Jan Paseka Matematická ekonomie Učební texty %SARYV^ U vo d Matematickou ekonomii bychom mohli definovat jakožto oblast vědy, která obsahuje různé aplikace matematických pojmů a technik pro ekonomii, zejména pak pro ekonomické teorie. Alternativní přístup pak je, že provedeme výčet všech součástí matematické ekonomie. V tomto úvodu je historie matematické ekonomie rozdělena do tří širokých a částečně se překrývajících období: období marginalistů (1837-1947), období množinově-teoretických/lineárních modelů (1948-1960) a současné období integrace (1961-nyní). 1. Období marginalistů: 1838-1947 Počáteční období matematické ekonomie bylo to, ve kterém si ekonomie vypůjčila metodologii přírodních věd a nástroje matematiky, aby vyvinula formální teorii založenou na matematické analýze. Za předpokladu dostatečně hladkých funkcí (např. funkce užitečnosti a výrobní funkce) a maximalizujícího chování účastníků byla vyvinuta dostatečně úplná teorie chování mikroekonomických agentů a teorie obecné rovnováhy. Základním prostředkem byl kalkulus - tj. diferenciální a integrální počet, zejména použití totální a parciální derivace a metody Lagrangeových multiplikátorů pro charakterizaci maxim. Zároveň byly v tomto období vyvinuty moderní teorie spotřeby, výroby, oligopolu a obecné rovnováhy. Původní prací, kterou můžeme považovat za počáteční bod matematické ekonomiky, byla Cournotova práce z roku 1883. Cournotův přínos lze rozdělit na dva hlavní směry: teorie podniků - firem a interakce firem a spotřebitelů v jednoduché tržní ekonomice. Cournotova základní hypotéza byla, že firmy si vybírají tak, aby 3 maximalizovaly svůj zisk. Cournot studoval a přesně definoval případy dokonalé soutěže a monopolu. Zároveň zavedl rovnost mezi nabídkou a poptávkou v jednoduché tržní ekonomice a studoval problém oligopolu, kde je omezena soutěživost prodávajících. Cournotovo řešení oligopolu zůstalo standardním přístupem a jeho vhodné zobecnění hraje důležitou roli v teorii her. Teorie firmy: Cournotova maximalizační hypotéza byla rozšířena v rámci zkoumání výrobní funkce v poslední čtvrtině 19. století tak, že mohla vzniknout úplná teorie poptávky po vstupech a nabídky výstupů. Vývoj byl sdílen mnoha autory jako jsou např. Walras (1874), Wicksteed (1894), Wicksell (1893) a J.B. Clark (1889). Teorie spotřebitele: Rozvoj teorie spotřebitele závisející na maximalizaci funkce užitečnosti při omezeném rozpočtu spotřeby byl započat v roce 1854 Gossenem a dále studován Jevonsem (1871), Walrasem (1874) a dále dopracován Marshallem (1890). Úplné odvození vlastností funkce užitečnosti bylo provedeno Slutským (1915) a dále studováno Hicksem a Allenem (1934) aj. Základy teorie užitečnosti byly prohloubeny několika způsoby: nahrazení kardinální užitečností ordinální přináleží Fisherovi (1892) a Paretovi (1909); axiomatizace kardinální užitečnosti je dílem Frische (1926, 1932) a Alta (1936); přístup pomocí preferencí byl započat Samuelsonem (1938) a dále rozvíjen Houthakkerem (1950) a Uzawou (1960). Obecná rovnováha: Základní pojetí, že trhy jsou ve vzájemném vztahu a že proto je rovnovážný stav ekonomie charakterizován současně existující rovností mezi nabídkou a poptávkou na všech trzích, přináleží Walrasovi (1874). Toto pojetí bylo dále rozvinuto a vyloženo Paretem (1896, 1909). To, že rovnovážný stav může být dosažen, bylo dokázáno tím, že počet rovnic byl rovný počtu neznámých (viz Marshall (1890)). Optimalita konkurenční rovnováhy byla diskutována jak Walrasem tak Paretem. Stabilita rovnováhy: V případě rovnováhy jednoduchého trhu byly podmínky stability diskutovány Courno-tem (1838) a Marshallem (1890). Otázky stability obecné rovnováhy byly diskutovány rozsáhle Walrasem (1874). První diskuse z přesného pohledu se objevila v Hicksovi (1939a) a Samuelsonem (1941). Z posledních prací jmenujme práce Arrowa, Hahna, Hurwicze aj. Optimální alokace zárojů: První systematický výpočet užitků a nákladů přináleží Dupuitovi (1844). Jasná definice optimality v případě mnoha účastníků byla podána Paretem (1909). Charakterizace optimálních a částečně optimálních stavů je nyní známa jakožto tzv. ekonomie blahobytu, tuto syntézu provedli Hotelling, Bergson a Hicks. Speciální problém optimalizace v čase byl poprvé studován Ramseyem (1928) a následovně Hotellingem (1931). Zobecněné vyjednáváni: Edgeworth (1881) jakožto první studoval výstupy ekonomie, ve které mohly být realizovány všechny druhy dohod o zboží, nikoliv toliko ty možné v cenovém systému. Množina možných výstupů se nazývala smluvní křivka. Obecná verze tohoto pojmu, nyní známá jakožto jádro, byla dále studována v plné obecnosti v teorii her. Vyvrcholení školy marginalistů založené na kalkulu, které zkombinovalo mnoho předcházejících výsledků s novějším vývojem, lze najít ve dvou klasických knihách, které jsou stále velmi důležité: Hicks (1946) a Samuelson (1947). 2. Období množinově teoretického/lineárního modelu: 1948-1960 Období množinově teoretického/lineárního modelu bylo období po 2. světové válce, ve kterém byl dřívější kalkul matematické analýzy nahrazen množinově-teoretickými základy a lineárními modely. Použití teorie množin znamená větší obecnost v tom, že klasické předpoklady hladkosti funkcí mohly být nahrazeny podstatně obecnějšími funkcemi. Použití lineárního modelu znamená zacházení s pojmy, které nešlo vyjádřit pomocí hladkých funkcí, tj. např. vrcholy polyedrů. Tento nový přístup byl ve skutečnosti započat důležitým článkem von Neumanna (1937) v období ekonomického růstu. Přitom v tomto článku je metodologie podstatně důležitější než jeho obsah. Jiná práce, která hrála důležitou roli v rozvoji množinově-teoretického přístupu byla Arrowova kniha o axiomatizaci teorie sociálního výběru a individuálním ohodnocení (1951). Byly v ní použity množinově-teoretické metody, které umožnily vytvoření systému pro studium problémů obecné teorie rovnováhy. Dva z velmi důležitých článků pro rozvoj teorie obecné rovnováhy byly Wald (1933-34), který provedl první přesnou analýzu obecné rovnováhy, a Arrow s Debreuem (1954), kteří pomocí množinově-teoretických prostředků formulovali problém existence konkurenční rovnováhy a dokázali její existenci za patřičných podmínek. Problém existence byl dále analyzován McKenziem, Galem, Nikaidou a Debreuem. Důležitým nástrojem byla Kakutaniho věta o pevném bodě (1941) - zobecnění Brouwerovy věty o pevném bodě. V rámci teorie spotřebitele byly pro další axiomatický rozvoj důležité články Debreua a Radera. Aplikace množinově-teoretických pojmů kulminovala pak v klasické Debreuově knize (1959) a jejíž úloha je srovnatelná s pracemi Samuelsona a Hickse pro klasické období. Lineární model pro meziodvětvové vztahy byl vyvinut Leontievem (1941, 1966). Další příbuzné aktivity na tomto poli patří Koopmansovi, Morgensternovi a Kantorovičovi. Dále byl studován von Neumannův mnohaodvětvový model růstu. Tento model hrál důležitou roli jak v obecné teorii rovnováhy tak v teorii růstu. Zároveň bylo v tomto období vyvinuto lineární programování, vycházející z prací Dantziga. Tento přístup kulminoval v pracích Dorfmana, Samuelsona, Solowa a Galeho. Tyto práce přitom neobsahovaly pouze lineární programování, nýbrž lineární modely obecné rovnováhy a lineární růstové modely. Jedním z nejdůležitějších modelů je pak Malinvaudův model akumulace kapitálu. Teorie her byla rovněž založena na analýze lineárních modelů. Její počátky se datují k von Neumannovi (1928), ale základní vývoj se objevil v práci von Neumanna s Morgensternem (1947) a Nashe (1950). 3. Současné období integrace: 1961-nyní Současné období je období integrace, ve kterém moderní matematická ekonomie kombinuje prvky kalkulu, teorie množin a lineárních modelů. Je zároveň obdobím, ve kterém byly matematické idee rozšířeny potencionálně do všech oblastí ekonomie. V současné době jsou mnohé odvětví matematické ekonomie ve vývoji a tento vývoj se ukazuje být nanejvýš přínosným. Zmiňme mj. 11 důležitých témat ve vývoji v této etapě. (1) Nejistota a informace: Toto téma sestává z teorie averze k riskování (viz práce Pratta a Arrowa); rovnovážný stav při nejistotě (viz práce Diamonda a Radnera); mikroekonomické aplikace (viz práce McCalla); pojištění dle Borche aj. (2) Globální analýza: Toto téma obsahuje matematické metody, které kombinují kalkulus a topologii, a jsou použity ke studiu vlastností ekonomických rovnovážných stavů a jejich změně v dané ekonomii. Debreu (1970) byl průkopníkem v tomto studiu za podmínek, že máme pouze konečný počet rovnovážných stavů. (3) Teorie duality: Tato teorie používá a kombinuje množinově-teoretické metody a metody kalkulu, zejména v mikroekonomice. Připomeňme mj. práce Hotellinga, Roye, McKenzieho, Shepharda, Samuelsona a Diewerta. (4) Agregovaná funkce poptávky: Teorie spotřebitele ukazuje, že funkce poptávky jednotlivců maximalizujích užitek musí splňovat jisté omezující podmínky. Sonnenschein (1973) jako první podal argument, že agregované funkce poptávky nejsou omezeny podmínkou, že individuální funkce poptávky vznikají z maximalizace užitku. Dále zmiňme práce Mantela (1974) a Debreua (1974). (5) Jádro ekonomie a trhy s kontinuem obchodníků: Intuitivní pojem velkého počtu obchodníků spolu s předpokladem dokonalé soutěže vedl k tomu, že počet obchodníků konverguje k nekonečnu nebo že máme kontinuum obchodníků. Připomeňme práce Shubika (1959), Scarfa a Debreua (1962) aj. (6) Dočasná rovnováha: Pojem dočasné rovnováhy byl zaveden Hicksem (1939). V takovéto rovnováze se obchod uskutečňuje sekvencionálně tak, že každý účastník předpovídá svůj budoucí zisk na základě současného a minulého stavu ekonomie. Rovnováha může obsahovat všechny ceny pohybující se dostatečně rychle k vyprodání všech trhů, nebo jinak řečeno dovolí přídělový systém. (7) Výpočet rovnovážných cen: To je speciální případ výpočtu pevných bodů zobrazení, pro která je pevný bod interpretován jako rovnovážný cenový vektor, přičemž získané rozdělení je přijatelné, pokud se vyprodají všechny trhy. Hlavní práce jsou Scarf (1967, 1973). (8) Teorie sociálního výbčru: Teorie sociálního výběru se zabývá agregací preferencí jednotlivců do sociálního výběru. Základy byly položeny Arrowem (1951), v této knize jsou položeny základní kameny teorie a dokázány věty o možnosti resp. nemožnosti takovéhoto výběru. (9) Optimální zdanční: První práce z této oblasti patří Ramseyovi (1937) a Hotellingovi (1938), nejdůležitější články pak Boiteuxovi (1956), Mirrleesovi (1971) a Diamondovi s Mirrleesem (1971). (10) Teorie optimálního růstu: Toto téma bylo studováno zejména Samuelsonem se Solowem (1956), Samu-elsonem (1965), Koopmansem, Galem a dalšími. Původně byl tento problém formulován jakožto problém optimálních úspor Ramseyem (1928). Tento problém byl pak zobecněn a zkombinován s meziodvětvovým modelem růstu. Matematické základy jsou založeny na teorii dynamických systémů a teorii řízení. (11) Teorie organizování: Tato oblast obsahuje teorii týmové práce, decentralizace, plánování a problém stimulace. Z novějších prací připomeňme práce Marschaka a Hurwicze. Tento učební text si neklade žádné nároky na úplnost či původnost. Případné komentáře či kritické připomínky k textu očekávám nejlépe na e-mailové adrese paseka@math.muni.cz či jinou formou. Text je průběžně doplňován a měněn a je umístěn k volnému použití na ftp serveru oboru matematika PřF MU. Části textu jsou tvořeny referáty zpracovanými studenty Pavel Janík ml., Monika Ryn-dová, Libuše Tománková v rámci stejnomenné přednášky na Přírodovědecké fakultě Masarykovy univerzity. Veškerá zodpovědnost za styl a obsah je na autorovi. Obsah 1 MATEMATICKÉ PROGRAMOVANÍ S APLIKACEMI V EKONOMII 17 1 Uvod a přehled........................................... 17 2 Úloha matematického programování a způsoby jejího řešení................... 18 2.1 Weierstrassova věta..................................... 19 2.2 Věta o lokálním a globálním maximu........................... 20 3 Úloha bez omezení......................................... 21 3.1 Věta o podmínkách prvního řádu............................. 21 3.2 Věta o podmínkách 2. řádu................................ 22 3.3 Věta o postačujících podmínkách............................. 22 3.4 Příklad : Kvadratické účelové funkce........................... 23 4 Klasické programování: Lagrangeovy multiplikátory....................... 24 4.1 Věta o Lagrangeových multiplikátorech.......................... 24 4.2 Věta o ohraničené Hessově matici............................. 27 4.3 Věta o postačujících podmínkách pro klasické programování.............. 28 4.4 Příklad: Kvadraticko-lineární úloha............................ 29 5 Nelineární programování - Kuhn-Tuckerovy podmínky...................... 30 5.1 Věta o Kuhn-Tuckerových podmínkách.......................... 31 9 5.2 Věta Kuhn-Tuckera o sedlovém bodě........................... 34 5.3 Příklad: Úloha kvadratického programování......... .............. 35 6 Lineární programování....................................... 36 6.1 Věta o existenci....................................... 38 6.2 Věta o dualitě........................................ 38 6.3 Slabá doplňující věta.................................... 38 7 Mikroekonomie: matematické programování a teorie srovnávací stability .................................... 39 7.1 Věta srovnávací stability.................................. 40 8 Neoklasická teorie domácnosti................................... 43 8.1 Věta o poptávce....................................... 45 8.2 Slutského věta........................................ 47 9 Neoklasická teorie firmy...................................... 49 9.1 Věta o nabídce....................................... 51 9.2 Teorie srovnávací stability firmy.............................. 52 10 Závěry................................................ 55 2 Teorie spotřebitele 57 1 Komodity a ceny.......................................... 57 2 Spotřebitelé............................................. 58 3 Preference.............................................. 59 4 Funkce užitečnosti ......................................... 63 5 Vlastností preferencí a funkcí užitečnosti............................. 65 5.1 Monotonie, nenasycenost a konvexnost.......................... 66 5.2 Separabilita......................................... 67 5.3 Spojitá poptávka...................................... 69 5.4 Poptávka bez tranzitivity ................................. 71 5.5 Poptávka za předpokladů separability........................... 73 6 Funkce nákladů a nepřímé funkce užitku............................. 74 7 Vlastnosti diferencovatelné funkce užitku............................. 77 7.1 Diferencovatelná poptávka................................. 83 3 Teorie ekonomické rovnováhy 87 1 Základní pojmy........................................... 87 1.1 Prostor komodit....................................... 87 1.2 Cenový prostor....................................... 88 1.3 Agenti............................................ 88 1.4 Existence rovnováhy.................................... 89 1.5 Walrasův zákon....................................... 90 1.6 Aproximace vícehodnotových zobrazení.......................... 91 1.7 Vlastnosti konvexních množin a obalů........................... 92 2 Výrobce............................................... 95 2.1 Úvod............................................. 95 2.2 Vlastnosti produkčních množin............ .................. 96 2.3 Maximalizace zisku..................................... 97 3 Spotřebitel.............................................. 98 3.1 Úvod............................................. 98 3.2 Vlastnosti spotřebních množin............................... 98 3.3 Preference spotřebitele................................... 99 3.4 Užitková funkce....................................... 100 3.5 Rozpočtové omezení.............. ...................... 100 3.6 Rovnováha spotřebitele................................... 101 4 Rovnováha ekonomiky....................................... 102 4.1 Definice rovnováhy..................................... 102 4.2 Arrowova-Debreuova věta................................. 103 4 Globální analýza a ekonomie 127 1 Existence rovnovážného stavu................................... 127 2 Ekonomika úplné směny: existence rovnovážného stavu..................... 142 3 Paretova optimalita......................................... 151 4 Základní věta ekonomiky blahobytu................................ 157 5 Existence rovnováhy v konkurenční ekonomice 167 1 Úvod................................................. 167 2 Simultánní optimalizační přístup ................................. 168 3 Přebytek poptávky......................................... 190 6 Dynamické systémy s aplikacemi v ekonomii 203 1 Základní pojmy........................................... 203 1.1 Dynamický systém v Rn.................................. 203 1.2 Dynamické systémy na varietách ............................. 205 2 Základní nástroje.......................................... 207 2.1 Existence, jednoznačnost a spojitost řešení........................ 208 2.2 Existence rovnováhy.................................... 209 2.3 Jednoznačnost rovnováhy ................................. 210 2.4 Lokální stabilita rovnováhy ................................ 212 2.5 Globální stabilita rovnováhy................................ 213 2.6 Existence cyklů....................................... 215 3 Některé speciální druhy dynamických systémů.......................... 216 3.1 Systémy gradientů..................................... 216 3.2 Hamiltonovské systémy................................... 219 4 Některé nové techniky....................................... 220 4.1 Strukturální stabilita.................................... 220 4.2 Teorie katastrof....................................... 221 7 Dualita v mikroekonomii 223 1 Úvod................................................. 223 2 Dualita mezi nákladovou (výdajovou) a produkční (užitkovou) funkcí: Zjednodušený pohled...................... 225 3 Dualita mezi nákladovými a agregačními (produkčními nebo užitkovými) funkcemi...... 243 4 Dualita mezi přímými a nepřímými agregačními funkcemi.................... 247 5 Dualita mezi přímými agregačními a distančními nebo deflačními funkcemi.............................. 252 6 Další věty o dualitě......................................... 255 7 Minimalizace nákladů a derivovaná poptávka po vstupech.................... 260 8 Funkce zisku............................................. 264 9 Dualita a nesoutěživé přístupy k mikroekonomické teorii.................... 269 9.1 První přístup: Problém monopolu............................. 269 9.2 Druhý přístup: Problém monopsonu............................ 270 9.3 Třetí přístup: Problém monopolu jinak.......................... 272 9.4 Čtvrtý přístup: Problém monopolu ještě jednou..................... 273 9.5 Historické poznámky.................................... 274 10 Závěr................................................. 275 8 Teorie výroby 277 1 Technologie výroby......................................... 278 1.1 Vlastnosti množiny produkčních technologií a produkční funkce............ 278 1.2 Neoklasická teorie firmy.................................. 279 2 Skálování, substituce faktorů, technické změny: několik definic................. 284 2.1 Elasticita substituce .................................... 288 2.2 Technický pokrok...................................... 290 3 Vlastnosti produkčních funkcí a dualita.............................. 291 3.1 Homogenita, aditivita a separabilita............................ 292 3.2 Funkční separabilita produkčních funkcí......................... 293 3.3 Dualita produkční technologie a nákladové a ziskové funkce............... 295 3.4 Nějaké definice a vlastnosti nákladové funkce....................... 295 3.5 Aplikace principů duality: Zisková a nákladová funkce.................. 298 4 Funkcionální forma produkční funkce: Agregace zásoby kapitálu................ 304 4.1 Tvary produkčních funkcí................................. 304 4.2 Agregace zásoby kapitálu : Spor Cambridge - Cambridge................ 316 9 Teorie oligopolu 323 1 Prvopočátky studia oligopolu - modely s jedním obdobím.................... 324 1.1 Cournotův model...................................... 324 1.2 Nový důkaz o existenci a jednoznačnosti Cournotovy rovnováhy............ 331 1.3 Bertrandova kritika..................................... 334 1.4 Diferencovaný produkt s cenami jako proměnnými - Chamberlinova modifikace .... 335 1.5 Kooperativní versus nekooperativní rovnováhy...................... 342 2 Stabilita a reakční funkce - první kroky směrem k modelům více období............ 343 2.1 Cournotovy reakční křivky a Bowleyho hypotetická variace............... 344 2.2 Behaviorální hypotézy Sweezyho a Stackalberga..................... 345 3 Dynamické modely......................................... 349 3.1 Zpožděné funkčně reakční modely............................. 349 3.2 Modely s rychlou reakcí (odezvou) nebo náklady na dohodu.............. 355 3.3 Model upřednostňující spolupracující rovnováhy bez kartelů .............. 360 3.4 Modely se strukturou závislou na čase .......................... 362 4 Oligopoly a teorie her........................................ 363 5 Vstup a výstup v modeloch oligopolu............................... 363 6 Bilaterálni monopol......................................... 365 7 Oligopol v modelech všeobecné rovnováhy............................ 366 7.1 Základy teoretického přístupu............................... 366 10 MODELY A METODY TEORIE HER V POLITICKÉ EKONOMII 369 1 Metody modelování......................................... 369 1.1 Preference, užitek a výnos................................. 370 1.2 Extenzivní forma...................................... 370 1.3 Hry v normálním tvaru................................... 373 1.4 Hry ve formě charakteristické funkce nebo v koaliční formě............... 375 1.5 Kontinua strategií, času, hráčů a zboží.......................... 379 2 Řešení................................................ 380 2.1 Předběžná řešení...................................... 380 2.2 Řešení při spolupráci.................................... 384 2.3 Řešení hry s nekooperujícími hráči ............................ 393 2.4 Jiná řešení.......................................... 395 3 Aplikace............................................... 397 3.1 Oligopolní trh........................................ 397 3.2 Duopoly........................................... 398 3.3 Oligopoly.......................................... 399 3.4 Bilaterální monopol a vyjednávání ............................ 401 3.5 Simulace hrou........................................ 403 3.6 Aukce a nabídka...................................... 404 3.7 Řešení, tržní hry a cenový systém............................. 405 3.8 Veřejné statky, externality, ekonomika blahobytu..................... 405 3.9 Peníze a finanční instituce................................. 406 3.10 Další aplikace........................................407 Literatura 407 Kapitola 1 MATEMATICKÉ PROGRAMOVÁNÍ S APLIKACEMI V EKONOMII 1 Uvod a přehled Matematické "programovdní se vztahuje k základnímu matematickému problému maximalizace funkce *. Podstata tohoto problému a způsoby jeho řešení jsou diskutovány v části 2. Historicky má tento problém kořeny v rozvoji početních metod. Odtud tedy jeho první využití bylo ve zpracování nejednodušího typu matematického programování, a sice hledání nevázaného extrému (maximalizace), což je probráno v části 3. Základní motivací pro další rozvoj početních metod byla snaha vyřešit obecnější úlohu mat. programování. To se často nazývá úloha klasického programováni, ve které se hledá maximum funkce při omezení množinou rovnic. Některé úlohy matematického programování, které byly ovlivněny studiem ekonomických problémů se však nepodařilo vyřešit ani ve 20. století. Mezi tyto úlohy například patří úlohy nelineárního matematického * Úlohy jsou zde řešeny jako maximalizace funkce. Pokud chceme funkci minimalizovat, stačí pouze změnit znaménko funkce a jinak postupovat stejně. 17 programováni kde se hledá maximum funkce při omezení množinou nerovnic, viz část 5. Speciální případ, důležitý sám o sobě, a který měl značný vliv na rozvoj teorie matematického programování, je úloha lineárního programováni tj. maximalizace lineární funkce při omezení množinou lineárních nerovnic, viz část 6. Aplikace matematického programování má širší uplatnění, např. v ekonomii našla řadu uplatnění. Vedla také k různým srovnávacím analýzám stability, které sloužily k porovnávání jeji účinnosti. Matematické programování vedlo zejména k hlubšímu náhledu do oblasti mikroekonomie , jak je dále diskutováno v části 7. Aplikace matematickéh programování jsou rozděleny do dvou úseků, na neoklasickou teorii áomácnosti v části 8 a neoklasickou teorii firmy v části 9. Kromě použití v základní matematické teorii (část 2 - 6) a aplikacích v ekonomii (část 7-8), má také matematické programování využití v jiných oblastech (např. fyzika, chemie, aj.). O těch se zde však nebudeme zmiňovat, odkaz na ně je možné najít v literatuře citované na konci. Také opomineme různá specifika matematického programování, jako je celočíselné programování, vícekriterialní programování, odkaz je opět uveden v literatuře. 2 Úloha matematického programování a způsoby jejího řešení Obecná forma úlohy matematického programováni může být zapsaná ve tvaru: max F (x (2.1) kde x je sloupcový vektor n vybraných proměnných, x • • • i •^n) i (2.2) F(x) je funkce reálných proměnných, F(x) = F(xi,x2, ■ ■ ■ ,xn) (2.3) a X je podmnožina n-rozměrného euklidovského prostoru, X C En. (2.4) Obecně budeme předpokládat, že X je neprázdná, tj., že existuje přípustný vektor x, kde x je přípustný pravě tehdy, když x g X. V ekonomii se vektor x často nazývá vektor nástrojů , funkce -F(x) účelová funkce a množina X množina příležitostí. Základní ekonomický problém alokace vzácných zdrojů mezi navzájem si konkurujícími potřebami může být interpretován jako problém matematického programování, kde jednotlivá alokace zdroje je reprezentována příslušným výběrem vektoru nástrojů; vzácnost zdrojů je reprezentována množinou příležitostí, odrážející omezenost nástrojů. Potřeby jsou reprezentovány účelovou funkcí, jejichž výsledky jsou hodnoty příslušné ke každé alternativní alokaci. Funkce 2.1 může být tudiž interpretována v ekonomickém jazyku, jako výběr nástroje v rámci množiny příležitostí, tedy jako maximalizace účelové funkce. Existuje více způsobů řešení problému 2.1. Globální maximum funkce F je vektor x* takový, že x*gX a F(x*)>F(x)VxeI (2.5) Řešení je tedy vektor nástrojů, získaný jako hodnota účelové funkce, která je větší nebo rovna než hodnota v libovolném jiném vektoru nástrojů. Ostré globální maximum je vektor x*, který splňuje: x* g X a F(x*) > F(x) V x g X, x ^ x*. (2.6) 2.1 Weierstrassova věta Věta 2.1 Weierstrassova věta Je-li funkce -F(x) spojitá a množina X je uzavřená a ohraničená tj. kompaktní a navíc neprázáná, pak existuje globální maximum. Důkaz. Důkaz této věty je založen na faktu, že obraz X v zobrazení F je definován jako F(X) = {F(x)|xGX}, (2.7) což je uzavřená a ohraničená množina na reálné ose, a tedy musí obsahovat i maximální prvek, což je F(x*). Měli by jsme však dát pozor na to, že podmínky věty jsou dostatečné, ale ne nutné pro existenci maxima. Maximum tedy může existovat, aniž jsou tyto podmínky splněny. (Např. maximalizace x2 na intervalu 0 < x < 2 má řešení). Weirstrassova věta může být zesílena za předpokladu, že -F(x) bude shora polospojitá. ■ 2.2 Věta o lokálním a globálním maximu Lokální maximum je vektor x* (E X takový, že existuje nějaké e > 0, přičemž Zde 7Ve(x*) je nějaké £-okolí bodu x*. Maximum je lokální, poněvadž vektor nástrojů získaný jako hodnota účelové funkce není menší než hodnota v jakémkoliv jiném bodě náležejícím X a dostatečně blízko (tj. v N£(x*) pro nějaké e > 0). Ostré lokální maximum je vektor x* (E X, který splňuje pro nějaké e > 0 Zřejmě, globální maximum je zároveň lokální (což však neplatí obráceně). Ostré (globální, resp. lokální) maximum je také (globální resp. lokální) maximum, opět to neplatí obráceně. Ostré lokální maximum je jednoznačně určeno. Věta 2.2 Věta o lokálním a globálním maximu Je-li účelová funkce -F(x) konkávni funkce a množina příležitosti X konvexní množina, pak kažáé lokální maximum je i zároveň globální a množina všech takovýchto řešení je konvexní. Je-li navíc -F(x) ostře konkávni funkce, pak řešení je jeáiné. Je-li -F(x) ostře F(x*) > F(x) Vx GlniV£(x*). (2.8) F(x*) > F(x) Vx elniVe(x*), x^x*. (2.9) kvazikonkávní, je lokální maximum jediné a zároveň globální^. Věta 2.2 je velice důležitá, neboť prakticky všechny metody řešící úlohu matematického programování spíše identifikují lokální než globální maximum. S použitím této věty je možné usuzovat na základě vlastností konkávnosti a konvexity, že lokální optimum je také globální. 3 Úloha bez omezení Úloha maximalizace bez omezení je ta, že vybereme hodnoty z n proměnných tak, že maximalizujeme funkci F těchto proměnných: maxF(x) (3.1) X V tomto případě je množina příležitostí X (z 2.1) celý prostor En (nebo otevřená podmnožina En). 3.1 Věta o podmínkách prvního řádu Věta 3.1 Věta o podmínkách prvního řádu Je-li F(x) diferencovatelná funkce, pak nutné podmínky prvního řádu proto, aby bod x* byl bodem lokálního maxima funkce -F(x) jsou, že x* je stacionární bod funkce F(x), ve kterém jsou všechny první parciální derivace nulové. dF, ^ (dF, ^ dF, ^ dF, „A , , 7T x = ži- x ' ži- x ' • • •' ži- x = 0 (3-2) ox \OX\ OX2 oxn I '''Funkce -F(x) je kvazikonkávm funkce právě tehdy, když pro x^x2 £ x, kde -F^x1) > f(y?) platí f^ax1 + (1 — a)x2) > F(x2) pro všechna a, 0 < a < 1. Funkce f je ostře kvazikonkávm právě tehdy, když pro x^x2 £ X,x1 7^ x2, kde -F^x1) > -F^x2) platí stejná nerovnost jako pro kvazikonkávní funkci, ale ostrá, pro všechna a, 0 < a < 1. Všimněme si, že konkávni funkce je kvazikonkávní, ale kvazikonkávní funkce nemusí být konkávni. (<9F/<9x)(x*) je vektor gradientů tj., (1 x n) řádkový vektor všech 1. parciálních derivací F(x) a 0 je (1 x n)-rozměrný vektor nul. Tedy, je-li x* = (x^x^ ....,£*) lokální maximum, pak ~q^t(xii Xeii • • • i xni) = 0? 3 = 1? 2,..., n. (3-3) Důkaz. Důkaz této věty může být proveden pomocí Taylorova rozvoje pro hodnotu funkce kolem x*. ■ 3.2 Věta o podmínkách 2. řádu Věta 3.2 Věta o podmínkách 2. řádu Je-li F(x) spojitě diferencovatelná do 2. řádu, pak podmínka nutná proto, aby x* byl bodem lokálníha maxima funkce F(x), je, že příslušná Hessova matice typu (n x n) a tvaru d2F 0>x2 dx\ ^ ' dx\dx2 ^ ' ' dx\dxn ^ ' \ dxndxi \ ' dxndx2 ^ ' čte;* v / / (3.4) je v bodě x* negativně semidefinitní. Důkaz. Důkaz může být opět proveden pomocí Taylorova rozvoje. ■ 3.3 Věta o postačujících podmínkách Věta 3.3 Je-li funkce F(x) spojitě diferencovatelná do 2. řádu a podmínky 1. řádu jsou splněny pro vektor gradientů 3.2 a navíc platí zesílené podmínky 2. řádu tj. 3.4 je negativně definitní, pak x* je (ostré) lokální maximum pro F(x*). Důkaz. V důkazu opět využijeme Taylorovu větu. I Tyto tři podmínky uvedené pro úlohu bez omezení jsou analogické pro úlohu s omezením, která je diskutována v části 4 a 5. 3.4 Příklad : Kvadratické účelové funkce Jako příklad úlohy bez omezení si uvedeme maximalizaci kvadratické účelové funkce max F (x) = cx + -x'Qx = ^ CjXj + - ^ ^ qijXiXj, (3.5) j=l i=l j=l kde c je n-rozměrný vektor a Q je symetrická matice řádu (n x n). První část účelové funkce je lineární cx, druhá část je kvadratická x'Qx (vydělená dvěma pro pozdější snadnější úpravy). Z nutné podmínky 2. řádu pro existenci lokálního maxima 3.2 dostaneme BF — (x*)=c + x*'Q = 0, (3.6) Z nutných podmínek 2. řádu 3.4 dostáváme, že Q je negativně semidefinitní. Z věty o postačujících podmínkách víme, že je-li Q negativně definitní, pak x* je ostré lokální maximum. Tedy Q je negativně definitní, pak -F(x) je ostře konkávni a x* je globální maximum. Mimo to, je-li Q regulární, pak pro x* dostáváme x* = -Q-V. (3.7) Maximum účelové funkce potom je F(x*) = -cQ-V + ^(cQ-^QÍQ-V) = -^cQ-V > 0, (3.8) protože Q je negativně definitní. 4 Klasické programování: Lagrangeovy multiplikátory Úloha klasického programováni je ta, že vybereme hodnoty z n proměnných tak, že maximalizujeme funkci těchto proměnných na množině stejných omezení. maxF(x) pro g(x) (4.1) Tento vektor nástrojů x a hlavní (cílová, účelová) funkce -F(x) jsou stejné, jako v 2.1, kde -F(x) je reálná funkce definována na En. Vektor reálných funkcí g(x) je zobrazení z En do Em, znázorňující m-omezené fce a sloupcový vektor b je m x 1 rozměrný vektor omezujících konstant, g(x) 92 (x\i X2l • • • i Xfi) b2 (4.2) \ 9m(xi,x2, ■ ■ ■ ,xn) J \bm J V termínech primárního (základního) problému 2.1 klasický problém matematického programování koresponduje s případem, ve kterém množina příležitostí může být zapsána jako I = {xG #n|g(x) = b} = {(xi, x2i • • •, xn)'\ gi(xi, x2i • • •, xn) = bi, i = 1,2,..., m}. (4.3) 4.1 Věta o Lagrangeových multiplikátorech Popis řešení klasického problému programování, který je analogický s Větou o podmínkách 1. řádu pro neomezené úlohy, je získán pomocí Věty o Lagrangeových multiplikátorech. Pro tuto větu zavedeme řádkový vektor m-dodatečných nových proměnných nazývaných Lagrangeovy multiplikátory, y = (ž/i,ž/2, • • • ,ym), (4.4) a to jeden pro každé dané omezení, Lagrangeova funkce je pak definována jako následující reálná funkce n-původních a m-přidaných proměnných, L(x,y) = F(x)+y(b-g(x)) = F(xi,x2, ■ ■ ■ ,xn) + Yn=lVÁ^ ~ 9i(xux2, ■ ■ ■ ,xn)), kde poslední výraz je skalárním součinem řádkového vektoru Lagrangeových multiplikátorů a sloupcového vektoru složeného z rozdílu omezujících konstant a omezujících funkcí. Potom, v souladu s větou o Lagrangeových multiplikátorech, předpokládáme, že n > m (kde n — m je stupeň volnosti), -F(x) a g(x) je m + 1 funkcí se spojitými prvními parciálními derivacemi a omezující podmínky jsou lineárně nezávislé v řešení, tj. jestliže x* je lokální maximum úlohy, <9g m, (4-6) (tj. Jacobiho matice složená z 1. parciálních derivací omezujících funkcí rozměru m x n má plnou řádkovou hodnost), nutné podmínky 1. řádu tvoří pak m+n nulovacích podmínek prvních parciálních derivací Lagran-geovy funkce L(x, y), ^(x*,y*) = ^(x*) - y*|^(x*) = 0 (n podmínek), (4.7) ox ox ox dL — (x*, y*) = b — g (x*) = 0 (m podmínek), (4.8) kde posledních m podmínek vyžaduje, aby omezení bylo nalezeno právě v x*. Věta 4.1 Věta o Lagrangeových multiplikátorech Je-li x* bod lokálního maxima (extrému), pak existuje m-rozměrný vektor Lagrangeových multiplikátorů y* takový, že dle 1^.1'je gradient -F(x) v x* je lineární kombinací gradientů funkcí gi(x.) v tomto bodě, přičemž Lagrangeovy multiplikátory budou koeficienty této lineární kombinace, a to dF ,<9g. . x. dF, ^ „dg. ^W^*) t, ^-M = 5:^M,J- = l,2,...,n. (4.9) Důkaz. Tato věta je obvykle dokazována užitím věty o implicitní funkci. I ■ Těchto n podmínek je analogických s podmínkami 1. řádu 3.2 nulování vektoru gradientu. Ve skutečnosti proto věta redukuje na Větu o podmínkách 1. řádu v případě, že m = 0, což je právě neomezený případ. Druhá část věty o Lagrangeových multiplikátorech nám dává interpretaci těchto m dodatečných proměnných. Nezahrnuje jednu úlohu klasického programování, ale celou množinu takových úloh, které jsou charakterizovány omezujícími konstantami b. Jestliže se některá z těchto konstant změní, změní se i hodnota maximalizující účelové funkce. Maximální hodnotu dostaneme jako F* = F(x*) = L(x*,y*), (4.10) kde druhá rovnost vychází z faktu, že omezení vyhovují řešení 4.8. Lagrangeovy multiplikátory v jejich optimálních hodnotách y* měří stupeň přírůstku maximalizované hodnoty F*, podle toho, jak se příslušné omezující konstanty mění, y* = OF*/db tj. y* = dF*/dbt, i = 1, 2,..., m. (4.11) Tedy každý Lagrangeův multiplikátor měří citlivost maximalizované hodnoty účelové funkce na změny příslušných omezujících konstant, přičemž celá další část úlohy zůstává stejná. V ekonomických úlohách, ve kterých F má rozměr hodnoty (cena x množství) zisku či důchodu a b má rozměr množství jako vstup či výstup, Lagrangeovy multiplikátory b* interpretujeme jako cena, nazýváme ji stínová cena, z toho důvodu, abychom ji odlišili od tržní ceny. Měří přitom přírůstek hodnoty v případě změny omezení. Geometrickou interpretaci a charakter řešení můžeme pro klasické programování získat přes Lagrangeovy multiplikátory. Rovnost omezení definuje množinu příležitostí X v 4.3, které za předpokladu 4.6 má rozměr n — m. Nezávislost předpokladu v 4.6 implikuje, že v řešení x*, každá směrnice dx vyhovující dg <9x (x*) g?x = 0 tj. -g—^-(x*) dxj = 0, i = 1, 2,... j=i Xj m (4.12) leží v tečném nadrovině k X v bodě x*. Gradienty vektorů omezujících funkcí ]^-(x*) jsou ortogonální k této tečnému nadrovině v bodě x*. Podmínky 1. řádu 4.9 znamenají geometricky, že gradient vektoru účelové funkce (dF/dx)(x*), pro kterou funkční hodnoty bodů F(x) ve směru gradientu zvětší směrem k x*, je vážená kombinací gradientů vektorů omezujících funkcí, váhy jsou Lagrangeovy multiplikátory y*. Tedy (dF/dx)(x*) je také ortogonální k tečné nadrovině k X v bodě x* a to ve směru dx v tečné nadrovině, 4.2 Věta o ohraničené Hessově matici Analogií v případě klasického programování k větě o podmínkách 2.řádu pro neomezené problémy je věta o ohraničené Hessově matici. Podle této věty Hessova matice druhých parciálních derivací Lagrangeovy funkce dF (x*)g?x = y *<9g <9x (x*)dx = 0. (4.13) <9x / a2 l a2l \ d2L dxidx n dx2 (4.14) musí být negativně semidefinitní na množině vektorů dx určené splněním m podmínek dg = -S(x*)dx = 0, (4.15) 0>x kde (x*, y*) je bod lokálního maxima. 4.3 Věta o postačujících podmínkách pro klasické programování Poslední analogií je věta o postačujících podmínkách. Podle věty o postačujících podmínkách pro klasické programování, jestliže je splněno n + m podmínek l.řádu 4.7 a 4.8 pro bod x*, potom zesílené podmínky ohraničené Hessovy matice, které zaručí, že Hessova matice v 4.14 je negativně definitní na množině určené 4.15, nám zajistí, že x* je bod lokálního maxima pro funkci -F(x) s m omezujícími podmínkami. Ekvivalentně, podmínky vyžadují aby ohraničená Hessova matice, definovaná jako Hessova matice funkce L(x, y) na všech proměnných 0 dg' d2L <9x <9x2 / o o dgi dgi \ dxn 0 dx\ 0 dgr, dx\ dgm dxn dgr, dx\ dxf dgi dx„ dgm • dxn d L dx\dxr. d2L d2L dxndxi dx2^ \ I (4.16) kde dg/dx je Jacobiho matice z 4.6, splní n — m podmínek tak, že v posledních n — m hlavních minorech se střídají znaménka, přičemž znaménko prvního bude (—l)m+1. Poznamenejme, že obě tyto věty, tato i předcházející, se redukují na odpovídající věty pro neomezený případ, kdy m = 0. 4.4 Příklad: Kvadraticko-lineární úloha Příklad klasického programování, který vychází z oddílu 3.4, je kvadraticko-lineární úloha: 1 maxF(x) = cx H—x'Qx pro A x = b. (4-17) x 2 Zde je účelová funkce stejná jako v 3.5, a omezení je m lineárních rovnic, n Ax = b tj. aijxj = h, 2 = 1,2,..., m, (4-18) j=i určených maticí A typu m x n a sloupcovým vektorem b typu m x 1. Lagrangeova funkce je pak L(x, y) = cx + ix'Qx + y(b - Ax), (4.19) kde y je vektor Lagrangeových multiplikátorů. Použitím n + m podmínek l.řádu 4.7, 4.8, BL c + x*/Q-y*A = 0, (4.20) b - Ax* = 0. (4.21) <9x dL dy Těchto n + m podmínek vyžaduje, aby platilo x* = -Q-^c'-A'y*'). (4.22) Lagrangeův multiplikátor může být získán vynásobením maticí A a užitím omezení A x* = -A Q-V + (A Q"1 A')y*' = b. (4.23) Najděme tedy řešení pro vektor Lagrangeových multiplikátorů y* = (b' + cQ^A'XAQ^A') -i (4.24) a dosazením tohoto řešení do 4.22 obdržíme * x = — Q-y - A'(A Q-1A,)-1(b/ + A CTV)]. (4.25) Označíme-li x* řešení úlohy bez omezení v 3.1 dané 3.7, řešení omezeného problému může být psát jako Tedy, jestliže x* odpovídá omezujícím podmínkám, potom to je také řešení úlohy s omezením. Mimo to rozdíl mezi řešením úlohy s omezením a bez omezení, x* — x* je lineární funkcí množství, pro která řešení úlohy bez omezení nevyhovuje omezující podmínce b — Äx*. 5 Nelineární programování - Kuhn-Tuckerovy podmínky Úloha nelineárního programování spočívá ve volbě nezáporných hodnot n proměnných tak, aby maximalizovaly funkci těchto n proměnných, které splňují m nerovností, Zde vektor nástrojů x a účelová funkce -F(x) jsou stejné jako v 2.1, kde -F(x) je reálná spojitě diferencovatelná funkce definovaná na En. Hodnoty vektorové omezující funkce g(x.) a vektor omezení h jsou stejné jako v 3.1, kde g(x) je spojité diferencovatelné zobrazení z En do Em. Z hlediska základního problému 2.1, úloha nelineárního programování koresponduje s případem, ve které množina příležitostí může být zapsaná jako: x* = x* + Q^A'ÍA Q^A')-1^' - Ať). (4.26) maxF(x) pro g(x) < b, x > 0. (5.1) x x {x (E En I g(x) < b, x > 0} {(xi, x2, ■ ■ ■, £n)'|^(£i, 2:2,..., xn) < bh i 1,2,... m (5.2) £j > 0, j = 1,2,... ,n}. Tato úloha je zevšeobecnění úlohy klasického programování 4.1, protože rovnosti jsou speciálním případem nerovností. 5.1 Věta o Kuhn-Tuckerových podmínkách Charakteristika řešení úlohy nelineárního programování, která je analogická jak s Větou o podmínkách l.řádu pro úlohy bez omezení a s Větou o Lagrangeových multiplikátorech pro klasické programování, je zajištěna Větou o Kuhn-Tuckerových podmínách. Stejně jako v případě klasického programování zavedeme řádkový vektor m dodatečných nových proměnných, nazývaných Lagrangeovy multiplikátory, a to pro každé omezení. Lagrangeova funkce může být definována jako následující reálná funkce o n původních a m přidaných proměnných: stejně jako v 4.5. Kuhn- Tuckerovy podmínky jsou potom definovány v bodech x*,y*, jako 2n + 2m nerovností a 2 rovnosti: y = (ž/i,ž/2, • • • ,ym) (5.3) *(x,y) F(x)+y(b-g(x)) F(xi, x2,..., xn) + Yh=i Vife - 9i(xu x2,... xn)) (5.4) (5.5) Z toho n + m nerovností reprezentuje omezení původního problému: dL — (x*, y*) = b — g(x*) > O (m podmínek), (5.6) x* > 0 (n podmínek), (5-7) zatímco přidaných n + m nerovností vyžaduje t^(x*,y*) = fV) -y*^r(x*) < 0 (n podmínek), (5.8) oy ax ax y* > 0 (m podmínek), (5-9) Přitom n podmínek v 5.8 je napsáno raději jako nerovnosti než rovnosti ve 4.7, kvůli nezáporným omezením na x v 5.7, nebo, více všeobecně, protože hraniční řešení jsou přípustné. Dalších m podmínek v 5.9 vyžaduje nezápornost Lagrangeova multiplikátoru, je to z toho důvodu, že omezení v 5.6 jsou psaná raději jako nerovnosti než rovnosti: jestliže omezení je rovnost, potom příslušný element y* je neomezený stejně jako v klasickém případu programování. Dvě podmínky rovnosti Kulma-Tuckera: ^.rt^E(^)-^M)^», (5-10) dL m y*—(x*,y*) = Y,yWi - ^(x*)) = °' (5-n i=l dohromady s ostatními podmínkami, je vyžadováno, aby všechny výrazy v obou těchto sumách byly nulové. Tedy jestliže jedna z nerovností vyhovuje řešení i v případě, že je ostrá, potom je odpovídající (duální) proměnná rovna nule. d F <9g (x*)— y*——(x*) < O implikuje x* = O, j = 1, 2,..., n, (5.12 Pi (x*) < 6Z implikuje ?/* = 0, i = 1, 2,..., m, (5.13) Tyto podmínky jsou známé jako slabé doplňující podmínky nelineárního programování. Podmínka 5.11 také implikuje, že pro řešení je hodnota Lagrangiánu zároveň maximální hodnota účelové funkce. L(x*,y*) = F(x*) = F*. (5.14) Podle podmínek Věty Kulma-Tuckera platí, že jestliže je splněno vhodné silné omezení, pak Kuhn-Tuckerovy podmínky jsou nutné podmínky pro úlohy nelineárního programování, takže když x* je řešením 5.1, pak zde existuje vektor Lagrangeových multiplikátorů y* splňující 5.5. Stejně jako v případě klasického programování, řešení metodou Lagrangeových multiplikátoru interpretujeme jako citlivosti maximalizované hodnoty účelové funkce na změny omezujících konstant, * dF* , dF* kde F* je definována jako F* = F(x*) = L(x*,y*). (5.16) Přesněji, z doplňujících podmínek 5.13 vyplýva, že když v řešení je ostrá nerovnost, pak příslušný Lagrangeův multiplikátor je roven nule a tedy růst omezující konstanty o vhodně malou hodnotu nezmění maximalizovanou hodnotu účelové funkce. (5.15) 5.2 Věta Kuhn-Tuckera o sedlovém bodě Věta, která je analogická Větě o postačujících podmínkách pro úlohy bez omezení a Větě o postačujících podmínkách úlohy klasického programování, je reprezentována Kuhn-Tuckerovou větou o sedlovém bodu. Vezmeme-li Lagrangeovu funkci definovanou v 5.4, pak sedlový bod je definován jako: max min L(x, y) pro x > 0, y > 0. (5-17) x y Tudíž x*, y* řeší úlohu o sedlovém bodě právě tehdy, když pro všechna x > 0, y > 0 platí, L(x,y*) 0 (nebo když nezápornost x není částí úlohy), podmínky 5.8 a 5.9, když všechna x* > 0 (nebo když nezápornost x není část problému). d F dn ^-(x*)=y*^, y*>0. (5.19) 0>x 0>x Tudíž gradient účelové funkce musí být v řešení nezáporná vážená kombinace gradientů omezující funkce. Vektor gradientu účelové funkce musí proto ležet v kuželu generovaném normálami k množině příležitostí v bodě x*. 5.3 Příklad: Úloha kvadratického programování Příkladem úlohy nelineárního programování je úloha kvadratického programování (jako v 4.17, kde omezení jsou ve formě množiny nerovností) (5.20) 1 maxF(x) = cx-|—x'Qx pro Ax < b, x > 0. (5.20) x 2 Zde c je daný 1 x n řádkový vektor, Q je daná n x n negativně semidefinitní symetrická matice, A je daná m x n matice a b je daný m x 1 sloupcový vektor. Lagrangián (Lagrangeho polynom) je daný v 4.19 a Kuhn - Tuckerovy podmínky jsou f = c + x*'Q - y*A < 0lxn, f = b - Ax* > 0mxl, f x* = (c + x*'Q - y*A)x* = 0, y*§ = y*(b - Ax*) = 0, (5.21) x* > 0, y* > 0. Tyto podmínky charakterizují řešení úlohy. Protože Q je negativně semidefinitní, účelová funkce -F(x) je konkávni a lineární transformace Ax je konvexní. Mimoto jsou splněny omezující kvalifikované podmínky. Úloha je jedna z úloh konkávního programování, ve které Kuhn - Tuckerovy podmínky 5.21 jsou obě nutné a dostačující. Vektor x* tak řeší úlohu kvadratického programování 5.20 právě tehdy, když y* je takové, že x*, y* vyhovují Kuhn - Tuckerovým podmínkám 5.21. 6 Lineární programování Úloha lineárního programování je to, že vybereme nezáporné hodnoty n proměnných tak, že maximalizujeme lineární tvar těchto proměnných, za podmínek omezení m lineárními nerovnicemi. maxcx pro Ax < b, x > 0. (6-1) x x je vektor nástrojů stejně jako v 2.1, 3.1 a 4.1; A je daná m x n matice (<%); b je daný sloupcový vektor s m prvky jako v 4.1 a 5.1; a c je daný řádkový n-rozměrný vektor. Z pohledu úlohy nelineárního programování 5.1 lineární úloha odpovídá případu, ve kterém je účelová funkce v lineárním tvaru. n F(x) = cx = J]cJxJ, (6.2) j=i a každá z omezujících funkcí je rovněž v lineárním tvaru n g(x) = Ax tj. gi(xi,x2,...,xn) = ^2aijXj, i = 1, 2,..., ra. (6.3) j=i Úloha je tedy speciálním případem úlohy nelineárního programování a je dvojnásobně lineární proto, že je lineární jak v účelové funkci, tak i v omezujících podmínkách. Poněvadž lineární tvar je jak konkávni, tak i konvexní, úloha, uvažovaná jako speciální případ úlohy nelineárního programování, je ekvivalentní s úlohou sedlového bodu max min L(x, y) = cx + y(b — Ax) pro x > 0, y > 0. (6-4) x y S každou úlohou lineárního programování souvisí duální úloha. Jestliže primární úloha je daná jako v 6.1, pak duální úloha je minyb pro yA > c, y > 0. (6.5) v Tato úloha je rovněž hledáním extrémů lineární formy s omezujícími podmínkami množiny lineárních nerovností omezené výběrem nezáporných hodnot proměnných. Proměnné duální úlohy, y, jsou Lagrangeovými multiplikátory primární úlohy. Duální úloha duální úlohy je primární úloha, duální úlohou minimalizační úlohy je maximalizační úloha, v duální úloze omezující konstanty se stávají koeficienty účelové funkce, zatímco koeficienty účelové funkce se stávají omezujícími konstantami. Úloha sedlového bodu pro duální úlohu je min max L(y, x) = yb + (c — yA)x pro y > 0, x > 0. (6.6) y x a tedy Lagrangeova funkce je stejná jak pro primární, tak pro duální úlohu L(x,y) = L(y,x) = cx + yb - yAx. (6.7) Kuhn - Tuckerovy podmínky, které jsou stejné jak pro primární, tak pro duální úlohu, jsou § = c - y*A < 0lxn, § = b - Ax* > 0mxl, § x* = (c - y*A)x* = 0, y*f =y*(b-Ax*) = 0, (6.8) x* > 0, y* > 0 Tři hlavní věty lineárního programování - věta o existenci, věta o dualitě a slabá doplňující věta - mohou být dokázány na základě těchto Kuhn-Tuckerových podmínek. 6.1 Věta o existenci Podle věty o existenci platí, že když přípustné body existují jak pro primární, tak pro duální úlohu, pak optimální řešení existují pro obě úlohy. Tedy jestliže existují x0, y0 takové, že Ax° < b, x° > 0, y°A > c, y° > 0, (6.9) pak existují x*, y* řešící jak primární, tak i duální úlohu. 6.2 Věta o dualitě Z věty o dualitě vyplývá že, pro každé přípustné vektory x°, y° jak pro primární, tak duální úlohu platí cx° 0 implikuje y* = 0, z = 1,2,... m. n (6.14) srovnávací stabilita, protože porovnává dvě rovnovážné situace - počáteční rovnováhu a rovnováhu po jedné nebo více změnách v parametrech. Charakteristika řešení je obyčejně založena na podmínkách 1. řádu úlohy matematického programování a analýza srovnávací statistikyje založena na rozdílu podmínek 1. řádu. Výsledek kvalitativního nebo kvantitativního určení o tom, jak parametry ovlivňují řešení, dává jisté omezení v řešení. 