Kapitola 4
Výrazy, mocniny, odmocniny
1. Graficky vyřešte nerovnice
a) {~xf>x\
b) x-5 < 4.
2. Do jednoho obrázku načrtněte grafy funkcí
h{x)
i
/2(z) =
1
/3(:r) = -V*   a   /4(x) = (-x)3
2 '
.3 '
vyznačte v nich důležité body včetně případných průsečíků se souřadnicovými osami a určete jejich vlastnosti (definiční obor, obor hodnot, monotonii, extrémy, paritu). Dále rozhodněte, zda existují inverzní funkce ff1i f^1, f3J a fAl k funkcím j\. /2, fy a f4. Své tvrzení zdůvodněte. Pokud ano, načrtněte rovněž jejich grafy.
3. Načrtněte grafy funkcí
a) fi(x) = -2V/'7|,  
c) f3(x) =x3 -3x2 + 3x-l,
vyznačte v nich důležité body včetně případných průsečíků se souřadnicovými osami a určete jejich vlastnosti (definiční obor, obor hodnot, monotonii, extrémy, paritu). Dále rozhodněte, zda existují inverzní funkce /x \ /2"_1 a /3_1 k funkcím fi, /2 a /3. Své tvrzení zdůvodněte. Pokud ano, načrtněte rovněž jejich grafy.
4. Porovnejte čísla
a
Své tvrzení zdůvodněte.
16
KAPITOLA 4. VÝRAZY, MOCNINY, ODMOCNINY
5. Usměrněte zlomek (tj. odstraňte všechny odmocniny ze jmenovatele)
1 +Vě
v/3 + v2
a výraz, který obdržíte, zjednodušte.
6. Najděte všechna přirozená čísla n, pro něž platí, že
(l - i)n e R.
7. Vypočtěte obsah útvaru, který je ohraničen grafy funkcí
f : y = x2   a   g : y = V'2.r3.
8. Zjednodušte výraz
3xz — 6yz — x + 2y      9xz2 — x (x — y)2 — y2       9z2 + 6z + 1
a stanovte podmínky, za nichž je definován.
9. Zjednodušte výraz
Tr, s     (   x2-2x 2x2-8        \   12x - 6(x + 2)2
V(x) =   „?. , 71 i a +
x2 + 4x + 4    x3+ 6x2+ 12x + 8J x3 - 8
stanovte podmínky, za nichž je definován, a najděte všechna celá čísla x, pro něž platí, že hodnota výrazu V v bodě x je rovněž celým číslem, tj. V (x) G Z.
10. Zjednodušte výraz
1 + x     1 -x 1 V(x) = 4x - 1~l    1 + X : - - -x2,
1 — x
stanovte podmínky, za nichž je definován, a najděte všechna reálná čísla x, pro něž platí, že hodnota výrazu V v bodě x je nezáporným číslem, tj. V (x) > 0,
11. Zjednodušte výraz
a — b -y/ä — Vb
tfŕ + yfa<fb ~ fä+ tfb a stanovte podmínky, za nichž je definován.
17
KAPITOLA 4. VÝRAZY, MOCNINY, ODMOCNINY
Návody a výsledky:
1.    a) K = (-00; -1) U {0} U (1; 00), b) K = (-00; 0) U (l;oo).
(a) (b) Obrázek 4.1: K řešení úlohy la), lb)
2. Obecne platí, že k funkci / existuje inverzní funkce právě tehdy, když je funkce / prostá. Pro obě funkce pak platí D(f~1) = H(f) a H(f~1) — D(f). Grafy funkcí / a /_1 jsou osově souměrné podle přímky o rovnici y = x.
• Pro funkci /i platí D(/2) = R - {0}, H(fj) = R+ = (0;00), v R~ = = (—00; 0) je rostoucí, v R+ je klesající, nemá extrémy je sudá (její graf je osově souměrný podle osy y), není prostá (např. [—1; 1] e fi a [1; 1] € /1), proto k fi neexistuje inverzní funkce.
• Pro funkci f2 platí D(/2) = M - {0}, H(f2) = M - {0}, v R~ je klesající, v R+ je klesající, ale pozor: není klesající v D(f2), nemá extrémy je lichá (její graf je středově souměrný podle počátku), je prostá, proto k f2 existuje inverzní funkce J^"1 : y = \jyfx.
• Pro funkci h Platí D(f3) = R+ = (0;co), H(f3) = Rq = (-00; 0), je klesající v D(f3), v bodě [0: 0] nabývá svého maxima, není sudá ani lichá, je prostá, proto k /3 existuje inverzní funkce f^1, která má předpis y = x2, ovšem s tím, že D(f^) = H(fz) = Rj a H^1) = D(f3) = R0+ - tzn. jedná se pouze o „levou polovinu" této paraboly (včetně vrcholu).
