Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Přístup k funkcím Funkce (zobrazení) • Předpis, který přiřazuje jedné hodnotě x hodnotu y = f(x). • Je to množina T uspořádaných dvojic (x, y) takových, že pokud (x, ) e T a (x, y2) e T, potom yA = y2. Příklady a f : y = x2, f : y = 2x, f : y = x + 3 • x = 1 není funkce • Množina T = {(x, y) | x2 + y2 = 1} není funkce v našem slova smyslu. Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Přístup k funkcím Funkce (zobrazení) • Předpis, který přiřazuje jedné hodnotě x hodnotu y = f(x). • Je to množina T uspořádaných dvojic (x, y) takových, že pokud (x, ) e T a (x, y2) e T, potom yA = y2. Příklady a f : y = x2, f : y = 2x, f : y = x + 3 • x = 1 není funkce • Množina T = {(x, y) | x2 + y2 = 1} není funkce v našem slova smyslu. Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Přístup k funkcím Funkce (zobrazení) • Předpis, který přiřazuje jedné hodnotě x hodnotu y = f(x). • Je to množina T uspořádaných dvojic (x, y) takových, že pokud (x, ) e T a (x, y2) e T, potom yA = y2. Příklady • f : y = x2, f : y = 2x, f : y = x + 3 • x = 1 není funkce • Množina T = {(x, y) | x2 + y2 = 1} není funkce v našem slova smyslu. Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Přístup k funkcím Funkce (zobrazení) • Předpis, který přiřazuje jedné hodnotě x hodnotu y = f(x). • Je to množina T uspořádaných dvojic (x, y) takových, že pokud (x, ) e T a (x, y2) e T, potom yA = y2. Příklady • f : y = x2, f : y = 2x, f : y = x + 3 • x = 1 není funkce • Množina T = {(x, y) | x2 + y2 = 1} není funkce v našem slova smyslu. Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Přístup k funkcím Funkce (zobrazení) • Předpis, který přiřazuje jedné hodnotě x hodnotu y = f(x). • Je to množina T uspořádaných dvojic (x, y) takových, že pokud (x, ) e T a (x, y2) e T, potom yA = y2. Příklady • f : y = x2, f : y = 2x, f : y = x + 3 • x = 1 není funkce • Množina T = {(x, y) | x2 + y2 = 1} není funkce v našem slova smyslu. Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Pohyb a křivka Definice Nechť je dán interval / (případně celá množina reálných čísel). Potom zobrazení f : / R2 nazýváme pohyb. Definice Množinu C bodů v rovině nazveme křivkou, jestliže existuje pohyb f takový, že /(/) = C. Daný pohyb potom nazýváme parametrické vyjádření křivky C Poznámka Uvědomme si, že uvedená definice nám nic neříká, kolik takových pohybů existuje. Může tedy existovat nekonečně mnoho parametrických vyjádření nějaké křivky, jak uvidíme na následujících příkladech. Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Pohyb a křivka Definice Nechť je dán interval / (případně celá množina reálných čísel). Potom zobrazení f : / R2 nazýváme pohyb. Definice Množinu C bodů v rovině nazveme křivkou, jestliže existuje pohyb f takový, že /(/) = C. Daný pohyb potom nazýváme parametrické vyjádření křivky C Poznámka Uvědomme si, že uvedená definice nám nic neříká, kolik takových pohybů existuje. Může tedy existovat nekonečně mnoho parametrických vyjádření nějaké křivky, jak uvidíme na následujících příkladech. Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Pohyb a křivka Definice Nechť je dán interval / (případně celá množina reálných čísel). Potom zobrazení f : / R2 nazýváme pohyb. Definice Množinu C bodů v rovině nazveme křivkou, jestliže existuje pohyb f takový, že /(/) = C. Daný pohyb potom nazýváme parametrické vyjádření křivky C Poznámka Uvědomme si, že uvedená definice nám nic neříká, kolik takových pohybů existuje. Může tedy existovat nekonečně mnoho parametrických vyjádření nějaké křivky, jak uvidíme na následujících příkladech. Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Parametrické vyjádření Příklady O Určete parametrické vyjádření přímky y = x. Q Určete parametrické vyjádření přímky x = 1. O Určete parametrické vyjádření úsečky s krajními body [1,0] a [3,0] O Určete parametrické vyjádření úsečky s krajními body [1,1] a [3,3] O Určete parametrické vyjádření kružnice s poloměrem 1 a středem v počátku souřadnic. O Určete parametrické vyjádření funkce f: y = x2. O Určete parametrické vyjádření libovolné funkce f: y = f (x). Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Parametrické vyjádření Příklady O Určete parametrické vyjádření přímky y = x. Přímka y = x může mít parametrické vyjádření x = ř, y = ŕ, t g M, ale také třeba x = 3ŕ, y = 3ŕ, kde t g R. Q Určete parametrické vyjádření úsečky s krajními body [1,0] a [3,0] Tato úsečka může mít vyjádření x = ŕ, y = 0, kde t e (1,3), ale také například x = t + 1, y = 0, kde t g (0,2), případně x = 2t. y = 0, kde ŕ g (1, §). Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Parametrické vyjádření Příklady O Určete parametrické vyjádření přímky y = x. Přímka y = x může mít parametrické vyjádření x = ř, y = ŕ, t g M, ale také třeba x = 3ŕ, y = 3ŕ, kde t g R. Q Určete parametrické vyjádření úsečky s krajními body [1,0] a [3,0] Tato úsečka může mít vyjádření x = ŕ, y = 0, kde t e (1,3), ale také například x = t + 1, y = 0, kde t g (0,2), případně x = 2t. y = 0, kde ŕ g (1, §). Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Parametrické vyjádření Příklady O Určete parametrické vyjádření přímky y = x. Přímka y = x může mít parametrické vyjádření x = ř, y = ŕ, t g M, ale také třeba x = 3ŕ, y = 3ŕ, kde t g R. Q Určete parametrické vyjádření úsečky s krajními body [1,0] a [3,0] Tato úsečka může mít vyjádření x = ŕ, y = 0, kde t e (1,3), ale také například x = t + 1, y = 0, kde t g (0,2), případně x = 2t. y = 0, kde ŕ g (1, §). Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Parametrické vyjádření Příklady O Určete parametrické vyjádření přímky y = x. Přímka y = x může mít parametrické vyjádření x = ř, y = ŕ, t g M, ale také třeba x = 3ŕ, y = 3ŕ, kde t g R. Q Určete parametrické vyjádření úsečky s krajními body [1,0] a [3,0] Tato úsečka může mít vyjádření x = ŕ, y = 0, kde t e (1,3), ale také například x = t + 1, y = 0, kde t g (0,2), případně x = 2t. y = 0, kde ŕ g (1, §). Parametrické vyjádření Spirály Klotoida Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Parametrické vyjádření Příklady O Určete parametrické vyjádření přímky y = x. Přímka y = x může mít parametrické vyjádření x = ř, y = ŕ, t g M, ale také třeba x = 3ŕ, y = 3ŕ, kde t g R. Q Určete parametrické vyjádření úsečky s krajními body [1,0] a [3,0] Tato úsečka může mít vyjádření x = ŕ, y = 0, kde t e (1,3), ale také například x = t + 1, y = 0, kde t g (0,2), případně x = 2t. y = 0, kde ŕ g (1, §). Parametrické vyjádření Spirály Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Parametrické vyjádření Příklady O Určete parametrické vyjádření kružnice s poloměrem 1 a středem v počátku souřadnic. Parametr t nám nyní reprezentuje úhel. Dostáváme tak vyjádření x = cos ř, y = sin ŕ, kde t e (0, 2tt) Q Určete parametrické vyjádření libovolné funkce f \ y = f (x). Každá funkce je křivkou, protože x=t, y = f (t), t g D(f) nám zadává parametrické vyjádření funkce f. Parametrické vyjádření Spirály Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Parametrické vyjádření Příklady O Určete parametrické vyjádření kružnice s poloměrem 1 a středem v počátku souřadnic. Parametr t nám nyní reprezentuje úhel. Dostáváme tak vyjádření x = cos ř, y = sin ŕ, kde t e (0, 2tt) Q Určete parametrické vyjádření libovolné funkce f \ y = f (x). Každá funkce je křivkou, protože x=t, y = f (t), t g D(f) nám zadává parametrické vyjádření funkce f. Parametrické vyjádření Spirály Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Parametrické vyjádření Příklady O Určete parametrické vyjádření kružnice s poloměrem 1 a středem v počátku souřadnic. Parametr t nám nyní reprezentuje úhel. Dostáváme tak vyjádření x = cos ř, y = sin ŕ, kde t g (0, 2tt) Q Určete parametrické vyjádření libovolné funkce f \ y = f (x). Každá funkce je křivkou, protože x=t, y = f (t), t g D(f) nám zadává parametrické vyjádření funkce f. Parametrické vyjádření Spirály Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Parametrické vyjádření Příklady O Určete parametrické vyjádření kružnice s poloměrem 1 a středem v počátku souřadnic. Parametr t nám nyní reprezentuje úhel. Dostáváme tak vyjádření x = cos ř, y = sin ŕ, kde t g (0, 2tt) O Určete parametrické vyjádření libovolné funkce f \ y = f (x). Každá funkce je křivkou, protože x=t, y = f (t), t g D(f) nám zadává parametrické vyjádření funkce f. Parametrické vyjádření Spirály Evolventy Cassiniho křivky Cykloidy Hypocykloida, epicykloida Konchoidy Polární souřadnice Definice Křivku v rovině můžeme také vyjádřit pomocí takzvaných polárních souřadnic p,