7.1 Věta srovnávací stability Předpokládaná úloha jistého ekonomického subjektu může být charakterizována jako výběr jistých proměnných x stejně jako v úloze klasického programování 4.1 s jednoduchým omezením. Účelová funkce a omezení mohou záviset na ^-rozměrném sloupcovém vektoru parametrů a, a tedy úloha může být vyjádřena jako maxF(x, a) pro g(x, a) = b. (7.1) x Řešení této úlohy je charakterizováno podmínkami 1. řádu 4.7 a 4.8, které zde jsou ve tvaru 6-#(x,a) = 0, (7.2) x* = x*(a, b) (7.4) V* = Ž/*(a, b). Vložením tohoto řešení do podmínek 1. řádu dostáváme n + 1 identit (7.5) b- g(Ma, b),a) = O, (7.6) —- (x(a, b), a) - y(a, b) — (x(a, 6), a) = 0. (7.7) ax ax Předpokládané funkce -F(x) a g(x) jsou spojitě diferencovatelné, identity 7.6 a 7.7 můžeme diferencovat do tvaru d6-^dx-^da = 0, (7.8) <9x <9a d2F, a2F , /^V, d2g, <92# , _ , -r-r dx+ da- — d y - y^—, d x - y da = 0, (7.9) <9x2 oxaa V ox / <9x2 axaa kde <9g / <9g <9g <9g kde předpokládáme, že ohraničená Hessova matice je regulárni. (7.10) <9a \dai (9a2 <9ag dx = (dxi, dx2, ■ ■ ■, dxn)', (7-11) da = (d<2i, d<22, • • •, dan)', (7-12) Řešení pro dx a dy dává, v maticovém zápisu, (7.13) S užitím tohoto výsledku a s předpoklady, že F{pí) a g(x) jsou spojitě diferencovatelné, je zde přípustný bod a ohraničená Hessova matice je regulární, srovnávací statická věta udává, že existuje téměř vždy zobecněná Slutského rovnice ve formě <9x <9a <9x <9a comp 1 (dx. y \db (7.14) Zde "comp" značí, že je kompenzována parciální derivace podle a b tak, že F je konstantní. Tuto zobecněnou rovnici lze přepsat do tvaru Zde jsou výrazy vlevo "pozorovatelné", derivace vybraných proměných podle q + 1 parametrů, derivace podle b, vážená derivací g dle a. Výrazy vpravo jsou "nepozorovatelné", první je matice kompenzované parciální derivace a druhá je nepozorovatelná, když je účelová funkce jedinečná pouze na monotóní transformaci. Matice n x q vpravo, S (a, b), je zobecněná matice substitučního efektu. Druhá část věty dává, že pokud q = n, tedy S {a, b) je čtvercová, potom je symetrická tehdy a jen tehdy, když obě funkce, účelová funkce F {pí, a) a omezující funkce g {pí, a) mohou být zapsány jako kde Ap a Ag jsou konstanty. Konečně, kvadratická forma S {a, b) je negativně semidefinitní, pokud platí (7.15) F(x, a) = Apa'pí + ßF{pi) + 7f(x) (7.16) g {pí, a) = Aga'pí + ßg{pi) + jg{pí) (7.17) AF -yAg>0 (7.18) 8 Neoklasická teorie domácnosti Domácnost a firma jsou dva velmi důležité mikroekonomické subjekty. Stejně jako u ekonomického subjektu, je u domácnosti předpokládáno chování vedoucí k maximalizaci užitečnosti podřízené rozpočtovému omezení. Předpokládejme n dostupných druhů zboží (a služeb), označme x sloupcový vektor množství zboží nakupovaného a spotřebovávaného domácností x = Oi, :r2, • • • ,xn)'; (8.1) U{x) označme funkci užitečnosti pro domácnost, U{x) = U{x1,x2,...,xn), (8.2) udávající užitečnost jako funkci spotřebovaného množství; p buď řádkový vektor (kladných) daných cen zboží, P = (PljP2, • • • ,Pn)', (8.3) a I buď (kladný) daný dostupný příjem domácnosti. Problém domácnosti pak lze zapsat max U (x) pro px < /, x > 0 (8-4) x Domácnost vybírá nezáporná množství zboží x tak, aby maximalizovala funkci užitečnosti při respektování rozpočtového omezení n V^ = ^2vjXj 0 f£ x = (g - yp) x = 0, y^ = y(I - px) = 0 " y ~ v ; Navíc y* má interpretaci marginální užitečnosti peněz (nebo marginální užitečnosti příjmu), MUm, y* = 3U*/dI = MUmi (8.8) kde U* je maximalizovaná hodnota užitečnosti U* = U(x.*). (8.9) Totiž při konstantním y* máme z předchozího vztahu 8.7 |^x*(i") = y*I. Derivujeme-li dle /, obdržíme pakdU*/dI = %?ft = y*. Jsou-li ceny a příjem kladné a užitečnost je monotóně rostoucí ve všech spotřebních úrovních dU/dxj = MUj > 0, (8.10) kde MUj je (kladná) marginální užitečnost zboží j, můžeme pak odvodit, že růst příjmu umožní domácnosti nakoupit více zboží a tak zvýšit užitek. Takže y*} marginální užitečnost zvýšení příjmu, je kladná a, ze slabé doplňující podmínky plyne, že celý příjem je utracen. px* = / (8.11) Z Kuhn-Tuckerových podmínek plyne, že produkt marginální užitečnosti příjmu a cena zboží určují horní hranici pro marginální užitečnost každého zboží MUj 0), podmínka 8.12 přechází v rovnost. Takže je-li j-té zboží nakupováno takže poměr marginální užitečnosti k ceně je tentýž pro všechny druhy zboží, které jsou aktuálně nakupovány, tento poměr nazveme marginální užitečností peněz. Pokud 8.12 dává ostrou nerovnost, pak dle komplementární podmínky není dané zboží nakupováno (x* = 0). 8.1 Věta o poptávce V souladu s větou o poptávce zde existuje řešení pro požadované nakupované zboží x* a marginální užitečnost peněz ?/*, jež mohou být považovány za funkci n + 1 parametrů, jmenovitě n cen a příjmů, pa/, MUj/pj (f MU, x* =x*(p,/), (8.14) y* = y*(p,l) (8.15) předpokládáme x* > 0, U{x) spojitě diferencovatelná do druhého řádu včetně v nejbližším okolí x*, px* = / (nenasycení) a Hessova matice je regulární. Funkce 8.14 je poptávková funkce pro n druhů zboží, její existence plyne z teori implicitní funkce. Omezíme-li pozornost na zboží, které je aktuálně poptáváno, podmínka prvního řádu, užívaje řešení, může být zapsána jako n + 1 identit dU (x*(p,I))=y*(p,I)p, (8.17) <9x px*(p,/) = /. (8.18) (Omezení pozornosti na zboží, které je aktuálně poptáváno, nepřipouští situaci, ve které při změně parametru zboží, jež není poptáváno, může toto již být poptáváno). V souladu s teorii, podmínky charakterizují rovnovážný stav domácnosti. Pokud poptávková funkce U (x) je ostře konkávni, jsou obě nutnými a dostačujícími podmínkami pro rovnováhu. Dále podle teorie je n poptávkových funkcí v 8.14 pozitivně homogenních stupně nula v cenách a příjmu, jestliže změna p, I na A • p, A • I nezmění úlohu pokud A > 0. (Pouze donucení je ovlivněno, a A • p • x < A • I je ekvivalentní k p • x < I při A > 0.) Zvolíme-li A = 1/1, poptávková funkce může být psána x*(Ap,A7) x*(p,7), V A, A>0 (8.19) (8.20) kde p* je vektor cen relativně vztažených k důchodu, P* = (Pl/I,P2/I, ...,Pn/I) (8.21) Zde poptávka závisí pouze na cenách relativně vztažených k důchodu. Teorie poptávky potom charakterizuje poptávkové funkce, určuje jejich homogenitu a indikuje jejich závislost na relativních cenách. 8.2 Slutského věta Slutského věta sumarizuje porovnávací statiku domácnosti, obdrženou jako diferenciaci podmínek 8.17 a 8.18 podle cen a důchodu. Dle kapitoly 7 dostáváme základní maticovou rovnici teorie domácnosti ' di \ <9x* dl dp cht* dp d]ŕ dp <9x* 9p comp comp \ I 0 -p -p' H -1 x*' 0 0 2/*In ž/*Ir (8.22) kde výsledky porovnávací stability jsou sumarizovány dle změn v řešení y*, x* jako parametrů změn lap, . d2U* d]f dl di2 dl \ dl ' dl ' - - - ' dl d]f dp dp dy* dy* dpi ' 9p2' ' dpn / dx* 1 Wi \ dxi dpi dx* dp2 dx* dp2 (8.23) dx* \ dpn ' dpn ' a všechny proměnné a derivace jsou počítány pro hodnoty řešení y*, x*. Zde "comp" značí, že je kompenzována parciální derivace podle cen, kde důchod je kompenzován tak, že poptávka je konstantní; H je Hessova matice dle 8.16, u níž je předpokládána negativní definitnost a invertibilita, hraniční Hessova matice je regulární a In je identická matice typu nxn. Řešení základní rovnosti, při invertování rozložených matic, dává Slutského rovnost, (8.24) <9p \ 9p , \ r- / comp \ ľ / corrvn \ / í-n. \ i ru , comp vyjadřující, že celkový efekt změny ceny na poptávku je součtem substitučního efektu kompenzované změny na poptávku a důchodového efektu změny důchodu na poptávku, kde důchodový efekt postihuje vážené —x*. Tato rovnice je první částí Slutského věty. Druhá část teorie uvádí, že matice substitučního efektu je symetrická a negativně semidefinitní, <9x*\ , , dx* dx* dxt dxt „ w , , je symetrická tj. ^ + —^ = —^ + -fr* V j,k, 8.25 comp dPk 91 dPj dl comp Poslední část věty je Engelova podmínka agregace í dx* z í — ) z < 0 a = 0 pro z = ap. (8.26) j=i Coumotova podmínka agregace dx*\ /cfe* + x*' = 0 tj. ]T^- —0+^ = 0, V/; (8.28) <9p J V ^ a podmínka homogenity <9x* <9p <9x* r o tj. Ec)oc a c)oc a k=i dl O, Vj. (8.29) 9 Neoklasická teorie firmy O firmě jako ekonomickém subjektu předpokládáme, že se chová tak, aby maximalizovala zisk za předpokladu technologických omezení produkční funkce. Za předpokladu, že firma používá n vstupů na produkci jediného výstupu, nechť x je sloupcový vektor vstupů x = (xi,x2, ■ ■ ■ ,xn)'- (9.1) q je výstup, /(x) je produkční funkce firmy Q = /(x) = f(xi,%2, ■ ■ ■ ,xn), (9-2) kde výstup je funkcí vstupů, w je řádkový vektor kladných vah vstupů w = (wi,w2, • • •, wn); (9.3) a p je kladná cena výstupu. Problém konkurenční firmy je pak max7T = pq — wx pro q = f(x), x > 0. (9-4) q, x Firma zvolí odpovídající hodnotu vstupů a výstupu tak, aby maximalizovala zisk 7r, uvedený ve vztahu 9.4 jako rozdíl mezi příjmy pq a náklady, které jsou dané jako celkové výdaje za všechny vstupy wx ">'> (9-5) j=i Produkční funkce může být dosazena přímo do účelové funkce, takže problém může být zapsán max7r(x) = pf(x.) — wx pro x > 0. (9.6) x Kuhn - Tuckerovy podmínky pak vyjadřují řešení x* Íx=^fx-W<0, gx = (pg£ - w) x = 0, (9.7) x > 0. Pak poměr vstupní hodnoty k výstupní udává horní limit marginální (mezní) produkce každého vstupu MPj = df/dxj < Wj/p, j = 1, 2,..., n. (9.8 Ze slabé doplňkové podmínky vyplývá, že pokud je vstup j nakoupen (tj. x j > 0), podmínka 9.8 se stává rovností, tedy je-li vstup j nakoupen, platí MPj = Wj/p, (9.9) a tedy poměr marginální produkce k bohatství (hodnota vstupu) je stejný pro všechny aktuálně nakoupené vstupy, běžný poměr bývá převrácená hodnota výstupní hodnoty (ceny). 9.1 Věta o nabídce Podle věty o nabídce existuje řešení pro nakoupené vstupy x*, které mohou obsahovat funkce z n + 1 parametrů, tedy n vah w a výstupní cena p x* =x*(w,p), (9.10) za předpokladu x* > 0, /(x) je dvojnásobně spojitě diferencovatelná funkce v okolí x* a Hessova matice TT d2f d fdf\ je regulární. Funkce v 9.10 jsou vstupní poptávkové funkce, jejichž existence je zaručena. Výstupní nabídková funkce je pak q*=q*(w,p)=f(x*). (9.12) Omezeníme-li pozornost na vstupy, které jsou aktuálně nakoupeny, podmínky 1. řádu, použité při řešení, jsou identity df P^(x*(w,p)) = w, (9.13) 0, (9.15) 4*(Aw, Xp) = q*(w,p), protože změna w,p na Aw, Xp změní pouze tt ve vztahu 9.4 a maximalizací Xtt dostáváme stejné řešení jako maximalizací tt za předpokladu A > 0. Výběrem A = 1/p pak vstupní poptávkové funkce a výstupní nabídková funkce mohou být zapsány x* =x* (±w) =x*(w*), y J (9.i6) q* = q* (JwJ = q*(w*), kde w* je vektor reálných hodnot vstupu (bohatství), tj. relativní hodnoty k výstupní ceně w* = {w1/p,w2/p, ■ ■ ■ ,wn/p). (9.17) Pak vstupní poptávka závisí pouze na n reálných vahách. Věta o nabídce proto charakterizuje jak vstupní poptávkovou tak i výstupní nabídkovou funkci, udává jejich homogenitu a ukazuje jejich závislost na reálných vahách. 9.2 Teorie srovnávací stability firmy Teorie srovnávací stability firmy je získaná pomocí rozdílů podmínek první nabídky 9.13 a 9.14 s ohledem na vstupní ceny w a výstupní cenu p. Sledujíce přístup z odstavce 7 obdržíme základní maticovou rovnici teorie firmy V dp <9x* dy _1 äĹ <9x O pil (9.18) (I) i dp dw J kde srovnávací stabilita řešení je shrnuta pomocí změny na řešení q*, x* taktéž s parametry p a w. dg* dp dy dp dxi dxi dxi dp 1 dp ' ' ' ' ' <9p <9x* dw dg* _ / dg* dg* dg* dw \ dw\ ' dw2 ' ' ' ' ' <9i/Ji V 9x* dw2 dx* (9.19) M. \ dwn dx* ) dw\ dw2 ' ' ' dwr a všechny proměnné a derivace jsou vypočteny v hodnotách řešení q*, x*. Derivací df/dx. je zde vektor marginálních produktů, H je Hessova matice 9.11, o které předpokládáme, že je negativně definitní a In je identická matice typu n x n. Řešení základní rovnice vede na vztah q*/dw = —dx*/dp tj. dq*/dwj = —dx*/dp, Vj, (9.20) což nám říká, že efekt jakékoliv hodnoty na výstupu je identický, ale s opačným znaménkem než efekt výstupu ceny na stejný vstup. Tato rovnice je první částí věty. Druhá část věty uvádí, že matice efektů vah vstupních poptávek je symetrická a negativně definitní dx*/dw je symetrická t.j. dx*/dwk = dx*k/dvjj, Vj, k, (9.21) z(<9x*/dw)z < O a =0 pro z = aw. Poslední část věty tvrdí, že vzrůst výstupní ceny bude zvyšovat nabídku výstupu (9.22) dq*/dp > 0. (9.23) Firma může použít teorii lineárního programování. V takovém případě firma produkuje n výstupů Xi,..., xn s využitím m vstupů bi,..., bm. Produkce jedné jednotky výstupu j požaduje jednotek na vstupu i. Předpokládejme, že krátkodobě všechny vstupy jsou fixní, potom výběr firmy pouze je rozhod-nout, jaký mix výstupů produkce je dán těmito vstupy. Úloha je pak úloha klasického lineární programování maxcx pro Ax < b, x > 0, (9.24) x jako v 6.1. Účelová funkce maximalizace je celkový příjem, daný vztahem cx = ciXi + c2x2 H-----h cnxn, (9.25) kde Cj je daná cena a x j je vybraná úroveň výstupu j. Pak m omezení je ve formě anxi + ai2X2-\-----\-ainxn c, y > 0, y (9.27) jako v 6.5. Tato úloha může být interpretován jako výběr nezáporných hodnot {stínové ceny) pro vstupy y i, V2i ■ ■ ■ Vm tak, aby minimalizoval náklady vstupů yb = yYbi + y2b2 H-----h ymbm, kde yi je vybraná hodnota a bi je daná úroveň vstupu i. Pak n omezení je ve tvaru (9.28) ViCLij + V2d2j H-----\~ ymamj >Cj, j = 1,2,... n (9.29) který nám říká, že jednotkové náklady na zboží j, získané sečtením nákladů produkce jedné jednotky ze všech vstupů, není menší než cena tohoto zboží. Duální problém k problému rozdělení, primární úloha 9.24 je proto problém ohodnocení, duální úloha k 9.27. Podle doplňující podmínky 6.14, jestliže pro nějaký výstup j je nerovnost 9.29 ostrou nerovností, tak nákladová jednotka překročí cenu ( výstup je produkován se ztrátou), pak tento výstup není produkován (x* = 0). Podobně, jestliže pro nějaký vstup i je nerovnost 9.26 ostrá nerovnost, tak není celý vstup využit (přeroste nám nabídka), pak tento vstup je zboží zdarma pak při řešení duální úlohy celkové příjmy z výstupu se rovnají celkovým nákladům vstupů, tj. firma vyrábí s nulovým ziskem. Z tohoto shrnutí matematického programování s aplikací na ekonomii nám vyjdou dva závěry. 1. Různé problémy matematického programování, které zde jsou zpracována - úloha bez omezení, klasické programování, nelineární programování a lineární programování - všechny jsou vzájemně uzavřeny, s analogickými teoriemi ve všech případech. (y* = 0). A navíc z 6.13 cx = y b (9.30) 10 Závěry 2. Stejné problémy matematického programování jsou důležité při aplikaci v ekonomii, zvláště v mikroekonomické teorii domácností a firem. Řešení matematického programování vede u obou k charakteristice rovnováhy každého z těchto subjektů a analýza jejich srovnávací statistiky odpovídá změně parametrů, jako jsou ceny a důchod. Kapitola 2 Teorie spotřebitele Hlavním účelem teorie spotřebitele je určení vlivu pozorovatelných komoditních požadavků při alternativních předpokladech na cíle a pravidla chování uživatele a na omezení, která přijímá při tvorbě rozhodnutí. Tradiční model spotřebitele je založen na preferencích při možných výběrech, které popisují cíle spotřebitele. Přitom jeho pravidla chování jsou určena maximalizací těchto preferencí při omezení danými rozpočtem, která určují směnné možnosti. Hlavní výsledek naší teorie sestává z kvalitativních aspektů pozorovaných požadavků při změně jejich parametrů, které určují rozhodnutí spotřebitele. Historický vývoj teorie spotřebitele vyjadřuje dlouhou tradici zájmu ekonomů v tomto předmětu zkoumání, který prošel podstatnými koncepčními změnami až do jeho současné podoby. 1 Komodity a ceny Komodity lze rozdělit na zboží a služby. Každá komodita je zcela popsána svými fyzikálními charakteristikami, svým umístěním a časem, ve kterém je dostupná. V případě, že uvažujeme chování komodit při jistém stupni nejasnosti, lze pak přidat ještě dodatečné upřesnění. Tradiční teorie obvykle předpokládá, že existuje 57 / komodit, přičemž pro zkoumaný problém stačí konečný počet fyzikálních charakteristik, umístění atd. Komoditní svazek je posloupnost reálných čísel (xh), h = 1,..., / vyjadřujích množství každé komodity, lze jej tedy popsat jako /-dimenzionální vektor x = {x\,..., xi), tj. jako bod /-dimenzionálního euklidovského prostoru Rl, tzv. komoditního prostoru. Za předpokladu dokonalé dělitelnosti všech komodit je možné vzít každé reálné číslo jako množství každé komodity, tj. každý bod komoditního prostoru Rl je možným komoditním svazkem. Konečná specifikace počtu komodit přitom vylučuje aplikaci situací, ve kterých se charakteristika může měnit spojitě. Přitom takovéto situace vznikají přirozeným způsobem v kontextu výběru komodit na základě kvality resp. v teorii umístění, kdy je vhodným kritériem skutečná vzdálenost na povrchu. Cena ph komodity h,h = 1,..., / je reálné číslo, které nám vyjadřuje množství placené při výměně jedné jednotky této komodity. Lze tedy cenový systém (cenový vektor) p = (pi,... ,pi) reprezentovat jako bod v euklidovském prostoru Rl. Hodnota komoditního svazku x při daném cenovém vektoru p je pak p • x = Y^h=iPhxh- 2 Spotřebitelé Některé svazky komodit jsou spotřebitelem vyloučeny na základě fyzikálních nebo logických omezeních. Množina všech možný spotřebních svazků, které jsou možné, se nazývá spotřební množina. To je pak neprázdná podmnožina komoditního prostoru, kterou budeme označovat jako X. Obvykle jsou vstupy spotřeby popsány pozitivními množstvími a výstupy negativními. To pak zejména implikuje, že všechny složky práce spotřebního svazku x jsou nekladné. Obvykle budeme předpokládat, že spotřební množina X je uzavřená, konvexní a omezená zdola. Přitom omezení zdola je odůvodněno konečnými omezeními na množství práce, kterou je spotřebitel schopen vykonat. Spotřebitel si musí vybrat svazek ze své spotřební množiny, aby si zajistil existenci. Je-li dán cenový vektor p, hodnota p • x pro x G X nám označuje čisté náklady, tj. příjmy spojené se svazkem x odečtené od příslušných výdajů. Protože navíc spotřebitel obchoduje na trhu, jsou jeho možné výběry omezeny požadavkem, že hodnota jeho spotřeby by neměla převýšit jeho počáteční bohatství (příjem). To lze zadat ve tvaru pevného nezáporného čísla w. Navíc může mít spotřebitel k dispozici pevný vektor uj (E Rl počátečních zdrojů. Nutně pak w = p • uj. Množina možných spotřebních svazků, jejichž hodnota nepřevýší počáteční bohatství spotřebitele se nazývá rozpočtová množina a je určena vztahem f3(p, w) = {x G X : p • x < w}. (2.1) Konečné rozhodnutí spotřebitele pro výběr svazku ze spotřební množiny závisí na jeho zálibách a přáních. Ty jsou pak reprezentovány jeho relací preference >z, což je binární relace na X . Pro každé dva svazky x a y, x, y (E X, x >z y znamená, že x je alespoň tak dobré jako y. Vzhledem k těmto preferencím si spotřebitel vybere nejvíce preferovaný svazek v rozpočtové množině jako svůj požadavek (poptávku). Ten je pak definován jako Větší část teorie spotřebitele je založena spíše na popisu chování spotřebitele pomocí maximalizace funkcí užitečnosti než maximalizací preferencí. Přitom pojem relace preference je základnější pojem v teorii spotřebitele a je tedy brán jako výchozí bod každé analýzy chování spotřebitele. Vztah mezi relací preference a funkcí užitečnosti je hlavní kámen základů teorie spotřebitele. Následující analýza je proto založena na dvou částech. V první části se budeme věnovat axiomatickým základům teorie preferencí a teorie užitku spolu se základním poznatky o spotřebitelových požadavcích. V následující části se budeme spíše věnovat klasičtějším výsledkům v kontextu diferencovatelnosti funkcí požadavků. 3 Preference Mezi alternativními svazky komodit ze spotřební množiny máme vztah určený relací preference ^ na X. Pro dva svazky x a y z X budeme číst výrok x >z y jako svazek komodit £ je alespoň tak dobrý jako svazek komodit y. Obvykle předpokládáme tři základní axiomy vložené na relaci preference, které často považujeme za definici racionálního spotřebitele. Axiom 1 (Reflexivita) (f(p, w) = {x G f3(p, w) : x' G f3(p, w) ==> (x >z x' nebo neplatí x' >z x)}. (2.2) Pro všechna x G X platí x >z x, tj. každý svazek je alespoň tak dobrý jako on sám. Axiom 2 (Tranzitivita) Pro každé tři svazky x, y, z G X takové, že x >z y, y h z platí x >z z. Axiom 3 (Úplnost) Pro každé dva svazky x, y G X platí buď x >z y nebo y h x. Relace preference >z, která splňuje výše uvedené tři axiomy, se nazývá úplné předuspořádánía my budeme mluvit o preferenčním uspořádání. Přitom lze z preferenčního uspořádání odvodit dva jiné vztahy - relaci ostré preference >- a relaci indiference ~. Definice. Svazek x je ostře preferován před svazkem y, tj. x^y právě tehdy, když x>zy a neplatí y>zx. Svazek x je indiferentní se svazkem y, tj. x~y právě tehdy, když x>zy a y>zx. Protože je preferenční uspořádání reflexivní a tranzitivní, je nutně relace ostré preference ireflexivní a tranzitivní. Budeme dále předpokládat, že existují alespoň dva svazky x' a x" tak, že x'yx". Relace indiference definuje na X relaci ekvivalence, tj. je reflexivní, symetrická a tranzitivní. Platnost těchto tří axiómů není zpochybňována ve většině teorií spotřebitele. Tyto axiomy nám představují předpoklady, které většinou odpovídají empirickým pozorováním. Občas ale některé chování spotřebitele vykazuje nekonzistenci zejména s tranzitivitou a úplností. Totiž, někteří ekonomové argumentují tím, že je příliš moc požadovat po spotřebiteli porovnat všechny možné svazky, když jeho skutečná rozhodnutí budou realizována pouze na jisté podmnožině spotřební množiny. Empirická pozorování nebo experimentální výsledky často indikují netranzitivitu výběru. To může nastat v důsledku jednoduchých chyb, které jednotlivci dělají v reálném životě. Z druhé strany, tranzitivita může být narušena jako důsledek jistých teoretických příčin. Například, jestliže množina spotřebitelů tvoří domácnost, kde se rozhoduje podle pravidla většiny, relace preference může být netranzitivní. Přitom lze místo tranzitivity použít slabší axiomy, abychom dostali smysluplnou teorii. Možnost definování ostré preference >- ze slabšího preferenčního uspořádání a obráceně, indikuje v principu možný alternativní přístup vyjití z relace ostré preference a odvození >z a ~. To lze považovat za vhodný přístup v některých situacích, který je o něco obecnější, protože axiom úplnosti nemá takovou roli jako pro preferenční uspořádání. Přitom však odvozená relace indiference nemusí být tranzitivní. Z empirického pohledu je však pojem preferenčního uspořádání přirozenější. Pozorovaný výběr svazku x před svazkem y lze interpretovat ve smyslu preferenčního uspořádání a ne ve smyslu ostré preference. Axiomy 1-3 popisují vlastnosti uspořádání relace preference, které mají intuitivní význam v teorii výběru. Přitom je nutno předpokládat jisté topologické vlastnosti relace >z. Nejvíce používaný je následující: Axiom 4 (Spojitost) Pro všechna x G X jsou množiny "[(x) = {y G X : yhx} a -l(x) = {y G X : x^y} uzavřené vzhledem k množině X. Množina t(x) se nazývá hlavní filtr a množina ^(x) se nazývá hlavní ideál. Intuitivně axiom 4 požaduje, aby se spotřebitel choval konzistentně v malém okolí tj. je-li dána nějaká posloupnost yn —^ y G X, yn G ^{x) pro všechna n, je i y G -l(x). Podobně i duálně. Zároveň dostáváme, že pro preferenční uspořádání >z je průnik hlavního filtru a hlavního ideálu třída indiference I(x) = {y (E X : y^x] uzavřená množina vzhledem k množině X na základě axiomu 4. Alternativní svazky indiferentní s x tvoří známé křivky indiference pro případ, kdy X C R2. Mimo to okamžitě z axiómů 1-4 dostáváme, že množiny ^s(x) = {y G X : y*>-x} a ■ls(x) = {y ^ X : x^y} jsou otevřené vzhledem k množině X. Mluvíme pak o ostrém hlavním filtru a ostrém hlavním ideálu. Připomeňme, že mnoho známých relací preference nemá vlastnost spojitosti. Nejznámějším příkladem je lexikografické uspořádání, což je ve skutečnosti relace ostré preference, jejíž třídy indiference jsou jednoprvkové. Definice. Buďte x = (x±,... ,xi), y = (yi,... ,yi) G Rl. Pak říkáme, že x je lexikograficky větší než y a t • • ^ • 7 i / 7 / 7 ^ i ~ xí = yí Pr0 j < k píšeme xLexy, jestliže existuje k, l < k < l tak, ze ^ > y Snadno se pak ověří, že filtr 'f(x) není ani uzavřený ani otevřený. Věta 3.1 [Schmeidler (1971)] Buď >z tranzitivní binární relace na souvislém topologickém prostoru X. Definujme sdruženou relace ostré preference >- předpisem xy-y právě tehdy, když x^y a neplatí y^x. Zároveň předpokládejme, že relace ostré preference je neprázdná tj. existuje alespoň jedna dvojice x, y tak, že xy-y. Jsou-li navíc všechny hlavní filtry a hlavní ideály uzavřené a všechny ostré hlavní filtry a ostré hlavní ideály otevřené, je relace >z úplná. Důkaz. Důkaz zásadně využívá tu skutečnost, že jediná neprázdná obojetná množina (tj. zároveň uzavřená i otevřená) je celý topologický prostor X. Ukažme tedy nejprve, že máme-li dva prvky x a y tak, že xy-y, je nutně X = {z : zy-y} U {z : xy-z}. Evidentně, {z : zy-y} U {z : xy-z} C {z : z^y} U {z : x>zz}. Zejména pak levá strana inkluze je otevřená množina a pravá strana je uzavřená množina. Stačí tedy dokázat jejich rovnost. Předpokládejme, že prvek u G t(ž/)> u ^ ts(ž/)- Tedy nutně y~u tj. y>zu. Protože xy-y, je i xy-u tj. u G -ls(x). Analogicky, nechť prvek u G -l(x), u ^ -ls(x) tj. u^x. Pak i uy-y tj. u G ts(ž/)- Předpokládejme nyní, že existují dva nesrovnatelné prvky v X, řekněme v a w. Protože existuje alespoň jedna dvojice prvků x, y tak, že xy-y, je nutně X = {z : zy-y} U {z : xy-z}. Nutně tedy buď vy-y nebo xy-v. Předpokládejme nejprve, že vy-y. Odtud pak X = {z : zy-y} U {z : vy-z}. Protože v a w nejsou srovnatelné, je wy-y a vy-y. Přitom množiny -ls(v) a -ls(w) jso otevřené, tedy i jejich průnik je otevřená množina. Protože y G -ls(v) o -ls(w), je průnik neprázdný a protože v a w jsou nesrovnatelné, nemohou oba prvky ležet v průniku. Ukažme, že {z : vy z} n {z : wyz} = {z : vy z} U {z : w^z}. Nechť v>-z, wyz a z neleží v průniku tj. např. neleží v {s : vys}. Tedy z~yv. Z tranzitivity pak wy_v, což je spor. Podobně, neleží-li zv {s : wys}, je zy_w a tedy vy_w, což je opět spor. Celkem je pak {z : vy z} n {z : wyz} uzavřená, neprázdná. Je tedy rovna X, což je opět spor. Jsou tedy v a w srovnatelné. i 4 Funkce užitečnosti Problém reprezentace relace preference pomocí číselné funkce byl vyřešen v publikacích Eilenberga (1941), Debreua (1954, 1959 a 1964), Radera (1963) a Bowena (1968). Z historického pohledu pojem funkce užitečnosti je základní pojem pro míru spotřebitelovy spokojenosti. Pareto (1896) byl první, který rozpoznal, že libovolná rostoucí transformace dané funkce užitečnosti zajistí identické maximalizační chování spotřebitele. Jejich důležitost a metodologické důsledky rozpoznali Slutsky (1915) a Wold (1943-1944), kteří provedli první vážnou studii problému reprezentace. Definice. Buď X množina a y binární relace na X. Pak funkce u : X —> R je reprezentace relace y tj. funkce užitečnosti pro preferenční relaci y, jestliže pro všechny prvky x,y G X platí: u{x) > u{y) právě tehdy, když x>zy. Je jasné, že pro každou funkci užitečnosti u a každou rostoucí transformaci / : R —> R je složení v = f o u také funkce užitečnosti pro tutéž relaci preference y. Poznamenejme pro úplnost, že v literatuře byly zavedeny zobecnění výše uvedené definice. Jejich použití v teorii spotřebitele se však neukázalo užitečné. Základní požadavek na funkci užitečnosti pro aplikace v teorii spotřebitele je, že funkce užitečnosti má být spojitá. Snadno je pak vidět, že axiomy 1-4 jsou nutné podmínky pro existenci spojité funkce užitku. Totiž axiomy 1-3 přímo plynou z definice reprezentace. Abychom dokázali nutnost axiomu 4 o spojitosti funkce u, stačí pozorovat, že pro každý bod x G X platí ^x = {z G X : u{z) > u(x)} & ^x = {z £ X : u{z) < u(x)}, což jsou uzavřené množiny ze spojitosti funkce u. Základní výsledek teorie užitečnosti je, že axiom 4 kombinovaný s nějakými slabými předpoklady na množinu X je dostatečnou podmínkou pro spojitost funkce u. Přitom platí následující tvrzení dokázané Debreuem (1964). Připomeňme, že dírou množiny S C [—oo, oo] je maximální nedegenerovaný interval obsažený v doplňku množiny S, který má horní a dolní závoru obsažené v množině S. Věta 4.1 Je-li S C [—oc,oc], pak existuje rostoucí funkce g : S —^ [—00,00] tak, že všechny díry množiny g(S) jsou otevřené. Věta 4.2 Bud! X topologický prostor se spočetnou bazí (resp. souvislý nebo separabilní topologický prostor). Dále bud! >z spojité preferenční uspořádání definované na X. Pak existuje spojitá funkce užitečnosti pro relaci Důkaz. Dokažme tvrzení pro případ, kdy X má spočetnou bázi. Nejprve najděme vhodnou funkci užitečnosti. Nechť tedy 0\,02,--- jsou otevřené množiny obsažené ve spočetné bázi. Pro každé x uvažme množinu N(x) = {n : x^z pro všechna z G On} a definujme tvEN(x) Je-li y>zx, pak je i N(x) C N (y) a tedy i v{x) < v(y). Obráceně, je -li y>~x, pak existuje n G N (y) tak, že x G Onj ale neplatí n G N (x). Proto je i N (x) $Z N (y). Je tedy v funkce užitečnosti. Definujme nyní novou funkci u = g o i?, kde g je funkce z věty 4.1. Pak jsou dle této věty všechny díry množiny u(X) = g(v(X)) otevřené. Abychom ověřili spojitost funkce u, stačí ukázat, že pro všechna t G [—00,00] jsou množiny 00]) a 00, ŕ]) uzavřené. Je-li t G tí(X), pak existuje y G X tak, že = ŕ. Pak zejména 00]) = {a: G X : 2;^?/} a 00, ŕ]) = {a; G X : Obě tyto množiny jsou uzavřené na základě spojitosti relace >z. Pokud t ^ u(X) a není-li t obsaženo v nějaké díře, nutně platí (a) t < inf{u(x) : x G X}, nebo (b) t > sup{u(x) : x G X}, nebo (c) [t, 00] = n{[a5 00] : a (E u(X), a < 00} [—00, t] = (~){[—00, a] : a G u(X),a < 00}. Platí-li (a), je nutně u~1{[t1 00]) = X a 00, ŕ]) = 0. Platí-li (b), je zřejmě 00]) = 0 a 00, ŕ]) = X. Přitom jak X tak 0 jsou uzavřené množiny. Platí-li (c), je 00]) = f] 00] : a (E tí(X), a < 00}) 00, ŕ]) = f] u-1 ({[—00, a] : a G u(X),a < 00}). Přitom množiny na pravé straně jsou evidentně uzavřené, je tedy uzavřený i jejich průnik. Nechť tedy t leží v otevřené díře, tj. t 6[, kde a, b G ií(X). Pak w_1([t,oo]) = w_1([6,oo]) 00, ŕ]) = 00, a]). Opětovně, množiny na pravé straně jsou nutně uzavřené. i 5 Vlastností preferencí a funkcí užitečnosti V aplikacích se často přidávají dodatečné předpoklady na relace preference a funkce užitečnosti. Budeme v dalším diskutovat ty nejvíce rozšířené. 5.1 Monotonie, nenasycenost a konvexnost Definice. Relace preference >z na Rl se nazývá monotónní, jestliže x > y a x 7^ y implikuje x^y. Tato vlastnost vyjadřuje, že je preferované vice zboží před méně zbožím tj. všechna zboží jsou žádaná. Sdružená funkce užitečnosti monotónního preferenčního uspořádání je rostoucí funkce na Rl. Definice. Bod x G X se nazývá bod nasycenosti pro preferenční uspořádání >z, jestliže x>zy pro všechna yeX. Je tedy bod nasycenosti maximální prvek vzhledem k relaci preference. Větší díl teorie spotřebitele se věnuje situacím, ve kterých takováto globální maxima neexistují nebo alespoň diskusím o problémech poptávky, pokud zlepšení situace spotřebitele může být dosaženo změnou jeho spotřebitelského svazku. Jinak řečeno, situace, které budou diskutovány, budou nenasycené body. Můžeme-li pro jistý bod x najít v jeho blízkém okolí zlepšení situace spotřebitele, řekneme, že spotřebitel je lokálně neuspokojený v bodě x. Přesněji: Definice. Řekneme, že spotřebitel je lokálně neuspokojený v bodě x G X, jestliže pro každé okolí V bodu x existuje bod z G V tak, že z^x. Z této vlastnosti vyplývá, že je vyloučena existence třídy indiference bodu x s neprázdným vnitřkem a že je tedy funkce užitečnosti nekonstantní v okolí bodu x. Definice. Relace preference >z na množině X C Rl se nazývá konvexní, jestliže je množina {y £ X : y^x} konvexní pro všechny body x G X. Připomeňme, že funkce u : X —> R se nazývá kvazikonkávní, jestliže platí mm{u(x), u(y)} < u(\x+ (1 — X)y) pro všechna x,y G X a všechna A, 0 < A < 1. Evidentně pak je funkce užitečnosti u pro preferenční uspořádání >z kvazikonkávní právě tehdy, když je preferenční uspořádání konvexní. Je tedy kvazikonkávnost vlastnost přímo spojená s uspořádáním a je zachovávána při rostoucích transformacích. O takovýchto vlastnostech funkce užitečnosti mluvíme jako o ordinálních vlastnostech na rozdíl od kardinálních vlastností, které jsou spojené s určitou reprezentací u. Konkávnost je pak takováto kardinální vlastnost. Definice. Relace preference se nazývá ostře konvexní, jestliže pro všechna x, x' G X, x ^ x', x>zx', 0 < A < 1 implikuje Xx + (1 — X)x' > x'. Přidružená funkce užitečnosti ostře konvexní relace preference je vždy ostře kvazikonkávní. Přitom ostrá konvexnost nám zaručuje neexistenci takových relací preference, pro které příslušná relace preference a třída indiference nemá vnitřní body. Je lehce vidět, že hlavní filtry kvazikonkávní funkce jsou konvexní. Je proto funkce užitečnosti pro preferenční uspořádání >z kvazikonkávní právě tehdy, když je preferenční uspořádání konvexní. Je proto kvazi-konkávnost zachovávána při rostoucích transformací. Takové vlastnosti jako kvazikonkávnost jsou nazývány ordinální'na rozdíl od kardinálních vlastností, které jsou vztaženy ke specifické funkci užitečnosti u. Takovou vlastností je například konkávnost. Definice. Preferenční uspořádání se nazývá ostře konvexní, jestliže pro každé dva svazky x a x', x ^ x', x^x' a pro 0 < A < 1, Xx + (1 — X)x'>~x'. 5.2 Separabilita Buď N = {Nj}j=1 rozklad množiny {1,...,/} a předpokládejme, že spotřební množina X má tvar X = Iik-=1Xj. Takovéto rozklady vznikají přirozeným způsobem, pokud uvažujeme spotřebu vzhledem k různé době, místě apod. Řečeno jednoduše, separabilita pak implikuje, že preference pro svazky v každém členu rozkladu (tj. pro každou dobu, místo apod.) jdou nezávislé na spotřebních úrovních mimo tento člen rozkladu. Buď J = {1,..., k] a pro všechna j G J, x G X definujme X j (x\, • • • , Xj — \, Xj+i, • • • , Xfc). Pro každé pevné x®, preferenční uspořádání >z na X indukuje preferenční uspořádání ^xq tak, právě tehdy, když (x®, Xj)>z(xp x'-) pro všechna x j, x1- G Sj. Přitom takovéto indukované uspořádání bude záviset na speciálním výběru x--. První pojem separability tvrdí, že tato uspořádání pro pevně zvolený index j nezávisí na výběru x-,. Definice. Preferenční uspořádání >z na množině X = ľlk=1Xj se nazývá slabě separabilní, jestliže pro všechna j G J, x®., y® G X = U^Xi, y_xg = yyg. Indukované uspořádání budeme značit jako >Zj. 3 j 3 3 Podobně, funkce užitečnosti u : Iík-=1Xj —> R se nazývá slabě separabilní, jestliže existují spojité funkce Vj : Sj —>• R, j G J a V : Rk —>• R tak, že u(x) = V(v\(x\),..., Vk(xk)). Věta 5.1 Buď >z spojité uspořádáni preference. Pak je >z slabě separabilníprávě tehdy, když je každá spojitá reprezentace >z slabě separabilní. Definice. Funkce užitečnosti u : Iik=1Xj —> R se nazývá silně separabilní, jestliže existují spojité funkce Vj : Sj —» R, j G J a V : R —» R, V rostoucí tak, že u{x) = V (j2jeJVj(xjÝj. Protože je funkce V rostoucí a spojitá, je funkce V~x o u aditivní a reprezentuje stejnou relaci preference. Je tedy problém nalezení podmínek na relaci preference, aby byla silně separabilní, ekvivalentní k nalezení podmínek, za nichž existuje aditivní reprezentace. Nechť tedy u{x) = ^jejVj(xj) označuje aditivní funkci užitečnosti vzhledem k rozkladu N. Uvažujme nějakou neprázdnou vlastní podmnožinu I C J a dva svazky x ai' takové, že všechny jejich komponenty Xj a x'j mají stejnou hodnotu x°- pro j G J — I. Můžeme proto psát x = (xi, x°J_I) ai' = (x'j, x°J_I). Je-li u aditivní, je bezprostředně zřejmé, že indukovaná funkce na součinu Ylj^iSj je nezávislá na speciálním výběru hodnot x°j_j a tedy je indukované preferenční uspořádání nezávislé na výběru xQJ_I. Tato vlastnost evidentně platí pro každou neprázdnou vlastní podmnožinu I C J a je zároveň motivujícím prvkem pro definici silně separabilní relace uspořádání. Definice. Preferenční uspořádání >z na množině X = Iik-=1Xj se nazývá silně separabilní, jestliže je slabě separabilní vzhledem ke všem vlastním rozkladům všech možných sjednocení množin Ni,..., N^. To je ekvivalentní s tím, že preferenční uspořádání je silně separabilní, jestliže pro každou neprázdnou vlastní podmnožinu I C J je indukované preferenční uspořádání nezávislé na zvláštním výběru hodnot xQJ_I. Věta 5.2 Buď >z spojité uspořádám preference. Pak je >z silně separabilní právě tehdy, když je každá spojitá reprezentace >z silně separabilní. 5.3 Spojitá poptávka Je-li dán cenový vektor p ^ 0 a počáteční bohatství w, spotřebitel si vybírá nejlepší svazek ze své rozpočtové množiny jako svou poptávku. Pro preferenční uspořádání splňující axiomy 1-3 evidentně každý maximální prvek vzhledem k relaci preference zároveň maximalizuje odpovídající funkci užitečnosti a obráceně, každý bod maxima funkce užitečnosti maximalizuje relaci preference. Zejména tedy oba přístupy vedou ke stejným svazkům poptávky. Budeme nyní studovat závislost poptávky na dvou vnějších parametrech, ceně a bohatství. Rozpočtová množina spotřebitele byla definována jakožto f3(p,w) = {x G X : p • x < w}. Nechť S C označuje množinu dvojic cena-bohatství, pro které je příslušná rozpočtová množina neprázdná. Pak (3 popisuje korespondenci z S do R1 (tj. množinovou funkci z S do V (R1)). Definice. Korespondence i/j z S do T, kde T je kompaktní podmnožina z R1, se nazývá horní hemispojitá v bodě y G S, jestliže pro všechny posloupnosti zn —^ z, yn —^ y takové, že zn G t/j(yn) platí, že z G i/j(y). Výše uvedená definice je ekvivalentní s tím, že funkce i\) má uzavřený graf. Přitom evidentně každá horní hemispojitá korespondence ifj taková, že i/j(y) je jednoprvková množina, je ve skutečnosti spojitá funkce. Definice. Korespondence i/j z S do T, kde T je podmnožina z Rl, se nazývá dolní hemispojitá v bodě y G S, jestliže pro každý bod z0 G i/j(y) a pro každou posloupnost yn —> y existuje posloupnost zn —> z0 tak, že zn G i/j(yn) Pro všechna n. Korespondence se nazývá spojitá, je-li jak horní hemispojitá tak dolní hemispojitá. Snadno lze přitom dokázat následující dvě lemmata. Lemma 5.3 Korespondence rozpočtové množiny (5 : S —^ V(X) má uzavřený graf a její dolní hemispojitá v každém bodě (p, w), pro který platí mm{p • x : x G X} < w. Přitom podmínka minjj? • x : x G X} < w se obvykle nazývá podmínka minimálního bohatství. Již dříve bylo poznamenáno, že maximalizace pomocí preferenční relace či funkce užitečnosti vedou ke stejné množině poptávkových svazků, je-li preferenční relace reflexivní, tranzitivní a úplná. Je-li tedy u : X —>• R funkce užitečnosti, lze definovat poptávku uživatele jako (f(p,w) = {x G f3(p,w) : u{x) > u(x'),x' G f3(p,w)}, (5-1) což je ekvivalentní definici 2.2. Pokud navíc bude funkce užitečnosti spojitá a rozpočtová množina (3(p,w) kompaktní, bude poptávková množina (f(p, w) neprázdná. Pak, aplikujeme-li Bergeho větu, obdržíme následující lemma. Lemma 5.4 Pro každou spojitou funkci užitečnosti u : X —>• R je poptávková korespondence (f : S —> V{X) tak, že (p(p,w) ^ 0 a (f) je horní hemispojitá v každém bodě (p,w) G S takovém, že f3(p,w) je kompaktní a mm{p • x : x G X} < w. Z definice rozpočtové a poptávkové korespondence bezprostředně plyne, že 0 a pro každou dvojici cena-bohatství (p, w). Totiž, x G f3(p, w) -<==>■ p-x < w -<==>■ (Xp) - x < (Xw) -<==>■ x G f3(Xp, Xw). Podobně, x G (f (p, w) -<==>■ x G f3(p, w) a zároveň u(x) > u(x') pro všechna 'x G f3(p, w) -<==>■ x G f3(Xp, Xw) a zároveň u(x) > u(x') pro všechna 'x G f3(Xp, Xw) -<==>■ x G z ostře konvexní a spojité preferenční uspořádání. Pak je korespondence poptávky (f : S —> V(X) spojitá funkce v každém bodě (p,w) G S, pro který je množina f3(p,w) kompaktní a platí mm{p • x : x G X} < w. Navíc, pro všechna X > 0, platí V{X) je definována jako (p(p, w) = {x G ß(p, w) : x^x' pro všechna x' G ß(p,w)}. Věta 5.6 (Sonnenschein) Neckt (p(p,w) ^ 0 pro všechna (p,w) G S a předpokládejme, že korespondence ß je spojitá v bodě (po,Wo) G S. Je-li relace prefernce spojitá, je i korespondence poptávky (f horní hemispojitá v bodě (po, Wq). Předpoklad, že množina z označuje spojitou relaci preference na množině X tak, že množina {x' : x'yx} je konvexní pro všechna x G X. Jestliže navíc ß(p, w) ^ 0, pak i (f(p, w) ^ 0. Z výše uvedených dvou Sonnenscheinových výsledků plyne, že můžeme získat spojitou funkci poptávky, pokud nahradíme tranzitivitu relace preference její konvexitou. Další výsledky v teorii netranzitivního spotřebitele byly získány Shaferem (1974). Tento přístup formuluje chování spotřebitele jakožto maximalizace spojité číselné funkce vzhledem k rozpočtovým omezením. Tato funkce, jejíž existence a spojitost nezávisí na tranzitivitě, může být považována za alternativní přístup k reprezentaci relace preference. Věta 5.8 (Shafer (1974)) Nechť >z označuje spojitou, úplnou a ostře konvexní relaci preference na Rl+. Pak existuje spojitá funkce k : Rl+ x Rl+ —>■ R tak, že 1. k{x,y) >0^a;e tsfe), 2. k(x,y) < O ^> x G is(y), 3. k(x,y) = O -<==>■ x>zy a yhx, 4. k(x,y) = -k(y,x). Předpoklady věty jsou obvyklé až na to, že je vynechán axiom tranzitivity. Za jeho předpokladu pak existuje funkce užitku a funkce k může být definována, že k(x, y) = u(x) — u(y). Stejně jako předtím, nechť {3(p, w) označuje rozpočtovou množinu spotřebitele. Pak poptávka spotřebitele sestává ze všech bodů v rozpočtové množině, která maximalizují funkci k. Přesněji, poptávka je definována jako (p(p, w) = {x G f3(p, w) : k(xj y) > 0 pro všechna y G (3(p, w)} nebo ekvivalentně ip(p, w) = {x G f3(p, w) : x^y pro všechna y G /3(p, w)}. Předpoklad ostré konvexity garantuje, že existuje jediný maximální prvek. Následující věta precizuje maximalizační argument. Věta 5.9 (Shafer) Za předpokladů věty 5.7 a pro každý kladný cenový vektor p a kladné bohatství w je poptávka x = f(p, w) = {x G (3(p, w) : k(x, y) > 0 pro všechna y G fi(p, w)} a tato funkce f je spojitá v bodě 5.5 Poptávka za předpokladů separability Separabilita preferenčního uspořádání a funkce užitku, ať už slabá nebo silná, má důležité důsledky pro funkci poptávky. Za použití označení a definic z odstavce 5.2 a za předpokladu separability funkce užitku můžeme psát u(x) = V(vi(xi),... ,Vk(xk)), (5.2) kde Xj, j = 1,..., k jsou vektory množství komodit v S j a X = S± x • • • x Sk- Pak Vj(xj) jsou funkce užitku definované na Sj. Budeme používat vektor p j pro ceny komodit v třídě rozkladu Nj. Definice. Pro všechny Wj (E Rl+ definujme podrozpočtovou množinu (5J(Pjl Wj) = {xj G S j : p j • x j < Wj}. (5.3) Nyní můžeme zavést pojem podmíněné poptávky fj(Pj,Wj) jakožto to Xj, které maximalizuje funkci Vj(xj) přes podrozpočtovou množinu /3j(Pj,Wj). Definice. Podmíněná funkce poptávky je definována jako fjÍPji wj) = ix3 e ^(Pji wj) '■ vj(xj) > vj(x°j)i x°j ^ xji x°j e f3J(Pji wj)}- (5-4) Tyto podmíněné funkce poptávky sdílí všechny vlastnosti obvyklých funkcí poptávky až na to, že jejich definiční obor a obor hodnot jsou omezeny proměnnými Pj, Wj a Sj. Jsou-li dány Vj(xj), p j a Wj, je i poptávka Xj známa. Přitom proměnná Wj není dána vnějšně, ale jakožto část obecného optimalizačního problému. Buď dále fj(p, w) j-podvektor funkce poptávky f(p, w). Pak je Wj dáno jakožto w*(p, w) = p3 • fj(p, w). (5.5) Poznamenejme, že v obecnosti je potřeba celého cenového vektoru, abychom určili w*. Když používáme w* vzniklé pomocí Wj(p, w), lze očekávat že z podmíněných funkcí poptávky získáme tentýž vektor poptávky jako fj(p,w). Věta 5.10 Za předpokladu separability funkce užitku platí fj(p, w) = f j (pj, w*(p, w)) pro všechna j. (5.6) Důkaz. Uvažme libovolně, ale pevně vektor (po,w0). Nechť x* = fJ- (p0j, w*(p0, w0)) pro jisté j a nechť Xo = f(po,u>o). Evidentně, Xoj G ^(po^w^po^wo)). Předpokládejme, že x* ^ Xor Pak Vj{x*) > Vj(xoj) a u(x0) = V(vi(x0l),...,Vj(x0j),...,vk(x0k)) < VfaixoJ,.. .,Vj(x*j),.. .,vk(x0k)), protože je funkce V monotone rostoucí v proměnné Vj(xj). Evidentně je prvek (x0,, x*) v rozpočtové množině f3(p,w) a tedy předpoklad Vj{x*) > Vj(xoj) neplatí. Tedy nutně Vj{x*) = Vj(xoj) tj. x* = xq^ protože Xj je jediný vektor maximalizující Vj(xj) přes všechna x j G PjÍPoj , w* (po, u>o)). Proto podmínka 5.6 platí pro (Po, wo)- Protože (po, Wo) bylo vybráno libovolně, platí pro všechny přípustné (p, w) a věta je tímto dokázána. i Význam věty 5.10 je dvojí. Nejprve je zřejmé, že ostatní ceny ovlivňují poptávku pro x j pouze pomocí skalární funkce w*(p, w), což je podstatné omezení na pj. Dále, pokud je možné pozorovat a určit bohatství Wj empirickou cestou, můžeme se koncentrovat na podmíněnou funkci poptávky, pro kterou pouze potřebujeme znát pouze cenu pj. Jako příklad lze uvážit chování poptávky v jistém časovém období, řekněme jednom roce. Za obvyklého (implicitního) předpokladu separability během různých časových období je pak pouze nutné znát úplné náklady pro tuto periodu (wj) a odpovídající cenový vektor {pj). V tomto kontextu můžeme uvažovat (5.5) jako spotřební funkci spjatou s celkovými spotřebními náklady vzhledem k celkovému bohatství a cenami pro všechny periody. 6 Funkce nákladů a nepřímé funkce užitku Alternativní přístup v analýze poptávky byl proveden Samuelsonem v roce 1947. V současnosti mluvíme o tzv. dualitě v analýze poptávky. V jistých případech dosáhneme tímto způsobem přímější analýzy senzitivity (5.7) cen a dovoluje nám kratší a transparentnější přehled jistých klasických vlastností funkce poptávky. Popišme v krátkosti základní vlastnosti a výsledky pro podstatně omezenější situace než byly výše uvedené. Tato omezení budou použita v následujících paragrafech. Od doposud budeme předpokládat, že spotřební množina X bude kladný ortant Rl+ a že všechny ceny a bohatství jsou kladné. Toto implikuje, že rozpočtová množina je kompaktní a že podmínka minimálního bohatství je splněna. Zejména je pro spojitou funkci užitku korespondence poptávky íp horní hemi-spojitá. Dále budeme předpokládat nenasycenost buď relace preference nebo funkce užitku. To pak implikuje, že spotřebitel použije všechno své bohatství za maximalizace preferencí. Je-li dána dosažitelná úroveň funkce užitku v = u(x),x G X, je nákladová funkce minimální množství nutné k získání úrovně užitku alespoň takové jako v pro danou cenu p. Je tudíž nákladová funkce E : Rl+ x R —>• R definovaná jako E(p, v) = mm{p • x : u{x) > v}. (6-1) Přitom lze snadno dokázat následující vlastnosti nákladové funkce. Lemma 6.1 Pokud spojitá funkce užitku splňuje axiom lokální nenasycenosti, je pak nákladová funkce: 1. rostoucí a spojitá v proměnné v pro každý cenový vektor p, 2. neklesající, pozitivně lineárně homogenní a konkávni v proměnné p pro každou úroveň užitku v. Nechť nyní y = E (p, v) označuje minimální úroveň nákladů. Protože je funkce E rostoucí a spojitá v proměnné v, existuje její inverzní funkce v = g(p,y), která vyjádří užitek v jakožto funkci nákladů a cen, která se nazývá nepřímou funkcí užitku. Je snadné vidět, že 9ÍPi y) = niax{ií(:r) : p • x = y}. (6-2) Vzhledem k vlastnostem nákladové funkce je nutně nepřímá funkce užitku 1. rostoucí a spojitá v proměnné y pro každý cenový vektor p, 2. nerostoucí v cenách a homogenní stupně 0 v příjmech a cenách. Zejména tedy z definice E & g obdržíme následující identity: v = g(p, E(p, v)) a y = E(p, g(p, y)). (6.3) Je-li dán cenový vektor p a úroveň užitku v, je nákladové minimum E(p, v) získáno na jisté podmnožině určené E(p,v) a p. Jsou-li preference ostře konvexní, existuje jediný bod x (E X minimalizující náklady a označme minimalizační funkci jako x = h(p, v). Nutně pak z definice E{p,v) = p • h{p,v). (6-4) Funkce h se nazývá Hicksova funkce poptávky kompenzovaná příjmem, h je spojitá v obou argumentech a homogenní stupně nula v cenách. Uvažme nyní náš původní problém maximalizace funkce užitku vzhledem k rozpočtovým omezením p-x < w. Pak náš předpoklad lokální nenasycenosti a ostré konvexity implikuje existenci spojité maximalizační funkce f(p,w). Tato funkce se nazývá Marshallova tržní funkce poptávky a splňuje vlastnost p • f (p, w) = w. (6.5) Z těchto definic získáme druhou dvojici identit, které popisují základní vztah mezi Hicksovou funkcí poptávky kompenzované příjmem a Marshallovou tržní funkcí poptávky: f(p,w) = h(p,g(p,w)) _ h(p,w) = f{p,E(p,w)). Jednu z důležitých vlastností Hicksovy funkce poptávky lze obdržet bezprostředně. Pro pevnou úroveň užitku v, uvažujme dva cenové vektory p a p', dále asociacované vektory poptávky x = h{p, v) a x' = h{p', v). Z toho, minimalizují náklady, obdržíme (p - p') • (x - x') < 0. (6.7) Pro změnu Apk = Pk — Pk ceny jednotlivé komodity k tak, že všechny ostatní ceny zůstanou konstantní tj. Aph = ph - p'h = 0, h ^ k implikuje Apk ■ Axk < 0. (6.8) Jinak řečeno, nárůst ceny jedné komodity nezpůsobí nárůst poptávky pro tuto komoditu. Hicksova funkce poptávky není tedy rostoucí funkcí ceny. Tato vlastnost se občas nazývá jako nekladnost vlastního substitučního efektu. Detailní diskuse pro diferencovatelné funkce bude provedena v dalších paragrafech. 7 Vlastnosti diferencovatelné funkce užitku Následující paragrafy se věnují funkcím užitku a poptávky za předpokladu diferencovatelnosti, kteý je standardním předpoklad v teorii spotřebitelské poptávky. Buď tedy u : X —>• R funkce užitku, která je třídy C2 bez kritických bodů * reprezentující úplnou a spojitou relaci preference třídy C2 na X, která je monotónní a ostře konvexní. Pak je tato funkce 1. spojitá, 2. rostoucí tj. u{x) > u(y) pro x > y, x ^ y, 3. ostře kvazikonkávní tj. u(ax + (1 — a)y) > u{y) pro a £ (0,1), x ^ y & u(x) > u(y). 