a'— \j
•3D
_ 71 I I
350 M. Lerch.
et il s'ensuit la formule que nous avons obtenue daus le second mémoire cité plus haut
x.
91 sin--h ux —-—, = - e" — x > -=rr---r.
0
En ajoutant et retranchant avec la formule precedente on obtient
CO
.    SX   ľ COS UX    .i  7 , ci
2sin— / t------.x   ax — 7rcosnvpu — no
2 J   l+X J1
o
00
S7T  l sin ux   ,_, , .   , 0
i — |----5 x   dx — TľWci hyp u — rro
2    j    l+X2 Jl
2 cos-
2
0
s_ V__—
° ~~  L, T(2V +
T(2v + 3 — «)"
En prenant les dérivées par rapport a s des deux membres dans les equations précédentes et en posant &■ = i ou s — 2, on obtient les formules que Schlokmilch a données au sujet du logaritbme integral.
En mettant a au lieu de 2 — s et faisant pour un moment
00 ^
on aura cvideniment
2
cela étant, la fonction p(u) peut se transformer au moyen de la formule ďEuLER plusieurs fois retrouvée
ďoú Ton tire
S =        \eu f e~*x—ldx + er" f exx'-ldx).
Sur un point de la theorie des fonctions generatrices d'Abel. 351 Changeant done s en s+i nos formules deviendront
10
. S7T
2 sm —
2
sn C   cos ux , , 2 cos — J   ^    ^ ax — 7rcos hyp u
0
u u
-^kA—~MU f e~*x~'dx + e~" f e*x~'dx],
/Xs sin ux 7 . .
■       , ax — — 7i sin hyp u
u u
+ -r \e" Ce~xx-dx + e-" f exx-'d%}.