• Pro funkci /4 platí D(f4) = R, H(f^) = R, je klesající v D{f±), nemá extrémy, je lichá (její graf je středově souměrný podle počátku), je prostá, proto k /4 existuje inverzní funkce f^1 : y = —\fx s tím, že skutečně platí D(/4_1) = M a #(/4_1) = R, neboť lichou odmocninu můžeme uvažovat i ze záporných čísel.
18
KAPITOLA 4. VÝRAZY, MOCNINY, ODMOCNINY
Obrázek 4.3: Inverzní funkce z úlohy 2
3. a) Pro funkci fx platí D{h) - R, H {fi) = R0 , v R~ je rostoucí, v R+ je klesající, v bodě [0; 0] nabývá svého ostrého globálního maxima, je sudá (její graf je osově souměrný podle osy y), není prostá (např. [—1; —2] G f\ a [1; —2] G /i), proto k fi neexistuje inverzní funkce.
b) Pro funkci % platí D{}2) = R - {-4}, J/(/2) — R — {1}, v (-oo;-4) je rostoucí, v (4; oo) je rostoucí, ale pozor: není rostoucí v D(f2), nemá extrémy, není sudá ani lichá (ale její graf je středově souměrný podle bodu [—4; 1]), průsečíky se souřadnicovými osami má v bodech [—2;0] a [0; |j, je prostá, proto k f2 existuje inverzní funkce       : y = —4 — 2/\/x — 1.
c) Předpis funkce fa je výhodné upravit:
/3(x) = x3 -3x2 + 3x-l = (x - l)3.
Odtud již vidíme, že pro funkci f3 platí D(f3) — R, H(f3) = R, je rostoucí v D(fs), nemá extrémy, není sudá ani lichá (ale její graf je středově souměrný podle bodu [1;0], což je současně průsečík s osou x), průsečík s osou y je v bodě [0; —1], je prostá, proto k /3 existuje inverzní funkce f-1 : y = 1 + ý£ s tím, že skutečně platí D^1) = la H(fzx) = R, neboť lichou odmocninu můžeme uvažovat i ze záporných čísel.
19
KAPITOLA 4. VÝRAZY, MOCNINY, ODMOCNINY
4. Platí
^452
452
452
5
450
:450
; 3-150
(5
3-.150
125
150
3450       32-225 (32)225
9225
5. Rozšíříme výrazem ^|_^|, při úpravách částečně odmocníme \/Í8 = 3\/2 a 12 = 2^; výsledek 2y^ - VŠ.
6. Komplexní číslo 1 —i převedeme do goniometrického tvaru a užijeme Moivreovu větu
<i-*)n =
v2í
7n 7ir cos — + i sin — 4 4
= v 2" I cos —■—h i sin
4
4
Odtud vidíme, že (1 — i)" £ K právě tehdy, když sin—p = 0, což nastává
tehdy a jen tehdy když ^f- je rovno libovolnému celočíselnému násobku %, tj. právě tehdy, když číslo n je dělitelné čtyřmi.
7. Vyřešením rovnice x2 = v2x3 zjistíme x-ové souřadnice průsečíků grafů obou funkcí. Její kořeny - čísla 0 a 2 - jsou tedy hledané integrační meze. Dále
2 r     -| 2 ^ - x2) dx = v2 ■ - Vx1
5 .
1 r 3?= 16^8 = ^ o    3 L  Jo     5     3 15
b ' 15 3 ■
8. podmínky 35 ^ 0, x 7^ 2y, jš ^ ±i.
20
KAPITOLA 4. VÝRAZY, MOCNINY, ODMOCNINY
0 2 x
Obrázek 4.5: K řešení úlohy 7
9. V (x) =       podmínky x ^ ±2, aby V(x) G Z musí platit
x+ 2 e {-6; -3; -2; -1; 1; 2; 3; 6} Vzhledem k tomu, že všechny hodnoty vyhoví podmínkám, dostáváme
x e {-8;-5;-4;-3;-l;0;l;4}.
10. V(x) = —x2 + éx — 4 = — (x — 2)2, při úpravě nezapomeňte, že násobení či dělení má přednost před sčítáním a odečítáním, podmínky i / 0, 2; ^ ±1 a x ý §- Protože kvadrát je nezáporný, platí        > 0 právě tehdy, když x = 2.
11. Pro úpravu je vhodné užít substituce a = x4, b = yA. Výsledek y| ^-^/a — \fbj, podmínky a > 0 a b > 0.
21