4. dvojnásobně spojitě diferencovatelná tj. její druhé parciální derivace existují a jsou spojitými funkcemi v proměnné x. *Pro prvek x G U je derivace D f (x) v bodě x lineární zobrazení z Rk do Rn (tj. matice parciálních derivací). Pak říkáme, že x se nazývá singulární (kritický) bod zobrazení f, pokud tato derivace není surjektivní zobrazení. Poznamenejme, že pokud k < n, jsou všechny prvky z U singulární. Singulární hodnoty jsou jednoduše obrazy vzhledem k / všech singulárních bodů; prvek y G Rn se nazývá regulární hodnota, pokud není singulární hodnota. Dále budeme předpokládat, že derivace prvního řádu, tj. i = 1,..., / , jsou kladné. Mluvíme o tzv. marginálních (mezních) užitcích. Speciálně pak vektor délky l marginálních užitků budem označovat ux. Protože derivace druhého řádu jsou spojité funkce jejich argumentů, máme nutně d2u d2u Buď tedy Uxx Hessova matice řádu l funkce užitku u tj. matice druhých parciálních derivací funkce u s prvky Uij. Ze symetrie druhých parciálních derivací pak máme, že Uxx je symetrická matice tj. Uxx = Uxx. Vlastnost ostré kvazikonkávnosti, kterou má funkce užitku, pak implikuje další omezení na první a druhé derivace funkce užitku. Věta 7.1 Buď u ostře kvazikonkávní funkce užitku. Pak pro všechny prvky x G X platí zTUxxz < 0 pro všechna z G {y G R1 : ux • y = 0}. (7-1) Důkaz. Buď x (E X libovolný. Nechť z (E R1 : ux • z = 0. Pak z Taylorova vzorce máme u(y) = u(x)+a—--\-a —---h g(y), (7.2) kde y = x + az a g je reálná funkce spojitá v okolí x tak, že limy^x ,, ^||ž = 0. Tedy u(y) = 9ZTU z , zTU z u{x) + cr—2^—I" Q{y)- Předpokládejme, že —> 0. Nutně pak existuje «o > 0 tak, že pro všechna a G (—ao,«o) platí f (a) = /(0) + ^a2///(0) + a (a), kde /(a) = u(x + az), /'(a) = ux+az • z, f" (a) = zTUx+az^x+azz > 0, a (a) = ^tt^tj-^-- Přitom lima_^0^-%^- = 0. Předpokládejme, že a > 0. Pak z ostré kvazikonkávnosti min{/(—a), /(a)} < /(0) a z předchozího /(a) — /(0) > 0 a f (—a) — /(0) > 0, což je spor. Tedy z U0xxZ < 0. i Vlastnost ostré kvazikonkávnosti funkce užitku není dostatečná, abychom obdrželi všude diferencovatelnou funkci poptávky. Proto zavedeme následující pojem. Definice. Ostře kvazikonkávní funkce užitku se nazývá silně kvazikonkávní, jestliže zTUxxz < 0 pro všechna z G {y G R1 : ux • y = 0, y ^ 0}. (7.3) Tato dodatečná vlastnost je ekvivalentní regularitč tzv. hraniční Hessova matice H Uxx ^x ul 0 (7.4) Věta 7.2 Hraniční Hessova matice H ostře kvazikonkávní monotónní rostoucí funkce užitku u je regulární právě tehdy, když je funkce užitku silně kvazikonkávní. Důkaz.Dokažme nejprve dostatečnost. Předpokládejme tedy, že matice H je singulární. Pak existuje 1-rozměrný vektor z a skalár r tak, že platí Uxxz + uxr = 0; ux • z = 0; (zT,r)^0. (7.5) Nechť z = 0. Pak r ^ 0. Tedy nutně z uxr = 0 vyplývá, že ux = 0, ale to je spor s monotonií funkce užitku. Nechť tedy z ^ 0. Pak 0 = zT0 = zTUxxz + zTuxr = zTUxxz < 0, spor se silnou kvazikonkávnosti. Odtud pak dostáváme, že nemůžeme najít nenulový vektor [zT, r) tak, že [zT, r)H = 0 a tedy je H regulární. Dokažme nyní nutnost. Budeme postupovat ve třech krocích. Nejprve ukážeme, že je-li H regulární, můžeme najít reálné číslo a* tak, že je pro všechna a < a* matice A{a) = Uxx + au^ • ux regulární. Dále ukážeme, že za předpokladu ostré kvazikonkávnosti existuje reálné číslo (5* tak, že matice A(/3) je negativně semidefinitní matice. Poslední krok je kombinací těchto dvou kroků. Krok 1. Regularita matice H znamená, že pro všechny nenulové /-rozměrné vektory c\ takové, že ux • c\ = 0, A{ol)c\ 0 pro všechna a. Uvažme dále všechny vektory c2 tak, že u^C2 ^ 0 a normalizujme c2 tak, že uxC2 = 1. A(a)c2 = O znamená, že a = —c\UxxC2- Nechť a* = min{—c\UxxC2 : t£^C2 = 1}. Pro a < a*, A(a)c2 7^ 0 a je tedy regulární. iŕroÄ; £ Je-li A{(3) negativně semidefinitní matice pro nějaké (3 tj. cTA(f3)c < 0 pro všechna c. Odtud pak pro všechna (3 platí zTUxxz < 0 pro všechna z taková, že uxz = 0. Speciálně, cT A((3)c < 0 pro všechna (3 a pro všechna z taková, že uxz = 0. Uvažme dále všechny takové vektory c, že uxc ^ 0 a normujme je tak, že uxc = 1. Pokud pak cTA(f3)c < 0, je nutně (3 < —cTUxxc. Položme proto (3* = minjc7Uxxc : cTux = 1}. Proto je pak A((3) negativně semidefinitní, jestliže (3 < (3*. Krok 3. Z kroků 1-2 plyne, že existuje reálné číslo 7 tak, že A{(3) je regulární a negativně semidefinitní pro všechna (3 < 7, přitom 7 < min{a*,/3*}. Přitom z lineární algebry víme, že negativně semidefinitní matice, která je regulární, je nutně negativně definitní. Je proto zTA(ry)z = zTUxxz < 0 pro všechna nenulová z taková, že uxz = 0 tj. u je silně kvazikonkávní. i To, co bylo řečeno o vlastnosti derivací funkce užitku u, platí i pro každou diferencovatelnou rostoucí transformaci funkce u. To je zřejmé v případě, že kladné znaménko marginálních užitků a důsledky silné kvazikonkávnosti jsou založeny přímo na vlastnostech preferenčního uspořádání tj. na monotonii a konvexitě. Popišme explicitně důsledky takovýchto transformací pro derivace. Buď tedy F dvakrát spojitě diferencovatelná rostoucí transformace F : R —> R tj. F' > 0 (F' a F" jsou skaláry) a F" je spojitá. Položme v (x) = F(u(x)). Pak mezi prvními a druhými derivacemi funkcí u(x) a v (x) platí následující vztahy: diL = F'du neboli F OXi OXi ' / x (7'6) F'7Šh + F"{¥) ŤŠ1 tj. VXX = F'UXX + F"ux4. d2 v dxidxj dxidxj \dxi) ydxj Protože je F' kladné, má vx stejné znaménko jako ux. Naproti tomu prvky matice Vxx nemusí mít stejné znaménka jako prvky matice Uxx. Máme však, že zTUxxz < 0 pro každý vektor z G {y G R1 : ux-y = 0, y 7^ 0} implikuje zTVxxz < 0 pro každý vektor z G {y G R1 : vx • y = 0, y 7^ 0}. Skutečně, vxz = F'uxz = 0 a tedy zTVxxz = zTF'Uxxz + zTF"uxuxz = F'zTUxxz + F"zTuxuxz = F'zTUxxz tj. oba výrazy zTUxxz a zTVxxz mají stejné znaménko z kladnosti F'. Poznamenejme, že se nejedná o nový výsledek ale jiný způsob důkazu, že ostrá a silná kvazikonkávnost odrážejí vlastnosti relace preference. Protože ale marginální (mezní) užitky jj^- nejsou invariantní vzhledem monotónním rostoucím transformacím, budou nás zajímat poměry dvojic marginálních užitků, např. du OU Uj dxj Nutně pak je výraz 7.7 invariantní vzhledem k monotónním rostoucím transformacím (F', které je jak ve jmenovateli tak čitateli, se pokrátí.). Zachováme-li nyní úroveň funkce užitku konstantní a měníme-li pouze proměnné Xi a Xj, obdržíme lokálně: dU ' d< + ( ^- ) dx* = 0. (7.8) \dx Tedy máme Ui dx* i?lJ = ^ = --i. (7.9) Rij se nazývá marginální (mezní) míra substituce i-té komodity za j-tou komoditu. Přitom Ríj reprezentuje množství komodity j věnované na výměnu za zvýšení komodity i, přičemž míra užitku zůstává konstantní. O Rij budeme předpokládat, že je klesající funkcí Xi tj. při stejné míře užitku bude množství komodity Xj menší věnované na výměnu za zvýšení komodity při větším Xi než když je Xi menší. Předpoklad o DMRS pro každou dvojici plyne ze silné kvazikonkávnosti funkce užitku. Klesající marginální míra substituce znamená, že (7.10) což nám dává 1 — (uau2 — 2uíUjUíj + Ujjii^ < 0. (7-11) Uj Výraz v závorkách je roven zTUxxz pro Zk = 0, k ^ h j a Zi — u j a z j — Ui- Protože je výraz u j > 0 a «j = 0, máme ze silné kvazikonkávnosti, že výraz 7.10 je záporný. Přitom obrácená implikace plyne při jistých dodatečných předpokladech. Pojem marginální míry substituce byl tradičně používán ve spojitosti se slabou a silnou separabilitou. Než se budeme této spojitosti věnovat, bude pro nás užitečné si všimnout důsledků diferencovatelnosti funkce u(x) v případě (slabé) separability. Za předpokladu separability víme, že u{x) = V(vi(xi),..., vk(xk)). (7.12) Z diferencovatelnosti pro všechna i£Nj,l 0. Je tedy i > 0, protože > 0. Nechť nyní i, k (E N j. Pak a pro všechna i £ Nj, k £ Ng, j ^ g máme d2u dV d2Vj dV2 dvj dvj iN -=---—l----—-, (7-14) d x id x k dvj d x id x k dv2 dxi dxk' d2u _ dV2 dvj dvg (lib) d x id x k dvjdvg dxi dxk Zejména odtud obdržíme, že existence a symetrie matice Uxx implikuje existenci a symetrii Hessovy dV dví matice Vvv. V případě silné separability je jP^ = V tj. stejná pro všechna j. Nutně tedy du^l = ^dv^ň, (7.16) přičemž Hessova matice Vvv má všechny prvky stejné. Věta 7.3 Marginální míra substituce mezi dvěma komoditami i a k ležícími v množině N j je nezávislá na úrovni spotřeby vně množiny Nj tehdy a jen tehdy, když je funkce užitku slabě separabilní. To znamená, že pro všechna i (E Nj je J^- součinem společného faktoru ctj(x) a specifického faktoru PjiiXj) tj d u — = ()j(.ľ) •i/,(.r/). (7.17) To ale odpovídá tomu (viz 7.13), že ctj(x) = J-^ a (3jí(xj) = Věta 7.4 Marginální míra substituce mezi dvěma komoditami i a k ležícími po řadě v množině N j a v množině Ng, g ^ j lze psát jako podíl dvou funkcí (5ji(x{) a /3gf(xg) právě tehdy, když funkce u(x) užitku je silně separabilní. nezávislá na úrovni spotřeby vně množiny Nj tehdy a jen tehdy, když je funkce užitku slabě separabilní. 7.1 Diferencovatelná poptávka V lemmatu 5.5 jsou vysloveny podmínky pro zajištění existence spojité funkce poptávky f(p,w), která je navíc homogenní stupně 0 jak v cenách tak i v bohatství. V této části se budeme věnovat důsledkům předpokladů diferencovatelnosti funkce užitečnosti pro funkci poptávky. Zejména bude studována diferen-covatelnost funkce poptávky. Omezíme se přitom na ten případ, kdy bude spotřební množina X otevřený kladný kužel P C R1. Abychom obdrželi poptávkové svazky v P, budeme dále předpokládat, že preferenční uspořádání je monotónní a třídy C2 a že uzávěry křivek indiference jsou celé obsaženy v P. Pak je za předpokladu pozitivních cen a pozitivního bohatství poptávková funkce korektně definována a její obor hodnot je podmnožinou otevřeného kladného kužele P C Rl. Navíc předpokládejme, že spotřebitel využije zcela své maximalizační preference. Lze tedy jeho výběr omezit na ty svazky iéF, pro které platí pTx = w. Je-li funkce užitku spojitě diferencovatelná 2. stupně, je pak funkce poptávky x = f (p, w) definovaná v 2.2 nebo v 5.1 určená jakožto řešení maximalizačního problému: maximalizujme funkci u(x) za omezujících podmínek pTx = w. Stačí pak utvořit Lagrangián L(x, A,p, w) = u{x) — \{pTx — w), (7-18) kde A je Lagrangeův multiplikátor. Podmínky prvního stupně pro nalezení stacionárních bodů funkce u(x) nám pak dávají dL ux-Xp = 0, (7.19) dx dL w-pTx = 0. (7.20) U A Stejně jako v předchozím paragrafu budeme předpokládat, že parciální derivace Ui > 0, i = 1,..., n. Jsou tedy nutně jak ux tak i p kladné vektory tj. prvky P, zejména tedy z 7.19 dostáváme, že Lagrangeův multiplikátor A je kladné reálné číslo. Nutná podmínka druhého řádu pro nabývání maxima je pak z Lxxz ^ 0 pro všechna z G R taková, že p z = 0. (7-21) Přitom Lrr = ' R, . vyčísleno v bodě řešení systému 7.19 a 7.20. Za předpokladu ostré kvazikonkávnosti J"í' axax' J J 1 1 funkce užitku (viz 7.1) je tato podmínka splněna, protože Lxx = Uxx a dále pTz = 0 implikuje u^z = 0 na základě 7.19 a kladnosti A. Systém 7.19 a 7.20 je systém l + 1 rovnic v 2(7 + 1) proměnných - vektory x,p (E R1 a skaláry A a tu. Pro náš účel budeme p a w považovat za libovolné, pevné a i a A budou neznámé proměnné. Lemma 5.5 nám zaručuje existenci jediného řešení x = f(p,w). Zejména tedy existuje jediné řešení pro A, totiž Xw = XpTx = uxx = uxf(p, w) tj. A = 0(j9, w) = Ux^,w^. Snadno se ověří, že řešení systému 7.19 a 7.20 je v proměnné x invariantní vzhledem k monotónním rostoucím transformacím funkce u(x), ale proměnná A už ne. Pro takovouto transformaci F jsou podmínky 7.19 a 7.20 převedeny na F'ux - X*p = 0, (7.22) a w-pIx = 0. (7.23) Podělíme-li 7.22 výrazem F' > 0 a položíme-li A = ^7, obdržíme rovnici 7.19. Evidentně je tedy řešení pro x invariantní, zatímco A* je Lagrangeův multiplikátor pro transformovaný problém. Věnujme se nyní diferencovatelnosti funkcí f(p,w) a Q(p,w) v bodě (x°, A°,p, w), kde x° = f(p,w), A° = Q(pjw). Máme a aUx (Uxxdx)X-uxdX dp = d— =-—-{p,w) (7.24) tj- U°xxdx - pdX - X°dp = 0. (7.25) Podobně, dw = d(pTx) = pTdx + xTdp(p1 w), (7.26) tj- dw — pTdx — x° dp = 0. (7.27) Přitom Uxx = Uxx(x°) Po snadné úpravě pak obdržíme tzv. základní maticovou rovnici poptávky spotřebitele: r u° xx P dx X°E 0 " dp T P 0 -dA dw (7.28) kde -E" je identická matice typu l x l. Můžeme přitom formálně psát dx = Xpdp + xwdw; dA = A^ + Xwdw (7.29) neboli dx —AT -A w dp dw (7.30) Kapitola 3 Teorie ekonomické rovnováhy Tato kapitola je podstatným způsobem založena na článku S. Smalea [28] a monografii G. Debreua [7] ve zpracování v rámci diplomové práce Jiřího Novotného [21]. 1 Základní pojmy 1.1 Prostor komodit Prostor komodit je základním pojmem, na kterém stojí i celý matematický aparát. Jeho podstatou je, že v ekonomice je daný počet komodit (komoditou nerozumíme jen zboží či služby, ale cokoliv, co lze použít ke směně, včetně práce, komodita je určena svými fyzickými vlastnostmi, datem a místem, kdy a kde je dostupná). Nechť je těchto komodit /, l G N. Akci jednotlivého ekonomického subjektu (v našem případě z-tého spotřebitele nebo výrobce) můžeme zapsat jako komoditní vektor v komoditním prostoru Rl. 001 iyOO j • • • j 00 ^ j 00 \\ 1 j • • • j \ 87 Pomocí tohoto vyjádření akce jednoho subjektu nyní můžeme popsat celou ekonomiku. Pokud je účastníků daný počet, např. m, pak budou všechny akce v ekonomice popsány vektorem komoditních vektorů z prostoru, z G Rlm. Tedy 1.2 Cenový prostor Cenový prostor lze považovat za duální koncept ke konceptu prostoru komoditního. Jako nejlepší k ohodnocení komodit se hodí právě ceny. Tzn. že ke komoditnímu prostoru přiřadíme cenový vektor, přičemž jednotlivé složky si odpovídají (z-tá složka cenového vektoru značí cenu z-té komodity). Aby cenový prostor odpovídal nejlépe reálné situaci budeme uvažovat pouze nezáporné ceny - tuto množinu budeme značit R+ = [0,oo). * Tedy P= (p1,-,^), / e R+ h = 1,...,/ je cenový vektor. Další podmínkou je, že cenový vektor je pro všechny účastníky stejný, takže vlastně reprezentuje cenový systém. Hodnotu komoditního vektoru v daném cenovém systému vyjádříme jako skalární součin obou vektorů. i w = p • x = phxh h=l 1.3 Agenti Místo dřívějších, poněkud kostrbatých pojmů "účastník trhu, účastník ekonomiky", nyní zavedeme pojem " agent". Z ekonomického hlediska agentem rozumíme jak spotřebitele, tak výrobce. Pro odlišení těchto pojmů v matematickém konceptu zavedeme následující znaménkovou konvenci pro rozlišení vstupů a výstupů: pro spotřebitele budou vstupy kladné, výstupy záporné, pro výrobce naopak vstupy záporné a výstupy Komodity s nulovou cenou se v ekonomické teorii nazývají volné. kladné. Díky této konvenci v matematickém vyjádření nemusíme rozlišovat mezi pojmy spotřebitel a výrobce vystačíme pouze s pojmem agent. Je zároveň ošetřena možnost, že agent je současně výrobcem i spotřebitelem. 1.4 Existence rovnováhy Celková nabídka S(p) a celková poptávka D(p) jsou zobrazení z cenového do komoditního prostoru, tedy S,D: Rl+ - {0} Rl. Předpokládáme, že poptávka i nabídka jsou homogenní, tj. platí D{p) = D(Xp), S(p) = S{\p) pro A e (0, oo). Ekonomika je v rovnováze právě tehdy, když žádný z agentů nechce změnit její stav. Veškeré vyrobené zboží je také poptáváno a spotřebitelé plně uspokojují své potřeby. D(p)=S(p), poptávka se rovná nabídce. Hledáme tedy vektor p* e Rl+ — {0}, který splňuje D(p*) = S(p*). Označíme-li Z : Rl+ — {0} —> R\ Z{p) = D{p) — S(p) jako převis poptávky, pak hledáme takový vektor p*, pro který Zip*) = o. Zobrazení Z je spojité a homogenní, neboli Z(Xp) = Z(p), pro všechna A > 0. 1.5 Walrasův zákon Walrasův zákon říká, že celková hodnota poptávky je rovna celkové hodnotě nabídky. Hodnotu nabídky lze interpretovat jako rozpočtové omezení celé ekonomiky a hodnota převisu poptávky je nulová: i p • Z{p) = 0 čili ^2phZhÍp) = 0 h=i i Nechť je S1^1 = {p G Rl+; \\p\\2 = ^ip1)2 = 1} prostor normalizovaných cenových systémů. Homogenita Z i=l nám dovoluje zúžit definiční obor Z na S1^1 G R. Podle Walrasova zákona je Z(p) tečna S1^1 v bodě p, neboť vektor Z(p) je kolmý k p. Slabý Walrasův zákon říká, že pro každý cenový vektor p G Rl+ platí: p • Zip) < 0. Definice 1.1 Nechť a G R a v G Rl, pak zápis v < a znamená, že vh < a, pro h = 1,I. Nechť b G R1 a v G Rl, pak zápis v < b znamená, že vh < bh, pro h = 1,I. Podobně i pro =,<,>,>. Věta 1.1 (Debreu-Gale-Nikaidô) Nechť je Z : Rl+ — {0} —> Rl spojité a splňuje slabý Walrasův zákon. Pak existuje p* G Rl+ — {0} takové, že Z{p*) < 0. Důkaz viz [28, strana 338-339]. Poznámka 1.1 Pokud Z : Rl+ — {0} —> R+ splňuje Walrasův zákon a pro nějaké p* platí Z{jf) < 0, pak buď Zh(p*) = 0 nebo p*h = 0. 1.6 Aproximace vícehodnotových zobrazení S(T) značí množinu konvexních podmnožin množiny T C R1. Definice 1.2 Nechť je K C kompaktní, T Q Rl kompaktní a konvexní. Pak zobrazení íp : X —> S(T) nazýváme korespondence z K do T. Graf korespondence (a;)}. £-okolí grafu Fv definujeme takto: Be(rv) = {yeKxT; dist(y, 1^) < e}. Věta 1.2 Jestliže je (p korespondence z K do T s kompaktním grafem T^, potom pro dané e > 0 existuje spojité zobrazení / : K —>• T takové, že Tj C ^(ľ^). Důkaz viz [6]. 1.7 Vlastnosti konvexních množin a obalů Lemma 1.3 Součet dvou konvexních množin Rl je konvexní množina. Důkaz: Nechť oi, a2 G A a bi, b2 G B, kde A a B jsou konvexní množiny. Pak platí t(ai + 61) + (1 - t)(a2 + 62) = (íai + (1 - t)a2) + (t&i + (1 - t)b2) G A + 5. Důkaz: Stačí dokázat, že A + B = A + B. Tvrzení pro více množin se pak již jednoduše dokáže pomocí indukce. Podle lemmatu 1.3 je A + B konvexní množina. Protože A + B je nejmenší konvexní množina obsahující A + B, platí Lemma 1.4 Nechť Y,- značí konvexní obal množiny lj v R pak Důkaz opačné inkluze je složitější. Pro množinu IC^ definujeme n n í=1 i=l tedy množina Xn je množinou všech konvexních kombinací n prvků z množiny X. Nechť ai, a2 e A,bľlb2 e B a t, s G i? takové, že ŕ, s G (0,1). Platí íai + (1 - t)a2 + s6i + (1 - s)b2 = tai + tbi + {s - t)bi + (1 - s)62 + (1 - s)a2 + (s - í)a2 = í(ai + 61) + (5 - í)(fl2 + 61) + (1 - s)(a2 + 62). (LI) Dále dostáváme 00 00 /c=l r=l Z platnosti vztahu (1.1) vyplývá, že Dále platí A2 + B2 c (A + B)3QA + B. X2k+i = (X2fc)2 Inkluze X2k+i D (X2fe) je zřejmá. Obráceně: Nechť z G X>k+i. Pak 2fc+i ?fc+i a; 5^ te; kde 53ť* = 1' rí-°- (1.2) (1.3) i=i i=l Pokud 0 < J2 U < I? Pak a: / \ V 2^ 2fc Xí i=l 2k+i +1 £ =2fc+l / / \ ~Xi \ 2fc+i 53 2^'+i =2fe+1 E *, , í=2fc+l / G(X2,)2- 2k Pokud ^ ti = 0, pak i=l ' 2k \ / ^fc+1 x = 0- +1- ^2 t%x% G (^2fc); 2^' í=1 / \i=2fc+l 2fc Analogicky pro = 1. i=l Nyní indukcí dokážeme, že A2k + B2k c A + B. Pro A; = 1 to plyne z (1.2). Dále pokračujeme indukcí. Předpokládáme, že inkluze platí pro k. Pro k + 1 pomocí vztahů (1.2) dostaneme A2k+1 + B2k+1 = (A2fc)2 + {B2k)2 c (A2A; + B2k)^ c c (X+5)3 = a + 5 Tedy platí a + 5 = u a2fc + u 52fc = u (a2fc + B2k) c fc=l /e=l k=l Rovnost A + B = A + B tedy platí a lemma 1.4 je dokázáno. Lemma 1.5 Nechť A značí uzávěr množiny A. Pak platí I + bc a + B. Důkaz: Nechť aeia5e5a pro an G A, resp. bn G B platí an —>• a, resp. 6n —>• b. Pak platí, že an + bn G A + B a zároveň «n + bn —>• a + 6, z čehož vyplývá a + b G A + 5. ■ 2 Výrobce 2.1 Úvod Nyní se budeme zabývat výrobní stranou ekonomiky. Hlavní rolí výrobce je sestavit a uskutečnit svůj výrobní plán. Pro každého z n, j = 1,..., n výrobců to znamená určit množství všech svých vstupů a výstupů. Bod y j G Rl se nazývá produkce a označuje všechny dosažitelné i nedosažitelné produkce daného výrobce, množina dosažitelných produkcí se značí Yj a nazývá se produkční množina. Celková produkční množina a celková dosažitelná produkční množina vzniknou sečtením dílčích množin, tedy: n n y = ^2 y j a Y = ^2yj j=i j=i Jelikož tímto sečtením dojde k odstranění přesunů komodit mezi výrobci, představuje y čistý výstup ekonomiky. 2.2 Vlastnosti produkčních množin O produkčních množinách předpokládáme (na některých místech výkladu) následující: (a) Yj je uzavřená. Nechť je yj posloupnost produkcí dostupných j-tému výrobci a pokud yj —> yj, pak je i yj dostupná j-tému výrobci. (a') Y je uzavřená. (b) 0 G Yj (možnost žádné produkce) Výrobce má možnost nedělat nic. (b') 0 G V. (c) Y n (—Y) = {0} (podmínka nenávratnosti) Tato podmínka říká, že výroba je "jednosměrný proces", kdy výstup již nelze znovu "rozložit"zpět na původní vstupy. (d) Yj je konvexní. Pokud jsou yj a yj dosažitelné produkce, je dosažitelný i jejich vážený průměr tyj + (1 — ť)yj pro libovolné t G (0,1). (ď) Y je konvexní. (e) Y D (—Rl+) (podmínka volného použití) Celková produkce s nulovými výstupy je dosažitelná. Tzn. že výrobci používají všechny vyprodukované komodity jako vstupy. (f) Y — Rl+ c Y Tato vlastnost je důsledkem vlastností (a'), (ď) a (e) pro V, viz [7], strana 42. Z těchto uvedených podmínek vychází Arrowova-Debreuova věta uvedená v následující kapitole. Produkční množiny mají několik dalších vlastností. (g) Nejprve nechť Rl+ = {x G R1; x > 0} a ľ C Ä1, pak platí: Y n Rl+ C {0} (nemožnost volné produkce) Výstupy dosažitelné celkové produkce s nulovými vstupy jsou nulové. (h) (Yj + Yj)c Yj (aditivita) Pokud jsou dva výrobní plány dosažitelné samostatně, pak jsou dosažitelné i společně. (i) Yj je kužel s vrcholem v bodě 0. (konstantní výnosy z rozsahu) Tzn. y j G Yj tyj (E Y j,t > 0. Poměry vstupů a výstupů ve výrobě jsou stejné, ale rozsah může být libovolně měněn. 2.3 Maximalizace zisku Každý racionálně uvažující a jednající výrobce (dále budeme uvažovat pouze tyto) se snaží maximalizovat zisk z prodeje svých výstupů. V daném cenovém systému p a při produkci yj se tedy snaží maximalizovat ziskovou funkci 7Tj(p, yj) : Yj —^ R definovanou Pro tuto funkci platí Kj(tp,yj) =ťKj{p,yj). Celkový zisk všech výrobců je p • y. Výrobce si vybírá takovou produkci z produkční množiny Yj, která maximalizuje jeho zisk, tato se pak nazývá rovnovážná produkce. Pokud p ^ 0 a yj je produkce maximalizující zisk, pak množina Yj leží v uzavřeném poloprostoru pod nadrovinou H = {y G R1,p • y = p • yj} určenou normálovým vektorem p. Množina maxim je dána průnikem Yj a H. Nabídkou j-tého výrobce rozumíme korespondenci S j : R1 — {0} —> Yj. Výsledkem je množina všech dosažitelných produkcí, které maximalizují výrobcův zisk, tedy Sj(p) = {V e Yj-} p-y = max p • y}. Celková nabídka je korespondence S : Rl — {0} —> Y definována takto: n J=l Celková produkce y maximalizuje zisk na Y tehdy a jen tehdy maximalizuje—li zisk každé y j na Yj. 3 Spotřebitel 3.1 Úvod Spotřebitel je v ekonomice charakterizován svými preferencemi a svým rozpočtovým omezením. Jeho hlavní charakteristiky nám podávají spotřební množina Xi a jeho preference. Spotřební množina Xi je množina všech dosažitelných spotřeb, spotřebu určuje bod Xi komoditního prostoru. Spotřebitelovou rolí v ekonomice je vybrat si a uskutečnit spotřební plán pro budoucnost, tzn. určit množství vstupů a výstupů. 3.2 Vlastnosti spotřebních množin Uvažujme m spotřebitelů. Spotřební množinu z-tého spotřebitele (i = 1,2, m) označme Xi. Platí pro ni následující podmínky: (a) Xi je uzavřená množina. (b) Xi je zdola ohraničená. To znamená, že existuje takové di G R1, že Xi C {x G R1 \ x > di}, což zapisujeme také Xi > di. (c) Xi je konvexní. Tzn., pokud x} a xf jsou dvě možné spotřeby ž-tého spotřebitele, je jeho možnou spotřebou i jejich vážený průměr txj + (1 — t)xf, t (E (0,1). 3.3 Preference spotřebitele Základem zkoumání chování spotřebitele při výběru optimálního spotřebního koše jsou spotřebitelovy preference. Na jejich základě spotřebitel rozhoduje, která ze spotřeb je pro něj "lepší"nebo "horší". Preference zahrnují faktory biologické, psychologické, kulturní, společenské a další. Tyto preference popisuje úplná preferenční relace Výraz x\ -< xf znamená, že spotřeba x\ je pro spotřebitele "nejvýše tak dobrá"jako spotřeba xf. Tato relace je reflexivní a tranzitivní. Pro každé xi G Xi jsou množiny {xí G X^Xi -<% xi} a {xí G X^Xi >zí xi} uzavřené v Xi (podmínka spojitosti). Výraz x\ ~ x\ znamená, že spotřebitel je k oběma výběrům indiferentní, tedy že nemůže říci, který je "lepší"a který "horší". Tato relace je navíc i symetrická. Pro spotřebitelovy koše x\ a x\ platí x\ ~ x\ právě tehdy, když 19 19 rp —ŕ rp r\ rp S»— rp Bod Xi G Xi se nazývá nasyceni, pokud neexistuje lepší dostupná spotřeba. 3.4 Užitková funkce Spotřebitelovy preference reprezentuje užitková funkce^ Ui : Xi —>• R. Tato funkce je rostoucí a platí pro ni následující podmínka: (x^y)<& (u(x) < u(y)) Užitková funkce má následující vlastnosti: (a) Ui nemá maximum (podmínka nenasycenosti). Vo^ G Xi, 3x1 £ Xi : Xi - Ui{x'), potom Ui{tx + (1 — ť)x') > Ui(x') pro každé t G (0,1). Poznámka 2.1 Funkce Ui je konkávni a přitom splňuje podmínku konvexity (platí zákon klesajícího mezního užitku), naopak konvexní funkce podmínku konvexity splňovat nemusí. Důležitým pojmem pro studium chování spotřebitele je indiferenční plocha, kterou definujeme jako vrstevnici funkce Ui, {x (E Rl,Ui(x) = c}. V dvourozměrném případě mluvíme o indiferenční křivce, ta vyjadřuje všechny kombinace daných dvou komodit, které mají pro daného spotřebitele stejný užitek. 3.5 Rozpočtové omezení Spotřebitel samozřejmě nemůže spotřebovávat do nekonečna, je ohraničen svým rozpočtovým omezením. Hodnota Wi těchto prostředků spotřebitele omezuje při výběru kombinací komodit z komoditního prostoru, a to tak, že nemůže tuto hodnotu překročit. Spotřebiteli jsou tedy dostupné pouze ty komoditní vektory, '''Nutnou a postačující podmínkou existence spojité funkce užitku je, aby množina A = {{x,y) G R1 x Rl;x -< y} byla vzhledem k R1 x Rl uzavřená. jejichž hodnota je menší nebo rovna hodnotě jeho prostředků Wi. V daném cenovém systému pak rozpočtové omezení definujeme jako skalární součin i p • x = ^^ph • x\ = Wi] ph, Xi G i?, Wi G R, /i=i přičemž ph jsou složky cenového vektoru a složky komoditního vektoru. i Nadrovina {a G Rl; ^2 ph • ah = Wi} se nazývá rozpočtová nadrovina. Nerovnost p • Xi < Wi říká, že Xi leží v h=i poloprostoru pod rozpočtovou nadrovinou. Každý spotřebitel disponuje majetkem G Xi, přičemž existuje takové Xi G Xi, že platí > Xi. Pokud uvažujeme ekonomiku se soukromými vlastníky, potom 9íj značí podíl ž-tého agenta v j-té firmě s výrobou m y j G R1. Je zřejmé, že 0 < < 1 a ^ 6^- = 1. Pro daný cenový systém p je bohatství ž-tého agenta j=i m = P • ei + y^%p • ž/j- J=l Vektor u; G i?m se nazývá rozložení bohatstvía jeho složkami jsou hodnoty bohatství jednotlivých spotřebitelů 3.6 Rovnováha spotřebitele Spotřebitel dosahuje optima, pokud si vybere takový spotřební koš Xi, který mu v preferenčním uspořádání "^"přináší nej větší užitek, a zároveň platí, že výdaje p • Xi na tento spotřební koš jsou nejvýše rovny jeho bohatství Wi. Námi uvažovaný racionálně jednající spotřebitel si samozřejmě takový koš vybere a bude jej na trhu poptávat. Spotřebitelovou poptávkou rozumíme korespondenci Di(p) : Rl — {0} —> Xi definovanou jako množinu všech dosažitelných spotřeb Xi G Xi, v nichž užitková funkce Uí(xí) nabývá svého maxima na rozpočtové množině Bi = {x G Xi] p -x < Wi}, tedy Di(p) = {x G £>^; ^(ľč) = maxUi(x)}. Všechny body z množiny Di(p) jsou navzájem indiferentní a pro všechny x- G -D^p) a G Bi platí nerovnost ^ x[. Pro poptávku samozřejmě platí: Di(tp) = Di(p), pro libovolné t > 0. Celková poptávka je korespondence : — {0} —>• |J Xi definovaná takto: i=l n D(p) = YJDt(p)- 4 Rovnováha ekonomiky 4.1 Definice rovnováhy m n l Rovnováha ekonomiky je její stav (x, y,p), kde x G n Xt, y e f{ Yj, p G S1^1 = {p G ||^||2 = X!fe)2 = Z=l j = l i=l 1}, který splňuje následující podmínky: m n m (A) Dosažitelnost, neboli ^ x i = ^ ž/j + X] e*- i=l j=l -i=l (B) Každý spotřebitel se snaží maximalizovat svůj užitek, neboli Xi je spotřeba, při níž Ui dosahuje maxima n na rozpočtové množině Bt = {x £ Xf, p • x < p • et + @ijP ' Vj}- 3=1 (C) Každý výrobce se snaží maximalizovat svůj zisk, neboli y j je výroba, při níž je 7ľj(p,yj) = p • y j maximální na Yj. 4.2 Arrowova-Debreuova věta Arrowova-Debreuova věta: Pro ekonomiku splňující podmínky 2.2 (a'), (b'), (c), (ď), (e), (f) a 3.2 (a), (b), (c), 3.4 (a), (b) vždy existuje rovnovážný stav. Než dokážeme Arrowovu-Debreuovu větu, uvedeme a dokážeme větu 4.1 a větu 4.6, které splňují silnější předpoklady. Definice 4.1: Konvexní množina K se nazývá striktně konvexní, jestliže pro všechna x,y € K, x y a t G (0,1) je tx + (1 - t)y e K°, kde K° je vnitřek K. Věta 4.1: Předpokládejme nyní, že ekonomika popsaná výše splňuje kromě předpokladů Arrowovy-Debreuovy věty tyto dodatečné podmínky: (1) Každá Yj je uzavřená a striktně konvexní. (2) Každá Ui splňuje podmínku ostré konvexity tj., pokud Ui(x) > c, Ui(x') > c, x ^ i' a 0 < í < 1, potom u(tx + (1 — t)x') > c. Potom existuje rovnovážný stav. Poznámka 4.1 Podmínka (2) z věty 4.1 neznamená, že Ui je striktně konvexní. Dále si uvědomme, že podmínka ostré kon- vexity je ekvivalentní s tím, že funkce je ostře kvazikonkávní (viz str. 77). K důkazu věty 4.1 budeme potřebovat několik lemmat. Lemma 4.2: (základní odhad) Nechť je Y uzavřená konvexní podmnožina R1 s vlastnostmi Y n (—Y) = {0} a F D — Rl+. Pak pro dané n b G Ri a n přirozené existuje konstanta c taková, že pokud y±,yn G Y a ^ y j > b, potom || y j \\< c pro j=i všechna j. K důkazu tohoto lemmatu použijeme následující tři tvrzení. V nich označme K = {y (E Y; \\y\\ = 1}. Tvrzení 4.1: Počátek 0 prostom R1 neleží v konvexním obalu množiny K. Důkaz: r Předpokládejme, že a±x± + ... + arxr = 0 pro Xi G K, 0 < olí < 1, ^ = 1. Pak — «1^1 = «i • 0 + «2^2 + • • • + OírXr Protože 0, X2, ■ ■ ■, xr (E Y a 1" je konvexní, leží výraz na pravé straně v Y. Výraz — a\X\ lze rozepsat takto: — «1^1 = —{0l\X\ + (1 — ol\) • 0) Tedy — ot\X\ leží rovněž v —V. Z toho vyplývá, že G V n (—V) = {0}. Zároveň \\xi\\ = 1, tedy «i = 0, což je spor s předpoklady. 0 tedy nepatří do konvexního obalu množiny K. Tvrzení 4.2: Existuje q = (q1, q2,..., q1) G R1, qh > O pro všechna /i, takové, že pro všechna x G Ä" platí g • x < 0. Důkaz: Jestliže A C R1 je kompaktní konvexní množina a bod b G R1 neleží v A, pak lze A od b oddělit nadrovinou qľXi + q2x2 + ... + qiXi = c. Nechť je nyní konkrétně A konvexním obalem množiny K, pak dle tvrzení 1 platí 0 0 A Existuje tedy nadrovina, která odděluje A a 0. Tato nadrovina má rovnici q-x = c. Pro všechna x E A platí následující nerovnosti: q-x < c 0 = 4-0 > c Tedy pro všechna a: G ií C A platí q • x < 0. Navíc pro všechny vektory vh standardní báze v Rl platí -vh eK a -qh = q- (-vh) < 0. Tedy gh > 0, pro všechna h. ■ Tvrzení 4.3: Existují konstanty e > 0 a /3 > 0 tak, že pro všechna x G F, platí 4 • £ < /3 + £ — s\\x\\. Důkaz: Nechť q G i?z je vektor z tvrzení 4.2. Nejprve definujme: (3 = max{g • :r; ||a~|| < 1} —e = max{q • x; x G K} Nyní rozlišíme dvě možnosti: (1) Nechť \\x\\ < 1. Potom q ■ x < (3 < (3 + £ — £||a:||, neboť e — e\\x\\ > 0. (2) Nechť || a; || > 1, pak G K a platí: x —£> q ,\x\\ Tedy —silnil > q • x a odtud q • x < — £\\x\\ < — £\\x\\ + (3 + £, neboť + £ > 0. Uvedená nerovnost tedy platí. Důkaz lemmatu 4.2: Nechť q G Rl je vektor z tvrzení 4.2. n Předpokládejme, že ^ y,j > b pro ?/j G F Potom platí: j=i Nerovnost vynásobíme číslem qh > 0 a dostaneme n \ h 5> qh>bhqh. J=i I Nyní vše sečteme podle h a výsledkem je nerovnost n j=i Odtud dostáváme: n n n b-q g?^. Pro dané C\ G existuje a > 0 tak, že pro všechna G Xi taková, že ^2%i< ci, platí D Xi ||< a, pro všechna i. Důkaz: Platí následující nerovnost: (di)h < (xt)h = (Xl + ... + xm)h - (Xl)h - ... - (x^)h - (xl+l)h ... - (xm)h < (Cl)h - (dď -... - (d^f - (dl+1)h -... - (dm)h Tedy pro platí následující: [Xi)h\ < maxd^fl,... ,|(dť_1)/l|,|(di+i)/l|,...,|(dm)/l|, m m \(ci)h - E (dk)h + (rfi)^!, |(Cl)* - E (d*)* + (d2f |,..., k=l k=l m \(ci)h-Y,{dk)h + {dm)h\)=ah k=i Tedy \(xt)h\ < ah. Definuj me a = \ ^2 (ah)2 + 1- Z toho dostáváme k=i i |2 /i=l h=l h=l Nabídka firmy j je definována jako Sj(p) = {y G 1}; p • y = maxy^. p • y}. Nyní nechť 6 = ^ ^ — X) e* i=l i=l m a zvolme c stejně jako v Lemmatu 4.2 tak, že když ^ ?/j > b, potom || yj ||< c, pro všechna j. Nechť j=i Ýj = Yj n Dc, kde Dc = {y £ D1; \\ y ||< c}. Pro p e Rl+ - {0}, je = y e Ýj takové, že funkce ^{Pi y) = P'''Ví ma na Yj rnaximum v y. Potom se S j nazývá falešná nabídka firmy j. Lemma 4.4: Funkce ir(p, y) = p • y nabývá na Yj svého maxima právě v jednom bodě. Tedy funkce Sj : Rl+ — {0} —> Yj je dobře definována. Dále je spojitá a platí pro ni: (1) Sj(Xp) = Šj(p) pro A > 0. (2) Jestliže ||»Sj(^)|| < c, pak 7ľ(p, y) = p • y nabývá svého maxima na Yj rovněž v bodě Sj(p). Důkaz lemmatu 4.4: Sporem dokážeme, že funkce 7r(p,y) = p • y nabývá na Yj svého maxima právě v jednom bodě. Nechť 7r(p,y) = p-y nabývá svého maxima v bodech y &y. Musíme dokázat, žey&y leží na hranici. Kdyby y GY°, pak by pro všechna t > 0 bylo (y + tp)-p = yp + t\\p\\2 > yp y &y musí tedy ležet na hranici a platí py = py = q- Předpokládejme, žey^y. Potom funkce p • y nabývá svého maxima ve všech bodech úsečky yy. Platí tedy P(W + (1 - t)y) = tpy + (1 - ť)py = tq+(l- t)q = q. Body ty + (1 — t)y musí tedy ležet na hranici, což je ovšem spor se striktní konvexitou množiny Yj D Dc. Důkaz spojitosti funkce Sj : Rl+ — {0} —> Yj vynecháme. (1) Funkce 7ľ(p,y) = py a 7ľ(Xp,y) = Xpy nabývají svého maxima ve stejných bodech množiny Yj. Tedy Sj(Xp) = Šj(p). (2) Předpokládejme, že existuje y G Yj\Yj takové, že py > pSj(p). Uvažujme úsečku y S j (p). Tato úsečka leží celá v Yj, neboť Yj je konvexní. Navíc existuje e > 0 tak, že pro t G (0,e) je f = (1 -í)S,-(p) +íy G í}, neboť ||5j(£>) || < c. Potom ^0,= = (1 - *)í>' SjO) + tpy > (1 - í)p • Sj(p) + • S^O) = p • Sj(p), což je spor s tím, že S j (p) je maximum 7ľ(p, y) na Yj. Poptávkou i-tého spotřebitele rozumíme D^p) = {x G Xi, i^(:r) = max^X; ^i(^) a zároveň p • x < u>i}. n ^ Definujme Wi : i?+ — {0} —> R jako falešný příjem spotřebitele i rovností Wi(p) = p • + ^ 6^j£> • Sj(p). j=i n n Funkce je spojitá. Nechť jsou b = ^2 di — ^2 ei, c jako v lemmatu 4.2 a e počáteční obdaření agenta, i=l i=l n vyberme c\ G R1 tak, že ^ y j + e < ci, pokud \\yj\\ < c pro všechna j. Vyberme a podle Lemmatu 4.3 a j=i nechť X% = X% n Da. Falešná poptávka Di : Rl+ — {0} —> Xi je takové x, že Ui(x) = meíx{u(x);x G Xi,p • x < Wi(p)} a Bp = {x e Xz;p • x < Wi(p)}. Lemma 4.5: (1) Funkce Ui nabývá na Bp svého maxima právě v jednom bodě, tedy funkce Di(p) : Rl+ — {0} —> Xi je dobře definovaná. (2) Di(p) je spojitá. (3) Ďi(Xp) = Di(p). (4) Je-li ||Ĺ>;(p)|| < a, pak Di(p) je bodem, kde Ui nabývá svého maxima na množině Bp = {x G Xz;p • x < Wi(p)} a p • Di{p) = Wi{p). Důkaz: (1) Bp je kompaktní, proto Ui nabývá na B,p svého maxima. Předpokládejme, že Ui nabývá svého maxima v bodech (x) = Ui(x). Jelikož je Bp konvexní, pak úsečka tx + (1 — t)x, t G (0,1) leží v Bp. Z podmínky striktní konvexity pro Ui plyne u{ťx + (1 — ť)x) > u(x) = u(x), pro t G (0,1), což je spor s tím, že Ui nabývá v bodech x a x svého maxima. (2) Důkaz vynecháme. (3) Di(Xp) nabývá maxima na množině B\p, pro niž platí ^ ^ in ^ B\p = {x G Xi\ Xpx < Wi(Xp) = Xpe% + Yj ^./a/>.s';(/>)} 3=1 = {x G X{\px < Wi(p) =pez+J2 6tjVSj(v)} = Bp 3=1 Hledáme tedy bod maxima stejné funkce na stejné množině. (4) Nechť x G Xi fl Da O {x G Rl;xp < wt(p)} s normou ||ľč|| < a, navíc je to bod, kde u% nabývá maxima na Bp. Dále mějme bod x G Xi n {x G Rl\xp < Wi(p)}. Předpokládejme, že Uiix) > uz(x). Pak úsečka x x leží celá v {x G Rl; xp < Wi(p)}, celá v X% a její část v Da. Tedy existuje t > 0, t G (0,1) takové, že (i - ť)x + tx e x, n {x e R1; xp < Wi(p)} r\Da = Bp Z podmínky striktní konvexity na ul vyplývá, že u.i((l — t)x-\-tx) > u(x)i což je spor. ■ Důkaz věty 4.1: Nejprve si zvolíme konstanty. n n b = ^ dj - ^ el i=l i=l a c zvolme podle Lemmatu 4.2. Dále nechť Ci = (mc + e1, mc + e2,..., mc + ez), kde (e1, e2,..., el) = ^ e^. Podle Lemmatu 4.3 zvolme a. Pro tato c a a dostaneme ľj a I8 a z nich falešnou i=l nabídku a falešnou poptávku. Dále definujme funkce S,B,Z : Rl+- {0} takto: ^ = Yl § + I] e,, Ď = ^20i, Z = D-S. j=l i=l i=l Z má následující vlastnosti : (1) Je homogenní, neboť: ^ ^ ^ n ^ m ^ n Z{\p) = D(\p)-S(\p) = Y,Di(\p)-5:Sj(\p)-T,ei = i=i j=i t=i = £ A (p) - £ Sj(p) - 5>ť = - = z(p) i=l j=l i=l (2) Z je spojitá. (3) Splňuje slabý Walrasův zákon: Pro všechna p je p • Z (p) < 0. Platí totiž p-Z{p) = p-S(p)-p-5(p) = £p-A(p)-Eí,,5j(p)-ĽP'ei = 1=1 j = l i=l 11 ^ n n ^ = Eí> • AW - E = EIp • Diip) - w(p)} < o, i=l i=l i=l neboť A(p) e 5ť(p). Podle věty 1.1 existuje p* G Rl+- {0} tak, že Ž(p*) < 0. Definujme ?/* = Sj(p*), x* = Ď3{p*). Protože Z(p*) < 0 dostáváme n m n n m n i=l j=l i=l i=l j=l i=l Dále platí m n n n n E^E*.*-E^E*-E^6 j=l i=l i=l 1=1 i=l a tedy podle Lemmatu 4.2 \\y*\\ < c. Podle Lemmatu 4.4 je y* bodem maxima funkce 7ľ(p*,y) na Yj. Takže je splněna podmínka (C) z definice rovnováhy. Platí následující nerovnosti n m n n Y x*i - 5ľ y*j+ 5ľe* - m^c'c' ■ ■ ■'c)+ 5ľe* = (mc+e1'mc+e2' ■ ■ ■'wc+e^= Ci- i=l j=l i=l i=l Podle Lemmatu 4.3 \\xi II < a- Dle Lemmatu 4.5 je x* bodem, kde Ui nabývá svého maxima na B%. Tedy platí podmínka (B), podle níž spotřebitel maximalizuje svůj užitek na své rozpočtové množině. Nyní dokážeme zbývající podmínku (A). Nechť n m n Y ^= Y yj+ Ye% ~z'z G Rl+- i=l J=l i=l Skalárně vynásobíme s p* a dostaneme n m n 0\ X # # X # # X * * > 2_^xiP -1^ - 2_^eiP = zp ' i=l J=l i=l přičemž všechny složky z a p* jsou větší nebo rovny nule. Zřejmě pro každé i je x* v dosažitelné spotřebě X^. Za předpokladu lokální nenasycenosti existuje x\ v Xi takové, že x* - Wi{p*). Z tohoto důvodu můžeme nalézt bod na přímce různý od x*, který je preferován před x*, ale je dost blízko x*, aby vyhověl celkové nerovnosti. Ale to by odporovalo skutečnosti, že x* maximalizuje funkci Ui na množině B^ = {x G X, | p* ■ x < w,(p*)}, kde w,(p*) = p* • e, + Yľj=i hjP* ' VJ- Tedy pro každé i platí: n p • x% = p • et + Bij-p • y j. j=i Sumováním přes i získáme p* • z = 0. Odtud plyne z ■ p* = 0. Podle vlastnosti 2.2(e) produkčních množin, platí, že Tedy existují y j G Yj tak, že Potom protože p* • z = 0 a tedy ^ P*Vj = X] i9*^ j=i j=i m m J=l j=l j=i j=i j=i j=i m m r)*? j .7=1 J=l 2/* je maximum ttj na 1}, tedy Jelikož ^ pyj = ^2 PVj musl' být j=i j=i Tedy pro (p*,x*,y) platí (C). Navíc n m ?; m n ZS* = Z^* + Ze* -2 = Z%- + Ze" i=l j=l i=l j=l i=l tedy (p*, x*, y) splňuje podmínku (A) dosažitelnosti stavu ekonomiky. Protože platí podmínky (A), (B) a (C), je stav (p*, x*, y) rovnovážným stavem ekonomiky a Věta 4.1 je tím dokázána. ■ Zobecněním věty 4.1 a dalším krokem k důkazu Arrowovy-Debreuovy věty je následující věta 4.6. Věta 4.6 Nechť jsou splněny předpoklady Arrow-Debreuovy věty a necht navíc každá Yj je uzavřená a konvexní. Potom existuje rovnovážný stav. K jejímu důkazu budeme potřebovat definice falešné nabídky Sj a falešné poptávky Di jako korespondence. Definujme korespondenci Sj(p) : S1^1 —> Yj takto: Sj(p) = {y ^ Yj = YJnDc; p-y = maxp • y}. Lemma 4.7 (vlastnosti Sj) Korespondence Sj má tyto vlastnosti: (1) Sj(p) je konvexní uzavřená množina. (2) Graf Tg = {(p,y) e Sl+ľ x í}, y e S j (p)} je kompaktní. (3) Jestliže y j G S j (p) a \\yj\\ < c, pak y j G S j (p). Důkaz: (1) Nechť yi, y2 G Sj(p) jsou různé a libovolné. Potom 7ľ(yi) = 7T(y2)- Nechť y3 = ty\ + (1 — ť)y2 pro nějaké ŕ G (0,1). Platí 7ľ(ž/3) = Pys = ptyi + p(l - t)y2 = tpyí + (1 - t)py2 = = t7r(yi) + (1 - t)7r(y2) = ir(yi). Tedy y$ je prvkem množiny Sj(p). (2) Důkaz vynecháme. (3) Důkaz se provádí stejně jako v Lemmatu 4.4 (2). Funkce Wi : S+ —>• R definovaná takto: m J=l je dobře definovaná a spojitá. ^ ^ Falešnou poptávku definujeme jako korespondenci A : ->• Xj určenou vztahem = {í e Xř n Dc; funkce ut(x) nabývá maxima v x na Bp = {x G X^;j9 • a: < Wi}}. Lemma 4.8 (Vlastnosti D%) Pro korespondenci Á platí: (1) Di(p) je konvexní a uzavřená množina. (2) Graf Yq = {(p, x) G x Xh x G je kompaktní. (3) A (A??) = Di(p) pro A > 0. (4) Jestliže Xi G a < a, pak ar, G Důkaz: (1) Nejprve ukážeme, že A(ř>) je uzavřená. Pro xn G platí, že Ui(xn) je bodem maxima funkce Ui na množině B{p). Nechť xn —> x' G £>p, jelikož je Ui(x) spojitá, platí Ui(x') = lim Ui(xn) = maxui(x), tedy x G Di(p) a A(ř>) je uzavřená. Nyní ukáži, že Di(p) je konvexní. Pro body z,y G splňující Ui(z) = = max,^ Ui{x) platí < t'Wi{p) + {l-t)'Wi{p)=Wi(j)). Z toho vyplývá, že t z + (1 — ť)y G £>p. Podle vlastnosti (2.4b) ^(£2 + (1 — £)?/) > Ui(x) = maxM^a:). Tudíž m(tz + (1 — £)?/) = maxu;(:zľ) a z toho vyplývá, že tz + (1 - £)?/ G Á (p). Á(í>) je tedy konvexní. (2) Důkaz vynecháme. (3) Di(Xp) nabývá maxima na množině B\pi pro niž platí BXp = {x G Xi] Xpx < w,(Xp) = Xpez + ®ij^pSj(p)} j=i = {x G Xi]px < Wi{p) =pel + Yj Q-ijPSjÍP)} = BP 3=1 Hledáme tedy bod maxima stejné funkce na stejné množině. (4) Důkaz se provádí stejně jako v Lemmatu 4.5 (4). Důkaz věty 4.6 Nejprve si opět zvolíme konstanty. n n e,- i=l i=l a c zvolme podle Lemmatu 4.2. Dále nechť Ci = (mc + e1, mc + e2,..., mc + ez). Podle Lemmatu 4.3 zvolme a. Pro tato c a a dostaneme Yj a Xj a z nich falešnou nabídku 5j(£>) s vlastnostmi v Lemmatu 4.7 a falešnou poptávku Dj(p) s vlastnostmi v Lemmatu 4.8. Vezmeme e > 0. Podle věty 1.2 existuje spojitá funkce Sj£ : S1^1 —> Yj tak, že c B«(rgj). Stejně pro Di dostaneme spojité zobrazení Di£ : S1^1 —> Xi s vlastností rBi, c Bt(rBi), pro které navíc na S1^1 platí p • Dl£(p) - wt(p) < s p-Dl£(p) < wz(p) + e. Definujme Z£ : S1^1 ->• a Z£ : 1 ->• takto Zeip) = E Ae(p) - E ^jeO) ~ E e* i=l J=l *=1 Ze(p) = Z£(p) - (p ■ Z£(p)) ■ p. Pak platí p- z£(p) = p- z£(p) - (p • z£(p))(p ■ p) = = p • z£(p) - p- z£(p) = 0. Dále platí n m n p • z£(p) = ^2 dl£(p) -p~y SJ£(p) •p-^2el-p = i=l j=l i=l n m n m m = y Dk(p) -p-y šjeip) - p -ye* • p - p- p i=l j=l i=l j=l j=l n m nm m = y dm ' p - y (p) • p - y e< • p+y (p) • p - y ^ w • p i=l 3=1 i=l j=l j=l n mm < y AeO) • p - wí(p) + y Sj(p) • p - y Sjáp) -p<2£ i=l 3=1 j=l z£ splňuje Walrasuv zákon. Podle věty 1.1 existuje p£ G S1^1 tak, že z£(p£) < 0. Podle poznámky 1.1 je buď z^(p£) = 0 nebo ph£ = 0. (4.1) Z (4.1) a z nerovnosti pro p • z£(p) plyne z£(Pe) = (Pe • z£(p£))ph£ <2e-ph£< 2e, pokud phe 0 nebo zhÁPe) < 0, pokud pi = 0. Tedy Z£(pe) _ 2e pro všechna h. Nechť jsou yj£ = Sj£(p£) a Xi£ = Di£(p£). Dále máme posloupnost {£*;}j£Li konvergující k 0. Z ní lze vybrat podposloupnost tak, že p£fc ->• p* G 5+ \ ?/jefe ->• y j G :rí£fc ->• x* G A (p). Stejně jako v důkazu věty 4.1 se ukáže, že když y* G Sj(p*) a |||/*|| < c, potom y* G Sj(p*), což je podmínka (C) z definice rovnováhy, a že když G Di(p*) a ||:r*|| < a, potom G D i (p*), což je podmínka (B) z definice rovnováhy. Nyní již zbývá pouze dokázat podmínku A z definice rovnováhy. Z definice Z]} plyne, že n m n £4-£«£-£*?<&. ■í=i j=i í=i Limitním přechodem dostaneme nerovnost n m n £^-£»;fc-£eř• i=l J=l í=l Nyní budeme postupovat stejně jako v důkazu věty 4.1. Položme E x*i= E y*j+ Ee% ~z'z G Ä Skalárně vynásobíme s p* a dostaneme n m n l i=l j=l *=1 i=l j=l i=l přičemž všechny složky z a p* jsou větší nebo rovny nule. Odtud plyne z • p* = 0. Podle vlastnosti 2.2(e) produkčních množin, j=i platí, že £»;-*e y. j=i Tedy existují ?/j G ^ tak, že m m E% = E^-^ J=l J=l Potom mm m m = *>*(£ y; - *) = ^*(E - ^=^*(£ ^ j=i j=i j=i j=i m m protože p* • z = 0 a tedy ^ p* y j = ^ p*y]- 3=1 3=1 y j je maximum 7Tj na 1}, tedy ^jfe y j) = vv3 < pyj = ^-fe ž/j*) m m Jelikož Pyj = X] Py*j musí být = pyj. j=i j=i Tedy pro (p*, x*, y) platí (C). Navíc n m n m n yx i = y y j + 5ľe* -z = 5ľ y j + 5ľe* > ■i=l j=l í=l j=l *=1 tedy (p*, x*, y) splňuje podmínku (A) dosažitelnosti stavu ekonomiky. Protože platí podmínky (A), (B) a (C), je stav (p*, x*, y) rovnovážným stavem ekonomiky a Věta 4.8 je tím dokázána. Než začnu dokazovat vlastní Arrowovu-Debreuovu větu musím ještě ukázat lemma o vlastnostech množin Y, a Y. Lemma 4.9 Nechť Y* značí uzávěr konvexního obalu množiny Yj, neboli Y* = Yj. Za předpokladu, že ^ Yj = Y je 3=1 konvexní a uzavřená, platí m ]T>7 = y. 3=1 Důkaz: a —^ii Podle lemmatu 1.4 je Podle lemmatu 1.5 platí, že Pro výraz ^ Yj platí j=i a lemma 4.9 je tedy dokázáno. m m j=i j=i j=i m m E^E^E^ j=i j=i j=i ?n m Ey^Ey; = y = y = y Důkaz Arrowovy-Debreuovy věty Rozdíl mezi Arrowovou-Debreuovou větou a větou 4.6 spočívá v podmínkách kladených na množiny Yj. Yj m obecně nejsou ani konvexní ani uzavřené, pouze o ^] ľj se předpokládá, že je uzavřená a konvexní. Nyní místo Yj uvažujme Y* =Yj. Platí yiC>7 a Vv Y X) J = l 3=1 Aplikujeme-li větu 4.6 na množiny Y*, obdržíme rovnovážný stav (x*: y*,p)- Podle lemmatu 4.9 pro y* (E Y* platí, že m m E»;eEy;=Y: j=i j=i Tedy existují yj G 1} takové, že m m Z^* = Iľ^ (*) j=i j=i Dokážeme, že platí rovněž P-yj=P-V*j- (**) Vynásobením výrazu (*) cenovým vektorem p dostaneme m m p'(52 y j) =p-C52yj)- (+) j=i j=i p • y* ]e maximum funkce p • y j na množině Y* 12 Yj, pro všechna j. Platí tedy p * y j >p-y3- Aby platila rovnost (+), musí být splněna i rovnost (**). Nyní ověříme, že stav (x*,yj,p) splňuje podmínky rovnováhy, víme-li, že (x*,y*,p) je rovnovážný stav a že m m p • y) = p • y3 a E y] = E j=i j=i n m n m n (A) E< = Ľ2/; + Eeť = Ľ2/J- + Eeť- i=l j=l i=l j=l i=l (B) x* maximalizuje Ui na množině m Bi = {x e Xt] p-x 0)} bude pro nás hrát dvojí roli: nejprve jakožto tzv. komoditní prostor, přičemž komodita je produkt nebo služba určená k výměně; prvek x G Rl+ se nazývá komoditní svazek. Tedy x je /-tice (x1,... ,xl) tak, že první souřadnice měří množství komodity číslo jedna, atd. Ale zároveň je Rl+ bez počátku prostor cenových systémů; reprezentuje-li tedy p G Rl+ — {0},p = (p1,... ,pl) množinu cen l komodit, je p1 cena jednotky první komodity, atd. 127 100 80 60 \ Rovnováha mezi \ nabídkou a poptávkou 404 ^ c D 00 1T 20 30 40 A Obrázek 4.1: Rovnovážný stav Předpokládejme, že studovaná ekonomika má (axiomaticky) zavedené funkce poptávky a nabídky D, S : Rl+ — {0} —> Rl+ z množiny cenových systémů do prostoru komodit. Pak D(p) je komoditní svazek požadovaný ekonomikou (nebo jejími účastníky celkově) za ceny p. Jinak řečeno, za ceny p = (p1,... ,pl) lze koupit komodity v množství D(p). Problém nalezení rovnovážného stavu je nalezení a studium (za vhodných podmínek na D, S) cenového systému p* G Rl+ — {0} tak, že D(p*) = S(p*). Položme Z(p) = D(p) — S{p). Pak Z : Rl+ — {0} —> Rl se nazývá nadbytek poptávky a budeme tedy hledat řešení p* G Rl+ — {0} tak, že Z(p*) = 0. (1.1) V této části vložíme na Z podmínky, které jsou přiměřené z hlediska ekonomie a pak ukážeme existenci řešení rovnice 1.1 pomocí konstruktivního postupu aparátem diferenciálního počtu. To vše provedeme, aniž bychom přešli k mikroekonomickým základům nadbytku poptávky. V další části podáme klasický mikroekonomický přístup k nadbytku poptávky pomocí agregace poptávkových funkcí individuálních účastníků ekonomiky pro případ ekonomiky úplné směny. Podmínky na funkci nadbytku poptávky jsou Z : Rl+ — {0} —>• Rl je spojitá funkce, (1.2) Z(Xp) = Z(p) pro všechna A > 0. (1.3) Tedy Z je homogenní funkce; jestliže se ceny každé komodity úměrně zvětšují či zmenšují, funkce nadbytku poptávky se nemění. To ovšem předpokládá, že se pohybujeme uvnitř úplné nebo uzavřené ekonomiky tak, že ceny komodit nejsou závislé na komoditě ležící mimo systém. i p-Z(p) = 0tj. ]T^Z» = 0. (1.4) i=l Výše uvedená rovnost tvrdí, že hodnota funkce nadbytku poptávky je nula a rovnost 1.4 se nazývá Walrasův zákon. Tuto rovnost můžeme chápat tak, že poptávka v naší ekonomice je v souladu se zdroji ekonomiky. Jedná se o omezený rozpočet spotřeby. Celková hodnota poptávky je rovna celkové hodnotě nabídky účastníky ekonomiky. Bezpochyby je Walrasův zákon nej propracovanější ze všech podmínek, které jsme vložili na funkci Z. Mikroekonomické opodstatnění podáme později. Než zavedeme naší poslední podmínku na funkci nadbytku poptávky, podáme geometrickou interpretaci předchozích podmínek. Buď 5^71 = {p (E Rl+ : ||ř>||2 = X^iG^)2 = 1} prostor normalizovaných cenových systémů. Na základě homogenity funkce Z se stačí omezit na její restrikci na množinu S1^1. Podle Walrasova zákona je funkce Z kolmá k prostoru S1^1 v každém bodě; jinak řečeno p • Z (p) = 0 neříká nic jiného, než že vektor p je kolmý k vektoru Z(p). Můžeme tedy považovat Z za pole tečných vektorů na množině S1^1. Dále definujeme S1'1 = {p G Rl : \\p\\2 = Y!l=1{p1)2 = 1} Poslední podmínka na funkci nadbytku poptávky je hraniční podmínka: Z1 > 0, jestliže p1 = 0. (1.5) Připomeňme, že Z (p) = (Z1 (p),..., Z1 (p)) a p = (p1,...,p1). Podmínka 1.5 můžeme být jednoduše interpretována následovně: je-li z-tá komodita volná (je volně k dispozici, protože její cena je nulová), pak zaručeně pro ni bude funkce nadbytku poptávky nezáporná. V našem modelu mají komodity pozitivní hodnotu. Věta 1.1 Jestliže je funkce nadbytku poptávky Z : Rl+ — {0} —> Rl spojitá, homogenní, splňuje Walrasův zákon a hraniční podmínku tj. podmínky 1.2, 1.3, 1.4 a 1.5, pak existuje cenový systém p* G Rl+ — {0} tak, že Z{p*) = 0. Nalezení cenového systému p* bude provedeno konstruktivně. Důkaz věty 1.1 bude proveden pomocí vět 1.2 a 1.7. Věta 1.2 Bud! f : Dl —>• Rl spojité zobrazení splňující následující hraniční podmínku (-Bo) Pokud je x G ôDl, pak f (x) není ve tvaru fix pro žádné fi > 0. Pak existuje prvek x* G Dl tak, že platí f (x*) = 0. Přitom D1 = {x G Rl : ||a:||2 = Y^i=i(xZ)2 — 1} a SDl = S1-1 = {xeRl: \\x\\2 = Y!l=1{x1)2 = 1}. Obecně pak Dlr = {x G Rl : ||:r||2 = X^Lií^)2 — f2} a 3Dlr = {x G R1 : ||:r||2 = X^Lií^)2 = f2} Pr0 všechna r kladná. Přitom speciálně máme hladké zobrazení j{_\ : Sl~ľ —> Dl~ľ C Rl~ľ definované předpisem ji-i(xu ...,xi) = (xi,.. .,Xi-i). Pro důkaz věty 1.2 použijeme dva hlavní výsledky globálni analýzy a jejich aplikace pro ekonomii - tj. Sardovu věta a věta o implicitní funkci (věta o inverzním zobrazení). Abychom mohli vyslovit tyto věty, je nutno využít ideu singulárního bodu (kritického bodu) diferenciovatelného zobrazení f : U —> Rn, kde U je otevřená podmnožina kartézského prostoru Rk. Řekneme, že / je třídy Cr, jestliže všechny derivace do řádu r včetně existují a jsou spojité. Pro prvek x (E U je derivace D f (x) v bodě x lineární zobrazení z Rk do Rn (tj. matice parciálních derivací). Pak říkáme, že x se nazývá singulární (kritický) bod zobrazení f, , pokud tato derivace není surjektivní zobrazení. Poznamenejme, že pokud k < n, jsou všechny prvky z £/ singulární. Singulární hodnoty jsou jednoduše obrazy vzhledem k / všech singulárních bodů; prvek y G Rn se nazývá regulární hodnota, pokud není singulární hodnota. Věta 1.3 Věta o implicitní funkci. Je-li y G Rn regulární hodnota zobrazení f : U —> Rn, které je třídy C1, U otevřená v Rk, pak bud! f~ľ(y) je prázdná množina nebo f~ľ(y) = V, V je podvarieta U dimenze k — n. Přitom V je podvarieta U dimenze k — n, pokud pro každé x (E V můžeme najít diferencovatelné zobrazení h : N (x) -)Os následujícími vlastnostmi: 1. h má diferencovatelnou inverzi, 2. N(x) je otevřené okolí bodu x G U, 3. O je otevřená množina obsahující bod 0 G Rk, 4. h(N(x) n V) = O n C, kde C je systém souřadnic v Rk dimenze m. Věta 1.4 Věta o inverzní funkci. Nechť Gí(xi, ..., xn, yi,..., y^), i = 1,..., k jsou funkce třídy Cr, r > 1, definované na okolí W bodu ..., an, b\,..., b^) G Rn+k, které splňují Gí(cli, ..., an, b\,..., b^) = 0 a Pak existují okolí U bodu ..., an) G Rn a okolí V bodu (bi,..., bk) G Rk tak, že U x V QW a ke každému bodu (xi,..., xn) G U existuje právě jeden bod (yi,..., y^) G V, pro nějž platí Gí(xi, ..., xn, yi,..., y^) = 0. Takto určené funkce y i = fi(xi,..., xn) jsou rovněž třídy Cr. Občas o nich mluvíme jakožto o řešeních soustavy rovnic G i = 0. (1.6) Věta 1.5 Sardova věta. Je-li zobrazeni f : U —> Rn, U otevřená v Rk, dostatečně diferencovatelné (třídy Cr, r > 0 a r > k — n), pak množina singulárních hodnot má míru nula. Připomínáme, že množina S C Rn má (Lebesgueovu) míru nula, jestliže pro každé e > 0 existuje taková posloupnost krychlí Zi, i = 1, 2,..., že S C [J°^1 Zi a pro objemy volZ^ těchto krychlí platí yol^ < £■ Sjednocení spočetně mnoha množin míry nula má opět míru nula. Poznamenejme, že Sardova věta má sice jednotnou formulaci, ale z obsahového hlediska se dělí na tři významově odlišné případy. Při k < n celá množina f(U) sestává z kritických hodnot - zde vkládáme prostor menší dimenze do prostoru větší dimenze a pak má elementárně f(U) míru nula. I pro k = n jde o jednoduché tvrzení, které lze snadno dokázat přímo. Teprve případ n < k představuje obtížnou část Sardovy věty. Přitom o množině kritických hodnot hladkého zobrazení nelze tvrdit více, než že má míru nula. Tato množina může být například hustá v Rn. Důkaz Sardovy věty lze najít například v monografii [18]. Má-li množina singulárních hodnot míru nula, řekneme, že množina regulárních bodů má plnou míru. Obě z výše uvedených vět lze přímo aplikovat na případ / : U —^ C, kde U je podvarieta dimenze k prostoru Rm a V je podvarieta dimenze n prostoru Rq. V tomto případě je derivace Df(x) : TX(U) —> Tf(x)(V) lineární zobrazení na tečném prostoru. Pro důkaz věty 1.2 uvažme funkci h : Dl —>• Rl třídy C2, která splňuje následující hraniční podmínku: (SB) f(x) = —x pro všechna x G ÓD1. Problém je pak najít x* G Dl tak, že platí h(x*) = 0. Abychom jej vyřešili, definujme pomocné zobrazení g : D1 — E —^ Sl~x předpisem g(x) = pjfjjp ^e E = {x £ Dl : h(x) = 0} je množina řešení naší rovnosti. Evidentně, g je třídy C2 a tedy dle Sardovy věty dostáváme, že množina regulárních hodnot má plnou míru v Sl~x. Buď nyní y G Sl~ľ = óDl taková regulární hodnota tak, že g-1 (y) je neprázdná množina (jinak by totiž měla množina g(Dl — E) = Sl~ľ míru nula, což je nemožné). Pak dle věty o implicitní funkci dostáváme, že g~x(y) je 1-dimenzionální podvarieta, která musí obsahovat —y podle hraniční podmínky (SB). Buď nyní V komponenta g~x(y) obsahující prvek —y (totiž y G ÓD1 implikuje —y G ÓD1, g (—y) = \\h[-^)\\ = = Zejména tedy musí V být regulární křivka začínající v bodě —y a otevřenou v opačném konci. Připomeňme, že křivka e se nazývá regulární křivka třídy Cs, jestliže ke každému bodu této křivky existuje na této křivce okolí, které je obloukem třídy Cs. Zároveň je průnik V H ôDl = {—y} z hraniční podmínky (SB) a nutně je bod —y obsažen ve V pouze jednou jakožto počáteční bod, protože je V regulární v bodě —y. Speciálně je V uzavřená podmnožina Dl — E a tedy všechny její limitní body leží v E. Zejména tedy je množina E neprázdná a pokud začneme z bodu —y, musíme jednou dokonvergovat k E. Tím jsme podali geometrický konstruktivní důkaz existence bodu x* G Dl tak, že platí h(x*) = 0. Poznamenejme, že pro přiblížení si konstruktivní povahy výše uvedeného řešení můžeme ukázat, že V je řešící křivka globální Newtonovy obyčejné rovnice Dh(x)^ = —Xh(x), kde A = ±1 je vybráno tak, že má stejné znaménko jako Dh(x) a závisí na x. Je-li totiž derivace Dh(x) regulární, pak Eulerova metoda diskrétní aproximace nám dává xn = xn-X T (Dh(xn-i)) 1h(xn_1), což není nic jiného, než Newtonova metoda pro řešení rovnice h(x) = 0. Nyní předpokládejme, že funkce h : Dl —>• Rl je pouze spojitá a stále splňuje h(x) = —x pro všechna x G ôDl. Definujme nové spojité zobrazení ho : Dl2 —> Rl předpisem ^o(^) = h{x) pro ||:r|| < 1, ^o(^) = —x pro ||:r|| > 1. Buď dále £i,i = 1, 2,..., oo posloupnost reálných čísel konvergující k nule. Pro každé i přirozené zkonstruujeme hladkou tj. C°° aproximaci hi funkce h0 tak, že ||/íí(:e) — 0*0II < £i- Buď dále (fr hladká funkce na R1 tak, že J (pr = 1 a nosič funkce (fr je obsažen v disku Dlr o poloměru r > 0. Ukažme konkrétní konstrukci funkce (fr. Zaveďme nejprve pomocnou funkci í 0 pro x < 0 0. Tato funkce je hladká. Pak fukce (f(x + r)(p(r — x) je třídy C°°, je kladná v intervalu (—r, r) a rovná nule mimo tento interval. Funkce i i/j(xi, ...,xi) = Y[ ^{x, + r)(f(r - x,) i=l je třídy C°°, je kladná v intervalu (—r,r)1 a rovná nule mimo tento interval. Funkce ipr = já—r má tedy J — co všechny požadované vlastnosti. Navíc platí, že Ifrix-L, ...,Xi)= (fr(-XU . . . , Xi) = • • • = (fr(Xi, . . . , -Zj). Speciálně lze tedy spočítat, že X(fr(x) = 0. Připomeňme, že nosičem funkce cp : £/ —>■ i? rozumíme uzávěr množiny bodů, v nichž má 0 takové přirozené číslo z0, že ||/íí(:e) — /^(^OH < £ Pr0 každé x G A a pro každé číslo i > i0. Můžeme pak aplikovat výše uvedený výsledek na hi a pak tedy existuje Xi G 6Dl2 tak, že hi(xi) = 0. Evidentně, Xi G ÓD1 a zároveň Xi —> {x G Dl : /íq(^) = 0} (lze se omezit na vybranou podposloupnost) tj. existuje x G ÓD1 tak, že /i(:r) = 0. Totiž, pro všechna ó > 0 existuje z 5 tak, že ||/io(^) — 011 = ||(/io(^) — hi(xi)) + (hi(xi) — 0)|| < ó pro všechna i > is tj. ||/io(^)|| = 0. Dokažme nyní větu 1.2 v plné obecnosti. Buď tedy funkce / : Dl —>• Rl pouze spojitá a nechť splňuje podmínku (Bd). Definujme nové spojité zobrazení f0 : D\ —^ Rl takové, že f(x) = —x pro x G ôDl2 předpisem f (x) = f (x) pro ||:r|| < 1, f (x) = (2-\\x\\)f(x/\\x\\) + (\\x\\-l)(-x) pro |N| > 1. Z předcházejících výsledků pak víme, že existuje x* G ôDl2 tak , že f(x) = 0. Nutně pak ||:r*|| < 1. Jinak by totiž nastal spor s hraniční podmínkou (Br>). Tedy existuje x* G ôDl tak , že f{x) = 0, čímž je důkaz věty 1.2 ukončen. Abychom mohli získat hlavní výsledek - větu 1.1, bude nutno modifikovat větu 1.2 z koulí na simplexy. Definujme Ai = {p€rf+:EUpť = l} <*Ai = {peAi:(3z)(pť = 0)} A0 = {^i?':EU^ = 0} a j9c = (1//,..., l/l) G Ai, j9c je střed simplexu Ai. V dalším budeme pracovat se spojitými zobrazeními íp : Ai —> A0, která budou splňovat následující hraniční podmínku: (B) Pokud je p G e)Ai, pak (p(p) není ve tvaru /x(j9 — pc) pro žádné /i > 0. To neříká nic jiného, než že pro hraniční bod p neleží (f(p) na polopřímce se směrnicí p — pc. Lemma 1.6 Nechi D = D1 n A0. PaÄ; mezi množinami D1^1 a t]d{D1j}) = D n Z)^1 x i? existuje vzájemně VI VI VI jednoznačná korespondence pomocí zobrazení projekce -itd : D —> a zobrazení r]d '■ D1^1 —> D; přitom VL ví r]D(x1,.. .,xi-i) = {xi,..., xi-i, J2t=i xi)- Důkaz. Nejprve ukážeme, že obě zobrazení jsou korektně definovaná tj. že platí ttd(xIi • • • 5 %i) £ Dlj_ľ pro 7T (xi,..., x{) G t]d{D1^) a t]d(xi, xi-i) G t]d{D1^) pro (:ri,..., xi-i) G Z^j"1. K tomu stačí ověřit, že Ví Ví Ví 11^(^1,..., xi)\\ < -jj a H^d^i, ..., £z-i)|| < 1- To ale vede na maximalizační úlohy a maXEí=l ^ za podmínek (P^) £S=i*? A0 spojité zobrazeni splňující následující hraniční podmínku (B). Pak existuje prvek p* G Ai tak, že platí (p(p*) = 0. Abychom dokázali větu 1.7 pomocí věty 1.2, budeme konstruovat homeomorfismus zachovávající paprsky. Definujme tedy zobrazení h : Ai —> A0 předpisem /i(j9) = p — pc] dále buď A : A0 — {0} —>• i?+ zobrazení definované předpisem X(p) = — j • mJ,p, • Položme pak í/j : D ^ h(Ai) jakožto ^(řO = A(jpy)j9. Evidentně, ifj je zobrazení zachovávající paprsky. Uvažujme nyní kompozici a : D —> A0, D % h{Ax) ^ Ax 4 A0. Tvrdíme pak, že a splňuje hraniční podmínku {Bd) věty 1.2. Buď tedy q G ÔD a nechť p = i/j(q) +pc = h~1(í/j(q)). Ale dle podmínky (B) neexistuje žádné kladné \i tak, že (f(p) = fi(p — pc) neboli ekvivalentně a(q) = ^{p ~ Pc)- To je rovnocenné s tím, že neexistuje žádné kladné \i tak, že a(q) = (ii/j(q) a protože ifj zachovává paprsky, máme, že neexistuje žádné kladné \i tak, že a(q) = fi(q), což je přesně naše tvrzení. Okamžitě pak z věty 1.2 dostáváme, že existuje prvek q* (E D tak, že platí a(q*) = 0. Položíme-li pak p* = ijj(q*) + pci obdržíme tp(p*) = 0 a věta 1.7 je dokázána. Abychom dokázali 1.1, definujme pomocí funkce nadbytku poptávky Z : Rl+ — {0} —> Rl novou funkci (f : Ai —> A0 předpisem (p(p) = Z{p) — (^!i=1 Zl{pÝj P- Poznamenejme, že X^i^G9) = Y^í=i^(p) ~ Y^í=i Z1(p) Y^i=iPz = 0- Je tedy cp korektně definované a je zřejmě spojité, jakožto složení spojitých funkcí. Zároveň pokud p G ôAi, je nutně p% = 0 pro jistý index i a tedy yř{p) = Zl(p) > 0 dle podmínky 1.5. Je tedy podmínka (B) věty 1.7 splněna pro zobrazení (p. Existuje tedy p* G Ax tak, že (f>(p*) = 0. Tedy Z(p*) = Yll=1 Z1 (p*)p*. Uvažme nyní skalární součin obou stran rovnosti s vektorem Z(p*). Pak ||Z(p*)||2 = Z{p*) • Z{p*) = Y!l=i Z\p*) {p* • Z{p*)) = 0 dle 1.4. Tedy i Z{p*) = 0 tj. věta 1.1 platí. Je však vhodné připomenout, že přirozený rovnovážný stav může nastat i v případě, že D(p*) ^ S(p*). Uveďme následující graf 4.2 jednoho trhu pro cenu p = 0. Tedy pro přebytek poptávky je někdy cenový vektor p* G Rl+ — {0} s vlastností Z{p*) < 0 nazýván Obrázek 4.2: Přirozený rovnovážný stav rovnovážným stavem. Jinak můžeme o takovémto p* G Rl+ — {0} uvažovat jakožto o rovnováze k volnému použití, pro pozdější se zbavení přebytku nabídky pak máme rovnovážný stav Z(p) = 0. Tvrzení 1.8 Pokud funkce Z : Rl+ - {0} —► Rl splňuje Walrasův zákon 1.4 a zároveň Z(p*) < 0, pak pro všechna i bud7 Zl(p*) = 0 nebo p*1 = 0. Totiž jinak by existoval index i tak , že Zl(p*) < 0 a p*1 > 0. Zároveň pro všechna i máme Zl(p*)p*1 < 0 a tedy Yl\=\ Zl(p*)p*1 < 0, což je spor s Walrasovým zákonem. Věta 1.9 ( Debreu-Gale-Nikaidô) Buď funkce Z : Rl+ — {0} —> Rl spojitá funkce splňující slabý tvar Wa-Irasova zákona P-Z(p)<0. (1.7) Pak existuje cenový systém p* G Rl+ — {0} tak, že Z{p*) < 0. Poznamenejme, že věta 1.9 implikuje větu 1.1. Totiž, splňuje-li funkce Z předpoklady věty 1.1, pak dle věty 1.9 existuje cenový systém p* G Rl+ — {0} tak, že Z(p*) < 0. Podle tvrzení 1.8 pro všechna i buď Zi{jp*) = 0 nebo p*1 = 0. Ale dle hraniční podmínky 1.5 je pro p*1 = 0 nutně Zi{jp*) > 0 tj. Zi{jp*) = 0 a tedy celkem Z(p*) = 0. Abychom mohli dokázat větu 1.9, zavedeme funkci (5 : R —>■ R předpisem (5{ť) = 0 pro t < 0 a (3(t) = t pro t > 0. Definujme dále funkci Z : Rl+ — {0} —> Rl následovně: Z\p) = (5{Zl{p)) pro všechny indexy i a cenové vektory p. Podobně jako v důkazu věty 1.1 definujme zobrazení (p : Ai —> A0 předpisem (f(p) = Z{p) — (Y^1í=1 ~Zl{p)Sj p- Pak splňuje předpoklady věty 1.7. Existuje tedy vektor p* G Ai tak, že (f(p*) = 0. Tedy Z(p*) = J2i=i z ÍP*)P*- Uvažme nyní skalární součin obou stran rovnosti s vektorem Z(p*). Pak ~Ž{p*) • Z{p*) = YJi=1T{p*) {p* • Z{p*)) < 0 dle 1.7. Tedy Yll=iP{z\p*)) ' z\p*) < °- Ale zřejmě (3(t)t > 0 pro t > 0 a (3(t)t = 0 pro t < 0 . Nutně tedy Z\p*) < 0 pro všechna i tj. Z(p*) < 0 tj. věta 1.9 platí. Jiné přirozené zobecnění vět 1.1 a 1.9 bude pro případ, že p% —> 0 implikuje Zl(p) —> oo (viz 4.3). Tato věta 1.10 je přirozeným zobecněním Arrow-Hahnovy věty. Předpokládejme nyní, že funkce přebytku poptávky Z je definována pouze na jisté podmnožině T> množiny Rl+ — {0} tak, že T> obsahuje množinu int(i?^_ — {0}) a pokud p G V, pak Xp G T> pro všechna A kladná. Uvažme funkci Z s následujícími vlastnostmi: Z : V —y Rl je spojitá funkce, (1.8) Z{Xp) = Z{p) pro všechna A > 0 a pro všechna p G V, (1-9) P • Z (p) < 0 pro všechna p G V, (1.10) 100- I 80;-60;-40;- 20:- 0 0 10 20 30 40 Obrázek 4.3: Přirozený rovnovážný stav Pk —^ p 0 T> implikuje Zl(pk) —> oc. i=l (1.11) Věta 1.10 Buď funkce Z : V ^ Rl funkce splňující 1.8, 1.9, 1.10 a 1.11. Pak existuje cenový systém p* G V tak, že Z{p*) < 0. Uvažme funkci (3 : R —>■ R stejně jako v důkazu věty 1.9. Definujme pak novou funkci a : R —>■ R v závislosti na pevně zvoleném kladném číslu c předpisem ( 0 pro t < 0, a (t) = < 1 pro t > c, 1 \ jinak. Definujme pomocnou funkci Z : Rl+ — {0} —> Rl následovně: ■ Ji pokud í? Z{P) = \ (l-a (EU ZJ(P))) M2'®) + « (Ej=i ^J'(P)) Jinak pro všechny indexy ž a cenové vektory p. Podobně jako v důkazu věty 1.1 a 1.9 definujme zobrazení (p : Ai —> A0 předpisem (p(p) = Z{p) — ÍY^í^'Z1(pÝj P- Pak (p splňuje předpoklady věty 1.7. Existuje tedy vektor p* G Ai tak, že (f(p*) = 0. Tedy Z(p*) = Y^i=i Z\p*)p*. Nejdříve předpokládejme, že p* G V. Uvažme nyní skalární součin obou stran rovnosti s vektorem Z(p*). Pak stejně jako v důkazu 1.9 dle 1.10 dostaneme Z(p*) • Z(p*) < 0. Tedy É (1 - »(É ZV))) P(2ŕ{p'))^{p') + a (É zV) J É ZV) ^ °- i=l V \j=i / / \j=i / i=l Protože pro všechna reálná t platí to (t) > 0, nutně pak E ^ -«(Ez>*))) < o. Tedy 1 - a ( E j J E < 0. J=l / / i=l Zároveň pro všechna reálná t platí (1 - a(t)) > 0 tj. J2i=i P(z\p*)) ' z\p*) < 0- Ale zřejmě f3(t)t > 0 pro t > 0 a f3(t)t = 0 pro t < 0 . Nutně tedy Z*(p*) < 0 pro všechna i tj. Z(p*) < 0. Nechť 0 D. Pak = (1,..., 1) tj. Ip* = Ž(p*) = (1,..., 1) tj. p* = Pc e V, spor. Tedy věta 1.9 platí. 2 Ekonomika úplné směny: existence rovnovážného stavu Tento odstavec se skládá ze dvou částí; v první z nich budeme uvažovat silnější předpoklady s důrazem na diferenciovatelnost, přičemž v druhém budeme pracovat v obecnějším rámci. Existenční tvrzení jsou speciálními případy Arrow-Debreuovy věty. Uvažme nejprve jednoho účastníka s prostorem komodit P = {x G R1 : x = (x1,... ,xl), (\/i)(xl > 0)} C Rl+. Tedy prvek x G P bude reprezentovat svazek komodit spojených s tímto ekonomickým agentem. Budeme předpokládat, že preferenční relace na P je reprezentována funkcí užitečnosti u : P —>• R tak, že účastník preferuje prvek x G P před prvkem y G P přesně tehdy, když u(x) > u(y). Podmnožiny u-1 (c) pro c G i? (vrstevnice funkce u) nazýváme indiferentními křivkami (pro preferenční relaci). V dalším budeme předpokládat silný předpoklad klasického typu: Funkce u : P ->• R je třídy C2. (2.1) Buď nyní g{x) orientovaný jednotkový normálový vektor k indiferentní křivce ií_1(c) pro c G i? tak, že c = u(x). Můžeme pak vyjádřit g(x) jakožto , kde gradu = (Jp-,..., J^-). Pak je g : P —> Sl~ľ zobrazení třídy C1. Toto zobrazení hraje základní roli v analýze preferencí spotřebitele a teorie poptávky. Náš další předpoklad je monotonie neboli více je lépe tj. g{x) G P n S1'1 = int^"1) pro všechna x G P. (2.2) Tedy 2.2 znamená, že všechny parciální derivace -rr jsou kladné. Naše třetí hypotéza je konvexnost a to opět v silném a diferencovatelném tvaru. Pro a: e P je derivace Dg(x) lineární zobrazení z Rl do kolmé nadroviny g(x)1- k vektoru g{x). Můžeme pak uvažovat o g(x)1-jakožto o tečném prostoru Tg^^S1-1) nebo o tečné rovině k indiferentní křivce. Pak restrikce Dg(x) z nadroviny g(x)1- do sebe je symetrické lineární zobrazení. Restrikce Dg(x) z nadroviny g{x)^ do sebe má záporné vlastní hodnoty. (2-3) Ekvivalentní podmínka k 2.3 je Druhá derivace D2u(x) jakožto symetrická bilineární forma omezená na tečnou nadrovinu g(x)1- k indiferentní křivce v bodě x je (2-4) negativně definitní. Ekvivalenci mezi 2.3 a 2.4 lze ukázat následovně: buď Du(x) : Rl —>■ R buď první derivace funkce u v bodě x s jádrem označeným Ker (Du(x)). Pak máme v • g{x) = ||gr^(^|| • Dále v G Ker (Du(x)) právě tehdy, když v • gra,du(x) = 0 tj. v • g(x) = 0 tj. v G g{x)L. Nechť i>i,i>2 £ Ker (Du(:r)). Pak v\ • g(x) = ^^^yjj-Derivujeme-li obě strany podle x, máme =o D2ii(:r)(i^)||gradii(:z;)|| — Du(x)(vi)D (I |graďií(:r) 11) v1 • Dg(x) =- ||gradií(:r)||2 Tedy Vl ■ Dg(x) = Připomeňme následující dvě tvrzení z lineární algebry ([5]). Tvrzení 2.1 Buď A matice nad tělesem T, majících n vlastních hodnot (ne nutně navzájem různých). Pak matice A je podobná Jordánově matici. Tvrzení 2.2 Buď f2 regulární kvadratická forma na reálném vektorovém prostoru Vn a buď A její matice vzhledem k bázi M prostoru Vn. Označme D^i = l,...,n determinant dílčí submatice matice A, která vznikne z matice A vynecháním posledních n — i řádků a posledních n — i sloupců. Pak f2 je pozitivně definitní, právě když Di > 0,i = 1,... ,n. Dále je vhodné si uvědomit, že forma f2 je pozitivně definitní, právě když —f2 je negativně definitní. Nyní můžeme dokončit důkaz ekvivalence podmínek 2.3 a 2.4. Totiž, má-li matice Dg{x) všechny vlastní hodnoty záporné, má v odpovídající bázi Jordánův (trojúhelníkový) tvar B tak, že na diagonále jsou záporná čísla. Položme A := —B. Pak A má na diagonále pouze kladná čísla a dle 2.2 je odpovídající forma k A pozitivně definitní, tj. odpovídající forma k D g (x) negativně definitní. Obráceně, buď forma ||^ad^)|| negativně definitní, A vlastní číslo matice Dg(x) a v příslušný nenulový vlastní vektor. Pak /, x /_ / \ \ D2u(x)(v, v) ||gradii(:r)|| Tedy A < 0, což se mělo dokázat. Ukažme následující tvrzení. Tvrzení 2.3 Pokud funkce užitečnosti u : P —^ R splňuje 2.3, je nutně ií-1([c, oo)) ostře konvexní pro všechna c G R. Ukážeme, že minimum funkce u na každém intervalu nemůže nastat ve vnitřku tohoto intervalu. Přesněji, nechť x,x' £ P tak, že u(x) > c, u{x') > c. Nechť dále S = {y : y = Xx + (1 — X)x', 0 < A < 1} je odpovídající interval s krajními body x, x' G P. Nechť dále x* = X*x + (1 — X*)x', 0 < A* < 1 je bod minima pro funkci u na S. Pak x* = x' — X*{x' — x). Navíc Du(x*)(v) = 0 pro v = x' — x. Protože x* je bod minima, nutně Ľ2u(x*)(v, v) > 0. To je však spor 2.4, že Ľ2u(x*) < 0 na Ker (Du(x*)). Je proto u větší než c na S. Závěrečná podmínka na funkci u je hraniční podmínka a jejím důsledkem je zbavení se případných problémů spojených s hranicí podprostoru Rl+: Indiferentní křivka u 1(c) je uzavřená v Rl pro všechna c. (2.5) To lze interpretovat jakožto podmínku, že účastník si přeje vlastnit od každé komodity alespoň něco. Je například použita v práci [7] (1959). Odvoďme si nyní funkci poptávky od funkce užitečnosti účastníka. Předpokládejme proto, že máme dán cenový systém p G inti?+ = P a vektor bohatství w G R+. Tato definice R+ je vhodná ačkoliv ne zcela důsledná. Uvažujme dále rozpočtovou množinu Bp^w = {x G P : p • x = w}. Můžeme pak za BPjW považovat za množinu komodit, které získáme za ceny p pro bohatství w. Poptávka f (p, w) je komoditní svazek maximalizující užitečnost na množině BPjW. Poznamenejme, že BPjW je ohraničená a neprázdná a tedy funkce u omezená na BPjW má kompaktní indiferentní křivky. Zejména tedy má funkce u na BPjW maximum, které je jediné dle předpokladu konvexity 2.3 a dle 2.3. Je tedy x = f (p, w) poptávka našeho účastníka při cenách p a bohatství w. Přitom je vidět, že poptávka je spojité zobrazení / : inti?+ —> R+ —> P. Tedy x = f (p, w) je maximum funkce u na BPjW, derivace Du(x) omezená na Bp^w je nulová neboli platí g {x) = jpy. Z definice p • f(p,w) = w a f(Xp,Xw) = f(p,w) pro všechna A > 0. Celkem pak: Tvrzení 2.4 Individuální poptávka je spojité zobrazení f : intRl+ —> R+ —^ P a splňuje 1. g(f(p,w)) = 2. p • f (p, w) = w, 3. f(Xp, Xw) = f (p, w) pro všechna A > 0. Dále ukážeme následující známou skutečnost [8]. Tvrzení 2.5 Funkce poptávky je třídy C1. Obecně, funkce poptávky je stejné třídy Cr jakožto funkce g. Poznamenejme nejprve, že z tvrzení 2.4 máme zobrazení ip : P ->• (intS^-1) x R+, tp(x) = (g(x), x • g (x)), což je inverzní zobrazení k restrikci / na množinu (intS^1) x R+. Protože ip je třídy C1, bude / třídy C1 dle věty o implicitní funkci 1.4, pokud derivace Dip(x) je regulární pro všechna x G P. Abychom ukázali, že D(f(x) je regulární, stačí ověřit, že D(p(x)(r]) = 0 implikuje 77 = 0. Nechť tedy 77 G Rl. Pak Dy>(a;)(77) = (D^a;^), 77 • 5ř(^) + z • Dg(x)(r))). Je-li tedy D(p(x)(rj) = 0 , pak Dg(x)(rj) = 0 tj. 77 G KerD#(:r). Ale i 77 • #(:r) = 0 tj. 77 G ^(a;)-1-. Zároveň víme z 2.3 že restrikce Dg(x) z nadroviny (/(a:)-1 je regulární tj. KeiDg(x) fl (/(ar)-1 = {0}. Tedy 77 = 0. Z výše uvedeného okamžitě plyne, že můžeme psát Rl = KerD^(or) © ^(ar)-1 tj. každý vektor z lze jednoznačně zapsat jakožto 77 = 771 + 772, 771 • g{x) = 0, Dg(x)(r}2) = 0. Obrázek 4.4: Funkce užitku a poptávka Můžeme pak orientovat přímku KerDg(x) tak, že řekneme, že vektor 77 (E KerDg(x) je pozitivní, pokud 77 • g{x) > 0. Zároveň máme: protože Dg(x) je vždy regulární, je i křivka g~ľ(p) s p = g (x), p G S1^1 pevné, regulární. Mluvíme pak o křivce rozvoje příjmů. V bodě a: G F je tečná přímka k g~ľ(p) právě přímka KerDg(x) (z dennice). Tuto křivku lze pak interpretovat jakožto křivku poptávky rostoucí s bohatstvím při pevných cenách. Můžeme pak uvažovat bohatství jakožto funkci w : P —>■ R definovanou jako w(x) = x-g{x). Pak w je ostře rostoucí podél každé křivky rozvoje příjmů. Skutečně, křivka g~ľ(p) je diferencovatelně parametrizovatelná podle w. Předpokládejme nyní, že bohatství účastníka pochází z obdaření e z P a je funkcí w = p • e ceny p. Poslední vlastnost poptávky je dána tvrzením: Tvrzení 2.6 Buď Pí posloupnost cenových vektorů ležící v inti?+ konvergující k p* G óRl+ pro i —> 00. Pak WfiPhPi • e)|| ->• 00 pro i 00. Důkaz. Nechť neplatí, že \\f(pi,Pi • e)|| —> 00 pro i —> 00. Pak pro nějaké x* G Rl+ existuje vhodná podpo-sloupnost ij, j = 1, 2,... ,00 tak, že /(py^Py • e) —> x*. Totiž pak všechny prvky f{pijlPij • e) leží v nějaké kompaktní kouli tj. z této posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. Můžeme tedy v dalším bez újmy na obecnosti předpokládat, že posloupnost f(pi,Pi • e) —> x*. Pro každé i položme Wi = Pí • e. Pak e G BPi}W; tj. u{f{pilpi • e)) > u(e). Speciálně f(pi,Pi • e) G ií-1([ií(e), 00)). Z uzavřenosti množiny ií-1([ií(e), 00)) pak nutně x* G ií-1([ií(e), 00)). Dle 2.5 máme, že x* G P. Proto je g{x*) definováno a rovno p*. Ale protože £>* G (5i?^_ dostáváme spor s naším předpokladem monotonie 2.2. Ekonomika úplné směny sestává z: m účastníků se stejným prostorem komodit P. Účastník i pro i = l,...,m má preference reprezentovány funkcí užitečnosti Ui : P —>• i? splňující podmínky 2.1, 2.2, 2.3 a 2.5. Zároveň předpokládejme, že každý účastník i má k dispozici obdaření G P. Tedy pro cenový systém Pi G i?^ — {0} je bohatství účastníka i rovno p • e^. Můžeme pak interpretovat tento model jakožto ekonomii směny, ve které se každý účastník pokouší směnit své obdařené komodity za svazek komodit, který by zvýšil jeho uspokojení při omezení daným rozpočtem. Pojem ekonomiky lze představit následovně: Stav ekonomiky se skládá z alokace x G Pm, x = {x\,... ,xm) a cenového systému pi G Sl+ 1. Alokace se nazývá přípustná, pokud E^ = Ee«- Tedy celkové zásoby ekonomiky ukládají omezení na alokace; což není nic jiného, než podmínka přípustnosti. (B) Pro všechna i, Xi maximalizuje Ui na množině zásob {y G P : p • y = p • e^} tj. Xi = f (p, p • e^). Poznamenejme, že podmínka (B) se nezmění (díky monotonii funkce Ui), jestliže množinu zásob nahradíme množinou {y (E P : p • y < p • e^}. Dále připomeňme, že podmínku (B) lze nahradit podmínkami Věta 2.7 Buď dána ekonomika úplné směny tj. m obchodníků s obdařeními ei, 1 < i < m a preferencemi reprezentovanými funkcemi užitečnosti Ui : P —^ R splňujícími podmínky 2.1, 2.2, 2.3 a 2.5. Pak existuje Převeďme podmínky (A) a (B) do problému poptávky a nabídky. Buď tedy S : Rl+ — {0} —> Rl+ konstantní zobrazení, S(p) = Eeí- Podobně klademe D : inti?^ — {0} —> Rl+ D(p) = ^fi(p,p • e^), kde fi(p,p • ei) je poptávka určená funkcí Ui. Definujme nadbytek poptávky Z : inti?^_ — {0} —> Rl předpisem Z(p) = D(p) — S(p). Poznamenejme, že rovnovážné podmínky (A) a (B) jsou splněny pro vektor (x,p) právě tehdy, když Z{p) = 0 a i, = fi(p,P • e^). Budeme aplikovat větu 1.10. Ověřme, že jsou splněny podmínky 1.8, 1.9, 1.10 a 1.11. Evidentně, Z je spojitá funkce, Z je homogenní, protože jak S tak D jsou homogenní funkce, Z splňuje slabý Walrasův zákon. Totiž zejména pro p G mtRl+ máme stav, pokud (BI) a (B2): (Bl) (B2) p • Xi = p • ei pro všechna i. Pro všechna i, gi{xi) = Pí. p- Z(p) = p- D(p) -p- S(p) = ^p • fi(p,p-ei) - ^p • e% = ^{p • x% -p- e%) = 0. Ověřme podmínku 1.11. Máme ukázat, že pk —^ p 0 intRl+ implikuje Ej=i Zj(pk) —> oo. Ale to je právě tehdy, když ^. fi(pk,Pk ' Zif —^ oo. Z tvrzení 2.6 máme, že pro každé i platí 11{pk,• ^)|| —> oo pro A; ->• oo tj. (fi(Pk,Pk • et)JÝ ^ oo. Z nezápornosti pak nutně i fi(Pk,Pk • et)J ->• oo. Celkem pak Ej Ei fiÍPkiPk • —>• oo. Tedy existuje cenový vektor £>* G inti?+ tak, že Z(p*) < 0. Z věty 1.8 pak nutně z(P*) = o. Věnujme se nyní ekonomice úplné směny takové, že budeme předpokládat pouze spojité preference. Uvažme nyní preference na celém prostoru komodit Rl+ reprezentované spojitými funkcemi u : Rl+ —> R. Nahraďme podmínky 1.8, 1.9, 1.10 a 1.11 následujícím podmínkami: Funkce u : Rl+ —> R je spojitá. (2.6) u(Xx + (1 — X)x') > c, pokud u(x),u(x') >caO R, 1 < i < m splňující 2.6, 2.7 a obdaření ei G P, 1 < i < m, existuje pak rovnovážný stav volného použití (x*,p*). Tedy 2. Pro všechna i, x* maximalizuje Ui na množině zásob {xí G Rl+ : p* • Xi < p* • e^}. Důkaz. Než budeme konstruovat funkci poptávky, zbavíme se části komoditního prostoru blízké nekonečnu. Přesněji, vyberme reálné číslo c > || Eiedl a položme Xc = Dc H Rl+. Definujme dále přidruženou funkci falešné poptávky f i : (Rl+ — {0} x Rl+ —> Xc) následovně: fi(p,w) := x0, u(x0) = max{ui(x) : x G BPjW}, kde BPjW = {x (E Xc : p • x < w}. Protože je množina BPjW kompaktní, konvexní a neprázdná, okamžitě plyne z ostré konvexity Ui, že je funkce fi(p,w) dobře definovaná. Věta 2.9 Funkce falešné poptávky fi : (Rl+ — {0} x Rl+ —> Xc) je spojitá, je homogenní tj. fi(Xp,Xw) = fi(p,w) pro všechna X > 0 a p • fi(p,w) < w. Zároveň, pokud \ \fi(p,w)\ \ < c, pak maximum fi(p,w) funkce Ui existuje na množině Bp^w = {x G Rl+ : p • x < w} ( pravdivá poptávka) a navíc platí fi(p, w) = fi(p, w). Důkaz. Je evidentní, že funkce falešné poptávky f i je spojitá, je homogenní a p • fi(p, w) < w. Ukážeme zbývající část věty. Nechť Xi = fi(p,w) tak, že ||/i(ř>, w)\\ < c. Uvažme Xi G BPiW tak, že Ui{xi) > Uí(xí). Nechť S = {y : y = Xxí + (1 — A)2^,0 < A < 1} je odpovídající interval s krajními body Xí,Xí. Pro všechna x\ ^ Xi na množině Sí)Xc máme Uí{x'í) > Uí(xí) z ostré konvexity, což je spor s výběrem Xi jakožto bodu maxima funkce falešné poptávky. I Nyní definujme funkce Ď(p) = Yifiip^p • e^), S(p) = ^ ei a Z : Rl+ — {0} —> Rl jakožto Ž(p) := Ď(p) — S(p). Pak evidentně Ž splňuje slabý Walrasův zákon a tedy dle věty 1.9 existuje cenový vektor p tak, že Z{p) = 0. Položíme-li tedy Xi = fi(p,w), máme YiXi = Yí^í a w)\\ < c. Tedy dle 2.9 je nutně xi = fi(Piw) = fÁPiw) = xi- Zejména je tedy vektor (xi, ... ,xm,p) rovnovážným stavem volného použití ekonomiky úplné směny. I Předpokládejme nyní, že funkce užitku Ui : Rl+ —> R splňuje následující Podmínka nenasycenosti: Funkce Ui : Rl+ —> R nemá maximum. Pak můžeme bez újmy na obecnosti tvrdit, že vektor komodit fi(p,w) = Xi splňuje dokonce rovnost P'fi{Pi w) = w- Jinak bychom totiž mohli vybrat komoditní vektor x* G Rl+ mimo BPjW tak, že Ui(x*) > Uí(xí), což je opět spor podmínky ostré konvexity a výběrem Xi jakožto bodu maxima na BPjW. Celkem tedy dostaneme, že pro obvyklou funkci nadbytku poptávky Z(p) platí Walrasův zákon v rovnovážném stavu. 3 Paretova optimalita Budeme nyní pracovat na nějaké otevřené množině W C Rn a funkcemi třídy C2 u, : W ->• R, 1 < i < m. Můžeme pak W považovat za prostor stavů nějakého sdružení, přičemž členové tohoto sdružení mají preference reprezentované funkcemi užitku Ui. Bod x G W se nazývá Paretovým optimem, pokud neexistuje žádný prvek y tak, že Ui(y) > Ui{x) pro všechna i a pro nějaké i0 uio{y) > uio{x). O takovém y říkáme, že dominuje stav x. Je-li m = 1, je Paretovo optimum právě obyčejné maximum. Bod x G W je lokálni Paretovo optimum, jestliže existuje okolí N bodu £ a £ je Paretovo optimum pro funkce užitku Ui : W —> R, 1 < i < m omezené na okolí N. Bod x G W se nazývá silné Paretovo optimum, jestliže y G W splňuje Ui(y) > Ui{x) pro všechna i, pak nutně x = y. Podobně, bod x G W se nazývá lokální silné Paretovo optimum, jestliže existuje okolí N bodu £ a £ je silné Paretovo optimum pro funkce užitku Ui : W —> R, 1 < i < m omezené na okolí N. Poznamenejme, že tyto definice lze zavést obecně, např. pro libovolnou podmnožinu W C Rn. Věta 3.1 Buď Ui : W —^ R, 1 < i < m, funkce třídy C2, kde W je otevřená podmnožina Rn. Je-li x G W lokální Paretovo optimum, existují nezáporná čísla Ai, ..., Am > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že J2\tDut(x) = 0. (3.1) i Pokud navíc platí, že 5^ \iD2Ui(x) je negativně definitní na (XiDui(x),..., XmDum(x))~L, (3-2) i je x bod lokálního silného Paretova optima. Poznamenejme, že položíme-li m = 1, n = 1, je věta 3.1 standardní věta matematické analýzy funkcí jedné proměnné pro maximum. Je-li m = 1 a n libovolné, jedná se o případ maxima funkce více proměnných. Věta 3.2 Stiemkeho věta Proto, aby systém lineárních rovnic Ax = 0 měl kladné řešení x > 0, x G Rm je nutné a dostatečné, aby byl průnik množin {ATp : p G Rn} a R™ — {0} prázdný. Věta 3.3 Tuckerova věta Systém lineárních rovnic Ax = 0,x > 0 a systém lineárních nerovnic ATp > 0 mají vždy dvojici řešení (x,p) takovou, že ATp + x > 0. Důkaz věty 3.1. Nechť Pos = {v (E Rm : v = (vi,..., vm), Ví > 0}, Pos příslušný uzávěr. Přitom u = • • • 5 um) '■ W —> Rm. Buď x lokální Paretovo optimum a předpokládejme, že ImDu(a:) n Pos ^ 0. Pak existuje v £ Rn tak, že Du(a:)(ii) G Pos. Dále buď a{ť) křivka začínající v x, obsažená ve W taková, že o/(0) = v. Pak, z Taylorova rozvoje funkcí Ui, dostáváme, že existuje to tak, že pro všechna i a t < to je Ui(a(t)) = ut(a(0)) +tDu(x)(v)t + Ri(t)t, kde 0 pro t 0, DufiJWj > tj. ^(a(r)) > Ui(a(0)) = Ui(x) tj. a: není Paretovo lokální optimum. Nutně tedy ImDii(:r) n Pos = 0. Předpokládejme nyní, že rovnice A • Du(x) = 0 má pouze triviální nezáporné řešení. Pak dle 3.3 platí, že existuje vektor v G Rn tak, že Du(x)(v) G Pos, což není možné. Tedy rovnice A • Du(x) = 0 má netriviální nezáporné řešení, čímž je dokázána první část věty. Ukažme výše uvedené přímo pomocí aparátu lineárního programování: Primární úloha Em \ za podmínek (PU) / Ai \ (Dui(x),.. .,Dum(x)) • 0 Aí>0 a duální úloha min Yľj=i 0 * vj za podmínky (DU) / 1 \ (?Ji, ...,vn)- (Dui(ot), . .., Dwm(z)) > Protože však primární úloha je neomezená právě tehdy, když existuje netriviální nezáporný vektor A splňující A • Du(x) = 0 a duální úloha nemá přípustné řešení právě tehdy, když ImDu(x) O Pos = 0, máme z věty o dualitě první část naší věty. Předpokládejme nyní, že druhá část naší věty platí pro případ A^>0, l<ž 0, 1 < i < k, Xi = 0, k + 1 < i < m. Pak podmínky 3.1 a 3.2 jsou tytéž pro optimalizaci u±,..., um v bodě x a optimalizaci u±,..., uk v bodě x. Protože ale dle předpokladu je věta platná v tomto případě, je x lokální silné Paretovo optimum v bodě x pro funkce Ui,..., Uf~. Je tedy x lokální silné Paretovo optimum v bodě x pro funkce Ui,..., um. Stačí se tedy omezit na důkaz případu, kdy jsou všechna A^ kladná. Předpokládejme pro jednoduchost, že bod x je počátek Rn a že u(x) = 0 G Rm. Můžeme tedy v dalším volně používat označení x pro libovolný bod z W. Zejména tedy podmínka, že 0 G W je bod lokálního silného Paretova optima, je ekvivalentní podmínce, že existuje okolí N počátku 0 ve W tak, že (u(N) — {0}) fl Pos = 0. Ukážeme tedy, že existuje takovéto okolí N. Označme K = KerDií(O) jádro lineárního zobrazení Du(0) a K1- jeho ortogonální doplněk. Lemma 3.4 Existuji reálná čísla r, ô > 0 tak, že pokud \\x\\ < r, x = (xi,X2), x\ G K, x2 G KL a 11^21| < d\\xi II, pak platí pro nenulové x nerovnost X • u{x) < 0. Důkaz.Nechť H = XíD2Uí(0). Protože H je negativně definitní na K, je H(x,x) < —cr||:r||2 pro nějaké vhodné kladné číslo a a pro všechny vektory x G K (totiž stačí se omezit na jednotkovou kouli v K, tam má funkce h maximum, které je nutně záporné a rovno — 0 a ó > 0, existuje reálné číslo s > 0 tak, že pokud \ \x\\ < r, x = (xi, x2), X\ G K, x2 G K1- a \\x2\\ > ó\\xi\\, pak nerovnost \\ub(x)\\ < a\\ua(x)\\. Důkaz. Restrikce Dm(0)^± : KL —> ImDu(O) zobrazení Du(0) : Rn —> ImDií(O) je lineární izomorfismus. Totiž, je-li Du(0)(x) = Du(0)(y) je nutně Du(0)(x - y) = 0 t.j. x - y G K n KL = {0} tj. x = y. Nechť z G ImDii(O). Pak existuje x G Rn tak, že Du(0)(x) = z. Ale x = x\ + x2l x\ G K1 x2 G KL. Tedy z = Dw(0)(z) = Dw(0)(zi) + Dw(0)(z2) = 0 + Dw(0)(z2). Zároveň poznamenejme, že pro každý lineární izomorfismus v euklidovském prostom existují kladné konstanty k±, k2 > 0 tak, že ^íll^H < 11-^(^)11 < ^H^H pro všechna x. Speciálně tedy existují kladné konstanty Ci,c2 > 0 tak, že ||Dii(0)(:r)|| = I|Du(0)(^2)|I > Ci1111 pro všechna x = x\ + x2 > c\\x\\ pokud ||^2|| > ^H^ill- Rozviňme u(x) do Taylorovy řady. Pak ua(x) + Ub(x) = u{x) = Du(0)(x) + R(x). Přitom pro (5 > 0 můžeme předpokládat, že ||i?(:r)|| < fi\\x\\ pro ||:r|| < s, s > 0 vhodné reálné číslo. Přitom R(x) = Ra(x) + Rb(x), Ra(x) G J, Rb(x) G Jx. Tedy |Du(0)(a;) + i^Ca;)!! > ||Dw(0)(a;)|| -\\- Ra(x)\\ > (c -/3)\\x\ a ||wh(a;)|| = \\Rb(x)\\ < /3\\x\\. Zvolme f3 tak, že < a. Pak ||iib(:r)|| < a||iia(:r)||. I Dokončeme nyní důkaz věty 3.1. Vyberme a z lemma 3.5 tak, že pokud ||iib(:r)|| < a||iia(:r)||, pak u(x) ^ Pôš- {0}. Ukážeme nyní, že rovnice A • Du(x) = 0 má kladné řešení právě tehdy, když ImDii(O) H Pos = 0. Ukažme výše uvedené pomocí aparátu lineárního programování: Primární úloha maxAj za podmínek (Dwi(z),..., Dum(x)) Aí>0 ( Xi\ \ Xm J (PU,) o a duální úloha (DU,) Oi,... ,vn) • (Dwi(z),... ,Dum(x)) > (0... 1 0). Protože však všechny primární úlohy (PUj) jsou neomezené právě tehdy, když existuje netriviální kladný vektor A splňující A • Du(x) = 0 a všechny duální úlohy (DUj) nemají přípustná řešení právě tehdy, když ImDii(O) H Pos = {0}, máme z věty o dualitě naše tvrzení o průniku ImDii(O) H Pos. Vyberme tedy kruh se středem 0 a poloměrem r o < min(r, s), r z lemmatu 3.4 a s z lemmatu 3.5, ó z lemmatu 3.5 dle lemmatu 3.4. Nutně pak u(x) ^ Pos — {0} pokud ||:r|| < r o tj. 0 je bod lokálního silného Paretova optima. I Přejděme nyní k rozšíření věty 3.1 o podmínky omezení. Jsou tedy funkce třídy C2 u±,..., um definovány na nějaké otevřené množině W C Rl spolu s omezeními danými podmínkami tvaru gp(x) > 0, (5 = 1,..., k, kde g p : W —> R je funkce třídy C2. Můžeme vyjádřit tento problém jakožto hledání optima restrikcí funkcí • • •, um na množině W0 C R\ W0 = {x G W : gp(x) > 0, (3 = 1,..., k). Věta 3.6 Buď Ui : Wq —> R, 1 < i < m, funkce jako výše uvedeno, x G Wq lokální Paretovo optimum. Pak existují nezáporná čísla Ai, ..., Am > 0, ..., fík > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že (3.3) přičemž fip = 0 pro gp{x) ^ 0. Pokud navíc platí, že ^2li\iĎ2Ui{x) + Yp fipD1 gp{x) je negativně definitní na (\iDui(x),..., XmDum(x),fi1Dg1(x),..., fikDgk(x))L, je x bod lokálního silného Paretova optima. (3.4) Důkaz. Abychom dokázali první část věty, předpokládejme (bez újmy na obecnosti), že gp(x) = 0 právě pro všechna (5 = 1,..., k a definujme zobrazení (p : W —> Rm+k předpisem (p = (u±,..., um, g±,..., gk). Tvrdíme pak, že ImDip(x) n Pos = 0. Jinak by, analogicky jako v 3.1, existoval vektor v G R1 tak, že Dip(x)(v) G Pos a nechť a(t) buď křivka ve W splňující a(0) = x, o/(0) = v. Pro dostatečně malá e je a(e) G Wq a dominuje a(0) = x. Tedy x není lokální Paretovo optimum. Nutně tedy lmD(p(x) D Pos = 0. Existuje pak vektor (Ai,..., Am, fii,..., fík) ^ Pos — {0} normální k podprostoru lmD(p(x), stejně jako ve větě 3.1. Tím jsme dokázali první část věty 3.6. K důkazu druhé části nejprve poznamenejme, že z definice lokálního silného Paretova optima plyne pro bod x G Wq, že pokud bod x je bodem lokálního silného Paretova optima pro funkci

• R i—tého obchodníka, i = 1,..., m splňují podmínku 2.1 tj. že funkce Ui : P —^ R je třídy C2, podmínku monotonie 2.2 tj., že gz(x) G Pn^"1 = int^"1) pro všechna xeF, zde gz(x) = kde gradu, = (§,..., |f), podmínku konvexnosti 2.3, že restrikce Dgi(x) z nadroviny gi(x)1- do sebe má záporné vlastní hodnoty a nakonec je hraniční podmínku 2.5, že Indiferentní křivka w~1(c) je uzavřená v Rl pro všechna c. Nebudeme však předpokládat, že bohatství účastníka pochází z obdaření e, z P a je funkcí Wi = p • ceny £>. Budeme ale předpokládat, že úplné zdroje naší ekonomiky jsou dány pevným vektorem r (E P. Pak množina W dosažitelných alokací neboli stavů má tvar W = {x G Pm : x = (xij . . . , £m), Xi G P, 5^ ^ = r}- ■i Funkce individuálního užitku Uj : P —>■ R z-tého účastníka nám indukuje zobrazení vi : W —> R tak, že Vi{x) = Uí(xí). Je přirozené si klást otázku, jak vypadají Paretově optimální stavy pro funkce Ví, i = 1,..., m. Platí: Věta 4.1 Následující tři podmínky na alokaci x G W vzhledem k indukovaným funkcím užitku Vi : W —^ R jsou ekvivalentní: 1. x je lokální Paretovo optimum. 2. x je lokální silné Paretovo optimum. 3- gi(%i) = p G S1^1 pro všechna i. Přitom množinu všech takovýchto x označíme 9. Důkaz. Poznamenejme, že evidentně podmínka (2) implikuje podmínku (1). Ukažme, že (1) implikuje (3). Abychom to dokázali, stačí nám pouze předpokládat o funkcích Ui : P —^ R, že jsou třídy C1. Předpokládejme tedy, že x G W je lokální Paretovo optimum. Z první části věty 3.1 máme, že existují nezáporná čísla Ai, ..., Am > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že Ei \^vi(x) = 0 tj. E^ XíDuí(xí) = 0. Bez újmy na obecnosti lze předpokládat, že například Ai je kladné. Uvažme nyní vektor x = (ľči,... ,xm) G k (Rl)m tak, že J2í%í = O, tj. jedná se o tečný vektor k W. Je-li navíc speciálně x = (ä7!, 0,..., 0, —ä7!, 0,..., 0), máme pak A^Du^o^)^) = AiDui(a:i)(ä7i) — \kDiik(xk)(xi) = 0 pro všechna ä7! G Nutně tedy, protože Duj(xj) G P pro všechna j, Ai je kladné, je i A^ kladné a XiDui(xi) = \kDuk{xk)- Po podělení normou pak gi{x\) = gk(xk). Je tedy podmínka (3) splněna. Abychom dokázali ekvivalenci těchto tří podmínek, zbývá ukázat, že pokud x splňuje podmínku (3), pak platí (2) tj. x je lokální silné Paretovo optimum. Lemma 4.2 Buď u : P —> R funkce splňující 2.3. Pokudy G P, u{y) > u{x) a x ^ y, pak Du{x){y — x) > 0. Pak i y • g{x) > x • g{x). Důkaz. Pro 0 < t < 1 dle 2.3 je nutně u{x) < u{x-\-t{y — x)). Nutně tedy je její derivace v bodě x nezáporná tj. platí {á/áť)u{x-\-t{y — x))\t=0 > 0 tj. Du(x)(y — x) > 0. Předpokládejme, že Du(x)(y — x) = 0. Rozvojem v bodě x dostáváme u{x + t{y — x)) = u{x) + 0 + D2u(x)(t(y — x),t{y — x)) -\-R^{ť). Tedy pro dostatečně malá t je u{x) > u{x + t{y — x)), což je spor s výše uvedeným. Chceme nyní ukázat, že x je bod lokálního silného Paretova optima. Nechť nyní y je takový bod, že Vi{x) < Vi{y) pro všechna i. Chceme ukázat, že x = y. Předpokládejme opak. Pak pro nějaké Íq víme, že platí yzo-gzo(xzo) > xzo -gzo(xzo). Položme p = gzo(xzo). Pak p = gz(xz) pro všechna i. Tedy £\ yz -p > £\ xz -p. Ale protože y GW, nutně y i = r = x i tedy i y i • p = r = x i • p. Nutně pak pro všechna i máme xi = V i tj- x = y tj. x je silné Paretovo optimum. Zaveďme nyní pojem rovnovážného stavu ekonomiky blahobytu. Řekneme, že stav (x,p) G W x S1^1 je rovnovážným stavem ekonomiky blahobytu, jestliže i-tá projekce Xi je bodem maxima funkce Ui na rozpočtové množině BP}P.Xi = {x G P : p • x = p • xz}. Množinu všech rovnovážných stavů ekonomiky blahobytu budeme označovat A. Z této definice plyne, že bod (x,p), x = (x\, ... ,xm),Xi G P,p G S1^1 leží v A, pokud platí: i1 e) J2iXi = r, (2e) gi(xi) = p pro všechna i = 1, ..., m. Máme-li navíc k dispozici údaje o individuálních obdařeních G P,i = 1, ..., m tak, že = r, dostáváme Walrasův rovnovážný stav (3^) ^ • ez = p • xh i = 1, ... , m. Věta 4.3 Mezi množinami 9 a A existuje vzájemně jednoznačná korespondence (5 : A —> 9 definovaná předpisem f3((x,p)) = x a a : 9 —> A definována následovně: a(x) = (x,gi(xi)). Důkaz. Evidentně, (5 je korektně definovaná surjekce. Totiž, vzorem prvku x je prvek (x, gi(xi)). Ukažme, že je i injekce. Nechť f3(x,p) = f3(x, q). Pak nutně p = g\{xi) = q. I V dalším budeme o funkcích užitku Ui předpokládat pouze, že jsou třídy C2. Označme 9S podmnožinu množiny W, která sestává z lokálních silných Paretových optim. Tvrzení 4.4 Je-li bod x G W bod lokálního optima pro indukované funkce užitku na W, pak 1. existují nezáporná čísla Ai, ..., Am > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že ^2\iDui(x) = 0, i což implikuje, že gi(xi) jsou nezávislé na i. Pokud navíc platí, že 2. ^^XíD2Uí(x)(xí) je záporná na množině takových x, že i ^íXí = 0, Xi • gi(xi) = 0 pro všechna i a pro jisté i0 je xio ^ 0, je x bod lokálního silného Paretova optima tj. x G 9S. Důkaz. Stejně jako ve větě 3.1 víme, že lmDu(x)OPos = 0, tj. existuje vektor A tak, že rovnice X-Du(x) = 0 má netriviální nezáporné řešení A, čímž je pomocí 4.1 dokázána první část věty. Položme K = {x : X^j^j = 0,Xi • gi(xi) = 0 pro všechna i}. Pak K je vektorový podprostor a forma H = ^iXiD2Ui(x) je negativně definitní na množině K. Platí pak zejména obdoba lemmat 3.4 a 3.5. Tedy pak nutně máme x (E 6S. I Studujme nyní situaci z věty 4.1 pro prostory komodit s hranicí. Předpokládejme, že každá funkce užitku Ui : Rl+ —>■ i? je restrikce funkce třídy C2 na nějaké otevřené množině obsahující množinu Rl+. Speciálně pak máme definovány derivace Duí(x) a D2Ui(x) na hranici ôRl+ a podmínky 2.2 a 2.3 mají smysl i pro hraniční body. Buď r G inti?+ vektor celkových zásob. Položme dále W0 = {x : x G R1™, J2j xj = rl- Je prostor přípustných stavů naší ekonomiky úplné směny. Buď dále W relativní okolí množiny W0 vzhledem k množině Wr = {x : x £ Rlm,^2jXj = r} tak, že funkce Vi : W —> R jsou zde definovány jakožto Vi(x) = Uí(xí), i = 1,..., m. Nechť jsou dále funkce omezení g\ : W —> R určeny předpisem gk(x) = x\. Pak nalezení optima ve Wq je ekvivalentní nalezení optima pro funkce Vi : W —> R s omezeními gk{x) > 0. Věta 4.5 Nechi funkce Ui : Rl+ —> R splňuji ft(*0 = ||g"Jttf'!n e S'+-\ (4.1) | \ gra,dUi[Xi ) | | pro všechna i a D2Ui(x) je negativně definitní na gi(xi)~L. (4-2) Je-li bod x G Wq bod lokálního optima pro indukované funkce užitku na Wq, pak 1. existují normovaný nezáporný vektor p G S1^1 a nezáporná čísla Ai, ..., Xm > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že P > XíDuí(xí) pro všechna i, přičemž rovnost nastává v k-té souřadnici, jestliže x\ ^ 0. Pokud navíc platí, že 2. p • Xi 7^ O pro všechna i, je x bod lokálního silného Paretova optima. Důkaz. Pro omezení gk{x) = x\ víme, že Dgf(x)(x) = ~x\ pro všechny vektory x (e (Rl)m takové, že Ež^í = 0- Dle věty 3.6 víme, že existují nezáporná čísla Ai, ..., Xm > 0, fii, > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že ^2XiDui(xi)(xi) + Y^li\x\ = 0, přičemž = 0 pro xJi ^ 0. Proveďme nyní konkrétní volbu ~x\ = 1, ľr[ = — 1 a nechť všechny ostatní souřadnice jsou nulové, pak nutně XíDuí(xí)(xíY + i4 = XkDuk(xk)(xk)J + /4, přičemž Duk(xk)(xky značí j-tou souřadnici vektoru Duk(xk)(xk). Celkem tedy je vektor q = XkDuk(xk) + fik nezávislý na indexu k. Přitom fik = (fik,..., filk) > 0 a nutně fik • xk = 0. Poznamenejme, že q je nenulový j vektor (jinak by nutně všechna A^ a \i\ byla nulová). Položme p = jpy. Položíme-li A- = jpy, /x-J = máme pak přičemž A^ > 0, fi'k > 0, fi'k • xk = 0. To ale není nic jiného, než první část naší věty. Abychom dokázali zbývající část věty, uvažme prvek y G Wq tak, že Ui{yi) > Uí(xí) pro všechna i. Dle lemmatu 4.2 platí Dui(xi)(yi — Xi) > 0, přičemž rovnost nastává právě tehdy, když yi = xi. Platí ale zároveň, že íp * 00i I-)^/"^ ^IZ/^ * 00i I % * % y^'i -^-^^-^'í, (00 ^ ^ * 00 ^ • Nutně tedy je A- 7^ 0, protože p • Xi 7^ 0. Zopakujeme-li tuto úvahu ještě jednou, obdržíme nerovnost p(yz - Xi) > fii • yz tj. p • i/i > p • ^, přičemž rovnost nastává právě tehdy, když íji = Xi. Z druhé strany nutně Ei Ví = r = Ei ^ ^j. X^ř*' ž/« = p • r = '^Jip • Xi a pro všechna ž skutečně nastává rovnost. I Zaveďme nyní pojem rovnovážného stavu ekonomiky blahobytu pro Wq. Řekneme, že stav (x,p) G Wq x s1^1 je rovnovážným stavem ekonomiky blahobytu, jestliže ž-tá projekce Xi je bodem maxima funkce fa na rozpočtové množině BP}P.Xi = {x (E P : p • x < p • Xi}. Množinu všech takovýchto rovnovážných stavů ekonomiky blahobytu budeme označovat A0. Pokud bod (x,p) leží v A0, pak ^i xi = r. Věta 4.6 Pokud (x,p) G A0; existuji nezáporná čísla Xi > 0, i = 1,..., m a nezáporné vektory fa G Rl+, i = 1,..., m tak, že Xi • fii = 0 a p = XíDuí(xí) + fa. Obráceně, pokud (x,p) G Wq x s1^1 tak, že p • Xi ^ 0 pro všechna i a navíc Xi > 0, fa G Rl+, i = 1,..., m splňují výše uvedené, pak (x,p) G A0. Důkaz. Protože Xi je maximum funkce na BPiP.Xi pro všechna z, existují Xi, a, > 0 a nezáporné vektory fa G Rl+, i = 1,..., m ne všechny nulové tak, že XíDuí(xí)(xí) + ^ í4^9i(xi)(^i) - a*P • xi = 0 pro všechna Xi £ Rl. To je ekvivalentní s tím, že AiDw^Zi) + Mí = ^iP, Mi * z* = 0. Pokud by = 0, nutně i A^ = 0, fa = 0. Můžeme tedy dělit obě strany rovnosti Oi a po přeznačení máme XíDuí(xí) + fa = p, fa- xz = 0. Tím jsme dokázali první část. Pro důkaz druhé části předpokládejme, že existuje yi G Bp^p.Xi tak, že Uí{xí) < Ui(yi). Pak dle 4.2 platí Dfa(x,)(y, - x i) > 0 a pro p • z/, > yx • XxV>ux{x%) > p • xh X, ^ 0. Tedy yx g BPjP.Xi, spor. Celkem (x,p) G A0. I Ve zbývající části tohoto odstavce budeme předpokládat, že Duj(xt) G int/S^T1 a D2Uí(xí) < 0 na KerDui(xi). Řekneme, že pro bod x G Wq existuje izolovaná komunita 0 C S C {l,...,m}, jestliže pro každý prvek i G S a každý nenulový prvek xJi ^ 0 dostáváme, že ^ = 0 platí pro všechna k ^ S. Lemma 4.7 Předpokládejme, že x G Wo Je ^ izolovaných komunit a že i, q G {1,..., m} jsow cfom účastnici naší ekonomiky. Pak existuje posloupnost i±,..., in agentů tak, že i\ = i,in = q a posloupnost zboží ji,..., jn tak, že x3^ ^ 0 a pro všechna k nutné bud! jk+i = jk nebo ik+i = ik- Důkaz. Sporem. Bez újmy na obecnosti lze říci, že i = i\ = 1 a uvažme všechny posloupnosti (zi,..., zn), {jii • • • i jn) výše uvedeného tvaru tak, že i\ = 1. Označme S jakožto podmnožinu všech možných in dosažitelných tímto způsobem. Je-li S ^ 0 vlastní, pak má x izolovanou komunitu. I Důsledek 4.8 Nechť bod x G Wo nemá izolované komunity. Pak existuje jediný odpovídající cenový vektor Důkaz. Stejně jako ve větě 4.5 a dle věty 3.6 víme, že existují nezáporná čísla Ai, ..., Xm > 0, fii, ..., fík > 0, alespoň jedno z nich nenulové tak, že p = XzDuz(xz) + fih přičemž fii-Xi = 0. Bez újmy na obecnosti můžeme přečíslovat zboží a účastníky tak, že účastník 1 má nějakou část zboží 1 tj. x\ 0. Normujme vektory následovně: p1 = 1. Pakp1 = 1 = XiDui(xi)1 + fi{ = AiDui(^i)1, protože fi\ = 0. Je tedy Ai jednoznačně určeno. Buď q nějaký jiný účastník. Uvažme posloupnost i±,..., in agentů tak, že i\ = 1, in = q a posloupnost zboží ji,... ,jn tak, že ^ 0 a pro všechna k nutně buď jk+i = jk nebo ik+i = ik- Předpokládejme indukcí, že A^ je určeno pro všechna l < k a chceme určit Xik. Jsou dvě možnosti: buď ik-i = ik a pak Xik = Xik_1 nebo ik-i ^ ik a potom jk-i = jk a oba účastníci ik-i, ik mají nenulové množství zboží jk. Máme tedy rovnosti pPk = A^_1D^fcl(^fc_1)Jfc a p7'*5 = XikDuik(xikYk. Známe tedy pjk a následně Xik. Opět jsme zde použili tu skutečnost, že odpovídající fi\ byla nulová. Zejména tedy máme tedy až na násobek jednoznačně určené všechny koeficienty A^. Buď dále k nějaké zboží. Vyberme index i tak, že xk ^ 0. Pak pk = XiDui(xi)k jednoznačně určuje pk, což dokazuje naše tvrzení. I Následující vztah mezi Paretovými optimy a rovnovážnými stavy vyplývá bezprostředně z 4.8. Věta 4.9 Jestliže ekonomika splňuje předpoklad neexistence izolovaných komunit pro všechna Paretova optima, pak mezi množinou 0$ Paretových optim a množinou A0 rovnovážných stavů existuje vzájemně jednoznačná korespondence (3$ : A0 —> 0$ definovaná předpisem /3o((x,p)) = x a ao : 0$ —> A0 definována následovně: cto(x) = (x,gi(xi)). Kapitola 5 Existence rovnováhy v konkurenční ekonomice Tato kapitola je podstatným způsobem založena na článku Gerarda Debreuho [10]. 1 Úvod Matematický model konkurenční ekonomiky od L. Walrase (1874-1877) byl koncipován jako pokus vysvětlit rovnovážný stav dosažený velkým počtem malých účastníků ovlivňujících se skrze trh. Sám Walras chápe, že předložená teorie bude neúplná bez matematických argumentů podporujících existenci alespoň jednoho rovnovážného stavu. Nicméně více než půl století rovnost mnoha rovnic o mnoha proměnných zůstala pouhým nepřesvědčivým argumentem ve prospěch existence rovnováhy konkurenční ekonomiky. Studium existenčního problému začalo na počátku třicátých let, když Neisser (1932), Stackelberg (1933), Zeuthen (1933) a Schlesinger (1935) určili několik jeho základních rysů a když Wald (1935, 1936a, 1936b) získal jeho první řešení. Po dalších asi dvaceti letech byla otázka existence rovnováhy konkurenční ekonomiky znovu otevřena v dílech 167 Arrow a Debreu (1954), McKenzie (1954, 1955), Gale (1955), Debreu (1956), Kuhn (1956a,1956b), Nikaido (1956), Uzawa (1956) a mnoha dalších autorů, jejichž příspěvky za posledních dvacet pět let tvoří bibliografii s více než 350 položkami. V těchto dílech můžeme rozpoznat čtyři odlišné, ale blízce související přístupy k existenčnímu problému. (1) Za prvé, důkazy existence rovnováhy v konkurenční ekonomice byly shodně získány aplikací věty o pevném bodě Brouwerova či Kakutaniho typu nebo podobnými argumenty. Tyto přístupy, které nabývají v současnosti největší důležitosti, jsou náplní této kapitoly. (2) V posledním desetiletí byly vyvinuty výkonné kombinatorické algoritmy pro počáteční přibližné řešení rovnováhy v konkurenční ekonomice. Tyto algoritmy, které nabízejí konstruktivní odpověď na existenční otázku, jsou probrány v kapitole 21 knihy knihy [3] Scarfem, který zastává hlavní roli v této oblasti výzkumu. (3) Nedávno byly teorie o indexu pevného bodu zobrazení a teorie stupně zobrazení použity pro zjištění existence rovnováhy v konkurenční ekonomice v Dierker (1972, 1974), Mityagin (1972), Smale (1974), Balasko (1975, 1978), Varian (1975a, 1975b), Nishimura (1978), Kal-man a Lin (1978a, 1978b) a Kalman, Lin a Wiesmeth (1978). Dierker se v kapitole 17 knihy [3] dotýká některých těchto otázek. (4) Nakonec, v roce 1976 Smale navrhl diferenciální proces, jehož konvergence k ekonomické rovnováze nabízí alternativní konstruktivní řešení existenčního problému. [Smale (1976)]. Tento přístup je předmětem 8. kapitoly knihy [3]. 2 Simultánní optimalizační přístup Ačkoliv první důkaz existence rovnováhy konkurenční ekonomiky popsal Wald (1935, 1936a, 1936b), dva články od von Neumanna (1928, 1937) znamenaly důležitý krok pro rozvoj v padesátých letech. V prvním z těchto článků von Neumann zjistil dvojici rovnovážných strategií pro dvoučlennou hru s nulovým součtem, sedlový bod pro užitek obou hráčů. V druhém studoval problém existence rovnováhy při vyváženém růstu, převedeném v ekvivalentní problém sedlového bodu, což bylo přímým důsledkem jeho dřívějšího přispění k teorii her. V řešení jeho nového problému sedlového bodu, von Neumann dokázal topologické lemma, které přeformulováno v Kakatuni (1941) ve větu o pevném bodě pro zobrazení se stalo silným nástrojem pro důkaz ekonomické rovnováhy. Před uvedením Kakutuniho věty uvedeme příslušející pojmy. Mějme dvě množiny S a T, korespondence (f z S do T přiřazující každému prvku x z S neprázdnou podmnožinu (f(x) z T. Graf korespondence (f je podmnožina kartézského součinu S x T definovaná jako G( fi(y, s^J. V limitě fi(x°, s^-) > fi(y, s^J. Jelikož tato nerovnice platí pro každé y v Si, máme dokázáno x° G fii(s°). Teď definujme zobrazení \± z S do S jako Ks) = x^=1^(s). M(S) S (s) Obrázek 5.1: Ilustrace pojmů ze stránky 172 Bod s* z S je Cournot-Nashovým rovnovážným bodem právě, když pro každé i, s* G (ii(s*); tedy když s* G n(s*) (obrázek 5.1). Pojem Cournot-Nashova rovnovážného bodu je proto ekvivalentní s pevným bodem zobrazení fi. Existence takového pevného bodu je dokázána v aplikaci Kakutaniho věty, jejíž předpoklady splňujeme. ■ Předcházející představu rovnováhy a Nashovy věty můžeme zobecnit tak, aby byly aplikovatelné na různé ekonomické problémy. V úvodu zobecnění studujme ekonomického účastníka, jehož prostředí je popsáno prvkem x z množiny X. Tento účastník musí vybrat jednu akci z množiny všech možných akcí Y. Když je jeho prostředí prvek x z X, pak je omezen na výběr neprázdné podmnožiny f(xq, zq). V limitě /(^°, y°) > f(x°, z°). Jelikož nerovnost platí pro libovolné z v (f(x°), dokázali jsme, že y° G fi(x°). u Nyní studujme společenský systém složený z n účastníků, ž-tý účastník si musí vybrat prvek z množiny A jeho předem možných akcí, o které se předpokládá neprázdnost, kompaktnost a že je konvexní podmnožinou euklidovského prostoru. Když ostatní účastníci mimo ž-tého vyberou akce (<2i,..., a^_i, ai+í,..., an), pak volba ž-tého účastníka je omezena na neprázdnou podmnožinu určenou předchozí (n — l)-ticí. Formálně definujme korespondenci ^zA = x™=1Aj do Ai tak, že spojíme prvek a z A s neprázdnou podmnožinou (fi(a) z A, na kterou je volba ž-tého účastníka omezena. Množina (fi(a) je zřejmě nezávislá na ž-té složce a, ale stejně jako dříve, shledáváme výhodnější definovat (pi na A než na Xjen\íAj. Zobrazení ifi je dle předpokladů spojité a konvexní. Užitek ž-tého účastníka vyplývající z volby n-tice a je reálné číslo fi(a), kde funkce / je spojitá na A a kvazikonkávní vzhledem k Oj. Mějme a v A, každý účastník, řekněme ž-tý, uvažuje akce a^\i dalších účastníků jako dané a vybírá vlastní akci y tak, aby mazimalizoval svůj užitek fi(y, cln\í) na množině (fi(a), na kterou je omezen. To znamená, že ž-tý účastník vybírá prvky z Prvek a* z A je rovnovážný bod, když pro každé ž G N složka a* maximalizuje fi(-,a*N\i) v ^Pii0*)^ tedy pro každé ž G X, a* G fa{a*). Definujme zobrazení /1 z A do i //i(a) = G (pi(a)\fi(x,aN\i) max fi(y,aN\i)}. fi(a) prvek a* z A je rovnovážný bod právě když a* (E Hi(a*); jinak řečeno, právě když a* je pevný bod zobrazení /i. Použitím Kakutaniho věty obdržíme Věta 2.4 Je-li pro každé i G N množina A4 neprázdná, kompaktní, konvexní podmnožina z euklidovského prostoru, fi je spojitá reálná funkce na A = Xj^NAj, kvazikonkávní v i-té proměnné a (fi je spojitá konvexní korespondence z A do AÍ7 pak společenský systém (Ai, fi, (fi)i^n má rovnovážný bod. Důkaz. Když korespondence (fi a funkce fi splňují předpoklady Lemmatu 2.3, korespondence fii je u.h.c. Navíc pro každé a z A, množina fii(a) je konvexní, protože je to průsečík množin (fi{a) & {x £ Ai\fi{x, cln\í) > maxyGy3i(a) fi{y, a/v\i)}, a obě jsou konvexní. Množina A je neprázdná, kompaktní a konvexní. Nakonec i korespondence \± je u.h.c, neboť je kartézským součinem u.h.c. korepondencí. Tedy korepondence \± z A do A má pevný bod. ■ Právě ukázaný obecný model společenského systému obsahuje jako speciální případ následující ekono-miku [Arrow a Debreu (1954)]. Účastníci ekonomiky vyrábějí, obchodují a spotřebovávají i komodit. Každá z těchto komodit je zboží nebo služba se specifickými fyzikálními vlastnostmi s přístupem ve specifickém čase a na specifickém místě [a při specifické události, když neurčitá exogénni událost ovlivňuje ekonomiku; Arrow (1953); Debreu (1959)]. Různé druhy lidské práce jsou rovněž mezi komoditami. Rozlišme dva druhy účastníků, jmenovitě spotřebitele a výrobce. Spotřeba ž-tého spotřebitele (i = l,...,m) je £-tice množství různých komodit, které tento spotřebitel spotřebovává či vyrábí (druhé vyjadřuje lidskou práci). Vstupy jsou vyjádřeny kladným číslem a výstupy záporným. Tedy spotřeba je bod Xi v komoditním prostoru R£. Avšak spotřeba nemůže být vybrána libovolně v R£. Např. kombinace malých potravinových vstupů a velkých pracovních výstupů v určité periodě je vyloučena. Označme jako Xi neprázdnou podmnožinu R£, množinu možných spotřeb ž-tého spotřebitele. Preference tohoto spotřebitele jsou popsány úplnou, reflexivní, tranzitivní, binární preferenční relací - 0 ap* • z* = 0. Podmínka (d) je smysluplná pouze tehdy a jen tehdy pokud všechny statky mohou být volně využity. V tomto případě cenový vektor p* musí zřejmě mít všechny své členy větší nebo rovny nule. Protože pokud statek má zápornou cenu, využitím tohoto statku výrobci mohou neomezeně zvyšovat jejich celkový zisk a podmínka (b) bude porušena. Rovnováha také vyžaduje aby na trhu každého statku byla vyrovnána nabídka s poptávkou, nebo nabídka převyšovala poptávku při nulové ceně. Abychom mohli zformulovat větu 2.5, musíme také formálně definovat dosažitelný stav ekonomiky podmínkami: (a') pro každé i, Xi je (b') pro každé j, y j je z Yj] (c') TZi xi - Yľj=i v3 - Y,7=ie* < °- To říká, že spotřeba každého spotřebitele je v množině jeho možných spotřeb, výroba každého výrobce je v množině jeho možných výrob a pro každý statek poptávka je nejvýše vyrovnána s nabídkou. Říkáme, že spotřeba Xi je dosažitelná pro i-tého spotřebitele, pokud tu je dosažitelný stav ekonomiky přidělující mu Xi. Dosažitelná spotřební množina Xi z-tého spotřebitele je množina jeho dosažitelných spotřeb. Konečně pro dva vektory x a y z Rl, "x < y"znamená "x < y a x ^ y", zatímco "x 0}. Věta 2.5 Ekonomika E má volně dostupnou rovnováhu, pokud pro každé i, Xi je kompaktní a konvexní, je tu neuspokojená spotřeba v Xi, množina {(x, x') G Iř x I, | x~x'} je uzavřená, pokud x a x' jsou dva body z Xi takové, že x - M (p) z R1 do R jako M (p) = maxx^sP • x. Jako zvláštní případ Berge(1963, VI.3), máme Lemma 2.6 Pokud S je neprázdná kompaktní podmnožina z R1, pak funkce M je spojitá. Důkaz. (a) M je dolní polospojitá. Nechť p° je bod z R1, x° je bod z S takový, že p° • x° = M(p°), a £ je ostře kladné reálné číslo. Pro p dost blízké p°, dostaneme p • x° > p° • x° — e, proto M (p) > M (p0) — e. Obrázek 5.2: Ilustrace pojmů ze stránky 177 (b) M je horní polospojitá. Znovu, nechť p° je bod z R1, a £ je ostře kladné reálné číslo. Uvažujme libovolný bod x z S. Pak existuje otevřené okolí U (x) bodu p° a otevřené okolí V (x) bodu x takové, že [ p G U (x) a y G V^(a:)] implikuje [p • y < p° • x + e]. Otevřená okolí V (x) pokrývají kompaktní množinu S. Proto existuje konečná posloupnost V(xi),..., V (k) z nich, která také pokrývá S. Nechť U° = flf=i U(xí). U° je otevřené okolí p°, ze kterého vezmeme libovolný bod p. Nechť y je kterýkoliv bod z S. Existuje i z {1,..., k} takové, že y G V{xi). Poněvadž p je v U(xí), dostaneme p • y < p° • Xi + e. Proto p • y < M (p°) + e. Následně pro kterékoliv p G U°, M (p) < M (p°) + e. u Necht nyní p je cenový vektor v R a w reálné číslo a definujme rozpočtovou množinu i-tého spotřebitele spojenou s dvojicí (p,w) jako f3i(p,w) = {x G Xi | p • x < w}. Předpokládáme-li, že spotřební množina Xi je neprázdná a kompaktní, oborem příslušného (5i je množina D = {(p,w) G Rl+1 | w > min p • Xi}. Z lemmatu 2.6 plyne, že funkce p \—> min p • Xi je spojitá. Důsledkem toho je množina D uzavřená. Následující lemma 2.7 dává podmínky, za kterých je příslušné fy spojité. Lemma 2.7 Pokud Xi je neprázdná, kompaktní a konvexní a w° > minj9° • XÍ7 pak příslušné fy je spojité v (p°, w°). Důkaz. Graf příslušného fy je množina {(p,w,x) G D x Xi I p • x < w} která je uzavřená. Proto fy je horní polospojitá. Abychom ukázali, že fy je dolní polospojitá v (p°,w°), předpokládáme posloupnost (pq,wq) v D konvergující k (p°,w°) a bod z° v fy(p°). (i) pokud p° • z° < w°, pak pro q dostatečně velké, pq • z° < wq a konstantní posloupnost zq = z° splňuje podmínky, které se objevují v definici dolní polospojitosti. (ii) pokud p° • z° = w°, vybereme bod x° v Xi tak, že p° • x° < w°. Tedy p° • x° < p° ■ z° a pro q dostatečně velké, nadrovina {z G R \ pq • z = wq} protíná přímku procházející body x° a z° v právě jednom bodě žq. Definujme zq jako žq pokud žq je mezi x° a z° (odtud v Xi), a jako z° pokud žq není mezi x° a z° (odtud možná ani nemusí být v Xi). Posloupnost zq splňuje podmínky, které se objevují v definici dolní polospojitosti (obrázek 5.3). Obrázek 5.3: Ilustrace pojmů ze stránky 180 Důkaz věty 2.5: Poznamenejme nejprve, že ve volně dostupné rovnováze ((x*), (y*),p*) nemůžeme mít p* = 0, protože v tomto případě i-tý spotřebitel nebude mít rozpočtové omezení a následně si vybere spotřebu mimo Xi t.j. nedosažitelnou spotřebu. Navíc nahrazení cenového vektoru p* cenovým vektorem Xp*, kde A je ostře kladné reálné číslo, nemění žádnou z rovnovážných podmínek. Tedy můžeme omezit hledání rovnovážného cenového vektoru p* > 0 na simplex i p = {p^Ŕ+\yJvh = i}- h=i Pro daný cenový vektor p v P, j-tý výrobce maximalizuje svůj zisk ve své výrobní množině Yj. Jeho maximální zisk závislý na p značíme 7rj(ř>) = maxP ' ^j'- Podobně, pro daný vektor p v P i-tý spotřebitel maximalizuje svou užitkovou funkci Ui ve své rozpočtové množině n ŘÍP) = {x e X, I p • x < p • ex + ^2 OijKjip)}- j=i K převedení ekonomiky E do tvaru obecného modelu společenského systému představeného dříve, zavedeme fiktivní tržní subjekt, jehož role je vybrat cenový vektor v P a jehož užitková funkce t je definovaná následovně. Pokud z-tý spotřebitel i = 1,... ,m si vybere spotřebu Xi a j-tý výrobce výrobu yj, výsledný převis poptávky nad nabídkou je EI=i xi ~ EJ=i V j ~ EI=i ei- Náš tržní subjekt vybere cenový vektor p v P tak, že udělá tento převis poptávky tak drahý, jak jen to bude možné. Tedy m n n (yj), p) = p • E xi - Yl y^ - Yl e 0. Navíc nerovnost x® p* • yj*. Jak jsme zaznamenali, y* náleží do Ýj, která je obsažena ve vnitřku K. Proto můžeme nalézt na přímce [y*,y'j\ bod y'- různý od y*, ale dostatečně blízko k y* v K. Protože bod y" náleží také do Yj, náleží i do Yj. Ale p* • y'j > p* • yj*, což odporuje faktu, že y* maximalizuje zisk poměrně k p* y Yj. (ii) Pro všechna i je x* nejlepší prvek ~^ i v {x G X^p* • x < p* • + YTj=i ®ijP* ' y]}-Podle definice rovnováhy volné dostupnosti pro hospodářství E je x* nejlepší prvek ~^ v {n x G Xi\p* • x < p* • ex + E Qíj • p* • y3 j=i A jak jsme ukázali p* • y* = p* • yj pro všechna j. Nyní předpokládejme, že existuje x\ v Xi takové, že p* • x■ < p* • ei + Yľj=i ®ijP* ' y*j a xi xi- Protože x* je ve vnitřku K můžeme nalézt na přímce [x*, x'^ bod x'[ různý od x* ale dostatečně blízko x* v K. Bod x'[ je zřejmě také v Xi, a proto i v Xi. Navíc x'l >-i x* a p* • x" < p* • + Xľľ=i ®ijP* ' y*ji coz Je ve sporu s optimalitou x* v f3'i(p*). □ V minulých několika letech poskytovaly předcházející tři věty modely, ve kterých předpoklady tvořené preferencemi byly významně oslabeny. Schmeidler (1969) zavedl existenci konkurenční rovnováhy pro hospodářství s nepřetržitými činiteli bez předpokládaných preferencí. Pro hospodářství s konečnou množinou činitelů, Sonnenschein (1971) obdržel existenci bez přechodných předpokládaných preferencí a Mas-Colell (1974) dokázal větu o existenci, která se obejde bez úplnosti tak dobře jako bez transitivity. Nyní je naším záměrem představit hlavní myšlenku Mas-Colellovy práce a jeho pokračování u Galeeho a Mas-Colella (1975), Shafera and Sonnenscheina (1975a, 1975b) a jiných autorů, zaměřením na zobecnění věty 3 zásluhou Shafera and Sonnenscheina. V souladu se symbolikou věty 2.4 zavedeme Pí z A do Ai definováním Pi(á) = {x G Ai\fi(au ai-i, x, az+1,..., an) > fz(a)}. Pro všechna a z A tato korespondence specifikuje množinu takových akcí, že ž-tý agent ostře preferuje di,pokud ostatní agenti mají zadány akce (a±,..., ö^-i, a^+i,..., an). S pomocí tohoto nového pojmu koncepce můžeme definovat rovnováhu sociálního systému jako prvek a* z A takový, že pro všechna i G N, a* G (j){a*) a, Pi(ď) H (f)i(a*) = 0. Za předpokladů věty 2.4, má Pi otevřený graf (díky spojitosti f i) a pro všechna a G A, je množina Pi{a) konvexní (díky kvazikonkávnosti f i v jeho ž-té proměnné). Dle definice Pí musí ai 0 Pí (a) nebo ekvivalentně di 0 coP(a)i pro všechna a G A, kde co znamená konvexní obal. Alternativní přístup sestává se stanovení jednoduchého konceptu korespondence Pí z A do Ai a z předpokladu, že Pí má otevřený graf pro všechna a G A, uí ^ cof^(a). Věta 6 tvrdí, že tyto předpoklady, což jsou značně oslabeny spojitost fi a kvazikonkávnost v jeho ž-té proměnné, postačují k zajištění existence sociální rovnováhy. Věta 2.9 Jestliže množina Ai je neprázdná, kompaktní a konvexní podmnožina euklidovského prostoru pro všechna i G N, existuje otevřený graf korespondence z A do Ai takový, že di 0 coP^(a) pro všechna a G A a (f)i je souvislá, konvexní korespondence z A do AÍ7 pak sociální systém {Ai, Pí, (J)í)í^n má sociální rovnováhu. Důkaz. [Shafer-Sonnenschein (1975 b)] G (Pi), graf Pi je otevřená podmnožina A x Aj. Tudíž existuje souvislá reálná funkce gi na A x Ai, která má nulové hodnoty na uzavřené množině A x A^ \ G (Pi) a kladné hodnoty na G (Pi). Například je možné vzít gi(a, x) jako vzdálenost z (a, x) do A x A \ G (Pi). Nyní definujeme korespondenci ju, z A do A^ jako tj. je množina maximalizujících prvků gi(a, •) v (f)i(a). Podle lemmatu 2.3 je korespondence (ii(a) shora polospojitá. V důsledku toho korespondence a H- co (ii(a) z A do A^ je také shora polospojitá [Nikaido (1968, Th. 4.8) nebo Hildenbrand (1974, p. 26)]. Toto ihned předpokládá, že korespondence z A do A definována je shora polospojitá. Proto podle Kakutaniho věty má korespondence (i pevný bod a*. Pro všechna i G N je a* G co/i^a*). Nicméně (ii(a*) C 4>i(a*), které je konvexní. Proto a* G 4>i(a*). A tak zbývá dokázat, že Pi(a*) fl 4>i(a*) = 0. Předpokládejme naopak, že je zde bod y ležící v Pi(a*) fl 4>i(a*). Dvojice (a*,y) patří do G(Pi). V důsledku toho gi(a*,y) > 0, což znamená, že gi(a*,x) > 0 pro každé £ in fii(a*). Proto (ii(a*) C Pi(a*). Ale to znamená, že a* G cof^(a*), spor. ■ V předešlé části jsme studovali problém existence konkurenční rovnováhy pro transformující se hospodářství včetně problému existence rovnováhy ve společenském systému složeného z konečného počtu činitelů, a zároveň jsme hledali jejich maximální užitkové funkce, nebo-li více obecně, snažili jsme se optimalizovat jejich preference. V této části budeme zkoumat druhý možný přístup, který se soustředí na přebytek poptávky korespondence hospodářství. (i(a) xteNco(it(a) 3 Přebytek poptávky Nechť je E ekonomika stejné jako ve větě 2.5 a uvažme jednoduchý cenový vektor p z P. Nechť j-tý výrobce maximalizuje svůj zisk vzhledem k p ve své výrobě Yj. Označme množinu jeho zisku získaného maximalizací výroby jako r)j(p) a jeho maximální zisk jako 7Tj(p). ž-tý spotřebitel maximalizuje svoji užitkovou funkci Ui na množině svého rozpočtu {n x G X\p • x < p ■ el + y QijKjip) j=i Označme množinu maximální užitečnosti spotřeby pod donucením jako 4'G9)- Tak ž-tý spotřebitel zvolí libovolný prvek Xi v 4'G9) a J-tý výrobce zvolí libovolný prvek y j v f]i(p). Sdružený přebytek poptávky í=i xi ~ Ej=i V3 ~ Z^=i e* Je Prvek množiny m n m c(p) = Eí'(p)-E"i(p)-E^- i=l J=l i=l Korespondence ( z P do R£ tak definovaná se nazývá korespondence přebytku poptávky hospodářství E. A p* dává rovnováhu volné dostupnosti hospodářství E tehdy a jen tehdy, jestliže existuje vektor z* z CG9*) takový, že z* < 0 a p* • z* = 0. Opravdu, jak jsme nyní ukázali, p* dává rovnováhu volné dostupnosti hospodářství E tehdy a jen tehdy, jestliže CG9*) protíná — Re+. Vskutku, jestliže CG9*) ^ (—R+) 05 vezmeme bod z* z tohoto průniku. Protože z* G ((p*) pro všechna ž, existuje x* v 4'G9*) a Pr0 všechna j existuje y* v rjj(p*) takové, že m n m z* = yx^ - J2y*3 ~y^- i=l J=l i=l A protože z* < 0 stav ((x*), (yj),p*) je dosažitelný. V důsledku toho pro všechna ž je v Xi. Ale neexistuje nasycená spotřeba v Xi a to znamená, jak jsme viděli na konci důkazu věty 2.5, že pro všechna ž n p • x =p • e% + Bij-p • z/j. j=i Sumací přes i získáme p*z* = 0. Nyní se podíváme na vlastnosti korespondence £. Je dáno p z P pro všechna i, množina Cí(p) Je konvexní (protože je to množina maximalizátorů kvazikonkávních užitkových funkcí Ui na konvexní množině ^(p)), a pro všechna j je množina r)j(p) konvexní (protože je to množina maximalizátorů lineární ziskové funkce y i—> p • y na konvexní množině Yj). Proto pro všechna p (E P je množina ((p) jako suma konvexních množin také konvexní. Podle lemmatu 2.7 je pro všechna i korespondence j5[ spojitá, proto je podle lemmatu 2.3 korespondence shora polospojitá. Také platí, že podle lemmatu 2.3 je pro všechna j korespondence rjj shora polospojitá. Proto je korespondence (jako suma horních polospojitých korespondencí také shora polospojitá. Konečně, pro všechna p G P, pro všechna i a pro všechna Xi z ^(p), pro všechna j a pro všechna y j z f]j(p) dostaneme n p • Xi < p • el + E ®ijP * Vr j=i Odtud sumací přes i pro všechna p z P a všechna z z ((p) dostaneme P • z < 0. Stručněji pro všechna p z P máme p • ((p) < 0. Shrňme: korespondence £ je shora polospojitá a pro všechna p z P je množina ((p) kompaktní, konvexní a splňuje nerovnost P-aP){p*) n C° ^ 0. Obrázek 5.4: Ilustrace pojmů ze strany 192 Důkaz. Poznamenejme nejprve, že vnitřek C° není prázdný. Jinak by byl konvexní kužel C° obsažen v nadro-vině H. V důsledku toho přímka D kolmá k H v 0 by byla obsažena v C00, což je pól C°. Nicméně C00 = C [Rockafellar (1970, kapitola 14)]. Takto by byla D obsažena v C, což je spor s předpokladem, že C je pointed. Vyberme vektor q ve vnitřku C° a definujeme U = {peC\q-p=-l}. Nechť U je okolí q obsažené v C° a nechť p je libovolný bod C různý od 0. Pro všechna y G U platí y • p < 0. To implikuje q • p < 0. Proto každý bod p G C různý od 0 má jedinou projekci p/—q • p z 0 do II. Množina II je zřejmě uzavřená a konvexní. Je také ohraničená. Abychom to viděli, předpokládejme opak, tj. že je tam posloupnost pn G II taková, že ||j9n|| —> +00. Posloupnost ř>n/lbn|| náleží do kompaktní množiny S. Proto můžeme vybrat podposloupnost p'n z pn takovou, že řd/||ř(J| —> p°. Nicméně pro všechna n platí P'r q \\Pn\\ \\Pn\\ V limitě q • p° = 0, což odporuje skutečnosti, že pro p° v C různé od 0 platí q • p° < 0. Projekce p \—> p/\\p\\ z II do C O S je homeomorfismus. Proto korespondence 0 z II do R£ definovaná (f)(p) = 4>(p/\\p\\) je shora polospojitá. Je také konvexní a pro všechna p v II platí p • (f)(p) < 0. Protože II je kompaktní, horní polospojitost korespondence 0 na II implikuje existenci ohraničené podmnožiny Z C R£ takové, že pro každé p v II je (f)(p) obsaženo v Z. Množina Z je zřejmě kompaktní a konvexní. Vezměme libovolný bod z ze Z a nechť fi(z) je množina bodů, ve kterých se realizuje maximum funkce p \—> p • z z II do i?, tj. fi(z) = {p G U\p • z = max IJ • z}. Podle lemmatu 2.3 je korespondence fi shora polospojitá. Mimoto pro všechna z ze Z je množina fi(z) konvexní, protože je to množina bodů, ve kterých se realizuje maximum lineární funkce na konvexní množině. Uvažujme nyní korespondenci i\) z IJ x Z do sebe definovanou 4>(P,Z) = fl(z) X 00). Množina IJ x Z je neprázdná, kompaktní a konvexní. Korespondence i\) je shora polospojitá a konvexní. Proto podle Kakutaniho teorému má pevný bod (p*, z*). Tedy p* G n(z*) a z* G (f)(p*). První z těchto vztahů implikuje že pro všechna p v IJ platí p • z* < p* • z*. Druhý pak implikuje, že p*z* < 0. Proto pro všechna p z IJ (a v důsledku toho pro všechna p z C) platí p • z* < 0. Odtud z* G C°. u Protože pólara Re+ je —R£+, existence cenového vektoru p* z P takového že ((p*) n (—R£+) 7^ 0 ihned plyne z výsledku, který jsme právě dokázali. Věta 3.1 zavádí existenci cenového vektoru dávajícího záporný nebo nulový přebytek poptávky jako přímý důsledek hluboké matematické úvahy, Kakutaniho teorému pevného bodu. Lze se otázat, zda předcházející důkaz neužívá zbytečně mocné nástroje. Tato otázka byla záporně zodpovězena v Uzawa (1962a), který ukázal, že věta 3.1 přímo implikuje Kakutaniho větu o pevném bodu. Nechť i\) je shora polospojitá konvexní korespondence z P do sebe. Ukážeme, že i\) má pevný bod. Obrázek 5.5: Vysvětlení pojmů ze stránky 196 Pro všechna p z P definujme H(p) jako nadrovinu procházející nulou, ortogonální k p a nechť (f)(p) je ortogonální projekce i/j(p) do H(p). Korespondence 0 je shora polospojitá a pro každé p z P je množina (f)(p) konvexní splňující p • (f)(p) = 0. Dle Věty 3.1 existuje p* z P takové, že 4>(p*) n (—R£+) ^ 0. Nechť y je bod z tohoto průniku, a nechť x je bod z P projekce na y rovnoběžné s p*. Potom x — y je rovnoběžný s p* a y je kolmý na p*, tj. y[x — y) = 0. Odtud yx = yy (obrázek 5.5). Nicméně y < 0 a x > 0 implikuje yx < 0, proto z/z/ < 0. Odtud yy = 0 a z/ = 0. Dále 0 G 0(p*) a / e i/j(p*). Ekvivalence Kakutaniho věty a věty 3.1 nestačí k důkazu, že první z nich (nebo výsledek stejné síly) je nutná k existenci rovnováhy pro korespondenci převisu poptávky vytvořené tržními silami, která ma vlastnosti jmenované ve (3.1), což umožňuje získání rovnováhy základními prostředky. Proto je otázkou, zda pro danou korespondenci ( mající vlastnosti (3.1) existuje ekonomiha generující korespondenci převisu poptávky. Využíváme opakovaně skutečnost, že v ekonomice s předpokladem nenasycenosti spotřebitelů, jejichž preference splňují podmínky konvexity z vět 2.5 a 2.8, je každý z nich svázán rozpočtovým omezením a v důsledku toho je hodnota převisu poptávky rovna nule. Tato podmínka známá jako Walrasův zákon lze formálně vyjádřit jako pro každé p z definičního oboru ( platí p • ((p) = 0. Práce charakterizující funkci převisu poptávky (Shafer a Sonnestein, kap. 14 knihy [3]) dává odpověď na předešlou otázku v případě, že ( je spojitá funkce splňující Walrasův zákon. Nechť K je nějaká daná podmnožina relativního vnitřku P, pak ekonomika s í spotřebiteli vytváří funkci převisu poptávky shodující se na K se (. Tento výsledek, společně s Uzawovou poznámkou, ukazuje, že důkaz existence rovnováhy vyžaduje matematický aparát stejné síly jako teorie pevného bodu. Ve zbytku této části budeme studovat případ jednoduché ekonomiky s l komoditami a m spotřebiteli. Množina spotřeby ž-tého spotřebitele je uzavřený kladný kužel R£+ v prostoru komodit R£ a jeho relace preference - 0 a majetek w > 0, pak rozpočtová množina /3i(p, w) = {x G R£+\px < w} ž-tého spotřebitele je kompaktní a neprázdná. Navíc (p, w) má okolí, na kterém je fy omezená. Podle lemmatu 2.7 je fy spojitá v bodě (p, w). Z uzavřenosti relace preference vyplývá [např. Debreu(1959)] exitence užitkové funkce reprezentující - 0, zatímco po náleží do relativní hranice dP a Wq > 0. Jinými slovy q, pq ^> 0, zatímco p0 má některé složky nulové. Za těchto podmínek posloupnost d[0, Ši(pq, wq)] jde do +oo, jak bude následně dokázáno. Lemma 4 Jestliže relace preference je uzavřená a monotónní na R£+,pq > 0 z P konverguje k p0 z dP, wq > 0 z R konverguje k u>o, pak d[0, Ši(pq, wq)] —> +oo. Důkaz Předpokládejme, že tento závěr neplatí. Pak existuje podposloupnost (p'q, w') z (pq, wq) taková, že d[0, Ši(p'q, w')] je omezená. Pro každé q lze vybrat x' z d[0, Ši(p'q, w')] takové, že x' je omezené. Proto lze z (p'q, w', x') vybrat podposloupnost (p'ý, w", xq) konvergující k (p0, w0, x0). Nechť B je uzavřená koule se středem 0, x0 náleží do jejího vnitřku a definujme fy jako fy(p,w) = B n fy(p,w). Pokud Wq > 0, pak korespondence fy je dle lemmatu 2.7 spojitá na (po, wq). Dle lemmatu 2.3 je Xq nejlepší prvek z /3í(pq,wq) vzhledem k relaci preference, přestože je Xq z vnitřku B a po má některé složky nulové. Proto existuje x z $í(pq,wq) takové, že Xq < x, tudíž xq -< x, což je spor s optimalitou Xq z $i(po, Wo).0 Nyní zavedeme dodatečnou podmínku na relaci preference -0zPa?ľ>0G-Rje množina d(p, w) konvexní. Korespondence poptávky ^ je definována pro všechna (p, w) G P x R taková, že p 0 a w > 0, její hodnoty jsou konvexní podmnožiny i?^, je shora polospojitá, splňuje rovnost pXi{Piw) = w a ma hraniční vlastnost jestliže (pq,wq) je posloupnost z P x R konvergující k (j9o,ti>o) (i) pro každé q, pq 0 a > 0, (ii) j90 G (9P a ?x>0 > 0, pak • +oo. Místo původní relace preference splňující podmínky uzavřenosti, monotonie a slabé konvexity můžeme vzít korespondenci ^ splňující předešlé (podstatně slabší) předpoklady. Nyní definujeme ekonomiku E specifikovanou pro každé i = 1,.., m, korespondenci poptávky ^ a počáteční dotací 0 z R£ ž-tého spotřebitele. Formálně E = e,)^..^. Pro daný cenový vektor p 0 je hodnota dotace ž-tého spotřebitele rovna pei, poptávková množina Ci(p,PGi), převis poptávky je Ci(PiPei) ~ ei a převis poptávky celé ekonomiky E je i=l Vlastnosti korespondence £ celé ekonomiky E jsou ihned získány z podmínek pro individuální korespondence, C je definováno pro všechna p ^> 0 z P, jeho hodnoty jsou podmnožiny R£, je zdola ohraničená, shora m polospojitá a splňuje Walrasův zákon: Pro všechna p 0 z P platí p - ((p) = 0 Podmínku ohraničenosti: Pokud pq 0 z P konverguje k £>o G <9P, pak d[0, CG9?)] —>• +oo. Tyto vlastnosti zajišťují existenci vektoru cen p, pro který platí 0 G CG9)- Hildebrandově formě (1974, str.150,Lemma 1) předcházeli McKenzie (1954), Gale (1955), Nikiado (1956), Debreu (1956), Arrow a Hahn (1971), Dieker (1974, část 8). Uvedený důkaz je od Neuefinda (1977). Věta 3.2 Nechť korespondence C je konvexní, zdola omezená, shora polospojitá, splňuje Walrasův zákon a podmínku ohraničeno sti. Pak existuje p* 0 z P takové, že 0 G CG9*)- Důkaz. Nechť i E = {pe P\p* »0a3ze Cip) tak, že Z zh - °}- h=i Protože C Je zdola ohraničená, pro měnící se p G E je vzdálenost d[0, C(p)] omezená. Z podmínky ohraničenosti plyne, že v E neexistuje posloupnost pq jdoucí k p0 G dP. V důsledku toho je vzdálenost od p k d P zdola omezená kladným reálným číslem. Tedy existuje konvexní kužel C s vrcholem v 0 G R£ takový, že E C int C a C \ 0 C int R£+. Aplikací věty 3.1 na kužel C a korespondenci C obdržíme p* G C n P takový, že CG3*) H C° ^ 0. Nechť z je prvkem tohoto průniku. Podle Walrasova zákona (l/£,..,l/£) náleží do E, a proto i do C a EÍ=i zh — 0- Pak p* patří do E, resp. int C. Navíc, díky dalšímu užití Walrasova zákona, platí p* • z = 0. Tato rovnost pro p* G int C a z G C° dává 2 = 0. ■ Nyní zavedeme dodatečnou podmínku na relaci preference. Ostrá konvexita: Nechť x,x' jsou dva různé body z R£+ takové, že x -<% x' a r je reálné číslo z (0,1), pak x (1 — r)x + rx'. Tato podmínka má za důsledek, že množina £i(p,w) má jediný prvek, který označíme fi(p,w). Tak je v ekonomice £, pro všechna i = 1,.., m, specifikována poptávková funkce f i a počáteční obdaření e^. Funkce převisu poptávky F je definována pro každé p 0 z P následovně Každý bod (p, w), pro který O, w; > O, má okolí, v němž je f i ohraničená. V takovém okolí polospoji-tost shora korespondence (p, w) \—> fi(p, w) znamená spojitost funkce f i. Proto je funkce F spojitá pro každé p 0. Další vlastnosti funkce F vyplývají z vlastností korespondence £. Konkrétně je F zdola omezená, splňuje Walrasův zákon: Pro všechna p 0 z P platí p • F (p) = 0 Podmínku ohraničenosti: Pokud pq 0 z P konverguje k p0 G dP, pak |F(j9g)| —> +oo. Jako důsledek Věty 8 [Dieker(1974, část 8)] uvedeme, že tyto vlastnosti implikují existenci cenového vektoru p, pro který F{p) = 0. Důsledek 3.3 Nechť F je spojitá, zdola omezaná, splňuje Walrasův zákon a podmínku omezenosti, pak existuje p* 0 takový, žeF{p*) = 0. Přímá cesta k obdržení tohoto důsledku závisína různé normalizaci vektoru p, který omezíme, aby měl jednotkovou euklidovskou normu. Tedy p náleží do kladné části jednotkové koule se středem v počátku S = {peRe\p^0,\\P\\ = l}. Z Walrasova zákona vyplývá, že vektor F(p) je pro cenový vektor p z S kolmý k p, a proto ho lze vzít jako tečnu k S v bodě p. Jinými slovy F může být bráno jako vektorové pole na S. Z podmínky omezenosti a předpokladu existence dolní meze pro F vyplývá, že F(p) směřuje k hranici dS. Existuje (pomocí obvyklého argumentu jako v části 6) p* z S takové, že F(p*) = 0 (Obrázek 5.6). Obrázek 5.6: Ilustrace pojmů ze strany 201 Kapitola 6 Dynamické systémy s aplikacemi v ekonomii Tato kapitola je podstatným způsobem založena na článku H.R. Variana [30]. Přináší přehled některých základních matematických výsledků týkajících se dynamických systémů, které prokázaly svou užitečnost v ekonomii. 1 Základní pojmy 1.1 Dynamický systém v Rn Stav systému je složený z celkového popisu, co potřebujeme znát k tomu, abychom mohli popsat budoucí změny systému. Ve většině ekonomických aplikacích je stav systému popsán n-ticí reálných čísel. Stavový prostor systému je složen ze všech možných nebo příslušných stavů. Téměř ve všech ekonomických aplikacích je stavový prostor považován za podmnožinu Rn. V některých aplikacích je pak stavový prostor považován za topologický ekvivalent jednotkového kruhu, Dn = {x G Rn : \\x\\ < 1}. 203 Příklad 1.1 Předpokládejme standardní obecný model rovnováhy, kde máme /c-rozměrný vektor přebytkových poptávek, z(p) je homogenní funkce k nezáporných cen. Potom získáme stavový prostor ekonomiky jako množinu všech nezáporných cen, R^_. Mnohem vhodnější volba stavového prostoru může být založena na poznatku, že ceny mohou být normalizovány za požadavku, že = 1- Takovýto stavový prostor bude právě kladný ortant jednotkové sféry, S*-1 = {x G Dk : \\x\\ = l,x> 0}. Poznamenejme, že Sk~1 je topologicky ekvivalentní jednotkovému kruhu dimenze k — 1. Označme X stavový prostor systému, který splňuje dané podmínky. Stavová přechodová funkce T je funkce z X x R do X. Přitom reálnou část chápeme jako čas a T(x,ť) nám udává stav systému v čase t, jestliže v čase 0 se systém nacházel ve stavu x. Ve většině aplikací není stavová přechodová funkce zadána explicitně, ale implicitně, a to systémem diferenciálních rovnic, Xi{t) = ^(ť) = fl(x1{ť),... ,xn{ť)), i = 1,..., n. Vektorově pak: x(t) = f(x(t)), x(0) = Xq. Nechť x : R —> X je řešením tohoto systému diferenciálních rovnic s počáteční podmínkou x(t) = x0. Potom pomocí x{ť) definujeme stavovou přechodovou funkci takto: T(xq, t) = x{ť). Někdy chceme zdůraznit závislost stavu v čase t na počátečním stavu x. V takovémto případě definujeme operátor toku diferenciální rovnice <&t(x) jako: $t(x) = T(x,t). Dynamický systém potom definujeme jako stavový prostor se stavovou přechodovou funkcí. Pěkný způsob vizualizace těchto představ je přes použití vektorového pole. Tím zde myslíme přiřazení vektoru f{x) každému bodu x ze stavového prostoru. Křivky řešeni (tzn. trajektorie, orbity atd.) pro systém diferenciálních rovnic x = f (x) budou právě obrazy funkce <&t(x), kde t bude procházet přes všechna reálná čísla a x přes S. Je zřejmé, že jestliže x je bodem křivky řešení potom f{x) je tečným vektorem k této křivce v bodě x. Viz obrázek 6.1 na straně 206. 1.2 Dynamické systémy na varietách V některých ekonomických aplikacích chceme, aby byl stavový prostor mnohem obecnější než Rn nebo Dn. Vhodnou koncepcí se zdá být pojem stavového prostoru na varietách. Nejdříve budeme definovat uzavřený poloprostor Hm = {(x±,..., xm) G Rm : xm > 0}. Potom definujeme pojem difeomorfismu. Zobrazení / : X —> Y je difeomorfismus, jestliže / je homeomorfismus a jak / tak f~x jsou diferencovatelné. Nakonec můžeme definovat pojem variety. Definice. Podmnožina X C Rk je hladkou m-varietou, jestliže pro každé a: G X je okolí U HX difeomorfní s otevřenou podmnožinou V D Hm poloprostoru Hm. (Čtenář by měl být upozorněn, že toto se obvykle nazývá varieta s hranicí Jelikož však většina variet, které zde budeme uvažovat, bude mít hranice, jeví se úspornější používat tuto terminologii.) Nechť x je bodem m-variety X. Nechť g je difeomorfismus mezi U D X a V D Hm vzhledem k x. Potom g se nazývá parametrizací U O X. Jelikož g je zobrazením mezi Rk a Rm, jeho derivace je reprezentována maticí Y)g(x) řádu kxm. Tečným prostorem variety X v bodě x je obraz prostoru Rm podle lineárního zobrazení Dg~ľ(y), kde y = g (x). Obrázek 6.1: Ilustrace pojmů ze stránky 205 Z geometrického pohledu chápeme varietu jako zobecnění myšlenky m-dimensionální roviny a tečný prostor jako zobecnění pojmu tečné nadroviny. Vektorové pole na varietě X je zobrazení / : X —> Rm takové, že f{x) je tečným prostorem variety X v bodě x. Tedy / můžeme považovat za definici obyčejného systému diferenciálních rovnic na podmnožině prostoru Rk. Pomocí vět o existenci a jednoznačnosti můžeme najít řešení x : R —> Rk k tomuto systému diferenciálních rovnic. Jelikož je vždycky tečný vektor k x (t) v bodě x tečnou k povrchu variety x, musí ležet křivky řešení diferenciálního systému ve varietě X. Takto vlastně vektorové pole / definuje přirozeným způsobem dynamický systém na X. 2 Základní nástroje Pro daný systém diferenciálních rovnic a stavový prostor se objevuje řada otázek: 1. Existence řešeni: Zda pro dané x = f (x) a x(0) = x0 existuje nutně řešení x{ť). Jaké má vlastnosti x(ť)7 2. Existence rovnováhy: Vyskytují se nějaké body x*, pro něž platí f(x*) = 0? 3. Počet rovnovážných stavů: Kolik existuje rovnovážných stavů? 4. Lokální stabilita rovnováhy: Pokud je systém slabě vychýlen z rovnováhy, vrátí se do ní? 5. Globální stabilita rovnováhy: Jestliže začneme z libovolného stavu x, je systém schopen se dostat do rovnovážného stavu? 6. Existence cyklů: Jestliže začneme ve stavu x, vrátíme se do něj zpět? Následující pasáže popisují některé z matematických nástrojů používané pro řešení předešlých otázek. 2.1 Existence, jednoznačnost a spojitost řešení Nechť / : X —> Rn a x = f (x) definuje systém diferenciálních rovnic s počátečními podmínkami x(0) = Xq. Řešením systému je diferencovatelná funkce x : I —> X, kde I je interval v R tak, že: (1) £if(t) = /(*(()), (2) x(0) = x0. Z existence a jednoznačnosti řešení plyne: Věta 2.1 Nechí X je otevřená podmnožina Rn a nechi Xq je prvkem X. Nechi f : X —>• Rn je spojitě diferencovatelná funkce. Pak existuje a > 0 a jediné řešení x : (—a, a) —> X diferenciální rovnice x = f (x), které splňuje počáteční podmínku x(0) = Xq. Z této věty plyne, že pro existenci řešení stačí, že / je spojitá. Z jednoznačnosti řešení plyne jedno důležité topologické omezení, že výsledné grafy (křivky) se nesmí křížit. Tento druh regularity je velmi dalším cenným omezením pro spojitou diferencovatelnost. Velmi často nás zajímá vývoj tvaru výsledných křivek na základě počátečnícj podmínek. Zejméno, pokud se výsledné křivky mění spojitě, pak, pokud x, y jsou dostatečně blízko, pak $>t(%) a ®t(y) jsou taky blízké. Věta 2.2 Nechť f je definována stejně jako v předchozí větě a nechť y : [to,ti] —> X je řešením našeho systému tak, že y (to) = yo. Pak existuje okolí U(yo) bodu yo tak, že pro libovolné Xq z U(yo) existuje řešení y '■ [to,ti] A tak, že x (to) = Xq a nějaká konstanta K tak, že \y(t) — x(ť)\ < K\y0 — x0\exp(\K(t — t0))\), pro všechna t G [to, ti]. Tato věta říká, že tok diferenciální rovnice $>t '■ X —> X je spojitý jakožto funkce x. 2.2 Existence rovnováhy Rovnováha dynamického systému x = f (x) je bod x*, pro který f{x*) = 0. Pokud dynamický systém je v rovnováze, zůstane v ní napořád. Řešme otázku, jak se dynamický systém dostane do rovnovážné situace. Věta 2.3 Nechí f : Dn —> Rn je spojité vektorové pole na jednotkové kouli, které na hranici koule směřuje dovnitř; tj. x • f (x) < 0 pro všechna x G Dn tak,že \\x\ \ = 1. Pak existuje x* G Dn tak, že f{x*) = 0. Samozřejmě věta je pravdivá pro libovolný stavový prostor homeomorfní ke kruhu. Příklad 2.4 Vezměme v úvahu Walrasův model popsaný v příkladě 1.1, strana 204. Uvažujme z(p) jakožto funkci na S^T1. Mějme tři předpoklady o z: 1. Spojitost: Funkce z(p) : S1^1 —> Rk je spojitá. 2. Walrasův zákon: p • z (p) = 0 pro p G S1^1. 3. Vhodnost: Zi{p) > 0, pokud Pí = 0, i = 1,..., k. Pak existuje p* G S1^1 tak ,že z{p*) = 0. Pro pochopení si představme, že Walrasův zákon implikuje ,že z(p) musí ležet v tečném prostoru pro S1^1 a z vhodnosti pak plyne, že z{p) směřuje dovnitř pro p na hranici S1^1. Výsledek pak plyne z předchozí věty. Předpoklady věty mohou být oslabeny několika způsoby. Například následující předpoklad nahradí Walrasův zákon. 4. Žádná inflace: Pro každé p G S1^1 neexistuje t ^ 0 tak, že z(p) = tp. Všimněme si, že můžeme zobrazit z{p) na tečný prostor pro S^1 bez zavedení nové rovnováhy. Obdobně okrajové podmínky v existenční větě mohou být zbytečně velmi omezující. Slabší nahrazení je předpoklad, že / nikdy nesměřuje přímo ven z hranice Dn. 5. Nikdy nesměřuje ven: Pro každé x G Dn, \ \x\ \ = 1 neexistuje t > 0 tak, že f(x) = tx. Abychom omezili tento případ na původní případ, poznamenejme jen, že můžeme Dn uzavřít koulí o poloměru 2. Na hranici koule definujeme vektorové pole -x = — x/\\x\\, jež evidentně směřuje dovnitř. Nyní plynule rozšíříme toto vektorové pole na původní pro Dn tak, že bereme konvexní kombinace /(^/||^||) a —Jednoduše vidíme, že nová konstrukce nezavádí žádné nové nulové body, takže aplikujeme přímo existenční tvrzení. 2.3 Jednoznačnost rovnováhy Předpokládejme, že máme hladký dynamický systém na kouli, který ukazuje dovnitř na hranicích koule. Z posledního odstavce víme, že existuje alespoň jedna rovnováha x*. Za jakých podmínek bude pouze jedna rovnováha? Základním nástrojem, který nám odpoví na tuto otázku, je Poincarého index vektorového pole. Rozmysleme si prvně jednorozměrný případ. Nechť -x = f(x) definuje hladké vektorové pole na jednotkovém intervalu, které ukazuje na hranici dovnitř; tj. /(O) > 0 a f(l) < 0. Potom se ukáže několik zřejmých věcí: 1. Kromě „degenerovaných" případů existuje konečný počet rovnováh. 2. Obecně je toto číslo liché. 3. Jestliže f'(x*) má ve všech rovnovážných bodech pouze jedno znaménko, může existovat pouze jedna rovnováha, viz obr. 6.2. Ukazuje se, že všechny tyto postřehy můžeme zobecnit pro vícedimenzionální případy. V tomto případě buď / : Dn —> Rn hladké vektorové pole na kouli Dn, které ukazuje dovnitř na hranici Dn. Nechť x* je rovnovážný stav. Index I(x*) stavu x* je definován jako: fix) Obrázek 6.2: Jednoznačnost rovnovážného stavu +1 jestliže det(-D/0*)) > O, -1 jestliže det(-D/(z*)) > O, číslo závisející na topologických úvahách jestliže det(-D/0*)) = 0. Nyní máme základní větu diferenciální topologie: Věta 2.5 (Poincaré-Hopf) Předpokládejme, že f : Dn —> Rn má konečný počet izolovaných rovnováh xÍ7 i = 1,..., k, a že f směřuje dovnitř na hranici Dn. Potom k i=l Příklad 2.6 Aplikujme nyní tuto větu na problém jednoznačnosti Walrasovy rovnováhy. Mějme vektorové pole dané z : S^1 —> Rk. Abychom mohli vypočítat index každé rovnováhy, potřebujeme zvolit lokální parametrizaci g : S1^1 —> Rk~ľ. Je geometricky jasné, že projekce na Rk~ľ může sloužit jako odpovídající parametrizace. Algebraicky to pouze znamená, že zapíšeme k x k Jacobiho matici D z (p*) a vynecháme poslední řádek a sloupec. Index rovnováhy I(p*) je determinant det(—Dz(p*)) Jacobiho matice typu (k — 1) x {k — 1). Nyní můžeme použít Milnorův argument a dojdeme k tomu, že jestliže det(—Dz(p*)) ^ 0 ve všech rovnováhách pro p*, pak existuje pouze omezený počet rovnováh. Jednoznačnost potom vyplývá jednoduše: jestliže je det(—Dz(p*)) > 0 ve všech rovnováhách, může být pouze jediná. Jestliže je pouze jediná rovnováha, pak det(—Dz(p*)) > 0. 2.4 Lokální stabilita rovnováhy Nechť x* je rovnováha dynamického systému. Přibližně řečeno, tato rovnováha je lokálně stabilní, jestliže se systém vrací k i* z okolních stavů. Jestliže by rovnováha byla ekonomicky významná v systému, který by zůstával stabilní po jakoukoliv dobu, potom by měla být lokálně stabilní. Budeme níže formulovat přesnou představu tohoto pojmu a prozkoumáme dále kritéria stability: Definice. Rovnováha je lokálně asymptoticky stabilní, jestliže existuje nějaké s > 0 takové, že \xq — x*\ < s implikuje, že $>t(%o) konverguje k x* pro t jdoucí do nekonečna. Věta 2.7 Necht x* je rovnováha funkce f : X —>• Rn a necht D f (x*) má všechny vlastní hodnoty záporné. Potom je x* lokálně asymptoticky stabilní. Příklad 2.8 Uvažujme Walrasův model rovnováhy popsaný dříve (Příklady 1.1, 2.4 a 2.6). Zde bude dobré vybrat trochu odlišnou normalizaci pro ceny. Nastavme k-tou cenu rovnu jedné a měřme ostatní ceny vzhledem k ní. Nechť z je zobrazení, které přiřazuje k k — 1 normalizovaným cenám k — 1 přebytků poptávky. Podle Walrasova zákona, jestliže p* > 0 a Zi(p*) = 0, z2(p*) =0, ..., Zk-i(p*) = 0, pak Zk(p*) = 0; potom rovnováhy systému p = z{p) jsou přesně Walrasovy rovnováhy p*, které budou lokálně stabilní, jestliže Dz(p*) má všechny vlastní hodnoty záporné. Jaká je ekonomická interpretace této podmínky? Podle Slutského rovnice můžeme psát Dz(p*) jako n n Dz(p*) = $>ť(p*) + E W) = s(p*) + i=l i=l kde Si(p*) je substituční matice pro z-tého spotřebitele (o níž je známo, že je negativně definitní) a Yi{p*) je důchodový efekt pro ž-tého spotřebitele. Matice S{p*) je negativně definitní a proto má všechny vlastní hodnoty záporné; proto jestliže není „agregátní důchodový efekt" Y{p*) příliš veliký, pak systém p = z (p) bude lokálně stabilní v p*. 2.5 Globální stabilita rovnováhy Nechť x* je rovnováha dynamického systému. Potom x* je globálně stabilní, jestliže se x{ť) přibližuje k x* pro t jdoucí do nekonečna, pro libovolnou počáteční podmínku x0. Tedy x* je globálně stabilní, jestliže lim^oo^O) = x* pro všechna x. Zřejmě globální stabilita implikuje lokální stabilitu; avšak globální stabilita je o mnoho silnější podmínka. Kdy řekneme, že je dynamický systém globálně stabilní? Základním nástrojem je pojem Lyapunovovy funkce. Definice. Nechť x = f (x) je dynamický systém na X s rovnováhou x*. Předpokládejme, že můžeme najít diferencovatelnou funkci V : X —> R takovou, že V{x*) = 0, V(x) > 0 pro x ^ x* DV(x(t))/dt < 0 pro x^x* Potom V nazýváme Lyapunovovou funkci. Přitom druhá podmínka nám říká, že derivace funkce V podél Základním výsledkem je: Věta 2.9 Buď f : X —>• Rn dynamický systém s X kompaktní a s rovnováhou x*. Předpokládejme, že můžeme najit Lyapunovovu fci pro tento systém. Potom x* je globálně stabilní rovnováha. Bohužel obecně neexistuje jednoduchý způsob nalezení Lyapunovovy funkce. Ve většině ekonomických aplikací jsou ale Lyapunovovy funkce přirozené. Lyapunovova metoda poskytuje postačující podmínku stability. Pokud máme vhodnou funkci, ověření je snadné. Příklad 2.10 Nechť p* je rovnováha Walrasova systému p = z (p). Předpokládejme, že z(p) se řídí „slabým axiomem odhalených preferencí" tak, že p* - z(p) > 0 pro všechna p ^ p*. Potom p* je globálně stabilní rovnováha. Abychom toto mohli dokázat, potřebujeme ukázat, že stavový prostor lze vybrat kompaktní a systém připouští Lyapunovovu funkci. Vynecháme první část důkazu a jednoduše ukážeme, že V{p) může být vybráno tak, aby V(p) = \\p — p*\\2 = E^Life ~ Pí)2-Pro provedení důkazu stačí derivovat V(p(t)): trajektorií systému V(x) je na X negativně definitní. i=l a použít skutečnost, že Pi{ť) Zi(p{t)): dV(p(t)) k k dt 2 ^PíW^CpWJ-^^W^Wí)) 2p* • z(p) < 0, i=l i=l přičemž poslední krok plyne z Walrasova zákona a slabého axiomu odhalených preferencí. 2.6 Existence cyklů Nechť / : X —> Rn, x = f (x) je hladký (smooth) dynamický systém. Bod £ je v uzavřené orbitě, jestliže x není rovnováha, ale $>t(x) = x pro nějaké t ^ 0. Tedy, stav je v uzavřené orbitě, jestliže se systém nakonec vrací do tohoto stavu. Uzavřené orbity se obvykle nazývají cykly. Užitečné kritérium pro existenci uzavřených orbit je Poincaré-Bendixsonova věta. Abychom mohli uvést tuto větu, potřebujeme některé definice. Bod y G X je u-limitní bod pro x, jestliže existuje posloupnost tn —> oo, která má limitu limn_s,00$ín(zy) = x. uj-limitní množina pro x, LUJ(x) je množina všech limitních bodů pro x. Jestliže x* je rovnovážný bod, pak LUJ(x*) je tvořen pouze bodem x*. Jestliže x* je globální stálá rovnováha, pak LUJ(x) = x* pro libovolné x G X. Jestliže x leží na uzavřené orbitě C, pak LUJ(x) = C. Ve vyšších dimenzích mohou mít cu-limitní množiny složité struktury. Nicméně v dvourozměrných systémech je jejich struktura celkem jednoduchá: Věta 2.11 Neprázdná kompaktní uj-limitní množina spojitě diferencovatelného systému v R2, který neobsahuje rovnovážný bod, je uzavřená orbita. Příklad 2.12 Mějme Walrasiánský systém se třemi druhy zboží tak, že p = z (p) definuje dynamický systém na S+. Předpokládejme, že tento systém ukazuje dovnitř z hranice S+, a berme tento systém jako dynamický systém na D2. Víme, že musí existovat nejméně jedna rovnováha p*, kde z(p*) = 0. Předpokládejme, že všechny rovnovážné body jsou zcela nestálé (totally unstable) ve smyslu, že vlastní hodnoty Dz(p*) jsou kladné. Potom musí existovat uzavřená orbita - „tržní cyklus". Důkaz je přímou aplikací Poincaré-Bendixsonovy věty. Nejprve si všimněme, že může existovat pouze jedna rovnováha p*. Zvolme nějaké jiné p (E D2 a uvažme cu-limitní limitu LiJ{p). Ta je neprázdná, uzavřená a tedy kompaktní podmnožina na D2. Dále neobsahuje žádný rovnovážný bod kromě p*, který je jediný a nestabilní. Tedy LUJ(p) musí být uzavřená orbita. 3 Některé speciální druhy dynamických systémů Doposud jsme se zabývali obecnými dynamickými systémy. V této kapitole se budeme zabývat dvěma speciálními typy dynamických systémů, které se často využívají v ekonomii. 3.1 Systémy gradientů Dynamický systém na X, / : X —> Rn, x = f (x) se nazývá systém gradientů, pokud existuje nějaká funkce V : X —> R, kde f{x) = —DV(x). Funkce V{x) se často nazývá potenciálová funkce systému; f{x) se nazývá gradient V na x. Geometrická interpretace gradientních systémů je důležitá. Na obrázku 6.3 na straně 217 je nakreslen graf potenciálové funkce V : R2 —> R a také vrstevnice (level sets) tohoto grafu v R2. Směrová derivace (directional derivative) V{x) ve směru h = (hi,..., hn), \\h\\ = 1 se definuje jako DV(x)-h. Směrová derivace ukazuje, jak rychlý bude přírůstek funkce V ve směru h. Navíc, jak výše uvedený vzorec naznačuje, je přesnou projekcí DV(x) na vektor h. Proto je jasné, že projekce bude maximalizována, pokud DV(x) sám ukazuje ve směru vektoru h. Takže máme pěknou geometrickou interpretaci gradientu: ukazuje ve směru, kde je přírůstek V nejrychlejší Navíc není těžké vidět že vektor DV(x) musí být kolmý na vrstevnice V v bodě x. Na vrstevnicích V v bodě x jsou spolu propojeny body s konstantní hodnotou V = const. Proto směrová derivace V ve směru tečny na vrstevnici V na x musí být nulová. To ale říká, že vektor DV(x) je kolmý na libovolný tečný vektor a proto je kolmý na vrstevnice samé. x1 Obrázek 6.3: Systém gradientů Podle těchto sledování velice lehce zkonstruujeme trajektorii x = —DV(x), jakmile známe funkci V. Typický příklad je na obrázku 6.3. Některé speciální vlastnosti systémů gradientů jsou: Věta 3.1 Nechť f : X -> Rn je dána předpisem x = f (x) = —DV (x), kde V : X —> Rje nějaká hladká funkce. Pak platí: 1. Je-li x* izolované minimum V, je x* asymptoticky stabilní rovnováha pro x = — DV(x); 2. Každý u-limitní bod trajektorie je rovnováha. 3. Vlastní hodnoty D f (x) jsou reálné pro všechna x G X. Část 3. věty 3.1 plyne z toho, že D f (x) je přesně -D2V(x) a musí tedy být reálná symetrická matice. Často je důležité vědět, že opak platí. Pokud máme dynamický systém na X, x = f (x) tak, že D f (x) je vždy reálná symetrická matice, pak existuje potenciálová funkce V : X —> R taková, že f (x) = —DV (x). Příklad 3.2 Uvažme poněkud stylizovaný Walrasiánský model, kde spotřebitelé mají užitečnostní funkce lineární v penězích. Problém maximalizace užitečnosti spotřebitele i je: max Ui(xi) + mi za podmínky p • xi + rrii = Wi, Xi = požadavek z-tého spotřebitele na zboží (xj,..., x\\ kde mi = P°žadavek 2-tého spotřebitele na peníze, Wi = počáteční obdaření ž-tého spotřebitele penězi, p = cenový vektor o složkách (p±, ■ ■ ■ ,Pk)-Poptávková funkce ž-tého spotřebitele Xi(p) musí splňovat podmínky 1. řádu, Suí(xí(p))/ôxl = pj, j = 1,..., fc, neboli vektorově Duí(xí(p)) = p. Diferencováním této identity podle p dostaneme D2uz(xz(p)) • Dxi(p) = Ek. Tedy Dxz(p) = [DVtiťW)]"1. Odtu pak Jakobián pro poptávkovou funkci každé osoby je inverze Hessiánu funkce užitku. Nyní nechť uj je nějaká agregátní nabídka k zboží a definujme přebytkovou agregátní poptávkovou funkci z(p) = X)ľ=i xÁp) ~ uj- Uvažujme dynamický systém p = z (p). Po spočítání je pak Dz(p) reálná symetrická matice, takže máme systém gradientů. Není příliš obtížné najít potenciálovou funkci tohoto systému. Nechť je Vi(p) = Ui(xi(p)) nepřímá funkce užitku funkce ž-té osoby. Pak potenciálová funkce systému p = z (p) je dána jako n i=l Další vlastnosti pak vyplývají velice rychle. Pokud předpokládáme, že Uí(xí) je ostře konkávni funkce, D2Ui(x) bude negativně definitní matice. Proto má všechny vlastní hodnoty záporné. Aplikací předchozích výsledků uvidíme, že systém má jedinou globální stabilní rovnováhu, která fakticky minimalizuje sumu nepřímých funkcí užitku. 3.2 Hamiltonovské systémy Buď x = f(x, y), ý = g(x, y) dynamický systém pro a:az/naXxyci?nx Rn. Tento systém se nazývá hamiltonovský systém, pokud máme funkci H : X x Y —^ R, hamiltonovskou funkci tak, že: x = f(x,y) = DyH(x,y), V = g(x,y) = DxH(x,y). Hamiltonovské systémy vycházejí úplně přirozeně z klasické mechaniky a slouží k sjednocení studia mnoha jevů v této oblasti. Ekonomové si nedávno začali uvědomovat mnoho jejich přirozených aplikací v ekonomii. Základním znakem hamiltonovských systémů v ekonomii je, že mají obvykle žádoucí vlastnosti stability. V klasické teorii hamiltonovských mechanismů je H kvadratická, takže hamiltonovské systémy jsou lineární systémy diferenciálních rovnic. V tomto případě, klasická Poincarého věta ukazuje, že je-li A vlastní hodnota lineárního systému v bodě (x*,y*) pak —A je také vlastní hodnota. Proto rovnováhy hamiltonovských systémů jsou symetrické sedlové body. Obecně, když jsou hamiltoniány nelineární, stejný typ sedlových bodů se vyskytuje, pokud je funkce H(x, y) konkávni via konvexní v y. 4 Některé nové techniky V této části se budeme zabývat dvěma novými oblastmi studia dynamických systémů a diskutovat jejich potenciální aplikace v ekonomii. 4.1 Strukturální stabilita Buď / : X —> Rn vektorové pole na nějakém stavovém protoru X. Potom, přibližně řečeno, je tento systém strukturálně stabilní, jestliže malá výchylka ve funkci / nezmění topologickou strukturu vektorového pole x = f{x). Uvažme například případ, kde X = R2 a f{x) = Ax, kde A je regulární matice typu 2x2. Potom víme, že počátek je jediným rovnovážným bodem v systému a topologická povaha toku kolem počátku je dána povahou vlastních hodnot matice A. Pro "většinu"voleb A bude systém daný x = Ax strukturálně stabilní, protože malé výchylky v A nezmění znaménko vlastních hodnot. Jediná výjimka je, když obě vlastní hodnoty mají reálnou složku nulovou. V tomto případě se tok systému skládá z uzavřených orbit obklopujících počátek. Nicméně malé výchylky A, které dávají vlastním hodnotám nenulové reálné složky, ukazují tok bez jakýchkoli uzavřených orbit. Topologická struktura systému ukazuje drastickou změnu - máme případ strukturální nestability. Vraťme se nyní k původnímu nastavení pro vektorové pole x = f (x). Vezměme za stavový prostor tohoto systému Dn. Nechť V je prostor všech spojitě diferencovatelných funkcí z Dn do Rn a opatřený standardní normou pro funkce třídy C1; dvě funkce jsou blízké, jestliže jejich funkční hodnoty jsou blízké a jejich derivace jsou blízké. Potom můžeme brát perturbaci (výchylku) / jako volbu nějaké funkce v nějaké £-kouli se středem /. Chceme, aby topologická struktura pole x = f (x) byla invariantní vzhledem k malým výchylkám /. Co to znamená? Jak můžeme popsat představu, že dvě vektorová pole mají stejné kvalitativní rysy? Související pojem je pojem topologické ekvivalence. Zhruba řečeno, toky dvou dynamických systémů na Dn jsou topologicky ekvivalentní, jestliže existuje homeomorfismus h : Dn —> Dn, který přenese orbitu z jednoho toku na orbitu toku druhého. Homeomorfismus můžeme uvažovat jako spojitou změnu souřadnic, takže topologická ekvivalence dvou toků znamená, že můžeme najít spojitou změnu souřadnic tak, že jeden tok vypadá jako druhý. Nakonec definujeme pojem strukturální stability. Dynamický systém x = f (x) na Dn je strukturálně stabilní, jestliže existuje nějaké okolí funkce / takové, že pro každou funkci g v tomto okolí, tok indukovaný polem x = g{x) je topologicky ekvivalentní s tokem /. Volně řečeno, dynamický systém je strukturálně stabilní, jestliže malé výchylky původní funkce / nezmění kvalitativní povahu toku. 4.2 Teorie katastrof Mějme dynamický systém daný / : Ixyl-) Rn, x = f (x, a). Systém je zde uvažován jako parametrizovaný nějakým parametrem a = (<2i,..., ar). Předpokládejme, že parametr a je pomalu proměnný v čase. Většina malých časových změn v a nezpůsobí radikální změny v kvalitativní povaze dynamického systému. Nicméně někdy dostaneme opravdu strukturální změnu. Například, mějme systém na R1 daný 00 00 I Qj • Jestliže a je kladné, neexistuje rovnováha systému. Jestliže a je nulové, existuje právě jedna rovnováha, x* = 0; a jestliže a je záporné, existují dvě rovnováhy x\ = —a1/2, ^ = -{-a1/2. Topologická povaha systému prodělá radikální změnu, když a prochází nulou. Říkáme, že nula je bod katastrofy systému x = x2 + a. Cílem teorie katastrof je klasifikovat všechny cesty, ve kterých systém může prodělat strukturální změnu. Bohužel tento cíl je velmi daleko. Současný stav této teorie je dobře rozvinutý pouze ve studiu lokálních katastrof systémů gradientů. Nechť V : Rn x Rr —> R je potenciální funkce pro systém gradientů. Rn interpretujme jako stavový prostor systému a Rr jako parametrický prostor. Potom rovnováhy systému x = DxV(x, a), jsou právě singularity funkce V{x, a); x* je rovnováha tehdy a jenom tehdy, pokud se DxV(x, a) rovná nule. Tedy otázka, jak se změní povaha systému x = DxV(x, a),, když se změní a, se může zredukovat na hledání singularit V(x,a). Příklad uvedený výše x = x2 + a odpovídá této konstrukci, protože je to systém gradientů s V(x, a) = x3/3 + ax. Pozoruhodné je, že pro r <= 4, že existuje pouze sedm odlišných druhů „stabilních" singularit. Je to sedm základních katastrof podle Thomova klasifikačního teorému. Zhruba řečeno, „nedegenerovaná" singularita V(x, a) může být klasifikována jako jeden z těchto sedmi základních typů. Příklad uvedený výše, kde V(x, a) = x3/3 + ax, je příklad překladové (záhybové) katastrofy, nejjednodušší elementární katastrofy. Kapitola 7 Dualita v mikroekonomii 1 Úvod Co se myslí tím, když se řekne, že existuje dualita mezi nákladovou a produkční funkcí? Předpokládejme, že je dána produkční funkce F a že u = -F(x), kde u je maximální množství výroby (produkce), které může být vyrobeno technologií během určitého období, jestliže vektor vloženého (vstupního) množství x = (xi, x2,..., xtv) je užit během období. Tudíž produkční funkce F popisuje technologii dané firmy. Na druhou stranu minimální celkové náklady firemní výroby na nejmenší výstup (produkci) úrovně u dané vstupními cenami (pi,p2,... ,Pn) = P jsou definovány jako C(u, p) ) a to je samozřejmě funkce u, p a dané produkční funkce F. To co není tak samozřejmé, je to, že (za určitých podmínek regularity) nákladová funkce C(u, p) rovněž zcela popisuje technologii dané firmy, tj. daná firemní nákladová funkce C může být použita k definování firemní produkční funkce F. Tudíž se jedná o dualitu mezi nákladovou a produkční funkcí v tom smyslu, že každá z těchto funkcí může popisovat technologii firmy stejně dobře. V první části této kapitoly rozvineme tuto dualitu mezi nákladovou a produkční funkcí podrobněji. V druhé části odvodíme podmínky regularity, jež nákladová funkce C musí mít (bez ohledu na tvar funkce 223 nebo zvláštních regulárních vlastností produkční funkce F), a ukážeme, jak může být produkční funkce zkonstruována z dané nákladové funkce. Ve třetí části rozvineme tuto dualitu mezi nákladovou a produkční funkcí vícero formálnějším způsobem. Ve čtvrté části budeme uvažovat o dualitě mezi (přímou) produkční funkcí F a vzájemně si odpovídající nepřímou produkční funkcí G. Daná produkční funkce F, vstupní ceny p = (pi,p2, ■ ■ ■ ,Pn) a vstupní rozpočet y dolarů, nepřímé produkční funkce G{y, p) je definována jako maximální výstup (produkt) u = -F(x), který může být vyroben (vyprodukován) daným rozpočtem vynuceným vstupními náklady pTx = Pí^í — V-Tudíž nepřímá produkční funkce G(y, p) je funkcí maximálního přípustného rozpočtu y, vstupních cen p, se kterými výrobce počítá a produkční funkci F výrobce. Za určitých regulárních podmínek se ukáže, že G může také zcela popisovat technologii a tudíž je tu dualita mezi přímou a nepřímou produkční funkcí. Výše uvedené duality mezi náklady, produkcí (výrobou) a nepřímou produkční funkcí se také může interpretovat v kontextu teorie spotřeby: prostě nechat (dovolit) F být užitkovou funkcí spotřebitele, x vektorem nakoupeného zboží (nebo nájemné), u užitkovým stupněm spotřebitele a y příjmem spotřebitele nebo výdaji (náklady) na N komodit. Potom C{u, p) je minimální náklad (výdaj) dosahující užitkový stupeň u daný tak, že spotřebitel počítá s cenami p za zboží a to je dualita mezi užitkovou funkcí F spotřebitele a funkcí C, která je často nazývána nákladovou (výdajovou) funkcí y kontextu teorie spotřebitele. Podobně G{y, p) může být nyní definována jako maximální užitek, který spotřebitel může dosáhnout tak, že počítá s cenami p a příjem y vydá na N komodit. V souvislosti se spotřebitelem je G nazývána jako nepřímá užitková funkce spotřebitele. Tudíž každá z našich duálních teorií má dvě interpretace: jednak v souvislosti s výrobou a jednak v souvislosti se spotřebitelem. V části 2 chceme využít výrobní teoretickou terminologii kvůli konkrétnosti. Nicméně v následující části budeme používat více neutrální terminologii, která bude zahrnovat jak produkční tak i spotřební interpretaci. Produkční resp. užitkovou funkci F budeme nazývat agregační funkce, nákladovou resp. výdajovou funkci C nákladová funkce a nepřímou produkční resp. užitkovou funkci G nepřímá agregační funkce. V páté části je zavedena funkce vzdálenosti D(u, x). Vzdáleností funkce poskytuje ještě další způsob charakteristiky technologie. Hlavní použití vzdálenostní funkce je v konstrukci Malmquistova (1953) množstevního indexu. V části 6 prodiskutujeme několik dalších teorií duality: tj. prodiskutujeme další metody pro ekvivalentní popis technologie, buď lokálně nebo globálně, v jednovstupém nebo v N-vstupem kontextu. Čtenář, který se zajímá o aplikaci, může přeskočit části 3-6. Matematické teorie prezentované v části 2-6 mohou vypadat jen jako čistě teoretické výsledky (pro matematické účely) bez praktického využití. Avšak toto není ten případ. V části 7-10 předvedeme některé aplikace dříve rozvinutých teorií. Tyto aplikace spadají do dvou hlavních kategorií: 1)měření technologií nebo preferencí (část 9 a 10) 2)odvození srovnatelných statistických výsledků (část 7 a 8). V části 10 se zaměříme na firmy, které mohou produkovat mnoho výstupů, zatímco zpracovávají mnoho vstupů (kdežto předtím jsme se zabývali pouze jedním vstupem). Uvedeme některé teorie duality a povšimneme si jejich některých aplikací. Nakonec v části 11 a 12 se krátce zmíníme o některých dalších oblastech ekonomiky, kde mohou být duální teorie aplikovány. Důkazy jsou v některých částech vynechány : důkazy mohou být nalezeny v odkazované literatuře nebo v Diewertovi (1982). 2 Dualita mezi nákladovou (výdajovou) a produkční (užitkovou) funkcí: Zjednodušený pohled Předpokládejme, že máme dánu V-rozměrnou vstupní produkční funkci F: u = F (x), kde u je množství vyprodukovaného výstupu za určitou dobu a x = (xi,..., x^v) > O^v je nezáporný vektor vstupu zpracovaného za tuto dobu. Dále předpokládejme, že výrobce může nakoupit množství zpracovávaných vstupů za pevné kladné ceny p = (pl5..., pN) » 0N a že se výrobce nepokusí mít monopolní sílu na trhu vstupů.* V části 11 je tato podmínka zmírněna. Nákladová funkce výrobce C je definována jako výsledek problému minimalizace ceny výroby při zachování výstupní úrovně u, za podmínky, že výrobce počítá se vstupním vektorem cen p: C(u,p) min{p x : F(x) > u}. (2.1) X V této části je ukázáno, že nákladová funkce C vyhovuje překvapivému počtu podmínek regularity, bez ohledu na funkcionální tvar produkční funkce F, poskytující jen řešení cenového minimalizačního problému 2.1. V následující části je ukázáno, jak tyto podmínky regularity nákladové funkce mohou být pužity v případě důkazu komparativních statistických teorií o odvození poptávkové funkce pro vstupy ([24]). Dříve než zavedeme vlastnosti nákladové funkce C, je vhodné dát prostor následujícím minimalizačním podmínkám regularity produkční funkce F: Předpoklad 1 pro F F je spojitá shora, tj. pro všechna u G rangeF je L{u) = {x : x > O^v, -F(x) > u] uzavřená množina. Jestliže F je spojitá funkce, pak samozřejmě F bude rovněž spojitá shora. Předpoklad 1 je dostatečný k implikaci toho, že řešení cenového (nákladového) minimalizačního problému 2.1 existuje. Následujících sedm vlastností pro nákladovou funkci C může být nyní odvozeno jen za předpokladu, že produkční funkce F vyhovuje předpokladu 1. Vlastnost 1 pro C Pro každé u G prostor F a p O^v, C {u, p) > 0, tj. C je nezáporná funkce. Důkaz. C(u,p) min{p x : x > O^v, -F(x) > u} x = pJx*, kde x* > 0N a F(x*) > u > 0, neboť p O^v a x* > 0N. Vlastnost 2 pro C Jestliže p Otv a k > 0, potom C(u,kp) = kC(u,p) pro každé u G rangeF, tj. nákladová funkce je (jednoznačně) lineárně homogenní ve vstupních cenách pro fixní výstupní úroveň. Důkaz. Nechť p ^> O^v, k > 0 a u G rangeF. Pak C(it, fcp) = min{(A;p)Tx : F(x) > u] X = k min{pTx : F(x) > u] = k C {u, p). x Vlastnost 3 pro C Jestliže nějaká kombinace vstupních cen roste, pak minimální produkční náklady reálného výstupu úrovně u se sníží, tj. jestliže u G rangeF a p1 > p°, pak C(u, p1) > C(u, p°). Důkaz. C(u, p1) = min{p1Tx : F(x) > u] X = p1T, kde x1 > 0N a F(xx) > u > p^x1, neboť p1 > p° a x1 > 0N > min{p0Tx : F(x) > u}, neboť x1 je X přípustný pro minimalizaci nákladů, ale není nutně optimální = C(W,p°). Vlastnosti nákladové funkce byly intuitivně zřejmé z ekonomického pohledu. Ale následující důležité vlastnosti nejsou tak intuitivně zřejmé. Vlastnost 4 Vro C Pro všechna u G rangeF, C {u, p) je konkávni funkce p. Důkaz: Nechť u G rangeF, p° > CW, p1 > CW a O < A < 1. Pak C(u, p°) = min{p0Tx : F(x) > u} = p0Tx° a X C(u, p1) = min{p1Tx : F(x) > u] = p1Txx. Nyní X C(u, Ap° + (1 - X)p1) = min{(Ap° + (1 - X)p1)T^ : F(x) > u) X = (Ap° + (1 - X)p1)T^x = Ap0TxA + (1 - A)p1TxA > Ap0Tx° + (1 — A)p1Tx1, neboť xA je přípustné pro minimalizaci nákladů ve spojitosti s cenovým vektorem vstupů p° a p1, ale není nutně optimální pro tyto úlohy = XC(u,p°) + (l-X^iu^p1). Základní idea ve výše uvedeném důkazu je opakovaně použita v duální teorii. Vzhledem k neintuitivní povaze vlastnosti 4 je asi výhodné poskytnout geometrickou interpretaci ve 2-vstupovém případě (tj. N = 2). Předpokládejme, že výrobce produkuje výstup úrovně u. Definujme množinu S° jako množinu nezáporných kombinací vstupů, které jsou buď na nebo pod optimální nákladovou čárou (izokvantou), kdy výrobce počítá s cenami p°; tj. S° = {x : p0Tx < C(u, p°),x > On}, kde C° = C(u,p°) = p0Tx° je minimum produkčních nákladů výstupu u daných tak, že výrobce počítá s cenami p° ^> 0^. Všimněme si, že vektor vstupů x° řeší nákladovou minimalizační úlohu v tomto případě. Nyní předpokládejme, že výrobce počítá se vstupními cenami p1 Otv a definujme S1, C1, a x1 analogicky, tj. S1 = {x : p1Tx < C(u, p1), x > Otv}, C1 = C(u, p1) = P1Txx, kde vektor vstupů x1 řeší nákladový minimalizační problém, kdy výrobce počítá s cenami p1. Nechť 0 < A < 1 a nyní předpokládejme, že výrobce počítá s průměrnými cenovými vstupy Ap°+(1—A)p1. Definujme S , C a x jako předtím: Sx = {^:(Xp0 + (l-X)p1)T^0N}, Cx = C(u,Ap0 + (l-A)p1) = (Ap° + (l-A)p1)TxA, kde xA řeší nákladový minimalizační problém, kdy výrobce počítá s průměrnými cenami Ap° + (1 — A)px. Nakonec uvažujme nákladovou izokvantu, která by byla výsledkem, jestliže výrobce spotřebovává průměr ze dvou počátečních nákladů XC° + (1 — A)C1, odpovídajících průměru cen vstupů Ap° + (1 — A)p1. Množina nezáporných kombinací vstupů, která je buď na nebo pod nákladovou linií, je definována jako množina S* = {x : (Ap° + (1 — A)p1)Tx < XC° + (1 — A)C1, x > 0N}- K ukázání konkávnosti C potřebujeme ukázat, že Cx > XC° + (1 — A)C1 nebo (ekvivalentně) potřebujeme ukázat, že Sx obsahuje množinu S*. To může být dokázáno tak, že nákladová izokvanta příslušící množině S*: L* = {x : (Ap°+(1—A)px)Tx = AC°+(1—A)C1} protíná průnik nákladových izokvant příslušících množinám S° a S1. Nákladová izokvanta příslušící množině Sx, Lx = {x : (Ap° + (1 — A)px)Tx = Cx} je zřejmě souběžná (paralelní) s L*. A konečně Lx musí být buď shodná s L* nebo ležet nad ní, protože kdyby Lx byla pod L*, tak by existoval bod na u izokvantě, který by ležel pod alespoň jednou z nákladových izokvant L° = {x : p0Tx = C0} nebo L1 = {x : p1Tx = C1}, což by odporovalo minimalizaci nákladů v x° nebo x1. Vlastnost 5 pro C Pro všechna u G rangeF, C (u, p) je spojitá v p pro p On- [Důkaz této vlastnosti je založen na výsledcích ve Fenchelovi (1953, str.75) a Rockafellarovi (1970, str. 82).] Vlastnost 6 pro C C (u, p) je neklesající v u pro pevné p, tj. jestliže p Otv,^0,^1 G rangeF, a u° < u1, pak C(u°,p) < C(u\p). Důkaz: Nechť p ^> Otv, u°j u1 G prostor F a m° < m1. Pak C(u\p min{pTx : F(x) > u1} X > min{pTx : F(x) > u0}, neboť kdyby u° < u1, pak X V porovnání s předcházejícími vlastnostmi nákladové funkce vyžaduje následující vlastnost silný matematický aparát. Protože tyto matematické závěry jsou užitečné nejenom v této kapitole, ale i v kapitolách následujících, na chvíli odbočíme a uvedeme je. V následujících definicích nechť S značí podmnožinu KM, T je podmnožinou M.K, {xn} je posloupnost bodů z množiny S a {yn} posloupnost bodů z množiny T. Pro úplnější diskusi o následujících definicích a teoriích — viz. [3, Chapter 1 of the Handbook, Green a Heller]. $ je korespondence (mnohoznačné zobrazení) z S do T, jestliže pro každé £ G 5 existuje neprázdná množina obrazů <&(x), která je podmnožinou T. Korespondence $ je s/iora semispojitá (neboli shora hemispojitá) v bodě x° G 5, jestliže limn xn = x°, yn G &(xn), \\mnyn = zy°, implikuje y° G $(:r0). Korespondence $ je zcfo/a semispojitá v bodě x° G 5, jestliže limn xn = x°, y° G &(x°) implikuje, že existuje posloupnost {yn}, tak že yn G &(xn) a limnzyn = y°. Korespondence $ je spojitá v x° G 5, jestliže je shora a zdola semispojitá v bodě x°. Definice: Definice: Lemma 2 [Berge (1963, p. 116)]: $ je shora semispojitá korespondence na S právě tehdy, když graf $ = {(x,y) : x G S, y G &(x)} je uzavřená množina S x T. Theorem shora semi-spojitého maxima [Berge (1963, p. 116)] Nechť / je shora spojitá funkce definovaná na S x T, kde T je kompaktní (uzavřená, ohraničená) podmnožina WK. Předpokládejme, že $ je korespondence z S1 do T a že $ je shora semi-spojitá na S. Pak funkce g definovaná g (x) = max^{/(a:, y) : y G &(x)} je jednoznačně definována a je shora semi-spojitá na S. Theorem maxima [Debreu (1952, pp. 889 - 890); (1959, p. 19); Berge (1963, p. 116)] Nechť / je spojitá funkce reálných hodnot definovaná na S x T, kde T je kompaktní podmnožina WK. Nechť $ je korespondence z S1 do ľ a nechť $ je spojitá na S. Definujme (maximum) funkce g jako g (x) = maxy{/(:r, y) : y G &(x)} a korespondenci £ jako t; (x) = {y : y G $(:r) a /(:£, z/) = g (x)}. Potom funkce g je spojitá na S a korespondence £ je shora semi-spojitá na 5. Vlastnost 7 pro C Pro každé j9 0n,C(u,p) je zdola spojitá v u; tj. jestliže £>* On, u* G range F, iín G rangeF pro všechna n, u1 < u2 < ... a limun = u*, pak limn C(un, p*) = C (u*, p*). Důkaz vlastnosti 7 se nachází v Diewert (1982). Za účelem přiblížení této vlastnosti v C, čtenář může zjistit, že je výhodné zvolit N = 1 a nechat produkční funkce F (x) jako následující krokovací funkci (shora spojitá) [Shepard (1970, p. 89)]: F (x) = {0, jestliže 0 < x <; 1, jestliže 1 < £ < 2; 2, jestliže 2 < £ < 3;... }. Pro p > 0 je odpovídající nákladová funkce C (u, p) následující (zdola spojitá) krokovací funkce: C(u,p) = {0, jestliže 0 = u;p, jestliže 0 < u < 1; 2p, jestliže 1 < u < 2;... }. Výše uvedené vlastnosti nákladové funkce mají empirické důsledky, jak si ukážeme později. Nicméně, jeden důsledek může být uveden na tomto místě. Předpokládejme, že můžeme sledovat náklady, vstupní ceny a výstup (zisk) pro firmu a předpokládejme dále, že máme ekonometricky odhadnutou následující lineární nákladovou funkci: kde a a 7 jsou konstanty a (5 je vektor konstant. Může být (2.2) skutečnou nákladovou funkcí firmy? Odpovědí je ne, jestliže firma konkurenčně minimalizuje náklady a jestliže jedna ze dvou konstant a a 7 je nenulová, v tomto případě C nevyhovuje Vlastnosti 2 (lineární homogenita cen vstupů). Nyní předpokládejme, že máme určenou nějakou skutečnou nákladovou funkci C firmy, ale že neznáme produkční funkci F firmy (s výjimkou toho, že F splňuje Předpoklad 1). Jak můžeme použít danou nákladovou funkci C{u,p) (splňující výše uvedené vlastnosti 1 - 7) k vytvoření příslušné produkční funkce F{x) firmy? Odpovídající k produkční funkci u = F (x) je skupina produkčních isoploch {x : F{x) = u] nebo skupina rovinných množin L(u) = {x : F{x) > u). Pro každé u (E prostoru F může být nákladová funkce použita k vytvoření krajní aproximace množiny L{u) následujícím způsobem. Vyberte ceny vstupů p1 0^ a nakreslete povrch izokvanty {x : p1Tx = C^^p1)}. Množina L{u) musí ležet nad (a protínat) touto množinou, protože C^^p1) = mmx{p1Tx : x G L (u)}; tj. L (u) C {x : p1Tx < C^^p1)}. Vyberte další dodatečné vstupní cenové vektory p2 ^> On,p3 O^v,... a graf povrchů izokvanty {x : p1Tx = C(u,pľ)}. Je lehce vidět, že L (u) musí být podmnožinou všech množin {x : p1Tx < C(u,pľ)}. Tedy: C (u, p) a + (3 p + ju (2.2) (2.3) tj. L (u) množina skutečných produkčních možností musí být obsažena v množině L* (u) krajních aproximovaných produkčních možností, která je obdržena jako průnik všech opěrných celkových nákladových poloprostorů na skutečné množině technologií L(u). u isoquant = (x;F(x) ■ u f (0,0) Obrázek (2.1) Na obrázku (2.1) je L*(u) označena přerušovanou čarou. Povšimněte si, že okraj (hranici) této množiny vytváří aproximace skutečných isokvant u a že tyto aproximované isokvanty se kryjí se skutečnými jen zčásti, nemají zpětné zakřivení a nekonvexní části skutečných isokvant. Jestliže již byla skutečná skupina množin L*(u) aproximovaných produkčních možností vytvořena, aproximované produkční funkce může být definována jako F*(x) = max{u : x G L*(u)} = max{u : pTx < C (u, p) pro každé p Otv} (2.4) pro x > On- Všimněme si, že maximalizační problém definovaný ve (2.4) má nekonečný počet omezení (jedno omezení pro každé p Oat). Tedy (2.4) může být použito k definování aproximované produkční funkce F*, máme-li pouze nákladovou funkci C. Je jasné (viz. obrázek 2.1), že aproximovaná produkční funkce F* se nebude obecně překrývat se skutečnou funkcí F. Je tedy také jasné, že z hlediska sledovaného tržního chování, jestliže výrobce konkurenčně minimalizuje náklady, potom nezáleží, zda výrobce minimalizující náklady podléhá omezení produkční funkce dané jako F nebo F*: pozorovaná tržní data nás nikdy nepřivedou ke zjištění, zda výrobce má výrobní funkci F nebo aproximovanou funkci F*. Je také jasné, že jestliže chceme, aby se aproximovaná produkční funkce F* kryla se skutečnou funkcí F, pak je nezbytné, aby F splňovala následující dva předpoklady: Předpoklad 2 pro F F je neklesající, tj. jestliže x2 > x1 > 0N, pak F(x2) > F(x1). Předpoklad 3 pro F F je kvázi-konkávni funkce, tj. pro každé u (E prostoru F, L (u) = {x : F (x) > u} je konvexní množina. Jestliže F splňuje Předpoklad 2, potom zpětné zakřivení izokvant nemůže nastat, jestliže F splňuje Předpoklad 3, potom nekonvexní izokvanty, znázorněného modelu, na obrázku 2.1, nemohou nastat. Není příliš obtížné si všimnout, že pokud F splňuje Předpoklady 1-3 a nákladová funkce C se počítá podle (2.1), potom aproximovaná produkční funkce F* (spočítaná podle (2.4)) se bude krýt se skutečnou produkční funkcí F, tj. je zde dualita mezi nákladovými funkcemi splňujícími Vlastnosti 1-7 a produkčními funkcemi splňujícími Předpoklady 1-3. První člověk, který dokázal Theorem formální duality byl Shephard V následující části si uvedeme podobný Theorém duality po zavedení některých silnějších podmínek na příslušnou produkční funkci F. Následující výsledek je podklad pro mnoho teoretických a empirických aplikací teorie duality. Lemma 3 [Hicks (1946, p. 331); Samuelson (1947, p. 68); Karlin (1959, p 272); a Gorman (1976)] Předpokládejme, že produkční funkce F splňuje Předpoklad 1 a že nákladová funkce C je definována pomocí (2.1). Nechť u* G prostoru F, p* ^> O^v a předpokládejme, že x* je řešení minimalizace nákladů při produkci u*, když ceny vstupů p* existují, tj. (1953). C(u*,p*) mm{p* x : F{x) > u*} = p* x*. (2.5) X Jestliže navíc je C derivovatelná podle cen vstup; v bodě (u*,p*), pak: x* = VpC{u*,p*) (2.6) kde WpC(u,p*) = [dC(u*,pl,... ,p*N/dp1,.. .,dC(u*,pl,... ,p*N)/dpN]T je vektor prvních parciálních derivací C podle složek cenového vektoru vstupů p. Důkaz: Libovolný vektor vhodných vstupních cen p On,x* je přípustný pro problém minimalizace nákladů definovaný pomocí C(u*,p), ale není nutně optimální, tj. pro každý p 0^ máme následující nerovnost: pTx* > C(u,p). (2.7) Pro p On definujme funkci g{p) = pTx* — C(u*,p). Z (2.7) plyne, že g{p) > 0 pro p O^v a z (2.5) g(p*) = 0. Tedy, g{p) nabývá globálního minima v p = p*. Protože g je diferencovatelná v p*, musí být splněna první nezbytná podmínka pro lokální minimum: vPg(p*) = x*-VpC(u*,p*) = oN, které implikuje (2.6). Q.E.D. Tedy derivace nákladové funkce výrobce C(u,p) podle cen vstupů p dává výrobcův systém funkcí poptávky po vstupech, který minimalizuje náklady x(u,p) = WpC(u,p). Výše uvedená lemma by měla být pečlivě srovnána s následujícím závěrem. Lemma 4 [Shephard (1953, p. 11)] Jestliže nákladová funkce C(u,p) splňuje Vlastnosti 1-7 a navíc je diferencovatelná podle cen vstupů v bodě (u*,p*), pak x(u*,p*) = VpC{u*,p*), (2.8) kde x(u*,p*) = [xi(u*,p*),... ,Xn(u*,p*)]t je vektor množství vstupů minimalizující náklady potřebných k vytvoření u* jednotek výstupu, máme-li ceny p*, kde příslušná produkční funkce F* je definována pomocí (2.4), u* G prostoru F* a p* > 0N. Rozdíl mezi Lemmatem 3 a Lemmatem 4 je, že Lemma 3 předpokládá existenci produkční funkce F a nestanovuje vlastnosti nákladové funkce, kromě derivovatelnosti, zatímco Lemma 4 předpokládá pouze existenci nákladové funkce splňující příslušné podmínky regularity a odpovídající produkční funkce F* je definována za použití dané nákladové funkce. Tedy, z ekonometrického pohledu, Lemma 4 je užitečnější než Lemma 3: za účelem získání podobného systému vstupních poptávkových funkcí, vše, co musíme udělat je předpokládat funkční tvar C, který splňuje příslušné podmínky regularity a derivovat C podle složek cenového vektoru vstupů p. Není nutné odhadnout odpovídající produkční funkci a také není nutné trvat na někdy obtížné algebře při derivování funkcí poptávky po vstupech prostřednictvím Lagrangeových technik. Historické poznámky Tvrzení, že existují dva nebo více ekvivalentní způsoby popisující výkony a technologii, tvoří jádro teorie duality. Matematickým základem pro ekonomickou teorii duality je Minkowského Věta (1911), uvedená v Fenchel (1953, p. 48-50) a Rockafellar (1970, p. 95-99): každá uzavřená konvexní množina může být reprezentována jako průnik svých opěrných podprostorů. Tedy, za jistých podmínek, uzavřená konvexní množina L(u) = {x : F{x) >u,x> 0^} může být reprezentována jako průnik podprostorů generovaných nákladovými izoplochami dotýkajícími se množiny produkčních možností L(u), Hp Ix : pTx > C(u,p)\. Jestliže spotřebitel (výrobce) má rozpočet y > 0, který spotřebuje na N komodit, pak maximální užitek (nebo výstup) při cenách p ^> O^v může obdržet jako řešení rovnosti y = C (u, p) nebo řešením (kde upotřebíme lineární homogenitu C v p) pro u jako funkci normalizovaných cen, p/y-. Nazvěme výslednou funkci G, tak že u = G(p/y). Alternativně, G může být definována přímo z produkční funkce F následujícím způsobem pro p O^v, y > 0: 1 = C (u, p/y) (2.9) G* (p, y) = max (2.10) nebo Houthakker (1951-52, p. 157) nazval funkci G nepřímou užitkovou funkcía, stejně jako nákladovou funkci C, také může charakterizovat preference nebo technologické zvláštnosti za jistých podmínek (Část 4 dále). Důvod pro uvedení tohoto u této části oddílu je, že historicky to bylo zavedeno do ekonomické literatury před nákladovou funkcí od Antonelliho (1971, p. 349) v 1886 a potom Kónusem (Konyus) (1924). Tedy, první článek, který připustil, že preference mohou být ekvivalentně popsány přímou nebo nepřímou funkcí užitku ukázal Konyus a Byushgens (1926, p. 157), kteří si všimli, že rovnice u = F (x) a u = G{p/y) jsou ekvivalentní pro stejné body, ale v odlišných souřadnicích: první rovnice je v bodových souřadnicích, zatímco druhá v rovinných a tečných souřadnicích. Konyus a Byushgens (1926, p. 159) také zavedli minimalizační problém, který dovoluje odvodit přímou užitkovou funkci z nepřímé užitkové funkce a, konečně, znázornili do grafu různé preference v cenovém prostoru pro případ dvou druhů zboží. Teorie duality v anglicky psané literatuře pravděpodobně začala dvěma články od Hotellinga (1932, 1935), který asi jako první ekonom užil slovo dualita: Stejně tak jako máme užitkovou funkci u spotřebních veličin, jejichž derivací jsou ceny, tak máme duálně funkci cen, jejíž derivací jsou spotřební veličiny. [Hotelling (1932,p. 594)]. Hotteling (1932, p. 594) také připustil, že nákladová funkce může být zobrazována křivkami, které jsou konkávne rostoucí, tj. poznal, že nákladová funkce C(u,p) by vyhovovala doplněné podmínce v p. Hotelling (1932, p. 590; 1935, p. 68) také zavedl ziskovou funkci II, která poskytuje ještě další způsob jak může být popsána technologie klesajících výnosů z rozsahu. S použitím našeho zápisu je funkce II definována jako U(p)= max {F(x)-pTx} (2.11) Hotelling určil, že poptávkové funkce, maximalizující zisk [xi(p),..., xjy(p)] = x(p), mohou být obdrženy diferencováním ziskové funkce, tj. x{p) = — VpIi{p). Tedy, jestliže je n třídy C2, tak lze snadno odvodit Ho-tellingovy podmínky symetrie (1935, p. 69): -P(P) = jf^-ÍP) = -p-fr). (2.12) opj opiůpj opi Roy (1942, p. 20) definoval nepřímou užitkovou funkci G* jako v (2.10) výše a potom odvodil analogii Lemma 3, výše uvedené, která je nazvána Royova identita (1942, pp. 18-19), -VpG*{p,y) VyG*(p,y) (2.13) kde x(p/y) = [xi(p/y),..., xn(p/y)]T je vektor poptávkových funkcí maximalizujících užitek získaných tak, že spotřebitel (výrobce) má ceny p ^> 0N a důchod y > 0 na spotřebu. Roy (1942, pp. 24-27) ukázal, že G* se snižuje v ceně p, v důchodu a homogenní stupně 0 v (p,y); tj. G*(Xp,Xy) = G*(p,y) pro A > 0. Tedy G*(p,y) = G*(p/y, 1) = G{p/y) = G (v), kde v = p/y je vektor normalizovaných cen. V článku z roku 1947 Roy odvodil následující verzi Royovy identity (1947, p. 219), kde nepřímá užitková funkce G je použita místo G*: . , dG(v) /A dG(v) ^H^/gV^2. -M,..., TV. (2.14) Francouzský matematik Ville (1951, p. 125) také odvodil užitečné vztahy (2.14) v roce 1946. Snad proto by měla (2.14) být nazývána Villeho identita. Ville (1951, p. 126) si všiml, že jestliže přímá užitková funkce F{x) je lineárně homogenní, potom nepřímá funkce G (v) = max x{F(x) vTx < 1, x > On} je homogenní stupně —1, tj. G(Xv) = A_1C(z;) pro A > 0, v ^> 0n a tedy —G(v) = = (dG(v)/dyj)- Substituce poslední identity do (2.14) dává jednodušší rovnici (viz. také Samuelson (1972)]: Xi(v) = -d]nG(v)/dvi, i = 1, 2,..., N. (2.15) V tomto oddíle by měl být také uveden Antonelli (1971, p. 349), který získal Royovu verzi identity v 1886 a Konyus a Byushgens (1926, p. 159) téměř odvodili toto v roce 1926 následujícím způsobem: vzali v úvahu problém minimalizovaného nepřímého užitku G (v) s normalizovanou cenou v při omezení vTx = 1. Jak si Houthakker (1951-52, pp. 157-158) později všiml, tento minimalizační problém s omezením generuje přímou užitkovou funkci, tj. pro x On máme: F{x) = mm{G(v) :vTx 0N}. (2.16) Konyus a Byushgens získali podmínky prvního řádu pro problém (2.16): VvG{v) = fix. Jestliže vyloučíme Lagrangeův multiplikátor fi z tohoto posledního systému rovnic užitím vTx = 1, získáme vztah x = V'vG(v)/'v1"V'vG{v), který je v (2.14) zapsán ve vektorovém tvaru. Konyus a Byushgens však tento poslední krok přesně neprovedli. Jiné pozoruhodné pojednání napsal Wold (1943-44). Definoval zde nepřímou užitkovou funkci G(v) (nazval ji „funkce cenové preference") a ukázal, že plochy indiference cenového prostoru jsou konvexní k počátku nebo lineární,tj. ukázal, že G(v) je kvazikonvexní funkce^ při normalizovaných cenách v. Woldova raná práce je shrnuta v Wold (1953, str. 145-148). Malmquist (1953, str. 212) také definuje nepřímou užitkovou funkci G (v) a ukazuje, že je to kvazikonvexní funkce ve v. Jestliže produkční funkce F vyjadřuje konstantní výnosy z rozsahu produkce (tj. F(Xx) = XF(x) pro všechna X > 0,x > On) a je spojitá, potom se odpovídající nákladová funkce rozkládá následujícím způsobem: Nechť u > 0,p ^> Otv; potom C{u,p) = minjj9T:r : F{x) > u} x = mm{upT(x/u) : F{x/u) > 1} x = u min{]9T2: : F (z) > 1} z = uC(l,p). (2.17) (Výše uvedený důkaz předpokládá, že existuje alespoň jedno x* > 0 takové, že F{x*) > O^v, takže množina {z : F (z) > 1} je neprázdná.) Samuelson (1953-54) předpokládá, že produkční funkce F je lineárně homogenní a podléhá zobecněnému zákonu klesajících výnosů, F{x' + x") > F{x') + F(xv) (který je ekvivalentní konkávnosti F, pokud je F lineárně homogenní). Definuje (str. 15) jednotkovou nákladovou funkci C(l,p) a zjišťuje, že C(l,p) má stejné vlastnosti v p jako F v x. Také poznamenává (str. 15), že rovina na ploše ^Funkce G je kvazikonvexní právě tehdy, když (-G) je kvazikonkávní. odpovídající jednotkovému výstupu (oblast nekonečné substitučnosti) bude odpovídat rohu na jednotkové nákladové ploše. Tuto poznámku učinil již Shephard (1953, str. 27-28). Shephardova monografie z roku 1953 se zdá být prvním moderním, přesným pojednáním o teorii duality. Shephard (1953, str. 13-14) uvádí, že nákladovou funkci C(u,p) můžeme interpretovat jako opěrnou funkci pro množinu {x : F(x) > u}, a užívá tohoto faktu k určení vlastností C(u,p) vzhledem k p. Shephard (1953, str. 13) také zmiňuje Minkowského větu (1911) o konvexních množinách a Bonnesenovu a Fenchelovu monografii o konvexních množinách. Musíme poznamenat, že Shephard neobjevil přímo dualitu mezi produkčními a nákladovými funkcemi, objevil dualitu mezi produkčními a distančními funkcemi, kterou budeme definovat v další části, a pak mezi distančními a nákladovými funkcemi. Shephard (1953, str. 4) definuje homotetickou produkční funkci. Je to taková funkce, kterou lze napsat ve tvaru F{x) = 4>[f{x)l kde / je homogenní funkce stupně jedna a 0 je spojitá, rostoucí funkce /. Seznámíme se s následujícími dodatečnými předpoklady o F (nebo /): Předpoklad 4 o F F je (nezáporně) lineárně homogenní; tj. jestliže x > On, A > 0, pak F(Xx) = XF(x). Předpoklad 5 o F F je slabě pozitivní; tj. pro každé x > 0N, F(x) > 0, ale F(x*) > 0 pro alespoň jedno x* > 0N. Nyní můžeme usuzovat, že (f)(f) je spojitá, rostoucí funkce jedné proměnné pro / > 0 a 0(0) = 0. Za těchto podmínek existuje inverzní funkce která má stejné vlastnosti jako 0. Pro všechna f > 0 platí 0_1[0(/)] = /• Jestliže f{x) splňuje výše uvedené předpoklady 1, 4 a 5, potom se nákladová funkce odpovídající F (x) = 0,p 0^; pak C (u, p) mmx{p x : (j)[f{x)\ > u} minx{pT : f (x) > (f)'1 [u]} (f) 1[u] mmx{pT (x / (f) 1[u]) : f {x/(j) 1[u]) > 1} (2.18) kde (f) 1[u] > 0 pro u > 0, 0_1[w]c(p), kde c{p) = mmz{p z : /(z) > 1} je funkce jednotkových nákladů, která odpovídá lineárně homogenní funkci /, nezáporně (kladně) lineárně homogenní, neklesající, konkávni a spojité funkci p (viz výše vlastnosti 1-5). Nebudeme, jako obvykle, schopni odvodit původní produkční funkci On} a spojitá na svém definičním oboru. (ii) F je rostoucí, t.j. x" x' > On implikuje F{x") > F{x'). (iii) F je kvazikonkávní funkce. Poznamenejme, že uvedené vlastnosti (i) a (ii) jsou silnější než předpoklady 1 a 2 o F učiněné v předchozí části. To znamená, že můžeme odvodit o něco silnější podmínky pro nákladovou funkci C(u,p), která odpovídá F{x) splňující podmínky I. Nechť U je obor hodnot funkce F. Z (i) a (ii) je vidět, že U = {u : u < u < u}, kde u = F(0n) < u. Poznamenejme, že nejmenší horní závora u může být konečné číslo nebo +oo. Při aplikaci teorie spotřebitele nemáme důvod předpokládat, že u je konečné číslo (tj. u může být rovno — oo), ale to jenom mírně ubírá na obecnosti. Definujme množinu kladných cen P = {p : p On}- Věta 1 Jestliže F splňuje podmínky I, pak C(u,p) = mmx{pTx : F{x) > u] je definovaná pro všechna u G U a p (E P splňující podmínky II uvedené níže. Důkaz viz Diewert(1982). Podmínky II pro C (i) C(u,p) je reálná funkce N + 1 proměnných definovaná na U x P bodově spojitá v (u,p) v definičním oboru. (ii) C(u,p) = 0 pro každé p G P. (iii) C (u, p) je rostoucí v u pro každé p G P; t.j. pokud j9 G P,u',u" G t/ při u' < u", potom C (u', p) < C (u", p). (iv) C (u, p) = +00 pro každé p G P; tj. jestliže p £ P,un £ U, limn un = ň, potom limn C(un,p) = +00. (v) C (u, p) je (pozitivně) lineárně homogenní v p pro všechna u G t/; tj. u G t/, A > 0, j9 G P implikuje C(ii, A^>) = \C(u,p). (vi) C (u, p) je konkávni v p pro všechna u G U. (vii) C (u, p) je rostoucí v p pro u > u & u £ U. (viii) C je taková, že funkce F* (x) = maxu{u : j9Ti > C (u, p) pro každé (E P, u (E £7} je spojitá pro £ > Otv. Důsledek 1.1 Jestliže C (u, p) splňuje podmínky II uvedené výše, potom definiční obor C může být rozšířen z U x P na U x íž. Rozšířená funkce C je spojitá v p pro p G = {p : j9 > Otv} pro všechna u G t/. * Důsledek 1.2 Pro každé £ > O^v, F* (a:) = F (x), kde F* je funkce definovaná nákladovou funkcí C v bodě (viii) podmínek II. Důsledek 1.2 ukazuje, že nákladová funkce dokáže kompletně popsat produkční funkci, která splňuje podmínky I; tj. užijeme-li McFaddenovu (1966) terminologii, nákladová funkce je postačující statistika pro produkční funkci. Důkaz věty 1 je přímý s výjimkou bodů (i) a (viii), které obsahují vlastnost spojitosti produkční nebo nákladové funkce. Spojitost se jeví jako obtížný pojem teorie duality. Proto se snažíme této vlastnosti v předchozí části vyhnout tak, jak je to jen možné. O problému spojitosti již dříve diskutovali Shephard (1970), Friedman (1972), Diewert (1974a), Blackorby, Primont a Russell (1978) a Blackorby a Diewert (1979). Abychom dokázali vztah mezi spojitostí L{u) a tím, že C(u,p) je spojitá na U x P, požadujeme, aby byla funkce F rostoucí (vlastnost I(ii)).§ Pokud je vlastnost I(ii) nahrazena předpokladem slabé monotonie (tak, jako náš starý předpoklad 2 o F z předchozí části), pak náhorní rovina na grafu F („tlusté" indiferenční plochy v jazyce teorie užitku) způsobí nesouvislosti v C vzhledem k u [srov. Friedman (1972, str. 169)]. Poznamenejme, že II (ii) a II(iii) implikují, že C(u,p) > 0 pro u>ňaj9^>07važe II(iv) není nezávislá vlastnost C, protože plyne z II(ii), (iii), (v) a (vi). poznamenejme také, že F není ryze kvazikonkávní, tj. že množina produkčních možností L(u) = {x : F{x) > u] je ryze konvexní. Konečně, je zřejmé, že máme-li danou pouze nákladovou funkci podniku C, můžeme použít funkci F* defi- $C(u,p) nemusí být striktně rostoucí v u, pokud p leží na hranici fž. Např. uvažme funkci f{x\,X2) = xi, která má duální nákladovou funkci C(u,pi,p2) = Piu, která není rostoucí v u, pokud p\ = 0. ^Friedman (1972) ukazuje, že I(ii) a spojitost shora (předpoklad I o F v předchozí části) postačují k implikaci joint spojitosti C na U x P. Nicméně, pokud nebudeme předpokládat vlastnost aditivity F, ze spojitosti zdola nemůžeme vyvodit, že C(u,p) je rostoucí v u pro p G P (vlastnost, která plyne z I(i) až I(ii)). novanou ve smyslu nákladové funkce v II(viii), abychom vytvořili produkční funkci podniku. Tato skutečnost je formálně zapsána v následující větě. Věta 2 Jestliže C splňuje podmínky II uvedené výše, potom F* definovaná II(viii) splňuje podmínky I. Navíc, pokud C*(u,p) = mmx{pTx : F*(x) > u] je nákladová funkce definovaná F*, potom C* = C. Důsledek 2.1 Množina supergradientů C vzhledem k p v bodě (u*,p*) (E U x P,dC(u*,p*) je množinou řešení problému nákladové minimalizace min^ {p*Tx : F*(x) > u*}, kde F* je agregační funkce odpovídající dané nákladové funkci, která splňuje podmínky II. [Supergradienty splňují x* G dC(u*,p*) právě tehdy, když C(u*,p) < C(u*,p*) + x*T(p — p*) pro všechna p ^> Oat-] Důsledek 2.2 [Shephardovo (1953, str. 11) lemma] Jestliže C splňuje podmínky II a kromě toho je diferencovatelná vzhledem k cenám vstupů v bodě (u*,p*) G U x P, potom řešení x* problému nákladové minimalizace mmx{p*Tx : F{x) > u*} je jediné a je rovno vektoru parciálních derivací funkce C(u*,p*) podle prvků vektoru cen p; tj. x* = VpC(u*,p*). (3.1) Předchozí dvě věty poskytly verzi Shephardovy (1953, 1970) věty o dualitě mezi nákladovými a agergačními funkcemi. Podmínky pro C, které odpovídají našim podmínkám I pro F, se zdají být zřejmé kromě bodu II(viii), který nezbytně zaručuje spojitost agregační funkce F* odpovídající dané nákladové funkci C. Podmínku II(viii) můžeme vynechat, jestliže zesílíme podmínku II(iii): C(u,p) je rostoucí v u pro každé p náležející do S = {p : p > On, 1~nP = !}• Lze ukázat, že výsledné F* je spojité [srov. Blackorby, Pri- mont a Russell (1978)]. Mnoho užitečných funkcionálních tvarů však nesplňuje zesílení podmínky II(iii).^ Alternativní metoda, jak se zbavit podmínky II(viii), krerá zachovává spojitost přímé agregační funkce F* odpovídající dané nákladové funkci C, je objevit lokální věty o dualitě, tj. předpokládejme, že C splňuje podmínky II(i) II(vii) pro (u,p) (E U x P, kde P je nyní omezeno na kompaktní, konvexní podmnožinu kladného ortantu. Lokálně spojitá funkce F* může být definovaná pomocí C a naopak má C jako svou nákladovou funkci na U x P. Tento přístup provozují Blackorby a Diewert (1979). Historické poznámky Věty o dualitě mezi F a C dokázali za různých podmínek Shephard (1953, 1970), McFadden (1962), Chipman (1970), Hanoch (1978), Diewert (1971a, 1974a), Afriat (1973a) a Blackorby, Primont a Russel (1978). Věty o dualitě mezi C a úrovňovými množinami F, L(u) = {x : F (x) > u} dokázali Uzawa (1964), McFadden (1966, 1978a), Shephard (1970), Jacobsen (1970, 1972), Diewert (1971a), Friedman (1972) a Sakai (1973). 4 Dualita mezi přímými a nepřímými agregačními funkcemi Předpokládejme, že přímé agregační (užitkové nebo produkční) funkce F splňují Podmínky I vypsané v předchozí části. Základní optimalizační problém, o kterém budeme v této části uvažovat, je problém maximalizace užitku (nebo výstupu) F{x), který podléhá rozpočtovému omezení pTx < y, kde p O^v je vektor cen komodit (nebo vstupů) a y > 0 je množství peněz, které může spotřebitel (výrobce) utratit. Protože y > 0, můžeme rozpočtové omezení pTx < y nahradit vTx < 1, kde v = p/y je vektor normalizovaných cen. ^Např. uvažme funkci C(u,p) = bTpu, kde b > On, ale b není ^> Opj. Tato funkce odpovídá Leontiefově agregační funkci nebo agregační funkci s pevnými koeficienty. Nepřímá agregační funkce G{v) je definovaná pro v ^ On jako G(v) = max{F(» : v 1 x < 1, x > 0N}- (4.1) x Věta 3 Jestliže přímá agregační funkce F splňuje podmínky I, potom nepřímá agregační funkce G splňuje následující podmínky: Podmínky III pro G (i) G (v) je reálná funkce N proměnných definovaná na množině kladných normalizovaných cen V = {v : v On} a na tomto definičním oboru je spojitá. (h) G je klesající; tj. jestliže v" ^> v' ^> O^v, pak G (v") < G(v'). (iii) C je kvazikonvexní na V. (iv) G" je taková, že funkce F(:r) = minu{G'(t;) : vTx < > On} definovaná pro x ^> On je spojitá na tomto definičním oboru a má spojité rozšíření** na nezáporný výsek Q = {x : x > 0^}- 'G zde je rozšíření G na nezáporný výsek, které je definováno Fenchelovou (1953) uzáverovou operací; tj. definujme nadgraf původního G jako T = {(u, v) : v 3> O^v, u > G (v)}, definujme uzávěr T jako f a definujme rozšířené G jako G (v) = míu{u : (u,v) G f} pro v > On- Výsledné rozšířené G je zdola spojité (množiny {v : G (v) < u, v > On} jsou uzavřené pro všechna u). Pokud je oborem hodnot funkce F množina U = {u : u < u < u}, kde u < u, potom obor hodnot nerozšířeného G je {u : u < u < u} a obor hodnot rozšířeného G je {u : u < u < u}, takže pokud u = +oo, potom G (v) = +oo pro v = On a definovaná pro ostatní body v na hranici nezáporného ortantu. **F je rozšířená na nezáporný výsek Fenchelovou uzáverovou operací: definujme podgraf původního F jako A = {(u, x) : x 3> On,u < F (x)}, definujme uzávěr A jako Ä a definujme rozšířenou F jako F (x) = s\xpu{u : (u,x) G Ä} pro x > On Jestliže je nerozšířená funkce F spojitá pro x ^ On, lze dokázat, že rozšířená funkce F je spojitá shora pro x > On- Podmínka III(iv) implikuje, že rozšířená funkce F je spojitá zdola pro x > On- Důsledek 3.1 Přímá agregační funkce F může být opět získána z nepřímé agregační funkce G; tj. pro x On,F(x) = mmv{G(v) : vTx On}- Důsledek 3.2 Nechť F splňuje podmínky I a nechť x* On- Definujme uzavřenou konvexní množinu normalizovaných opěrných nadrovin v bodě x* jako uzavřenou konvexní množinu H(x*) = {x : F{x) > F(x*),x > On}-^ Pak (i) H{x*) je množina řešení nepřímého užitkového (nebo produkčního) minimalizačního problému mmv{G{v) : vTx* < l,v > On}, kde G je nepřímá funkce, která odpovídá F podle definice (7.4) a (ii) pokud v* G H (x*), pak x* je řešením přímého užitkového (nebo produkčního) maximalizačního problému maxx{F(x) : v*1x On}- Důsledek 3.3 [Hotellingova (1935, str. 71); Woldova (1944, str. 69-71; 1953, str. 45) identita] Jestliže F splňuje podmínky I a navíc je diferencovatelná pro x* On s nenulovým vektorem gradientu VF(x*) > On, potom x* je řešením přímého užitkového (nebo produkčního) maximalizačního problému m&xx{F(x) : v*Tx 0N}, kde ,*= Vf(^> (42) x*TVF(x*)' v ' ; Systém rovnic (4.2) známe pod pojmem systém inverzních poptávkových funkcí] z-tá rovnice Pi/y = v* = [dF(x*)/dxi] n ^2x*dF(x*)/dxj .j=i ^Jestliže v* G H(x*), pak v*Tx* = l,x* > On a F(x) > F(x*) implikuje v*1x > v*Tx* = 1. Uzavřenost a konvexnosť H(x*) ukázal Rockafellar (1970, str. 215). vyjadřuje cenu i-té komodity Pí podělenou výdaji y jako funkci vektoru množství x*} které si spotřebitel nebo výrobce vybere, pokud bude maximalizovat F(x) při rozpočtovém omezení v*1x = 1. Nyní budeme předpokládat, že máme dánu dobře se chovající nepřímou agregační funkci G a ukážeme, že pomocí této funkce lze definovat dobře se chovající funkci F takovou, že G je její nepřímá funkce. Věta 4 Předpokládejme, že G splňuje podmínky III. Potom F(x), která je definovaná pro x ^>> On F(x) = mm{G(v) :vTx 0N} (4.3) v má rozšíření na x > On, které splňuje podmínky I. Navíc, jestliže definujeme G*(x) = maxx{F(x) : vTx < 1, x > On} pro v On, potom G*(v) = G{v) pro všechna v On- Důsledek 4-1 Nechť G splňuje podmínky III a nechť v* On- Definujme uzavřenou konvexní množinu normalizovaných opěrných nadrovin v bodě v* jako uzavřenou konvexní množinu H*(v*) = {v : G (v) < G (v*), v > On}- Pak (i) H*(v*) je množina řešení přímého užitkového (nebo produkčního) maximalizačního problému mdiXx{F(x) : v*Tx 0N} kde F je přímá funkce, která odpovídá dané nepřímé funkci G podle definice(4.3) a (ii) pokud x* G H (v*) , pak v* je řešením přímého užitkového (nebo produkčního) minimalizačního problému mmv{G(v) : vTx* On}- Důsledek 4.2 [Villeova (1946, str. 35); Royova (1947, str. 222) identita] Jestliže G splňuje podmínky III a navíc je diferencovatelná pro v* On s nenulovým vektorem gradientu VG(v*) < On , potom x* je jediným řešením přímého užitkového (nebo produkčního) maximalizačního problému maxx{F(:r) : v x On}, kde x*= V^*) (44) Vidíme, že (4.4) poskytuje protějšek Shephardovu lemmatu v předchozí části. Jak uvidíme později, Shephardovo lemma a Royova identita jsou základem pro mnoho teoretických i empirických aplikací. Závěrem poznamenejme, že podmínka III(iv) se zdá být také trochu divná. Umožňuje nám odvodit přímou agregační funkci z dané nepřímé funkce splňující podmínky III.** Historické poznámky Věty o dualitě mezi přímými a nepřímými agregačními funkcemi dokázali Samuelson (1965, 1969, 1972); Newman (1965, str. 138-165); Lau (1969); Shephard (1970, str. 105-113); Hanoch (1978); Weddepohl (1970, kap. 5); Katzner (1970 str. 59-62); Afriat (1972a, 1973c) a Diewert (1974a). Práce, které uvádějí do souvislostí předpoklady na systém poptávkových funkcí spotřebitele a přímou agregační funkci F (problém integrovatelnosti) napsali Samuelson (1950b); Hurwicz a Uzawa (1971); Hurwicz (1971) a Afriat (1973a, b). Geometrickou interpretaci Royovy identity najdeme v Darrough a Southey (1977), některá rozšíření viz Weymark (1980). **Bez podmínky III(iv) můžeme stále vyvozovat spojitost F{x) přes x ľ§> On, ale výsledná F nemusí nutně mít spojité rozšíření na x > On- (Pokud F není nutně konkávni, ale je pouze kvazikonkávní pro x ^> On, její rozšíření nemusí být nutně spojité.) Diskuse a příklady k problému spojitosti viz Diewert (1974a, str. 121-123). 5 Dualita mezi přímými agregačními a distančními nebo deflačními funkcemi V této části budeme uvažovat o čtvrté alternativní metodě charakterizace preferencí spotřebitelů nebo technologií. Tato metoda je zvláště užitečná pro definici jisté třídy indexních čísel podle Malmquista (1953, str. Jako obvykle, nechť F(x) je agregační funkce splňující podmínky I uvedené výše v části 3. Pro u náležející do vnitřku oboru hodnot F (tj. u G int £/, kde U = {u : u < u < u}) ai> O^v, definujme distanční nebo deflační funkci* t Pojem deflační funkce pro D je výstižnější z ekonomického pohledu. D jako Takže D (u*, x*) je největší číslo, které bude snižovat (zvyšovat pokud F (x*) < u*) bod x* ^> O^v na hranici množiny užitkových (nebo produkčních) možností L (u*) = {x : F (x) > u*}. Pokud D(u*,x*) > 1, pak x* Otv produkuje vyšší stupeň užitku, nebo produkce než stupeň označený u*. Ukázalo se, že matematické vlastnosti D (u, x) podle x jsou ty samé jako vlastnosti C (u, p) podle p, ale vlastnosti D podle u jsou převrácené vlastnostem C podle u, jak ukazuje následující věta. Pokud F splňuje podmínku I, potom D definované v (5.1) splňuje Podmínku IV níže. Podmínka IV pro D *Shephard (1953, str. 6; 1970, str. 65) zavedl distanční funkci do ekonomické literatury. Užil mírně odlišné, ale ekvivalentní definice D(u, x) = 1/ minA{A : F(Xx) > u, X > 0}. ^McFadden (1978a) a Blackorby, Primont a Russell (1978) nazvali D transformační funkcí. V matematické literatuře [např. Rockafellar (1970, str. 28)] je D nazýváno jako měrná (kontrolní) funkce. 232). (5.1) Věta 5 (i) D (u, x) je funkce nabývající reálných hodnot s N + 1 proměnnými definovanými na intU x intQ = {u : u < u < u} x {x : x ^> Otv} a je spojitá na této oblasti. (ii) D (u, x) = +00 pro každé x G zntíž; tj. iín G intU, limiŕ = u, x G zntíž implikuje limnD(un, x) = +00 (iii) D (u, x) je klesající v u pro každé x G zntíž; tj. jestliže x G zntíž, u', u" G m££/ s u' < u", potom L>«x) > D(m",x). (iv) x) = 0 pro každé x G zntíž; tj. un G m££/, limiŕ = u, x G zntíž implikuje limnD(un,x.) = 0 (v) D (u, x) je (pozitivně) lineárně homogenní v x pro všechna u G m££/; tj. u G intU,X > 0, x G intQ, implikuje D(u, Ax) = \D(u,x). (vi) D (u, x.) je konkávni v x pro všechna u G m££/ (vii) D (u, x) je rostoucí v x pro všechna u G m££/; tj. u G m££/, x', x" G zntíž implikuje D (u, x! + x") > Z)(it, x'). (viii) -D je taková, že funkce F(x) = {u : u G mŕ£7, D(u, x) = 1} (5.2) definovaná pro x ^> O^v má spojité rozšíření na x > Ojy. Důsledek 5.1 F(x) = {u : u G intU, D(u,x.) = 1} = F(x) pro každé x ^> 0N a tudíž F = F; tj. původní agregační funkce F je získána z distanční funkce D podle definice (5.2) pokud F splňuje Podmínku I. Stejně tak jako pro nákladovou funkci C(u,p) popisovanou v Sekci 3, D splňující Podmínky IV na intU x intQ může být jednoznačně rozšířena na intU x Q použitím Fenchelovy uzáverové operace. Může být ověřeno, že rozšířená D splňuje Podmínky IV (v), (vi) a (vii) na intU x íž, ale společná Podmínka spojitosti IV(i) a podmínky monotónnosti v u nemusí být splněny. Mělo by být také poznamenáno, že jestliže Podmínka I (iii) (kvazi-konkávnost F) by byla vynechána, platnost Věty 5 by byla zachována s tím rozdílem,že by musela být vynechána Podmínka IV(vi) (konkávnost D v x). Následující věta ukazuje, že deflační funkce D může být také použita pro definici spojité agregační funkce F. Věta 6 Jestliže D splňuje Podmínky IV, má F definovaná v (5.2) pro x (E intQ rozšíření na Q, které splňuje Podmínky I. Navíc, jestliže definujeme deflační funkci D* korespondující s F jako D* (u, x) = {k : F (y) = u,k> 0}, (5.3) k potom D*(u, x.) = D(u,x) pro (u, x) G intU x intQ,. Důsledek 6.1 Pokud D splňuje Podmínky IV a navíc je spojitě diferencovatelná v (u*, x*) G intU x intQ s D (u*, x*) = 1 a dD(y%^VL*^ < 0, potom x* je řešení přímé maximalizační úlohy maxx{F(x) : i^x < l,x > Otv}, kde F je definováno v (5.2) a v* > On je definováno jako v* = VxD(u*,x*). (5.4) Navíc, F je spojitě diferencovatelná v x* s Vxŕ(x*) = (5.5) Tudíž spotřebitelský systém inverzních poptávkových funkcí může být získán diferencováním deflační funkce D splňující Podmínky IV ( plus diferencovatelnost) podle složek vektoru x. Historické poznámky Věty o dualitě mezi distančními nebo deflačními funkcemi D a agregačními funkcemi F byly dokázány Shephardem (1953,1970), Hanochem (1978), McFaddenem (1978a) a Blackorbyem, Primontem a Russellem (1978). Je zde řada zajímavých souvislostí (a vět o dualitě) mezi přímou a nepřímou agregační, nákladovou a deflační funkcí. Například Malmquist (1953, str. 214) a Shephard (1953, str. 18) ukazují, že se deflační funkce pro nepřímou agregační funkci, max^j/c : G(f) < u,k > 0}, rovná nákladové funkci , C(u,v). Úplný popis těchto vzájemných vazeb a dalších vět o dualitě s různými podmínkami regularity mohou být nalezeny v dílech Hanocha (1980) a Blackorbyho, Primonta a Russella (1978). Některé aplikace jsou v Deatonovi (1979). Lokální věty o dualitě mezi deflační a agregační funkcí jsou v dílech Blackorbyho a Diewerta (1979). 6 Další věty o dualitě Konkávni funkce mohou být také popsány pomocí konjungováných funkcí. Navíc se ukázalo, že uzavřené konvexní množiny mohou také být za určitých podmínek (viz Rockafellar (1970, str. 102-105) a Karlin (1959. str. 226-227)) popsány pomocí konjugované funkce. Tudíž přímá agregační funkce F, mající množiny na konvexní úrovni L(u) = {x : F(x) > u}, může být také popsána svojí konjugovanou funkcí stejně tak jako svojí nákladovou, deflační či nepřímou agregační funkcí. Tento přístup pomocí konjugovaných funkcí byl započat Hotellingem (1932, str. 36-39; 1960; 1972) a rozšířen Samuelsonem (1947, str. 36-39; 1960; 1972), atd. Nebudeme se zabývat tímto přístupem detailně, i když v další části si zopakujeme těsnou spojitost vět o dualitě mezi užitkovou a transformovanou funkcí. Další třída vět o dualitě ( které také začal Hotelling (1935, str. 75) a Samuelson(1960)) je získána rozdělením komoditního vektoru x > O^v na dva vektory x1 a x2 a potom definováním spotřebitelskou proměnnou agregátní funkcí ( alternativně je nazvána podmínkovou nepřímou funkcí užitku) g jako g(^,p2,y2) = max^jFíx1^2) : p2Tx2 < y2,x.2 > 0N2, (6.1) kde p2 Otv je pozitivní spotřebitelský cenový vektor zboží x2, a y2 > 0 je spotřebitelský rozpočet, který byl určený na utracení za zboží x2. Množina řešení (6.1), x2(xx, p2, y2), je spotřebitelská podmíněná (na x1) poptávková korespondence. Pokud g splňuje náležitosti podmínek regularity, podmíněné poptávkové funkce mohou být generovány aplikováním Royovy identity (4.4) na funkci G(v2) = g(x1,v2,1), kde v2 = p2/y2-Pro formální věty o dualitě mezi přímou a variabilně nepřímou agregační funkcí viz. Epstein, Diewert a Blackorby, Primont a Russell. Pro další aplikace této duality viz. Epstein ( pro aplikace spotřebitelské volby v nejistotě) a Poliak a Diewert (estimace preferencí pro veřejné zboží použitím tržních poptávkových funkcí). Konečně, variabilně nepřímá funkce užitku může být použita pro důkaz Hicksovy verze věty o složeném zboží - skupina zboží se chová stejně jako jedna komodita, pokud se ceny ve skupině zboží mění ve stejném poměru - pro aplikace při méně striktních podmínkách než u Hickse viz. Poliak, Diewert a Blackorby, Primont a Russell. Nyní stručně pojednáme o rozsáhlé literatuře, tj. o důsledcích různých speciálních struktur jedné z mnoha ekvivalentních reprezentací technologie (jako třeba přímá či nepřímá agregační funkce nebo nákladová funkce). Například Shephard ukázal, že homoteticita přímé funkce implikuje, že nákladová funkce je fakto-rovaná do 0_1(ií)c(p)( viz rovnice (2.18)). Jiným příkladem speciální struktury je separabilita. Reference, které se zabývají implikacemi separability a/nebo homoteticity zahrnují Shephard, Samuelson, Gorman, Lau, McFadden, Hanoch, Poliak, Diewert, Jorgenson a Lau, Blackorby, Primont a Russell a Blackorby a Russell. Pro implikace separability a/nebo homoteticity na Slutského koeficientech nebo na parciálních elasticitách substituce viz Sono, Pearce, Goldman a Uzawa, Geary a Morishima, Berndt, Blackorby a Russell, Diewert a Blackorby a Russell. Pro implikace Hicksovy Věty o agregovaných elasticitách substituce viz. Diewert. Pro empirické testy předpokladu separability viz. Berndt a Christensen, Burgess a Jorgenson a Lau; pro teoretické diskuse o těchto testových procedurách viz. Blackorby, Primont a Russell a Jorgenson a Lau, Lau, Woodland a Denny a Fuss. Pro implikace předpokladu konkávnosti přímé agregační funkce nebo předpokladu konvexity nepřímé agregační funkce viz. Diewert. Výše zmíněné věty o dualitě jsou v podstatě "globální". "Lokální"přístup uvedl ve své práci Blackorby a Kiewer, kde je předpokládáno, že daná nákladová funkce C(u, p) splňuje Podmínky II na U x P, kde U je konečný interval a P je uzavřená, konvexní a ohraničená podmnožina pozitivních cen. Potom zkonstruovali odpovídající přímou agregační, nepřímou agregační a deflační funkci, které jsou duální k dané "lokálně"platné nákladové funkci C. Důkazy těchto "lokálních"vět o dualitě se ukázaly být mnohem jednodušší než odpovídající "globální"věty o dualitě presentované v tomto článku ( a jinde), a to z toho důvodu, protože problém spojitosti se neobjevuje díky předpokladu, že U x P je kompaktní. Tyto "lokální"věty o dualitě jsou prospěšné v empirických aplikacích, protože ekonometrické estimace nákladových funkcí často nesplňují příslušné podmínky regulariy pro všechny ceny, ale podmínky mohou být splněny na menší podmnožině cen, která je empiricky relevantní množinou cen. Epstein rozšířil teorii duality tak, aby pokrývala více obecných maximalizačních úloh. V Epsteinovi je uvažována následující úloha maximalizace užitku, která se objevila v kontextu teorii volby v podmínkách nejistoty: raaXx,xi,x2{.F(x,x1,x2) : x > Oa^x1 > Oa^x2 > Ojv2, (6.2) pTx + p1Txx < y\pTx + p2Tx2 < y2}, (6.3) kde x představuje současnou spotřebu, x* představuje spotřebu ve stavu i{i = 1,2), p je současný cenový vektor, p* je diskontní budoucí cenový vektor, který nastane jestliže nastane stav i a y1 > 0 je spotřebitelský diskontní příjem jestliže nastane stav i. V Epsteinovi je uvažována následující maximalizační úloha: max{F(x) : x > 0N, c(x, a) < 0}, (6.4) X kde c je daná omezovači funkce, která závisí na vektoru parametrů a. Nebudeme se snažit provést detailní analýzu Epsteinových výsledků, ale raději budeme prezentovat více abstraktní verzi jeho základní techniky, která snad zachytí základ teorie duality. Základní maximalizační úloha, kterou jsme studovali je maxx{F(x) : x (E B (v)}, kde F je funkce N reálných proměnných x definovaných na nějaké množině S a B(v) je omezující množina , která závisí na vektoru o M parametrech v, které se mění na množině V. Naše předpoklady o množinách S a V a o omezující množině odpovídající B jsou: (i) S a V jsou neprázdné kompaktní množiny v WN a MM. (ii) Pro každé v G V, je B(v) neprázdná a B(v) C S. (iii) Pro každé x G S, je inverzní korespondence 5_1(x) neprázdná a B-\x) c V. (6.5) (iv) Korespondence B je spojitá na V. (v) Korespondence £>_1 je spojitá na S. Naše předpoklady na základní funkci F jsou: (i) F je reálná funkce N proměnných definovaná na S a je na S spojitá. (6.6) (ii) Pro každé x* G S, existuje v* G V takové, že F(x*) = maxx{F(x) : x G B (v*)}. Funkce G duální k F je definovaná pro v G V takto: G (v) = max{F(x) : x G B (v)}. (6.7) Věta 7 Jestliže S,V & B splňují (6.4) a F splňuje (6.5), potom G definovaná v (6.6) splňuje následující podmínky: (i) G je reálná funkce M proměnných definovaná na V a je na V spojitá. (6.8) (ii) Pro každé v* G V, existuje x* G S takové, že G (v*) = minv{G(v) : v G _B-1(x*)}. Navíc, defnujeme-li funkci F* duální k G pro x G S takto: F*(x) = minv{G(v) : v G £-1(x), (6.9) potom F* (x) = F (x) pro každé x G S. Důsledek 7.1 Nechť x* G S a definujeme H(x*) jako množinu v* G V takových, že F(x*) = moxx{F(x) : x G B (v*)}. Jestliže v* G H (x*), potom x* je řešením maxx{F(x) : x G B(v*)} a t;* je řešením minv{G(v) : v G B-V)}. Důkaz viz. Diewert (1982). Všimněte si, že předpoklad na F (6.5) (ii) je náhražka našeho starého předpokladu kvazi-konkávnosti v Sekci 4 a množina H(x*) definovaná v důsledku 7.1. nahrazuje množinu normalizovaných pomocných nadrovin, které se objevují v důsledku 3.2. Díky symetrické podstatě našich předpokladů, je zřejmé, že důkaz následující věty je stejný jako důkaz věty 7 až na to, že nerovnosti jsou převrácené. Věta 8 Jestliže S,V a B splňují (6.4) a G splňuje (6.7), potom F* definovaná v (6.8) splňuje (6.5). Navíc, definujeme-li funkci G* jako duální k F* pro v G V takto: G*(v) = maxx{F*(x) : x G B (v)}, (6.10) potom G* (v) = G{v) pro každé v G V. Důsledek 8.1 Nechť v* G V a definujeme H*(v*) jako množinu x* G S takových, že G{v*) = minv{G(v) : v G 5-1(x*)}. Jestliže x* G H*(v*), potom v* je řešení minv{G(v) : v G S-1 (x*)} a x* je řešením maxx{F*(x) : x G Všimněme si, že Podmínka (6.7) (ii) pro G nahrazuje naši starou podmínku kvazi-konvexity pro G v Sekci 4, a množina H*(v*) definovaná v důsledku 8.1 nahrazuje množinu normalizovaných pomocných nadrovin, které se objevují v důsledku 4.1. Nemůžeme stanovit doplněk k důsledku 3.3 (identita Hotelling-Woldova) a důsledku 4.2 (Ville-Royova identita), protože bylo nutné v těchto důsledcích použít diferencovatelnost F a G a příslušnou omezující funkci. Tudíž, abychom odvodili doplňky k důsledkům 3.3 a 4.2 v současném kontextu, museli bychom přidat předpoklady pro F (nebo G) a pro omezující korespondenci B. Přesto výše zmíněné věty ilustrují podstatu struktury teorie duality. Mohou být také interpretovány jako příklady lokálních vět o dualitě. 7 Minimalizace nákladů a derivovaná poptávka po vstupech Předpokládejme, že technologie firmy může být popsána její produkční funkcí F, kde u = F(x) je maximální výstup, která může být vyprodukován použitím nezáporného vektoru vstupů x > On- Předpokládejme, že F splňuje Předpoklad 1 Sekce 2 (tj. produkční funkce je spojitá shora). Jestliže si firma vezme ceny vstupů p Otv jako dané (tj. firma se nechová jako vstupní monopol), potom v Sekci 2 uvidíme, že funkce celkových nákladů firmy C(u, p) = mmx{pTx : F(x) > u] byla korektně definovaná pro všechna p ^> On a u G R(F), kde R(F) je obor hodnot F. Navíc C(u,p) byla lineárně homogenní a konkávni v cenách p pro každé u a byla neklesající v u pro každé pevné p. Nyní předpokládejme že C má druhou spojitou derivaci podle jeho argumentů v bodě (u*,p*), kde u* G R(F) a p* = (pij..., p^) ^> On- Z Lemmatu 3 v Sekci 2 nákladové funkce minimalizující poptávku po vstupech xi(ií, p),xtv(ií, p) existují v (u*,p*) a jsou rovny parciálním derivacím nákladové funkce podle N vstupních cen: , * *x dC(u*,p*) . Xi(w,p) =-^-,z = l,...,7V. (7.1) Tudíž, předpoklad že C má spojité druhé derivace v (u*,p*) zajišťuje, aby nákladové funkce minimalizující poptávku po vstupech x^(ií, p) existovaly a měly první spojitou derivaci v (u*, p*) Definujeme [diti/dpj] = [<9x^(u*, p*)/dpj] jako matici typu N x N derivací N-vstupních funkcí x^(ií*, p*) podle N cen p*, i, j = 1, 2,N. Z (7.1) plyne, že .<9x d p [^i] = V^C(«*,p*), (7.2) kde VppC(u*, p*) = [<9 C (u*, p*) / dpidpj] je Hessova matice nákladové funkce podle vstupních cen vyčíslených v (u*, p*). Druhá spojitá derivovatelnost C podle p v (u*, p*) implikuje (viz. Youngova věta), že VppC(u*, p*) je symetrická matice taková, že použitím (7.2) dostaneme = = [& (7'3) tj. d^i(u*jp*)/dpj = d?tj(u*,p*)/dpi pro všechna i a j. Protože je C konkávni v p a má druhou spojitou derivaci podle p v okolí bodu (u*,p*), plyne z toho podle Fenchela nebo Rockafellara, že Vc(u*,p*) je negativně semidefinitní matice. Takže podle (7.2), zT[——]z < 0 pro všechny vektory^. (7-4) dpj Takže pro z = e^, z-tý jednotkový vektor,(7.4) implikuje ^^<0,i = l,2,...,JV, (7.5) dp, tj. z-tá nákladová funkce minimalizující poptávku po vstupech nemůže mít pozitivní sklon vzhledem k ž-té vstupní ceně pro i = 1, 2,N. Protože je C lineárně homogenní v p, máme C(u*, Ap*) = AC(ií*,p*) pro všechna A > 0. Budeme-li derivovat tuto poslední rovnici podle Pí pro A blízké 1, získáme rovnici Ci(u*, Xp*)X = AC^(ií*,p*), kde Ci(u*,p*) = C(u*jP*)/dpi. Tudíž C^(ií*,Ap*) = Ci(u* ,p*) a derivováním této poslední rovnice podle A dostaneme (pokud se A = 1) tv ^^a2c(u*,p*)/a^J = o, i=l pro i = 1, 2,..., N. Takže, použitím (7.2) najdeme vstupní poptávkové funkce x^(ií*, p*) splňující následujících N omezení: [^]p* = V^C(W*,p*)p* = 0N, (7.6) kde p* = [pí,p*,...,p^]T. Závěrečné obecné omezení pro derivování vstupní poptávkové funkce můžeme získat následovně: pro A blízké 1, derivujme obě strany C(u*, Ap*) = \C(u*, p*) podle u a potom výslednou rovnici derivujme podle A. Pro A = 1 dostaneme poslední rovnici ve tvaru: tv ^2pjd2C(u*,p*)/dudPj = dC(u\p*)/du. i=l Všimněme si, že druhá parciální diferencovanost C a (7.1) implikují, že d2C(u,p*)/dudPj = d2C(u,p*)/dPjdu = = d[dC(u*,p*)/dpj]/du = dxj(u*,p*)/du. Takže yr ^d2C(U\p*) = yr *dXj(u*,p*) = ' j dudpi ^ j du j=l ť3 j=1 = ďC< 0. (7.7) ou Nerovnost dC(u*,p*)/du > 0 plyne z vlastnosti, že C neklesá v u. Nerovnost (7.7) nám říká, že změny v nákladové funkci minimalizující poptávku po vstupech indukované rozšířením výstupu nemůžou být všechny záporné, tj. ne všechny vstupy mohou být nevýznamné. S dodatečným předpokladem, že F je lineárně homogenní (a tedy existuje x > O^v takové, že -F(x) > 0), můžeme vyvodit (Sekce 2), že C(u,p) = uc(p), kde c(p) = C(l,p). Tedy, když je F lineárně homogenní, xť(W*,p*)=W*^^,z = l,..,iV, (7.8) a dxi(u*, p*)/du = dc(p*)/dpi. Tedy jestliže x* = x^(ií*, p*) > 0 pro i = 1, 2,..., TV, užitím (7.8) dostaneme dodatečné omezení dxi(u*,p*)u* u*[dc(p*)/dPi] du x* =-x]-= (7-9) jestliže je F lineárně homogenní, tj. včechny elasticity vstupu k výstupu jsou jednotkové. Pro obecný případ dvou vstupů nám obecné omezení (7.3)-(7.7) umožní dostat se k následujícím omezením šesti parciálních derivací poptávkové funkce pro dva vstupy xi(ď*, p^, pí;) a X2(i£*, p^, píí): dxi/dpi < 0,dx2/dp2 < 0,dxi/dp2 > 0,dx.2/dpi > 0 (a jestliže je jedna z nerovností ostrá, potom jsou ostré všechny, protože p*1dx1/dp1 = -p*2dx1/dp2 = -p*2dx2/dp1 = (plfipD^d^/dp2) a pldx.i/du + p*2dy.2/du > 0. Tedy, znaménka u dxi/du a u d^/du jsou neznámé, ale pokud je jedno záporné, druhé musí být kladné. Pro konstatní výnosy z rozsahu výroby nejasnost ohledně znamének vymizí: máme cbc^u*, p*)/du > 0, <9x2(u*, p*)/du > 0 a alespoň jedna nerovnost musí být ostrá pokud je u* > F(02)- Výhoda derivování těchto dobře známých komparativních statických výsledků používáním teorie duality je ta, že omezení (7.2)-(7.7) jsou platná i v případech, kdy přímá produkční funkce F není diferencovatelná. Například Leontiefova produkční funkce má lineární nákladovou funkci C(u,p) = uaTp, kde (ai,a2, ■■■,cln) = aT > 0N je konstantní vektor. Může být ověřeno, že omezení (7.2) jsou platná pro tuto nediferencovatelnou produkční funkci. Historické poznámky Analogie k (7.3) a (7.4) v kontextu ziskových funkcí byly získány Hotellingem. Hicks a Samuelson dostali vztahy (7.2)-(7.6) a Samuelson získal také (7.7). Všichni tito autoři předpokládali, že primární funkce F byla diferencovatelná a jejich důkazy používaly podmínku prvního řádu pro úlohu minimalizace nákladů (nebo maximalizace užitku) a vlastnosti determinantů pro důkaz svých výsledků. 8 Funkce zisku Doposud jsme se zabývali problémem firmy, která používá mnoho různých vstupů na výrobu jednoho výrobku. Avšak ve skutečném světě chrlí převážná většina firem mnoho druhů různých výrobků. Proto bude nezbytné zamyslet se nad problémem modelování firmy s mnoha vstupy a výstupy. Pro ekonomické aplikace bude užitečné zavést tzv. variabilní funkci zisku H(p, x), která označuje maximum tržeb mínus variabilní platby za vstupy, které může být dosaženo při daných cenách p 0/ variabilních vstupů a výstupů a při daném vektoru pevně daných vstupů x ^> Oj. Označme variabilní vstupy a výstupy /-rozměrným vektorem zz = (zzi, U2, zz/), fixní vstupy nechť jsou označeny J-rozměrným vektorem —x = (—xi, — x2,— xj). Dále označme T množinu všech možných kombinací vstupů a výstupů, které říkáme množina produkčních možností. Výstupy jsou zachyceny kladnými čísly, vstupy zápornými, takže je-li Ui > 0, pak ž-té variabilní zboží jest výstup produkovaný naší firmou. Formálně se definuje II pro p ^> 0/ a —x Oj (posledních J zboží jsou vždy vstupy); (ii) pokud (zz', — x') G T, zz' < zz" a — x' < —x", potom (zz", — x") G T (volná dispozice); (iii) pokud (zz, —x) G T, potom jsou komponenty vektoru zz ohraničené shora (hranice možností při pevných vstupech). Potom má II následující vlastnosti: (i) H(p,x) je nezáporná reálná funkce definovaná pro každé p 0/ a x > Oj taková, ze: n(p,x) < pT6(x) pro každé p Oj. (ii) pro každé x > Oj je H(p, x) (pozitivnř) lineárně homogenní, konvexní a spojitá v p a (iii) pro každé p 0/ je H(p, x) (pozitivně) lineárně homogenní, konkávni spojitá a neklesající v x. Navíc, Gorman (1968), McFadden (1966) a Diewert (1973a) ukázali, že množina T může být zkonstruována pomocí II následujícím způsobem: Tudíž, existuje dualita mezi množinami produkčních možností T a funkcemi variabilního zisku II, pokud jsou splněny výše uvedené podmínky regularity. Pomocí Shephardova lematu (3.1) a Royovy identity (4.4) můžeme dokázat následující tvrzení: Holellingovo lemma (1932, str. 594) Splňuje-li funkce variabilního zisku II podmínky regularity (10.1) a navíc je diferencovatelná vzhledem k cenám variabilního množství v bodě p* » 0/ a x* > Oj, potom <9II(p*, x*)/dpi = Ui(p*,x*) pro i = 1,2,...,/, kde t^(p*,x*) je takové množství čistého výstupu i, které maximalizuje zisk přičemž je dán vektor variabilních cen p* a vektor fixních vstupů x*, které jsou k dispozici. Hotellingovo lema lze použít k odvození funkce nabídky variabilního výstupu a poptávky po variabilních vstupech. Potřebujeme pouze, aby byl zaručen funkcionální tvar H(p, x) konzistentní s podmínkami regularity pro II a diferencovatelnost vzhledem ke komponentám vektoru p. Například uvažme funkci transloga-ritmického variabilního zisku II definovanou: T = {(u, -x) : p 1 u < n (p, x), Vp > 0/; x > Oj}. (8.2) i=l i=l h=l i=l j=l J=l j=l k=l kde jih = Jhi a (f)jk = 4>kj. Lehce nahlédneme, že IT definovaná vztahem (8.3) je homogenní stupně jedna v p tehdy a jen tehdy, pokud: = Jľ^ = 0, j = l,2,...,J;^7í/l = 0, i = 1,2,...,/. (8.4) i=l i=l h=l Podobně, H(p, x) je homogenní stupně jedna v x tehdy a jen tehdy, když: j j j y^Pj = 1; = ž = 1,2,...,/;^^ = 0, j = l,2,...,J. (8.5) j=i j=i fc=i Je-li n(j9,x) > 0, definujeme podíl nabídky i-té proměnné jako: piUi(p,x)/ll(j9,x) = Si(p,x). Hotellingovo lemma použité na translogaritmickou funkci definovanou v (8.3) dává následující systém funkcí podílu čisté nabídky: / j Si(p, x) = a, + ^2 lihlnPh + X! 0N je vektor variabilních vstupů Nechť je dále monopolista vystaven (inverzní) poptávkové funkci p0 = wD(~x0), tzn. Po > 0 je cena, při které se prodá x0 jednotek výstupu, D je spojitá, kladná funkce v x0, proměnná w > 0 reprezentuje vliv "dalších proměnných"na poptávku. Dlužno dodat, že pokud prodává monopolista spotřebitelům, w může vyrovnat disponibilní důchod uvažovaného časového období. Pokud monopolista prodává výrobcům, w může být lineárně homogenní funkce cen, kterým jsou vystaveni ostatní výrobci. A konečně, předpokládejme, že monopolista chová "soutěžně"na trhu vstupů, když cenový vektor cen vstupů je dán pevně. Potom lze problém maximalizace monopolistova zisku zapsat takto: max {p0x0 - pTx : x0 = F(x),p0 = wL>(x0),x > 0N} = P0,X0,X = max{u;D[F(x)]F(x) - pTx : x > 0N} = X = max{w;F*(x) - pTx : x > 0N} = U*(w, p), (9.1) X kde F*(x) = D = [F(x)]F(x) = PqXq/w je funkce tržeb očištěná od inflace w nebo pseudoprodukční funkce a II* je příslušná funkce pseudozisku (vzpomeňme kapitolu 10), která korespondující s F*. Povšimněme si, že w hraje roli ceny pro F*(x). Pokud je F* konkávni funkce, potom bude Il*(l,p/w) funkce konjugovaná k F* [vzpomeňme na: Samuelson (1960), Lau (1969, 1978) a Jorgenson, Lau (1974a, 1974b) konjugované přístupy k teorii duality] a II* bude duální k F* (tzn. F* může být dopočtena z II*). I když není F* konkávni, existuje-li maximum v (11.1) v relevantním okolí cen (w,p), potom může být II* využito k reprezentaci relevantní části F* (tzn. "volný dostupný"obal F* dostaneme z II*). Pokud je navíc II* diferencovatelná v (w*,p*) a Xq,j9o,x* řešť (11.1), pak Hotellingovo lemma dává: u*0 = ^ = V^n>*, p*)a - x* = VpIT(w*, p*). (9.2) w* Pokud je k tomu II* spojitě diferencovatelná druhého řádu v (w*,p*), pak můžeme odvodit obvyklé výsledky pro porovnávací statistiky funkcí prodeje očištěných od inflace, u0(w*,p*) = VwIľ(w*, p*) a funkce poptávky — x(w;*,p*) = S7pIľ(w*, p*); zejména V2II*(ií;*, p*) je pozitivně semidefinitní symetrická matice a [w*, p*T] V2n*(u;*, p*) = 0^+1. Vztah (9.2) lze využít k odhadu ekonometrických parametrů II* a tudíž nepřímo k odhadu F*: jednoduše řečeno, postulujeme funkcionální tvar II*, diferencujeme II*, což "napasujeme"na (9.2) pro danou časovou ředu pozorovaných hodnot p0,p,w,x0 a x. Nevýhodou metody jsou: (i) nelze vyjádřit D z F; (ii) nelze testovat, zda-li se vlastně výrobce chová "tržně"na trhu výrobků; (iii) nemůžeme použít naše odhadnuté rovnice k predikci výroby x0 nebo prodejní ceny p0 odděleně. 9.2 Druhý přístup: Problém monopsonu Uvažme problém spotřebitele, který maximalizuje funkci užitku F(x), která splňuje "Podmínky I", ale odtud již dále pro spotřebitele nepředpokládáme fixní ceny nakupovaných komodit. Takže je spotřebitel schopen monopsonicky využít jednoho či více svých dodavatelů. Pak v období r nechť je vystaven nelineárnímu rozpočtovému omezení ve tvaru: /ir(x) = 0, kde x > O^v je vektor jeho nákupu (nebo rent). Nechť xr > O^v je řešení pro období r problému maximalizace "omezeného"užitku, tzn.: max{F(x) : /ir(x) = 0, x > 0^} = F(xr); r = 1,..., T. (9.3) x Dále nechť r-tá funkce rozpočtového omezení hr je diferencovatelná v xr s Vx/i(xr) ^> O^v pro každé r. Pak můžeme linearizovat r-té rozpočtové omezení okolo x = xr tak, že vezmeme rozvoj Taylorovy řady prvního řádu. Linearizované rozpočtové omezení je /ir(xr) + [Vx/ir(xr)]T(x — xr) = 0 nebo [Vx/ir(xr)]T(x — xr) = 0, neboť /ir(xr) = 0 použitím (9.3). Lehce se nahlédne, že povrch užitku: {x : F(x) = F(xr),x > On} je tečná nejenom k původnímu nelineárnímu rozpočtovému povrchu {x : /ir(x) = 0,x > On} v x = xr, ale také k povrchu linearizovaného rozpočtového omezení {x : [V/ir(xr)]T(x — xr) = 0,x > On} v x = xr. Neboť se předpokládá F kvazikonkávní, je množina {x : F(x) > F(xr),x > On} konvexní a linearizované rozpočtové omezení je opěrnou nadrovinou k této množině, tzn.: max{F(x) : prTx < prTxr, x > 0^} = F(xr), r = 1,..., T, (9.4) x kde pr = V/ir(xr) pro r = 1,2,...,T. Nyní je (9.4) pouhou řadou " agregátorových" maximalizačních úloh typu, který jsme studovali v kapitole 4 (r-tý vektor normalizovaných cen se definuje jako vr = pr/prTxr) a odhadovací techniky nastíněné v kapitole 9 (vzpomeňme například vztah (9.9)) mohou být použity k odhadu parametrů přímých užitkových funkcí duálních k F. Kapitola 4 se zabývá lineárními rozpočtovými omezeními a proto je irelevantní, jestli je F kvazikonkávní nebo ne (vzpomeňme naši diskusi a diagram v kapitole 2). Avšak nyní požadujeme dodatečné předpoklady, že F je kvazikonkávní, aby se rigorózně ospravedlnila záměna (9.3) za (9.4). Povšimněte si také, že abychom mohli použít tuto proceduru, je nezbytné znát vektor derivací Vx/ir(xr) pro každé r; tzn. musíme znát derivace nabídkových funkcí, které spotřebitel využívá v každém období - informace, kterou první přístup nepožaduje. Model monopsonu zde prezentovaný je ve skutečnosti mnohem širší než klasický model monopsonis-tického využívání: ceny, kterým je spotřebitel vystaven se mohou měnit s nakupovaným množstvím kvůli nepřebernému množství důvodů, zahrnujíce v to i náklady transakce, množstevní slevy a existenci progresivního zdanění. Většina daňových systémů vede k rozpočtovým omezením se skoky nebo nediferencova-telnými body. To nezpůsobuje žádné problémy s výše uvedenou procedurou, jestliže pozorovaná spotřebitelova volba mezi spotřebou a volným časem nepadne přesně do bodu skoku v tomto rozpočtovém omezení. 9.3 Třetí přístup: Problém monopolu jinak Znovu se věnujme problému monopolu vyloženému výše. Nechť Xq > 0,xr > O^v je řešením problému maximalizace zisku monopolu pro r-té období, což lze zapsat: max{i(/*.D(x0)x0 — prTx : x0 = F(x),x > On] = X = wrD(^r0 - prTxr, r = 1, 2,T, (9.5) kde Pq = wrD{y^)) > 0 je pozorovaná prodejní cena výstupu během r-tého období, wrD(-x0) je inverzní poptávková funkce pro období r, p 0^ je vektor cen vstupů pro období r. Pokud je funkce F spojitá a konkávni (tak, že množina produkčních možností {(x0,x) : x0 < F(x),x > 0^} je uzavřená a konvexní) a když inverzní poptávková funkce D je diferencovatelná v Xq pro r = 1, 2,T, pak je cílová funkce r-tého maximalizačního problému v (9.5) může být linearizován v okolí (xQ,xr) a tato linearizovaná cílová funkce bude tečná k povrchu produkce x0 = F(x) v (xQ,xr). Tudíž: max^xo - prTx : x0 = F(x), x > 0N} = U(pr0, pr) = x0,x = ^0-p^,r = l,...,T, (9.6) kde Pq = uf'D(-Xq) + wrD'(x.q)x.q = prQ + wrD'(x.q)x.q > 0 je stínová neboli mezní cena výstupu r-tého období (pq < Pq jestliže uf > 0 a -D'(xq) < 0 a II je "pravdivá" funkce firemního zisku, která je duální k produkční funkci F (vzpomeňme II* definovanou v prvním přístupu, která je duální ke konvexnímu obalu D[F(x)]F(x) = F*(x)). Takže problém maximalizace pravdivé nelineární funkce monopolistického zisku (9.6), který má obvyklou strukturu jakmile mezní ceny výstupu prQ byly vypočteny tak, aby mohly být použity obvyklé ekonometrické techniky [vzpomeňme vztah (10.5) v Kapitole 10]. Porovnáním třetího přístupu s prvním zjistíme, že třetí přístup vyžaduje extra předpoklad o konkávnosti produkční funkce (konvexní technologie) a dodatečné informace, jako například znalost sklonu poptávkové funkce, kterou monopolista využívá, se požaduje pro každé období. Lehce se nahlédne, že tento přístup lze zobecnit na firmu vyrábějící víc výrobků, která současně využívá trh se vstupy i výstupy: všechno co potřebujeme je předpoklad konvexnosti technologií a (lokální) znalosti poptávkových a nabídkových funkcí, které firma využívá, aby mohly být spočítány příslušné stínové ceny. Výše uvedené techniky mohou nýt zřejmě použity v situacích, kdy se firma nechová monopolisticky ani monopsonisticky ve smyslu využívání trhů, ale je vystavena cenám jejích vstupů a výstupů, které závisí na pořízeném nebo prodaném množství, zahrnujíce náklady na transakce a množstevní slevy. 9.4 Čtvrtý přístup: Problém monopolu ještě jednou Předpokládejme nyní, že produkční funkce splňuje, jako obyčejně, "Podmínky I"a nechť Xq > 0,xr > O^v je řešení maximalizační úlohy monopolistického zisku pro období r (9.5), které lze přepsat jako max-KL>(x0)x0 - C(x0, pr) : x0 > 0} = wrD(xr0)xr0 - prTxľ, r = 1,..., T, (9.7) XO kde C značí nákladovou funkci duální k F. Pokud je inverzní poptávková funkce D diferencovatelná v Xq > 0 a <9C(xq, pr)/<9x0 existují, pak podmínky prvního řádu pro r-tý maximalizační problém v (9.7 dávají podmínku uf'-D(xq) + wrD'(x.q)x.q — <9C(xq, pr)/<9x0 = 0 nebo, s použitím pozorované prodejní ceny výstupu v r-tém období prQ = uf'D(xq), Vl = -WD'^r + 9C{^pr\r = 1,... ,T. (9.8) Jestliže je nákladová funkce C diferencovatelná v cenách vstupů v bodě (xq, pr) pro každé období r, pak dává Shephardovo lemma dodatečné rovnice xr = VpC(xS,pr),r = l,...,r. (9.9) Předpokládejme, že část inverzní poptávkové funkce, která záleží na x0, lze -D(x0) adekvátně aproximovat v relevantním okolí x0 následující funkcí: D(x0) =a-l3lnxo, (9.10) kde a > 0,/3 > O jsou konstanty. Substituce (9.10) do (9.8) dává rovnice pS = ^+ďC(ľ5,pr),r = l>...>r. (9.11) Při daných pozorovaných rozhodováních dané firmy o cenách a množstvích p1^, pr, Xq, x a při informaci o w (většinou lze předpokládat, že w = 1) může být systém rovnic (9.9) a (9.11) naráz ekonometricky odhadnut jakmile známe diferenciální funkcionální tvar nákladové funkce C(x0,p). Pokud je (5 = 0 v (9.11), pak se producent chová tržně, prodává-li výstup za cenu p rovnou mezním nákladům, <9C(xq, pr)/<9x0. Rovnice (9.11) je zároveň konzistentní s chováním producenta jako monopolisty, který tvoří cenu "naivní přirážkou", neboli "naivní markup", (záleží na hodnotě w). Máme tak základ pro statistické testování tržní struktury: (i) když (5 = 0, pak je chování producenta v souladu s tržní situací známou jako "price taking"; (ii) kdy R je (5 > 0 a (5wr/pq < 1 pro všecna r = 1,2, ...,T, pak dostáváme chování klasického monopolisty; (iii) pokud je (5 > 0, ale (5wr/prQ > 1 pro nějaké r, potom máme chování "markup"monopolisty; (iv) když (5 < 0, pak nebude chování firmy v souladu s žádným ze tří popsaných způsobů. Tento přístup nabízí oproti předchozím přístupům několik výhod: (i) můžeme nyní statisticky testovat soutěžní chování; (ii) požadavky na informace jsou nízké - nepotřebujeme exogénni informaci o poptávkové elasticitě; (iii) nemusíme předpokládat, že produkční funkce F je je konkávni, takže model je konsistentní s rostoucími výnosy z rozsahu produkce; a nakonec (iv) postup je velmi jednoduchý - jen vložíme podmínku (5wr do rovnice soutěže, cena se rovná mezním nákladům. 9.5 Historické poznámky Základ prvního přístupu je v Lau (1974a, str. 193-4; 1978), ale své kořeny má už v Hotelling (1932, str. 609). Druhý přístup je v Diewert (1971b), ale kořeny jsou v práci Fisch (1936, str. 14). Třetí přístup (izomorfní ke druhému přístupu) je popsán v Diewert (1974a, str. 155). Čtvrtý přístup je od Appelbaum (1975), který požaduje trochu jiné předpoklady pro funkcionální tvar inverzní popávkové funkce. Appelbaum(1975, 1979) také naznačuje, jak by bylo možné jeho přístup rozšířit na několik monopolistických nabídkových výstupů nebo monopsonistických poptávkových vstupů a ukazuje příklad empirického testování založeného na datech o amerického odvětví zpracovávající naftu a zemní plyn. Další empirický příklad této techniky je založen na obchodu mezi USA a Kanadou v Appelbaum(1979). Čtvrtý přístup byl použit v Schworm (1980) v kontextu investiční teorie, kde se ceny investičního zboží odvíjí od nakupovaného množství. 10 Závěr Věnovali jsme velkou pozornost duálnímu přístupu k mikroekonomické teorii v Sekcích 2-6 této kapitoly. V Sekcích 7 a 8 jsme ukázali, jak může být teorie duality využito k odvození obvyklých porovnávacích statistických tvrzení pro teorii výrobců a spotřebitelů. Bohužel, počet děl, využívajících teorii duality je tak veliký, že nejsme schopni je všechny uvést. Kapitola 8 Teorie výroby Produkční teorie se zabývá chováním firem při procesech opatřování a rozdělování zdrojů, které slouží k vytváření výstupu firmy. Tento proces ovlivňují tyto dvě složky: • Technická omezení, která limitují množství produkce; • Institucionální rámec, který charakterizuje trh komodit a vstupů. V současné době byly tyto dva elementy produkční teorie značně rozšířeny o nové rozměry a aplikovány na mnoho nových subjektů. Přesto zůstávají nevyjasněny některé počáteční předpoklady produkční teorie. Jde především o nerealistický předpoklad existence dokonalé konkurence a to jak na trhu komodit, tak na trhu zboží. 277 1 Technologie výroby 1.1 Vlastnosti množiny produkčních technologií a produkční funkce Produkční technologie popisuje technická omezení, která limitují rozsah produkčního procesu jedné firmy. Produkční technologie se sestává z několika alternativních metod, které transformují materiál a služby na vznik zboží a služeb. Odlišné zboží a služby, které jsou použity jako vstupy do technologie, se nazývají výrobní faktory). Vlastnosti produkční technologie - formalizace: Nechť y = (yi,...,yn) je kombinace n nezáporných výstupů, které vznikají za použití m nezáporných vstupů x = (x±,... ,xm). Množina produkčních možností L je množina všech vstupních vektorů x, které produkují výstup y. L má následující vlastnosti: (i) L je uzavřená množina, tj. pokud vn G L, n = 1, 2,..., lim^oo vn = v° v° G L; (ii) L je konvexní množina, tj. pokud v' G ŕ, v" G L, 0 < A < 1 <^ Xv' + (1 — X)v" G L; (iii) Pokud (y; x) G L, x' > x, pak (y; x') G L; (iv) Pokud (y; x) G L, 0n < y' < y, pak (y'; x) G L; (v) Pro každý konečný vstupní vektor x > 0m je výstupní množina y shora omezená. Vlastnost (i) je podmínka slabé regularity. Vlastnost (ii) říká, že produkční technologie je ovlivňována klesající marginální mírou transmise výstupů na vstupy, rostoucí marginální mírou substituce mezi výstupy a klesající marginální mírou substituce vstupů. Vlastnost (iv) říká, že omezený vektor vstupů může vytvořit pouze omezený vektor výstupů. Je možné, že podmínky (ii) až (iv) nejsou pro nějakou konečnou množinu dat, vlastnost (i) je splněna vždy. Ne všechny technologicky proveditelné transformace jsou významné a priory; některé mohou vyžadovat větší vstupy k dosažení technicky efektivní produkční podmnožiny E, která se nazývá transformační funkce. Množina efektivních kombinancí vstupů a výstupů může být popsána symetricky jako množina všech (y; x), které splňují podmínku E'(y;x) = 0, kde E' je transformační funkce. Efektivní množina pro jeden výstup (yi) může být definována jako y\ = E'(y2,..., yn, x), tj. jako maximální produkce y\ při zadaných vektorech vstupu a ostatních výstupů. Nesymetrická transformační funkce, y\ = E(y2,..., yn, x) nemůže být dost dobře definována pro všechny nezáporné vektory vstupů a výstupů. Pokud jsou složky ostatních výstupů , ý = (2/2, y3, ■ ■ ■, yn) velké, zatímco složky x zůstávají malé, může být nemožné vytvořit nezáporné množství y\. V tomto případě E(y,x) = —00. Nesymetrická transformační funkce E je definována jako pro všechna y > 0n_i, x > 0m. Pokud L splňuje podmínky (i) až (iv), lze ukázat, že transformační funkce definovaná výše splňuje následující podmínky • E je spojitá shora; • i? je konkávni; • E je neklesající pro všechna x > 0; • Existuje číslo a dostatečně velké, aby, pokud je kterákoliv z komponent vektoru ý větší něž a, nutně nastalo E(ý,x) = —00. Z obecných předpokladů o vlastnostech produkční funkce, která určuje vlastnosti funkce transformační, lze vygenerovat různé produkční a transformační funkce pro proktické použití. 1.2 Neoklasická teorie firmy maxyi{2/i : (y1: y, x) G L}, pokud 3yľ : (y1: ý; x) e T —00, jinak, (1.1) Máme-li dánu charakteristiku produkční funkce a množiny technologií, můžeme hledat rovnováhu firmy vzhledem k produkci komodit a zapojení vstupů. Především uvážíme tato dvě specifika: • určení optimálního plánu výstupu firmy; • vlastnosti ziskové funkce. Optimální plán výstupu firmy Uvažme firmu, která produkuje n komodit a využívá m vstupů; jejím cílem je maximalizovat zisk, který je dán jako m+n n m n = = + ^ŽZpiVi (l2) i=l i=l i=l kde yi{i = 1,..., n jsou výstupy a pi{i = n + 1,..., m) jsou ceny výstupů; yn+i = —Xi{i = 1,..., m) jsou vstupy a pn+i(i = 1,..., n) jsou ceny vstupů. Zisk II maximalizujeme vzhledem k produkční funkci /(í/1, Ž/2, • • • , Ž/n, Ž/n+l, • • • , Ž/m+n) < 0. (1.3) ž/i, ž/2, • • •, ž/m+n jsou někdy nazývány čisté výstupy; mají kladná znaménka pro výstupy a záporná pro vstupy. Předpokládejme, že produkční funkce /(•) je • Diferencovatelná druhého stupně, tj. existují J-jj- = f i a dyJy. = fijihj = 1, • • •, m + n); • Rostoucí v čistých výnosech, tj. derivace /^ jsou vždy kladné; • Konvexní (vzhledem k podmínce /(•) = 0 je striktně konvexní). Pak lze optimální produkční plán firmy stanovit pomocí Lagrangeovy funkce: £(ž/l,Ž/2, • • • , Ž/m+ní A) = II + A/(ž/l, Ž/2, ••• , Ž/m+n) = ľs^tž/i + A/(ž/l, Ž/2, • • • , Ž/m+n) (1.4) kde A je Langrangeův multiplikátor spojený s omezením /(•) =< 0. Podle Kulm-Tuckerovy věty pro konkávni programování koresponduje optimální produkční plán {ýi} s extrémem Lagrangiánu pro nezáporné {yi}, (i = 1, pro extrém jsou L(yi,ym+n, A) = L(yu ..., ym+n, A) (1.5) , n)a nekladné {yi: A}, (i = n + 1,..., m + n). Nutné a postačující podmínky § <0(i = l,...,n) g > 0 (i = n + 1,... ,?77, + n ■ ■ -\ \^m-\- m+n QL_ dyi 0 (1.6) iv) ff < 0 t;) kde derivace {|^, ||} jsou vyhodnoceny v fe,A}. Tyto podmínky dávají kompletní charakterizaci optimálního produkčního plánu. Charakteristiku můžeme shrnout do následujícího tvrzení: Tvrzení 1.1 Optimální produkční plán splňuje (za výše uvedených předpokladů): ž/i, ž/2Ž/- Pí + Ä/í = 0 (i = l,...,n) Pi + A/i = 0 (i = n + 1,..., m + n) £ľ=ľta + Ä/^ = o m+n ■ (1.7) Navíc, /(Ž/1, 2/2, • • • ,2/m+r / • Ä = 0. o, Protože, podle předpokladů, je / rostoucí, kladné ceny pro všechny čisté výstupy implikují, že A < 0, takže / = 0. Pokud je produkční funkce striktně konvexní, jsou podmínky následující t = /(i/i, dy •i V m+n o, lt- =Pí + Ä/í = 0 (2 = l,...,m + n (1.8) kde derivace {fi} je vyčíslena v {^, A}. Pokud existuje řešení, pak je - dle předpokladu striktní konvexity funkce f(yu ?/,..., ym+n) = 0 - jediné. m + n podmínek prvního stupně může být interpretováno jako rovnost marginální ziskovosti každého čistého výstupu s jeho výnosem nebo nákladem. Langrangeův multiplikátor je změna zisku firmy vzhledem ke změně produkčního plánu firmy. Poměrem těchto hodnot dostaneme Pí df/dyi dj Pj df/dyj d, Pro dvojice vstupů a výstupů tyto rovnovážné stavy ukazují, že marginální míra transformace mezi odpovídajícími komoditami je rovna poměru cen těchto komodit. Pro jeden vstup dostaneme známou rovnost, že marginální cena produktu je rovna jeho marginálním nákladům. Cesta expanze, která je kombinace vstupů při různých hladinách výstupu, kde je marginální míra technické substituce (MRTS) rovna poměru cen, může být lehce zištěna. Hladiny vstupů a výstupů (yi)(i = 1,..., m + n), které maximalizují zisk, a Lagrangeův multiplikátor A jsou funkcemi ceny pi(i = 1,..., m + n). Čili A = A(pi, . . . ,Pm+n) (i = l,...,m + n) (1.10) Vi = S'(pi, • • • ,pm+n), A(-) je homogenní stupně jedna, zatímco sz(-) je homogenní stupně nula. Jednotlivé yi nazýváme čisté nabídkové funkce. Pro výstupy jsou yi většinou klasické nabídkové funkce; pro vstupy jsou negativními poptávkovými funkcemi. Proto čistě nabídková funkce existuje, pokud jsou splněny podmínky kladené na marginální ziskovost a na produkční funkci a je-li produkční funkce konvexní. (1.9) Zisková funkce Zisková funkce dává hodnotu účelové funkce n = Y^i=inPíVíi vzhledem ke vztahu f(y±,... ,ym+n) = 0 a podmínce, že vstupy a výstupy jsou nezáporné. Dosazením vztahu 1.10 do účelové funkce dostaneme m.+n n(pi,...,pm+n) = ^2pzsz(pl,... ,pm + n. (1.11) i=l Derivujeme-li tento vztah podle pi: dostaneme dU , ^ ddj + E^T (1.12) dpt ^ dp ale/(s1,...sm+n) = 0, takže 2-, dy.Qp. ~ X^PjdPi. (L13) ^T = * (« = l....,m + 7i). (1.14) Funkce čisté nabídky je homogenní stupně nula, takže zisková funkce je homogenní stupně jedna. Vezmeme-li druhou derivaci II vzhledem k pz dostaneme d2U _ ds* _ dsi _ d2U dpzdpj dpj dpt dpjdpi' í1-15) což implikuje, že křížový vliv cen na čistou nabídku je symetrický. Zisková funkce může bát charakterizována jako diferencovatelná stupně dva, rostoucí s rostoucí cenou výstupu a klesající s rostoucí cenou vstupu; optimální řešení existuje pro kladné hladiny vstupů a výstupů pro všechny cenové hladiny. Zisková funkce je konvexní. Proto Pomocí podmínek pro optimální výstup a ziskové funkce je možné odvodit zákony pro nabídku a poptávku firmy, která je podle definice rovna nabídce výstupů a poptávce (s opačným znaménkem) po vstupech. Vlastnosti čistě nabídkové funkce Je homogenní stupně nula vzhledem k pi,p2, ■ ■ ■ ,Pm+n a to pro všechny násobky těchto hodnot konstantou; Substituční efekt ž a j je symetrický, tj. fj^- = f^S Čistá nabídka po zboží i nemůže poklesnout, vzroste-li jeho cena; Pokud je množství jednoho ze vstupů nebo výstupů fixní, je čistě nabídková funkce homogenní stupně nula ve všech cenách. Ve speciálním případě, když jsou fixní všechny výstupy je tato funkce negativní poptávkovou funkcí pro vstupy. 2 Škálování, substituce faktorů, technické změny: několik definic Produkční funkce zahrnuje několik ekonomických efektů, jako třeba škálování a substituční efekty, efekty technologických změn a distribuční efekty. Tyto efekty jsou zachyceny v produkční funkci a v její první a druhé derivaci. Tabulka 8.1 ukazuje vlastnosti produkční funkce, které slouží k porovnávání. Při dané produkční funkci y = f (x, t), kde x je vektor vstupů a ŕ je ukazatel technologické změny je možné odvodit vztahy pro returns to scale, podíl výrobních faktorů, cenovou elasticitu, elasticitu substituce a některé ukazatele technického pokroku (TP). Efekt Vzorec Počet Hladina výstupu Returns to scale Distribuční podíl Elasticita ceny Elasticita substituce Míra TP Akcelerace TP Míra TP marginálních produktů y = f (x, t) S i Xifi/ X^i=l Xifi €i Xifa/ f i f U _i_ fij _i_ f33 ^ _ í j j 3 Vlj — 1 + 1 xifi xjfj T = ftlf Ť = (fulf) ~ (ftlf? rn%/m% = flt/f% 1 1 n — 1 n n(n—1) 2 1 1 n Tabulka 8.1: Ekonomické efekty Returns to scale neboli škálovací funkce Nechť / = f(Xxij..., Xxn), kde A je kladná konstanta. Returns to scale v bodě (x\,..., xn) jsou měřeny škálovací funkci, které se někdy také říká funkční koeficient či elasticita výstupu. Je definována jako , , , A df(Xx) v d\nf(Xx) = Jíxx-)^>r = iTi -äiír- nebo n MA) = (2J) Returns to scale jsou klesající, konstantní nebo rostoucí v závislosti na tom, je-li fi(xi,... ,xn) menší, rovno, nebo větší než jedna. Dále platí následující vztahy (i) Marginální produkt vstupu Xi je první parciální derivace produkční funkce vzhledem k Xi(i = 1,... n : = MPt(x) > 0.; MP{x) je vektor marginálních produktů xh tj. MP(x) = (MP^x),..., MPn(x)). Returns to scale můžeme definovat jako MP{xj fJ>{x) = ■ x;x = (xi,... ,xn). (2.2 f{x (ii) Returns to j input: , . Xj d f Ax) „, . 1 M PA x) , .„ , ,n j (x) oxj j (x)/xj APj(x) kde APj je průměrný produkt faktoru j, který je definovaný jako f(x)/xj (iii) Elasticita průměrného produktu d(f/xj x3 f j dxj (f/x j) f/xj l = lij- 1, která naznačuje, že existují rostoucí nebo klesající výnosy v závislosti na tom, je-li fij větší nebo menší než jedna. (iv) Returns on scale v libovolném bodě fi(x) = ^2fij(x)1 (2.4) j=i jsou sumou všech elasticit výstupu vzhledem ke všem vstupům. Returns on scale pro produkční funkce několika produktů mohou být určeny následovně: Předpokládejme, že F(yi,..., ym, x±,..., xn) = F(jy^,..., 7^, \xf,..., \x^), kde 7 a A jsou konstanty, y jsou výstupy a x jsou vstupy. Je-li produkční funkci několika produktů separabilní tak, že h(y±,..., ym) — f(xi,... ,xn) = 0 pak je škálovací funkce pro F = h — f definována jako f cž7/7 proporcionální relativní změna všech výstupů ^ dX/X proporcionální relativní změna všech vstupů nebo fiF = iS/ti-*, (2.5) kde \rf a fi~h jsou škálovací funkce pro / a h. Je obtížné vysvětlit ekonomický význam fiF, pokud je počet výstupů větší než jedna. 2.1 Elasticita substituce Substituční možnosti jsou takové alternativní kombinace vstupů, které generují stejnou hladinu výstupu. Místní měření substituce mezi dvěma vstupy - řekněme iiai2- při všech ostatních vstupech konstantních a konstantní hladině výstupu, lze provést pomocí elasticity substituce a, která je definována jako Jinými slovy, pro dané y je a proporcionální změna poměru x2 '■ x\, která plyne ze proporcionální změny marginální míry substituce mezi x\ a x2- Pokud jsou ceny jednotlivých faktorů neměnné a firma se snaží minimalizovat náklady, pak existuje jednoduchá interpretace a a to jako procentuální změna vstupů vydělená procentuální změnou marginálního produktu nebo procentuální změnou relativních cen vstupů. Zakřivení izokvant je určeno velikostí elasticity substituce. Izokvanta reprezentuje množinu vstupů, které generují stejnou hladinu výstupu. Tedy _ dlog^/xi) ~ dlog(/i//2) (2.6) a = -fih{xifi+x2h) *l*2(/ll/22-2/l2/l/2 + /22/12) ' (2.7) (2.8) Protože dx = {dx\i dx2l..., dxn); MP(x)dx = 0 což - v případě dvou faktorů x\ a x^ - může být zapsáno jako MP1(x)dx1 + MP2(x)dx2 = 0 Sklon izokvanty dx2 dxi MP2(x) MRS12 (2.9) izokvanta ]\/[(x) kde MRSi2 je marginální míra substituce jedné jednotky x\ několika jednotkami x2 při stejné hladině výstupu. Tvar produkční funkce klade omezení na substituovatelnost faktoru. Substituce faktorů není například možná pro produkční funkci s fixními poměry, o = 0. Naopak pro lineární produkční funkci y = ol\X\ + a2x2,ai > 0, a = oo je substituovatelnost úplná. Pro hodnoty a v intervalu (0, +oo) je maximální míra substituce větší než žádná, ale není úplná. Pro obecnou n-faktorovou produkční funkci je náročné stanovit jednoznačnou definice elasticity substituce. V takových případech můžeme definovat pouze parciální elasticity substituce vstupů. Bylo navrženo několik definic: 1. Přímá Elasticita Substituce (PES) mezi faktory i a j je zobecněnou dvoufaktorouvou elasticitou substituce. Je dána jako _D fifj(xifi + xjfj) p. n a, (2.10) 2. Allenova Parciální Elasticita Substituce (APES) je mírou změny poptávky firmy po faktoru j, která je dána změnou ceny faktoru i s tím, že všechny ostatní veličiny zůstávají konstantní. Tedy A X]/e=l Xkfk Fi F íl A ; —oo < <7„-„- < oo (2.11) kde F 0 fi h f n f n f: ln f n fln fnn Fíj je fij minor matice F, Podmínky stability vyžadují, aby Fnn/F < 0. Protože F je symetrická, bude matice parciálních elasticit také symetrická. Některé z parciálních elasticit mohou být záporné, ovšem alespoň některé musí být kladné. Pokud provedeme vážený součet těchto elasticit, musí kladné převládat. Narozdíl od přístupu PES nemá APES přímou interpretaci. Může být ukázáno, že = rjij/(piXi/C), kde r]ij je parciální elasticita poptávky po faktoru j vzhledem k ceně faktoru ž a C jsou celkové náklady, a? a af- jsou shodné s dvoufaktorovou elasticitou a je-li 77 = 2. Obecně shodné nejsou. Definice PES a APES lze také použit pro měření přímé a parciální elasticity transformace mezi dvěma produkty. 2.2 Technický pokrok Technický pokrok souvisí s procesem a důsledky změn produkční funkce způsobené změnou technologie. Jsou-li použity nové technologie, mají na produkční proces buď neutrální vliv, nebo změní vztah mezi vstupy a výstupy. Neutralita technického pokroku může být měřena jeho efektem na některé ekonomické ukazatele (např. poměry: kapitál/výstup, výstup/práce, kapitál/práce), které by měli zůstat invariantní. Tři nej známější definice technického pokroku: Je-li technický pokrok ztělesněný v práci a kapitálu bude technická změna záviset na elasticitě substituce a a různých mírách růstu vtělení práce a kapitálu. Vtělení znamená, že - díky rozvoji technologie - jsou nové vstupy efektivnější než vstupy staré. Vezměme dvoufaktorovou produkční funkci danou jako kde«i a a2 jsou koeficienty růstu faktorů. Protože směr technické změny závisí na poměru a\ja2 je technická změna Hicks-neutrální pokud je tento poměr konstantní, Harrod-neutrální je-li a2 konstantní a Solow-neutrální je-li ol\ konstantní. Bias technické změny B je definována jako 3 Vlastnosti produkčních funkcí a dualita Budeme se zde věnovat pojmům homogenita, aditivita a separabilita. Jiný důležitý pojem je dualita mezi produkční funkcí, normalizovanou ziskovou funkcí nebo nákladovou funkcí. Podle obecných podmínek ze sekce 1, zásadní produkční technologie může být identifikována užitím nákladové nebo ziskové funkce. Principy duality jsou zde zmiňovány pouze letmo. Podrobnější rozprava může být nalezena v kapitole 7. Nejdříve rozebereme podmínky homogenity, aditivity a separability produkční technologie. y = f(a1L,a2K) (2.12) (2.13) 3.1 Homogenita, aditivita a separabilita Homogenita a homoteticita produkčních funkcí Homogenní produkční funkce stupně k je definována takto: f(\xi, Xx2,..., Xxn) = Xkf(x1,x2,... A > 0. (3.1) Diferencovatelná, lineárně homogenní produkční funkce má následující vlastnosti: 1- V = YaxiÍh kde, podle Eulerovy věty, fz = df/dxz. 2. První derivace homogenní funkce stupně jedna je homogenní funkce stupně nula. 3. fa = (.rj/xj)fu. kde fa = d2f/dxf a fn = d2f/dx2. 4- %ifu Xjfij 0 a Xjfjj -\- Xifij 0, kde fij d f jdxidxj. Z vlastností (iii) a (iv) plyne, že: 5- fa — fjj = fij = 0, pokud jedna ze tří předcházejících hodnot je nula a předpokládáme kladnou úroveň vstupů. 6. x2f2 + 2xixjfifj + x)f2 = y2. Monotónně rostoucí transformace homogenní produkční funkce se nazývá homotetická produkční funkce. Skupiny homotetických produkčních funkcí jsou charakterizovány rostoucí přímkou procházející počátkem, tj. tvary okraje produkčního povrchu jsou radiální vyboulení jednoho do druhého. Homotetická produkční funkce je definována jako: y = 9(f(x1,x2, ■ ■ ■ ,xn)), (3.2) kde / je homogenní funkce libovolného stupně (/ > 0); / a g jsou dvakrát derivovatelné funkce a / může být interpretována jako vstupní index faktorů produkce. Aditivita a homogenita produkčních funkcí Hranice výrobních možností je homogenní a pokud jde o zboží aditivní tehdy a jen tehdy, když hranice může být vyjádřena jako: Fl(\yi) + F2(\y2) + --- + Fn(\yn) = F1^) + F\y2) + • • • + Fn(yn) = 0 (3.3) pro libovolné A > 0. yi (i = 1, 2,..., n) reprezentuje čistý výstup z-tého zboží, některé z nich jsou vstupy do produkčního procesu. Tato podmínka je být splněna tehdy a jen tehdy 1. funkce [Fl] jsou homogenní stejného stupně, nebo 2. funkce [F%] jsou logaritmické. Pokud se každý čistý výstup y i (i = 1, 2,..., n) skládá z m vzájemně se vylučujících a úplných komoditních skupin, například F(y1, y2, ■ ■ ■, yn) = F1(y1, y2,..., yn) + F2(yni+1,yni+n2) H---- ... _l_ Fm(yni+n2+...+nm_1+i,... ,yni+n2+...+rim) = 0, pak je produkční hranice nazývána skupinově aditivní. Podmínky (1) a (2) jsou stále použitelné, když hranice je skupinově aditivní. Příkladem aditivně homogenních hranic výrobních možností jsou lineárně homogenní a dvoustupňové konstanty elasticity substituce produkčních funkcí popsaných stručně v části 3. 3.2 Funkční separabilita produkčních funkcí Pokud produkční funkce několika argumentů může být rozdělena na podfunkce, potom efektivita produkce může být dosažena postupnou optimalizací. Funkční separabilita hraje důležitou roli při agregování heterogenních vstupů a výstupů, odvozování funkcí přidané hodnoty a odhadování produkčních funkcí; otvírá také možnost konzistentních mnohaetapových estimací, které mohou být jediné uskutečnitelné procedury, pokud je zahrnuto velké množství vstupů a výstupů v produkčních aktvitách vysoce komplexních společností. Předpokládejme, že produkční funkce y = f{x) = f{x\,... ,xn) je dvakrát derivovatelná a vyloženě kvazikonkávní s n vstupy označenými N = (1,..., n) a je rozdělena do r vzájemně vylučujících se a úplných podmnožin (Ni,..., Nr) a část označenou R. f{x) je slabě sparabilní vzhledem k části R, pokud mezní míra substituce (MRS) mezi libovolnými dvěmi vstupy Xi a Xj z kterékoliv podmnožiny Ns, s = 1,... ,r, je nezávislá na množstvích mimo Ns. Podmínka slabé separability je uvedena jako [Leontief (1947), Green (1964) a Berndt a Christensen (1973)]: Silná separabilita existuje, pokud MRS mezi libovolnými dvěma vstupy uvnitř Ns a Nt nezáleží na množstvích vstupů vně Ns a Nt, tj. nebo alternativně fjfik—fifjk = 0. Slabá separabilita vzhledem k části i? je nutná a dostačující, aby produkční funkce f{x) měla tvar f{x1,x2,... ,xr), kde xs je funkce pouze z prvků Ns. U silné separability je nutné a postačující pro f{x) mít tvar f{x1 + x2 + • • • + xr), kde xs je funkce pouze z prvků Ns. Kvazikonkávní homotetická produkční funkce f(x) je slabě separabilní vzhledem k části R v bodě tehdy a jen tehdy, když Allenovy elasticity substituce mezi dvojicemi vstupů jsou si rovny, tj. AESik = AESjk v bodě, kde i ^ j £ Nr, k ^ Nr. Funkce je silně separabilní tehdy a jen tehdy, když AESik = AESjk pro všechna i G Ns, j G Ntj k 0 NrU Nt. Pokud n = i?, pak všechny AESik, i ^ k jsou si rovny*. Tyto výsledky mohou být rozšířeny na nákladové a ziskové funkce, stejně jako na případ nehomote-tických produkčních funkcí*. Například pokud je f(x) homotetická a separabilní, pak duální nákladová funkce C(y,p) = H{y) • G(p), kde p je vektor vstupních cen, je slabě separabilní. Je třeba říci, že CjCik — CiCjk = 0 platí stejně jako fjfik - fzfjk = 0. d(fi/fj) dxk 0, Mi, j G Nseck Č Ns. (3.4) d(fi/fj) dxk 0, VieNa,jeNt,kčNa\JNt (3.5) *Viz Fuss a McFadden, Eds. (1980 kap. II.1, strany 244-248), o derivaci těchto pojmů ^ Aplikace věty o separabilitě na produkční funkce s lineárními a nelineárními parametry, viz Fuss a McFadden, Eds. (1980). Tyto věty o separabilitě, pokud platí, poskytují podmínky pro existenci konzistentního agregovaného cenového indexu ps a konzistentního množstevního indexu Xs na elementech Ns. Většina teoretických a empirických formulací produkční funkce v literatuře implicitně předpokládáme podmínky separability platí (převládají). 3.3 Dualita produkční technologie a nákladové a ziskové funkce Alternativní přístup k produkční teorii je použít nákladové a ziskové funkce ke specifikování základů produkční technologie. Teorie duality zajišťuje soulad mezi nákladovými a ziskovými funkcemi a produkční technologií. Výhody používání nákladových a ziskových funkcí k odvozování charakteristik základní technologie jsou výpočetní nenáročnost a zpracováním ekonomických pozorovatených proměnných povolují testování širších tříd hypotéz. Ke stanovení duality mezi nákladovou a ziskovou funkcí a produkční technologií je třeba několika matematických pojmů a tvrzení. Několik z nich je popsáno níže bez pokusu poskytnout nutné důkazy*. 3.4 Nějaké definice a vlastnosti nákladové funkce 1. Vstupně pravidelná množina výrobních možností je definována, pokud množina produkovatelných výstupů y* je neprázdná a pro každé y G y* vstupní požadavek L je neprázdná a uzavřená množina. 2. Obecná množina výrobních možností je definována, pokud je zde volné odstraňování vstupů [vlastnost (b) v části 2 kapitoly 3 na straně 95], a produkční množiny jsou zdola konvexní [vlastnost (h) v části 2 kapitoly 3 na straně 97]. Pokud je firma na konkurečním trhu s vyloženě kladnými vstupními cenami, p = p(p±,... ,pn) a vstupně ^Zájmce by měl nahlédnout do patřičných kapitol z Shephard (1970) a Fuss a McFadden, Eds. (1980). Viz také kapitola 12 tohoto textu v kapitole 7. pravidelná množina výrobních možností, její nákladová funkce může být definována jako C(y,P) mm{p • x\x G L(y)}. (3.6) Nákladová funkce C(y,p) označuje minimum celkových nákladů vstupních vektorů k získání nejmenšího výstupního vektoru y. Nákladová funkce je nezáporná, protože x a p jsou nezáporné a neklesající ve vstupních cenách pro pevný výstup. Nákladová funkce je kladně lineárně homogenní v p a je také konkávni ve vstupních cenách. Vlastnost konkávnosti vede k výsledku, že nákladová funkce je spojitá ve vstupních cenách, tj. pro p > 0 a y > 0. Teorie duality tvrdí, že nákladová funkce (3.6) existuje, že existují vstupně pravidelná množina výrobních možností taková, že (3.6) je minimum nákladové funkce. Aplikace vět o dualitě dává následující výsledky: 1. Každá vstupně obecná nákladová funkce udává implicitní množinu produkčních možností, která je vstupně obecná (tj. je vstupně pravidelná a splňuje podmínky volného odstraňování a konvexity). 2. Je zde vztah mezi vstupně obecnou množinou produkčních schopností a vstupně obecnými nákladovými strukturami^. Funkce vzdálenosti a nákladová funkce Funkce vzdálenosti je transformační funkce často používaná k popisu množiny výrobních možností. Používání této funkce dovoluje založení plné a formální matematické duality mezi transformací a nákladovou funkcí, neboť obě jsou použity ze stejné třídy funkcí a mají stejné vlastnosti. Toto naopak umožňuje zavedení tvrzení, že pokud vlastnost A transformační funkce implikuje vlastnost B nákladové funkce, potom podle duality vlastnost A nákladové funkce implikuje vlastnost B transformační funkce. Uvažujte funkci vzdálenosti F(y,x) =max{A > 0\(1/X)x 0, (3.12) tj. když je proměnný vstup zvýšen o nějakou část (A) a pevné faktory jsou zvýšeny mocninou A, pak výstup Y vzroste s další mocninou této části [viz Lau (1976)]. Pokud k\ = k2 = 1, pak převládnou konstantní zisky. 2. Produkční funkce je homogenní stupně k ve všech vstupech, pokud normalizovaná omezená funkce je téměř homogenní stupně —1/(1 — k) a —k/(l — k), pokud k 7^ 1. 3. Pokud je zisková funkce téměř homogenní stupně 1 a l/k, základní produkce je homogenní stupně k v Z. 4. Pokud je produkční funkce homogenní stupně k, pak derivace funkcí požadavku jsou homogenní stupňů -1/(1 - k) &-k/(l-k). Další výsledky struktury normalizovaného zisku jako homoteticita a spearabilita, mohou být vyvozeny a výsledky mohou být rozšířeny na mnohavýstupní případ [Lau (1980)]. Je postačující říct, že normalizovaná omezená zisková funkce je flexibilní metodou pro analytické a empirické analýzy struktury produkční technologie. Například Lau (1976) ukázal, že normalizovaná (omezená) zisková funkce může být použita k analýze relativní efektivnosti mezi dvěma firmami. Rozšířil funkci, aby zahrnovala adaptivní a očekávaně zpožděné opravy vstupů a vzal v úvahu jistý stupeň nejistoty cen [Lau (1980)]. Zajímavá apliakce je derivace struktury krátkodobé proměnné nákladové funkce a výsledné specifikace dlouhodobých nákladů. Uvažujme proměnnou nákladovou funkci: Cv = F(P,y,Ž) (3.13) a předpokládejme, že stupeň výstupu y je dán a máme pouze jeden pevný vstup Z a vektor N proměnných vstupů x s cenovým vektorem P = (pi,... ,pn)- Funkce variabilních nákladů musí být monotónně rostoucí a konkávni ve faktorových cenách P. Odpovídající krátkodobá nákladová funkce je Ca = F(P,y;Ž) + PžŽ, (3.14) kde -Ptf je cena Z. Optimální použití pevného faktoru je definováno implicitně pomocí obalové podmínky df(-) dZ Pž (3-15) za předpokladu, že funkce variabilních nákladů je klesající a konvexní v Z. Při uvažování optimální úrovně pevného vstupu implikovaného (3.15) jako Z = ifj(P,Y, P^), funkce dlouhodobých nákladů je C = H(P,y,Pž). (3.16) Derivací (3.13) a (3.14) podle Y a úpravami dospějeme k vztahu mezi cenovou elasticitou podle proměnné a krátkodobou funkcí nákladů. Tento vztah je vyjádřen jako r]s = (i + d)-y, (3.17) kde ľ]s a rf jsou elasticity krátkodobých a variabilních nákladových funkcí, a kde d = P^Z/CV je poměr fixních a variabilních nákladů. Na druhou stranu krátko a dlouhodobé elasticity mohou být spojeny pouze pokud platí obalová podmínka. V tomto případě derivováním (3.16) pomocí (3.15) získáme zřejmý výsledek, že krátko a dlouhodobé elasticity jsou identické: 77 = r]s. Pokud obalová podmínka neplatí, pak neexistuje jedinečný vztah mezi r]s a 77. AES spolu s variabilními náklady je také v relaci. Variabilní náklady AES, a^, jsou definovány jako <■= ' ,V » ProMVfc, (3.18) dF/dpidF/dpj kde dolní indexy označují vstupy. Všimněte si, že cr^- = crj^. Z (3.14) a (3.18) okamžitě plyne, že a. (1 + g?)c^-. AES spolu s dlouhodobou nákladovou funkcí je 13 dH/dptdH/dPj ' Vztah mezi cr^ a cr^- je vyjádřen takto: < = Wmä, V,, (3.19) a. tJ - (1 + + ff"1 Q1„ ,,JQ1„ J, ž, J 7^ A;, (3.20) <9 ln A; <9 ln £>, kde 5^ = PíXí/Cv je podíl variabilních nákladů na vstupu i. Rovnice (3.20) svazuje variabilní náklady a dlouhodobou AES s proměnnými faktory [Další diskuse viz Schankerman a Nadiri (1980).]. Je jednoduše ověřitelné, že vyžadovaná podmínka aij = je splněna. Dlouhodobá AES vyžadující pevné faktory je získána ze vztahu ^ ■ ctjO~ij = 0, kde a j = pjXj/C je dlouhodobý podíl nákladů vstupu j. 4 Funkcionální forma produkční funkce: Agregace zásoby kapitálu Bylo vynaloženo značné úsilí na specifikaci základnícho tvarů produkční funkce. Tyto základní formy jsou přístupné ekonometrické estimaci, v souladu s vlastnostmi technologického produkčního souboru popsaného v části 1 této kapitoly a postihují většinu ekonomických vlivů popsaných v tabulce 8.1 na straně 285. Kritéria pro výběr mezi různými fukcionálními tvary, ačkoliv značně závislým na cílech konkrétních analýz, mohou být vyjádřena takto: 1. konsistentnost s teoretickými vlastnostmi technologie produkce diskutovanými v kapitole 1 - tj. produkční funkce by se měla chovat rozumně, vykazuje soulad se standardními hypotézami, jako je kladný marginální produkt nebo konvexita; 2. hospodárnost v počtu odhadovaných parametrů a jednoduchá interpretace výsledků; 3. malá výpočetní složitost; 4. stabilita funkce v čase nebo v průběhu pozorování. Příklady určitých funkcionálních tvarů jsou diskutovány v první části tohoto oddílu. 4.1 Tvary produkčních funkcí Pro empirické analýzy je nezbytné specifikovat tvar produkční funkce mnohem precizněji. Současné úsilí je zaměřeno na odstranění omezujících rysů jako je additivita, separabilita, constanta elasticity substituce atd., které charakterizují tradiční produkční funkce. Krátce jsou diskutovány vlastnosti pár funkcionálních tvarů které se používají při ekonometrickém odhadu. Lineární homogenní produkční funkce Nejznámějšími členy této skupiny funkcí jsou : • Leontiefova produkční funkce (\ 1 \ y = min —x±, —x2 , kde a = 0; a, f3 > 0; (4-1) \a (3 J • Cobb-Douglasova produkční funkce y = Ax"x2, kde cr = 0; /j = a + f3 a (4.2) • CES produkční funkce y = 7 + (1 - <5)aľ2P]~" , kde a = j^O; \i = v (4.3) kde 0:1,0:2 jsou vstupy, a,/3 konstanty elasticity vstupů, A, 7 parametry účinnosti, (5(0 < ó < 1) je intenzita vstupů, 00 > p > —1 je substituční parametr a z/ je return to scale parametr funkce CES. Můžeme zmínit většinu vlastností třídy homogeních produkčních funkcí za použití CES jako příkladu. 1. Produkční funkce CES je jako Cobb-Douglasova produkční funkce silně separabilní. 2. Mezní produkt CES produkční funkce je kladná, pro nenulové vstupy monotónně klesající funkce. 3. Mezní míra technické substituce x\ za x2 je ( ô l-cr MRS 1-Ô (4.5) Pro jakoukoliv hodnotu MRS a a čím větší bude parametr intenzity vstupů (5, tím menší bude poměr vstupů —. To znamená, že produkční proces je tím více závislý na x\, čím větší je parametr ó. 4. Elasticita substituce pro CES je konstantní, nikoliv však nutně rovna jednotkové. Tedy o = Pro hodnotu a = 1 se CES produkční funkce redukuje na Cobb-Douglasovu funkci a pro a = 0 na Leontiefovu rovnici. Důležitým rozšířením CES produkční funkce je dvoustupňová produkční funkce CES. Nazývá se dvoustupňová, protože může být sestavena ve dvou fázích, za použití CES v každé z nich. Tato tunkce je silně separabilní s ohledem na nejvyšší stupeň rozdělení a silně separabilní v každém subagregátu. V prvním kroku jsou faktory shlukovány do bloků, které mají stejnou nebo velmi podobnou elasticitu substituce. Tato metoda může být aplikována ve vícekrokovém produkčním procesu reprezentací hranice produkční pravděpodobnosti jako střední hodnoty výkonových a logaritmických funkcí. Nechť první úroveň vstupních parametrů, zs, je definována jako funkce N vstupů Xi,..., x^, respektive S podmnožin s Ni,..., N$ vstupy. Přiklad : Ps 1 - < oo, s L... S (4.6) lieNs Druhý stupeň produkční funkce pak může být specifikován takto : (4.7) Direct partial elasticity of substitution" (DES) pro tuto funkci je: as pro i,j G Ns, i^ j harmonický průměi ar pro i G Nr, j G Ns, r ^ s, of- = l harmonický průměr a, crsa (4-8) získaná jako : kde D a + b + c l3 _a_ _|_ b_ _|_ c_ (Tr (To (J 11 11 11 a = Tr- Tr-, o = —— —— ac Os je relativní podíl nákladů s-té skupiny a je relativní podíl j-tého prvku s-té množiny na celkových nákladech. "Allen partial elasticity of substitution"je dána jako: a + ±(as-a) pro i, j G Ns, i ^ j ZJ { a pro i (E /Yr, j e Ns, r ^ s. v 7 Tedy cr^1 je konstanta pro faktory v podmnožinách; je konstanta pro faktory mezi podmnožinami. Každá z nich je přiřazena příslušnému substitučnímu parametru stejným předpisem, jaký se používá u n-faktorových CES funkcí, jmenovitě 1 1 vs =--; cr 1 - ps 1 - p Funkce proměnné elasticity substituce Máme dobré teoretické důvody, podpořené empirickými pozorováními, očekávat, že elasticita substituce je často proměnné a ne konstantní. Proměnné funkce elasticity produkce (VES) jsou často zobecněním CES produkčních funkcí. Narozdíl od CES produkčních funkcí VES funkce požadují, aby a sledovalo expanzní cestu, ale lišilo se od isokvant. Bylo zkonstruováno a odhadnuto několik takových funkcí. Příklady : 1. Liu-Hildenbrandova funkce : y = 1[{\- 5)K-rho + K~mpK-^-m)p] ~lp , (4.10) kde m je konstanta. Pokud m = 0, (4.10) se redukuje na známou CES produkční funkci, která obsahuje Leontiefovu a Cobb-Douglasovu funkci jako speciální případy. Elasticita substituce pro tuto funkci je = 1+ mg* (4-n) ^ Sk kde Sk je podíl na kapitálu. (4.11) znamená, že ^ záleží jak na podílu mezd w, tak na podílu pracovního kapitálu j^. Protože m a s k jsou kladná, vztah mezi proměnnou elasticitou substituce a(m) a konstantní elasticitou substituce a závisí na významnosti parametru p. Je li p^O(a^l)), potom a(m)^a 2. Transcendentálni produkční funkce: y = Jehf+^l)k{i-p)^ kde eje konstanta (4-12) Tato funkce se redukuje na Cobb-Douglasovu funkci položím-li a± = a2 = 0. Elasticita substituce závisí na vzájemném poměru faktorů L a K a je dána vztahem: (1 - P + (nKKP + a2L) ° (l - (5)((5 + a2L) + (5(1 - (5 + aiKf K' } 3. Constant marginal shares (CMS) funkce: y = ^K^IJ5 — mL, , mboxkdem je konstanta. (4-14) tato funkce je přímým zobecněním Cobb-Douglasovy produkční funkce (pro m = 0) a obsahuje speciální příad lineární funkce pro a = 1, (a + /3) = 1 a m je záporné. Elasticita substituce má tvar: „ = l-(-J? (4-15) což způsobuje, že průměrná produktivita ^ roste, když <7 —> 1, a že hodnota q závisí na levelu výstupu Y. 4. Revankarova funkce proměnné elasticity: y = -yK(l -8p)[L + (p - l)K]a8p- 7 > 0, a > 0, 0 < ó < 1, 0 < óp < 1. (4.16) Elasticita substituce této funkce je definována jako: a(K,L) = l + ^l = l + /3|. (4.17) Pro produkční funkci (4.16) je marginální produkt kladný, obsahuje Cobb-Douglasovuprodukční funkci, lineární produkční funkci a produkční funkci s pevnými koeficienty. Neobsahuje však CES produkční funkci. Nesmíme také zapomenout, že a závisí lineárně na ^. Toto je slabinou VAS funkcí. Obecnější případ VES produkčních funkcí, který překonává předchozí nedostatek může být formulován následovně: y = f(x1,x2) = E[LjnxlP1 + 2lj12xp11xp22 + uj22x22p2]^ (4.18) kde E je efektivnost; p, p±, p2 jsou substituční parametry; uuu, uj\2l uj22 jsou váhy. Při ujh + 2uji2 + uj22 = 1 a Pi + P2 = 2p se (4.18) redukuje na CES produkční funkci pro uui2 = 0, na VES funkci (Lu a Fletcher) pro uu22 = 0 a na VES funkci (Sato a Hoffman) pro uuu = 0. Při pi = p2 = p se redukuje na: y = G(xí, x2) = E[unxlp + 2lu12xpxp + lu22x22p}^p, (4.19) pro které elasticita substituce má tvar: kde R-- a 1 — p + R (c^iiz p + cui2)(a;i2 + a;22^ p) x = —. Použitím vhodných hodnot pro p se (4.19) redukuje na Cobb-Douglasovu (p = 0), s pevnými koeficienty (p = oc) a lineární (p = | a CU12 = 0) produkční funkci. Nezapomenout na to, že marginální produkt jenezáporný a elasticita substituce není monotónní funkce nebo kombinace faktorů. Přesto však tyto funkce mohou být zobecněny na mnoho vstupních proměnných a na funkce homogenní případně se sklonem většm než 1. Homothetická produkční funkce Každá homogenní funkce je homothetická, ale ne naopak, tedy homothetické funkce obsahují i nehomogenní funkce, tj. produkční funkce s proměnným výstupem. Jako příklad poslouží obecná produkční funkce y = g(f(K,L)), (4.21) kde f(K, L) je homogenní funkce libovolného stupně. Pro takovou funkci: 1. return to scale je zmenšený předdefinovaným způsobem s y, 2. příslušná křivka průměrných nákladů ukazuje klesající náklady na nízké úrovni výstupu a rostoucí náklady na vysolké úrovni výstupu, 3. funkce (4.21) může být zobecněna na n vstupů. 1. Marginální produkt (4.21) je kladný: a^=%<9/ dy = dg df dL d fdL a dK d fdK 2. Elasticita substituce příslušející kY = g(f) je stejná jako příslušející k funkci / 3. Je-li / neoklasická homogenní produkční funkce stupně a f a funkce y = g(f) má předdefinovanou funkci return to scale fi(y), pak platí následující diferenciální rovnice: df-f df ■ ^22) Aplikací Eulerovy věty dostáváme: a neboť / je homogenní stupně af. ~dL + ~dK = a'f Dosazením tohoto výrazu do (4.23) dostáváme (4.22). To znamená, že elasticita substituce může být vyjádřena právě tehdy když / je homogenní. Mnohem obecnější případ homothetických produkčních funkcí je třída paprskovitě homothetických funkcí jejichž return to scale závisí jak na vstupu, tak i na úrovni výstupu pro všechny apriory dané elasticity substituce. Produkční funkce $ : K™ —> K+ s vlastnostmi definovanými v oddílu 1 je paprskovitě homothetická právě tehdy když $(\x) = F(\H^G(x)) dá A > 0, kde G(x) = F~1( 0. (4.25) Je homothetická, pokud H(^) = a, kde a je konstanta, tj.: $(\x) = F(XaG(x)); A > 0. (4.26) Funkce (4.26) bude homogenní, pokud je navíc funkce F identita: $(\x) = \a$(x); A > 0. (4.27) Jednou z vlastností těchto funkcí je scale elasticita \i definovaná jako , (d$(\x) A Tento výraz má specifické tvary: (i) fii = fii(,&(x)), pro $ je paprskovitě homothetická (ii) fi2 = M2(|f|)5 Pro $ je paprskovitě homogenní (iii) fi3 = fi3($>(x)), pro $ je homothetická (iv) /i4 = /i4 = a, pro $ je homogenní. Optimální výstup paprskovitě homothetické funkce a homothetické funkce dostaneme, je-li \i\ = 1 nebo /í3 = 1; je to 0, nedeterminováno nebo oo pro paprskovitě homogenní nebo homogenní funkce. Příkladem paprskovitě homothetické produkční funkce (Fare, Jansson, Lovell) je: y. ®y = AKa+^T+<^)-1i/+7(f+^)-1; (4.28) kde $,7eM,/4,Q,^6M+aa + 7(f + ô^)'1 > 0. Vf : /? + 7(f + č^)"1 > 0. Pro 7 = 0 se (4.28) redukuje na homothetickou Cobb-Douglasovu funkci doporučovanou Zellnerem a Revankarem. Je-li a = 0 je (4.28) paprskovitě homothetická a pro 7 = <7 = 0 je homogenní Cobb-Douglasovou funkcí. Míra retům to scale pro (4.28) je definována takto: M( A, $(x)) = +---r-. (4.29) Technicky optimální výstup je přitom fi(-^,Q(x)) = 1, tedy , a + P-l 27 » = + ě(fTíi) ■ (4'30) Pro homothetická funkce, return to scale je (monotónně klesající) funkce pouze výstupu a tudíž technicky optimální výstup je stajná konstanta pro všechna pozorování. Pro paprskovitě homogenní funkce je return to scale (monotónně klesající) funkcí pouze vstupů a tudíž je technicky optimální výstup pro všechna pozorování nekonečno. Tyto nepravděpodobné výsledky však neplatí pro paprskovitě homothetické funkce. U nich return to scale závisí jak na vstupech, tak i na výstupech nechávaje technicky optimální výstup jak by každý očekával závislý na pozorováních. Nehomothetické produkční funkce Tyto funkce jsou charakterizovány isoclinami, které jsou definovány jako množiny bodů se stejnými marginálními měrami technické substituce, ale závisející na return to scale a optimálních vstupních poměrech. Mají flexibilní funkcionální tvar a tudíž jsou lehce adaptovatelné na více vstupů a produktů. Příkladem této třídy funkcí je nedávno vyvinutá transcendentálni logaritmická produkční funkce, která je často nazývána jako "translog"produkční hranice. Pravděpodobnostní produkční hranice F má tento tvar : F(yi,y2, ...,yn,Á) = 0, (4.31) kde íji odpovídá výstupům (a výstupům) a A je index míry technického pokroku. Translog funkce jsou často aproximovány logaritmickými funkcemi jako ln(F + 1) = a0 + y a* m Ví + 7o In A + - ^ ^ Qy ln zy, In ^ + ^ 7, In A ln zy, (4.32) i=l i=l J=l i=l Translog funkce nesplňují separabilitu, proto je vhodné otestovat podmínky separability. Translog funkce F je striktně quasikonkávní (striktně konvexní isokvanty) pokud korespondující hraniční Hessian matice prvních a druhých parciálních derivací je negativně definitní. To lze často prokázat empiricky v každém bodě (z dat) pro kteroukoliv odhadovanou translog funkci. Okrajové podmínky pro vstupy a výstupy jsou dány takto: *i = oii + y a*j m Vj + 7í m A 2, j = (1,..., n). (4.33) j=i Mezní míry technické substituce mezi výstupy, mezi vstupy a mezi vsupy a výstupy je PíVí ^1 PjVj ^3 Abychom získali speciální funkcionální tvary je třeba aplikovat tyto podmínky na (4.32). Pro ilustraci těchto podmínek a flexibility translog funkcí pro empirickou analýzu použijeme následující translog nákladové funkce s jedním výstupem. Podobné specifické funkcionální tvary lze získat přímou aplikací produkční funkce (4.32). Nákladové funkce jsou však často odhadnutelné jednodušeji. InC = a0 + ayhiy + \^yy(\jiy)2 + Ei=i lnp* (4.34) & ~ z, ' & & v +9y ln z/ ln T + XI Bi* ln p% ln T + 5t ln T +§5TT(lnT)2, kde C jsou celkové náklady, y je úroveň výstupu, pí jsou ceny vstupů a T je index času jako zástupce A indexu technického pokroku. Odvozený dopad na vstup Xi získáme parciálním zderivováním nákladové funkce podle ceny vstupu. ^ = (4.35 OPi Použitím Shephardova Lemmatu a parciálním zdiferencováním (4.34) dostáváme dlnC rrii = 1 a nebo neutrální pro a = 1. (5 je konstantní míra opotřebení všech zařízení nezávisle na jejich stáří. Budeme potřebovat ještě další předpoklady, než budeme moci agregovat kapitál s různým stářím a zkonstruovat J: že zboží se stejným stářím je identické, to s menším stářím je produktivnější než předchozí o konstantu, že mezní míra substituce mezi kapitálem s různým stářím je nezávislá na ostatních vstupech, že mezní produkt práce je vždy stejný (pro všechny ročníky kapitálu) a konečně že produkční funkceje to, co Fisher nazýval funkce "konstantních výnosů z obecného kapitálu". Neoklasická produkční funkce pak může být napsána takto: je tedy diferencovatelná, má kladný marginální produkt a konstantní výnosy a má následující vlastnosti: (4.42) 1. (4.43) a 2. Reálný poměr mezd je rostoucí funkce a poměr úroků (výnosů) je klesající funkce poměru capitálu a práce dw r J r , Á Á , - — - = —. (4.46) ar w Lw Pokud jsou splněny tyto podmínky, přítomnost heterogenního kapitálu a různé technologie produkce nebudou mít vliv na závěry neoklasické teorie produkce a produkční funkce bude existovat. Základní otázkou však je, zda tyto předpoklady budou obecně splněny. Cambridge School zpochybnila většinu těchto neoklasických předpokladů, zejména pak předpoklad ne reswitching, ne capital reversability a nakonec potom i existenci agregované produkční funkce. Reswitching a capital reversability Reswitching nedo double-switching fenomén vzniká díky třem podmínkám: ohromující aplikace vstupů do produkčního procesu, různá doba vývoje alternativních technnologických procesů a fakt, že výstup jednoho procesu někdy vstupuje jako vstup do jiného procesu. Důvody pro reswitching jsou poněkud jednodužší: více řešení vnitřních souvislostí míry návratnosti, která vznikají díky změnám úrokových měr, ketré pozměňují srovnávací cenu vstupů aplikovanou v různých dnech stejného technologického procesu. Je zřejmé, že reswitching znemožňuje jednoznačá nařízení k technikám ve smyslu výnosnosti a míry kapitalizace. Nejjednodužší cesta ja toto ukázat na dvou postupech využívajících různé mzdové křivky (obr. 3.1). Pro 0 < r < r\ se použije postup a, pro r\ < r < r2 je nejvýnosnější postup (5 a pro r > r2 se použije opět postup a. Neboť ai^a^ > ai^) a ail{a) > aii(j3) a 0,11 Jsou vstupní požadavky práce a kapitálu) a protože profit roste monotónně od r = 0 bude firma používat buď techniku a nebo (5 v závislosti na míře výnostnosti. Při reswitching není možné jednoznačně rozhodnout, která technika je kapitálově náročnější. Capital reversal vzniká, když je hranice faktoru mezd konkávni. K ilustraci tohoto problému si představme ekonomiku se dvěma sektory, 1 a 2, ve kterých jsou vyráběny dvě komodity, j/0 a v pevném poměru. Je mnoho technologií a každá technologie má přiřazenu hlavní specifikaci kapitálu. Pro n heterogenních skupin kapitálu, technologie ekonomiky může být vysvětlena pomocí knihy technologií. Nechť má kapitál nekonečnou životnost. V kompetiční rovnováze budou rovnice ceny vypadat následovně: Po = a0W0 + rawpi(a) (4.47) Pi(a) = aiW0 + raupi(a), (4.48) kde aij = — a a\j = — pro j = 0,1, £>o a £>i(a) jsou ceny ?/0 a yi(a), respektive y\{a) je výstup kapitálu typu a; r je míra výnosnosti; W0 je poměr nominálních mezd; kij(a) je množství kapitálu typu a použitého při výrobě jedné jednotky produkce j, j = 0,1 a L j je množství práce užité při produkci jedné jednotky zboží j. Pro danou technologickou je matice a lze z (4.47) a (4.48) odvodit následující závislost ceny práce a relativní cenové relace : = -5- = 7^-š---, (4-49) P0 (1 - anr)am + awa£1r EM = -«£!-. (4.50) Po (1 - ann^o + CLWa£1r a10 Je-li £ = Trff > 1 je kapitálově náročnější sektor 1, v případě že £ < 1 je náročnější sektor 2. Vlastnosti ceny práce a relativních cenových vztahů, popsaných v (4.49) a (4.50) jsou v přímém rozporu s reswitching a capital reversing. Poměr cen faktorů (w — r) může být jak konvexní tak i konkávni k počátku. Ve speciálním případě kdy je vztah ceny (4.50) lineární tj. I = 1 ukazuje, že poměr kapitálu a práce je v obou sektorech stejný.V tomto případě není užit reswitching a hodnota kapitálu je zároveň nezávislá na hodnotě r, tj. capital reversing se také nepoužívá. Jakmile poměr kapitálu a práce není stejný v obou sektorech cenová křivka nemá tvar přímky. Bude konkávni, pokud proporce faktorů je vyšší v sektoru 1 než v sektoru 2. V opačném případě bude konvexní. Ve skutečnosti pokud máme více komodit může tato křivka například být ze začátku konvexní, pak konkávni a následně opět konvexní. Závěrem této diskuse pak je, že v okamžiku přítomnosti reswitching a capital reversing není konstrukce agregované produkční funkce logicky možná. Tudíž závěry vytvořené na základě literatury o agregovaných produkčních funkcích stojí na velmi křehkém základě. Existuje několik metod, jak překonat tento problém; dále uvedeme jenom dvě z nich. Pseudoprodukční funkce Joan Robinson (1956) doporučil měřit různé části zásoby kapitálu pomocí času zaměstnanců, který je potřeba k jeho vytvoření nezávisle na změnách úrokových měr v době jeho tvorby. Zařízení, které bude ve skutečnosti použito v dané rovnovážné situaci bude to s nejvyšší mírou výnosnosti při dané mzdové míře. Předpokládejme dokonalou konkurenci, známé míry mezd a zisku a konstantní retům to scale produkce. Potom rovnováha nastane když: K = wLq(l + rf = v ~ wL\ (4.51) r kde K je kapitál měřený ve formě spotřebního zboží, w je míra mezd, r je míra ziskovosti, Lg je práce potřebná k vytvoření jednotky kapitálu za období t, y je vyprodukované spotřební zboží za použití Lc práce a jednotky zařízení. Kapitál měřený prostřednictvím práce pak je KL = — = Lg{\ + r)t. (4.52) w Pro každou jednotku zařízení, y = wLc + rwLg(l + r)t (4.53) což může být přepsáno jako w =-V—--. (4.54) Lc + rLg{l + r)ť v ; Tento vztah popisuje náklady a hodnotu každé položky vybavení a vede na Robinsonovu Pseudoprodukční funkci zobrazenou na obrázku 3.3 závislosti výstupu na hlavu na kapitálu na hlavu. Všimněme si, že 1. body a,b,...f reprezentují stacionární body rovnováhy a mohu být navzájem porovnány, protože kapitál i výstup je měřen ve stejných jednotkéch, ale posunypo křivce porovnány být nemohou 2. pseudoprodukční funkce nemůže být diferencovaná, abychom posoudily důležitost cen faktorů. Z pohledu teorie produkce má tato procedura nevýhodu, že stejný kapitál může mít různou hodnotu ve dvou různých rovnovážných situacích, neboť souvisí s různým poměrem mezd k profitu. Metoda řetězového indexu Champernowne se pokusil zkonstruovat jednotku k měření zásoby kapitálu za pomocí své techniky řetězového indexu. Pokud může být taková jednotka změřena, pak může být zkonstruována produkční funkce sledující konkávni vztah mezi výstupem na jednotku práce a kapitálu na na jednotku práce, což umožňuje aplikovat teorii mezního produktu. Přiklad: Nechť základem indexu je reálná hodnota 7 vybavení rw a nazvěme ji K^). Předpokládejme, že poměr kapitálových nákladů (5 ke 7 technologii při r 2 je 3 : 1 a že poměr kapitálových nákladů (5 k a technologii při v\ je 6 : 5. Potom řetězový index této heterogenní množiny kapitálu bude K(^) = (1:3:3x6/5). Tedy když klesne úroková míra dojde k nárůstu množství kapitálu. Champernowne je potom schopen poskládat všechny alternativní postupy do řetězu pro nějaké predeterminované mýry výnosnosti. Rozdílné zásoby kapitálu jsou potom seřazeny jednoznačným způsobem. Konvenční produkční funkce, jejíž výstup je vyjádřen jako vztah mezi prací a kapitálem může být rozšířen pomocí parametrických variant míry ziskovosti a obvyklá analýza mezního produktu může být použita. Několik předpokladů tvoří základ metody řetězového indexu ke konstrukci produkční funkce: 1. konečný počet stacionárních bodů 2. stacionární rovnovážné situace pro všechny nezáporné hodnoty úrokové míry, minimálně do maximální míry. 3. jednoznačný vztah mezi cenami a přípustnými úrokovými mírami 4. žádný stacionární bod se neopakuje 5. žádné překryvy mezi stacionárními stavy, kromě koncového bodu 6. množina hodnot úrokových měr je uzavřená Kapitola 9 Teorie oligopolu Teorie oligopolu se zabýva stavem, který lze popsat jako stojící na rozmezí mezi monopolem a standardní konkurencí. Na trhu se nenachází jediná firma, tudíž neřeší jen problém maximalizace zisku jako v monopolu, zároveň jsou však firmy dostatečně velké k tomu, aby jejich akce ovlivňovaly firmy ostatní. Poptávková strana je na rozdíl od nabídkové reprezentována jednotlivými nakupujícími, kteří nejsou schopni jakoukoliv svou akcí ovlivnit ostatní nakupující nebo prodejce. Navíc se pro většinu modelů neuvažuje, že by nakupující mohli vytvořit nějaké organizované skupiny. V následujících kapitolách se budeme zabývat modely vysvětlující optimalizaci převážně v jednom období, začneme Cournotovým modelem, který je historicky prvním výplodem snahy o modelování oligopolních struktur, a budeme postupovat přes Cournotovy odpůrce až k modelům založeným na teorii her. Ačkoliv byl Cournotův model prvním snažil se nejen o vysvětlení optimalizace oligopolní firmy v jednom období, ale také v mnoha obdobích (reakční křivky). Přestože se této myšlence nedostalo v Cournotově modelu dalšího rozvoje, stala se inspirací pro další modely, které se snaží řešit optimalizaci v mnoha obdobích pomocí maximalizace diskontovaného příjmu. V následující části si povíme právě o těchto modelech optimalizace ve více obdobích. 323 1 Prvopočátky studia oligopolu - modely s jedním obdobím Jak již bylo naznačeno v předcházející části, prvním člověkem, který se zabýval studiem oligopolních struktur, byl Antoine Augustin Cournot. Ve své práci popisoval monopol a také prostředí se značnou konkurenční silou a zřejmě pro pořádek se rozhodl také uvést jako přechod mezi těmito dvěma protipóly situaci prostřední. Tedy trh s malým množstvím větších firem. Jelikož byl Cournotův model prvním, našla se řada nesouhlasných názorů. Bertrand namítal, že firmy nevolí vyráběné množství na základě trhem určené ceny, ale samy určují cenu pro svůj výrobek a podle tohoto argumentu vytvořil model vlastní. Dalším odpůrcem Cournotova modelu byl Chamberlin, který rozporoval naprostou homogenitu produktů jednotlivých firem. I tato domněnka se dočkala svého vlastního modelu. 1.1 Cournotův model Nechť máme trh s n firmami, které prodávají homogenní produkt. Celkové množství vyrobených výrobků všech firem označíme Q, přičemž z-tá firma do tohoto množství přispívá množstvím qi: tedy musí platit n Q = 5>- (L1) i=l Pokud cenu na trhu označíme p, potom můžeme zapsat inverzní funkci poptávky jako P = f(Q), (1-2) přičemž / musí být dvakrát diferencovatelnou, klesající, protínající obě osy. Její tvar vystihuje graf níže (na straně 325). p p Q Q Obrázek 9.1: Inverzní funkce poptávky Každá firma má svou vlastní nákladovou funkci Ci{qi). Požadavky na tuto funkci jsou, aby byla • dvakrát diferencovatelná, • nezáporná, • konvexní a měla • kladnou první derivaci. Z ekonomického hlediska tyto požadavky znamenají • fixní náklady jsou nezáporné • mezní náklady jsou kladné a neklesající s rostoucím výstupem. Ziskovou funkci je potom možné získat jako 7ri = qif(Q)-Ci(qi), i = l,2,...,n. (1.3) Jak je vidět, model se zaměřuje na rozhodováni v jediném období a neposkytuje tak firmám žádnou možnost měnit svá rozhodnutí na základě minulosti. Zisková funkce musí splňovat, že je konkávni vzhledem k množství výstupu, tedy d2 7T dq2 Podmínku dosažení optima můžeme definovat dvěma způsoby: • Je dosažen kladný výstup za kladnou tržní cenu, při kterém platí < 0. (1.4) dqz f(Q) + QifiQ) - C[(qt) = 0, i = l,2,...,n (1.5) vektor množství produkce qc je optimem, pokud q? > 0 (i = 1, 2,..., n) a žádná firma nemůže zvýšit svůj zisk volbou qi ^ qf Druhá možnost plyne z podmínky (1.5) a je charakteristickou pro Cournotův model. Jediná firma sama o sobě nemůže zvýšit svůj příjem, pokud ostatní firmy zvolí množství výroby z bodu optima. Samo dosažení Cournotovy rovnováhy však pro firmy nemusí znamenat výhru. Bod rovnováhy totiž nemusí být nejlepším možným výsledkem a dokonce není ani Pareto optimální. Toto tvrzení se pokusíme dokázat přes předpoklady, které model splňuje. Předpoklad 1 Inverzní funkce poptávky f(Q) je definovaná pro Q > 0 a je spojitá. Existuje Q > 0 takové, že pro Q > Q platí f (Q) = 0 a pro Q < Q platí f (Q) > 0. Dále předpokládáme, že /(O) = p < oo, a pro 0 < Q < Q má / spojitou druhou derivaci a zápornou derivaci první. Předpoklad 2 Nákladová funkce z-té firmy Ci{qi) je definovaná a spojitá pro veškerá nezáporná množství výstupu, (7^(0) > 0. Funkce Ci{qi) má spojitou druhou derivaci pro qi > 0 a kladnou derivaci první. Předpoklad 3 Pro každé qi > 0 a Q < Q platí /' - C! < 0, /' + qif" < O- Věta 1 Cournotův model oligopolu splňující podmínky 1-3 má jediný bod optima. Věta 2 Pokud qc ^> 0, pak existuje q* > 0 takové, že 7^ (q*) ^> 7^ (qc), ž = 1, 2,..., n. Věta 2 ukazuje, že Cournotova rovnováha je vnitřní, tedy není Pareto optimální. Význam pojmu vnitřní můžeme ukázat na případě, kdy n = 2 pomocí následujícího obrázku (na straně 328). °n ( 0 je výstup ž-té firmy. Její nákladová funkce je tvaru Ci(qi, cti), kde cti je parametr. Máme na mysli aplikace pro dvoustupňové Cournotovy hry, kde ve druhé etapě jsou firmy Cournotovi soupeři, a v první fázi, firmám vznikají náklady na změnu parametru. Například, cti může být základní kapitál ž-té firmy, který je vybrán v první fázi. Funkce inverzní poptávky budeme značit P(Q) a položíme Q = ^ Budeme pracovat s následujícími předpoklady. AI: Existuje nějaké Q > 0 takové, že P(Q) > 0 pro pro všechna G (0, Q), a P (Q) = 0 pro Q > Q. A2: P" (Q) je spojitá funkce, P(0) = P > 0 a P'(Q) < 0 pro Q G [0, Q). A3: CAqi, cti) je dvakrát spojitě diferencovatelná v proměnné a —— > 0 pro všechna G (0, Q). ^£7. <92C _ A4: ČAO, cti) = 0, ^—^(0, ctA = 0 a * > 0 pro všechna G (0, Q). dql äqf A5: qlP"(Q) + 2P'(Q) < 0 pro všechna 0 < q, < Q < Q. A5(b): qtP"(Q) + P'(Q) < 0 pro všechna 0 < q% < Q < Q. _ _ d2C A6: —P'(Q) > ô > 0 pro Q G [0, Q) a, pro všechna 0 < < Q, _ * < 6 pro vhodné b > 0. Všimněme si, že A5 (b) implikuje A5, to je zajištěno tím, že reakční funkce P'(Q) mají negativní sklon. Definujme mezní náklady firmy ž jako dG . . Rovnice 1.6 nám z duality mezi produkční a nákladovou funkcí bezprostředně dává rovnici 1.7 q% = pt(9z,az\ (1.7) přičemž —^ > 0 pro všechna 9i > 0. Kromě toho, z důvodu platnosti A4, máme /^(0,c^) = 0. u9i Uvažme podmínku prvního řádu pro vnitřní rovnováhu: qiP'{Q)+P{Q)=0i, (1.8) kde stříška označuje rovnovážné hodnoty. Sčítáním rovnic 1.8 přes všechna i (E M dostaneme rovnici 1.9: QP\Q)+mP(Q) =m9M, (1.9) kde m9M = X] i 0 a 0(Q) < 0. Z toho vyplývá, že pro všechna 9m £ [0, P] existuje jediné Q(9m) tak, že splňuje 1.9, a zároveň platí dQ m d9M 0' Po úpravě rovnice 1.8 obdržíme rovnici P(Q) -0i , . qz = w , . 1.10 -P'(Q) Použitím rovnic 1.10 a 1.7 dostaneme rovnovážnou podmínku pro mezní náklady firmy i v závislosti na 9m a o^h tj. rovnici 1.11: ft(4ai).*mh. (1.n) Tato rovnice má jediné řešení Oi = 7í(0m,oíí). (1.12) Jednoznačnost 9 i v závislosti na 9 m a glí je zřejmá z následujících skutečností: (i) levá strana rovnice 1.11 roste v závislosti na 9 i a má hodnotu 0 v bodě 9 i = 0, (ii) pravá strana rovnice 1.11 ostře klesá v závislosti na Q i pro daná 9 m & ®í a má pozitivní hodnotu-(^K M^— > 0 v bodě 9 i = 0. -P'(Q(9M)) Dále je funkce Jí(9m, &í) spojitá pro všechna 9m £ [0, P]. Definujme funkci r(0M,tt) = —y^Tí^M,^), (1.13) kde a = («i,...,am). Pro dané ol je funkce F(9m,oí) spojitá v proměnné 9m W° všechna 9m £ [0, P] zobrazuje množinu [0, P] do sebe. Z Kakutaniho věty o pevném bodě plyne,že existuje pevný bod 9m, který splňuje rovnici V(9m, cx.) = 9m-Zbývá ukázat jedinečnost 9m tak, že ověříme, že zobrazení V(9m, oĺ) je kontrakce. Pojďme najít ——. Z 1.11 máme 39 m 3j% 39 m d; -3Q 39 m (1.14) kde a A = l-P\Q(9M))]^- + 1 > 5- + 1 = D > 1 A* = -^"(Q(M) - > o. Tudíž <97í 1 ° 0. Fi(p) je dvakrát spojitě diferencovatelná pro všechna p ^> 0, kromě p (E U<2j. Pokud p (E aj pro j = z'i,..., ik a p ^ pro j = ik+i,... ,in, pak existují Ai = {p\p>0,Fi(p)>0}. n i=l j v p spojité druhé derivace podle pik+1,. ..,pin. Všechny derivace jsou ohraničené a pokud F,(p) = 0 pro p <£ A, všechny derivace F3 (j = 1,..., n) podle p% jsou nulové. Pro p G A% n Ä3(j ^ z), F?(p) > 0 a pro peÄtr]Än... Äik,F;(p) + Y!]=1 F^ (p) < 0. Dále je množina A ohraničená. Nyní můžeme napsat funkci zisku firmy: 7Ti{p) =PiFi(p) - Ci{Fi(p)), Z = 1, ... ,72. Pro poptávkový systém daný předpokladem 4 je charakteristické, že množina A obsahuje jediný maximální prvek p+. To znamená, že existuje takové p+ G A, Fz(p+) = 0 (pro všechna i) a pro jakékoli p G A,p ^ p+, Fi(p) > 0 pro aspoň jedno pevné i. Obrázek 9.3: Znázornění předpokladu 4 Můžeme definovat rovnováhu v Cournotově duchu. Ačkoli striktně řečeno Cournotova rovnováha se používá pro jeho kvantitativní model, základní idea se dá zjevně přenést do současného modelu, takže se zdá být logické nazývat její protějšek, definový níže, úplně stejným jménem. Řekneme, že pc je cenový vektor Cournotovy rovnováhy, pokud pc ^ 0 a platí Ki{pc) = ^i(Pi,Pi), pro všechna Pí > 0 a i = 1,..., n. Připomeňme znovu, že základní vlastností je ta, že pokud všechny ostatní firmy zvolí Pj, pak nejlepší možností pro ž-tou firmu je také zvolit p^. A toto platí pro jakékoli i. Existuje určitá podmnožina množiny Ai, které musíme věnovat pozornost. Je to A* = {p | p G Az a Pi > C[(Fl(p)),i = 1,... ,n} . A* je množina cenových vektorů z Ai, pro které jsou ceny firmy i aspoň tak velké jako její mezní náklady. Je zřejmé, že pro jakékoli p ^ A* bude celkový příjem firmy menší než její variabilní náklady (samozřejmě za předpokladu nenulových prodejů). Tedy v Cournotově rovnováze platí pro každou firmu buď pc G A* o o nebo Pí = Pí - Vnitřek množiny A* označíme A*, A* = U^=1A* a A* je vnitřkem A*. Než budeme pokračovat dále, potřebujeme definovat ještě jednu speciální cenu. Tou je nejnižší cena, při které firma může mít nulové prodeje. Tato cena p® splňuje podmínku (p®, 0) G ^. Dalšími předpoklady modelu jsou: Předpoklad 5 Pro každé p G Ä*, d27ľi/dp2 < 0. Předpoklad 6 o Pro každé p G A*, d2 dp, ^1 2 +E d2^ dPidPn < 0. Předpoklad 7 p?>q(Fi(P?,o)) = q(o). Předpoklad 5 zavádí konkávnost ziskové funkce z-té firmy vzhledem k pi, vlastní ceně firmy v množině, ve které její cena není nižší než mezní náklady. Tento předpoklad se používá pro důkaz existence Cournotovy rovnováhy, což uvidíme níže. Předpoklad 6, který implikuje Předpoklad 5, zajišťuje, že cenový vektor Cournotovy rovnováhy je pevný bod kontrakce, to tedy znamená, že rovnováhy je jediná. Předpoklad 7 nám říká, že ať ostatní firmy zvolí jakékoli ceny, pro ž-tou firmu je nejvýnosnější cena taková, při níž firma prodává (tedy prodeje jsou kladné). Díky tomuto předpokladu tedy dokáže firma vždy najít cenu, při níž jsou mezní příjmy a mezní náklady stejně velké (při kladných prodejích). Věta 3 Pokud platí Předpoklady 2, 4 a 5, model oligopolu s jedním obdobím má Cournotovu rovnováhu. Věta 4 Pokud platí Předpoklady 2, 4, 5 a 7, ceny a výstupy jsou kladné pro všechny firmy v jakékoli Cournotově rovnováze. Věta 5 Pokud platí Předpoklady 2, 4, 5 a 6, Cournotova rovnováha je jediná. Pokud navíc platí Předpoklad 7, pak všechny ceny a výstupy jsou v rovnováze kladné. Věta 6 Nechť pc je cenový vektor Cournotovy rovnováhy uspokojující Předpoklady 2 a 4 a pc 2) je kontrakce; proto je model stabilní, pokud q[ = Wifa) je odpovědí na q2 a q'2 = w2(qi) je odpovědí na q±. Takto můžeme nakreslit cestu výstupních párů, což vede k qc. Ať už Cournot zamýšlel zavést stabilitu nebo popsat mechanismus fungování v modelu s více obdobími, udělal pouze úplný začátek. Pokud chceme popisovat nějaký systém v čase, musíme nejdříve explicitně specifikovat časovou strukturu modelu. Kdo dělá jaké rozhodnutí a kdy? Jaké a čí jsou výnosy a v jakém čase? Na tyhle otázky musí být odpovězeno. Pokud firmy mají fungovat na trhu s více obdobími, je logické se domnívat, že se budou snažit maximalizovat (diskontovaný) tok zisků nežli maximalizovat krátkozrace jen pro současnost. Ovšem je možné, že krátkozraká maximalizace může maximalizovat tok zisků; nicméně toto nemůže předpokládat, nýbrž musíme dokázat. V každém případě Cournot se nad tímto nezamýšlí. Místo toho zavádí věci, které mohou vést ostatní k položení těchto otázek a udělat s tím něco dál. Bowley (1924) (ve své práci, která je velmi podobná Cournotově) přepsal rovnici 5 do následujícího tvaru: ^ = f(Q) + qif(Q) - C'(qi) + qtf(Q)djl irj,i = \,2 dql dql Poslední člen v předchozím vzorci se nazývá hypotetická variace, část qif'(Q) je parciální derivace zisku i podle výstupu j a derivace dqj/dqi udává změnu qj, která je podle firmy i spojena se změnou tzn. firma i očekává, že firma j volí qj jako funkci závislou na Ovšem Bowley také nespecifikuje časovou strukturu. Poukazuje však na důležitou věc: politika, které se firma drží, je ovlivňována politikami, které si myslí, že používají její rivalové, říká tedy, že firma volí podle toho, co si myslí, že ostatní firmy budou dělat, nikoli podle toho, co skutečně dělají. Bowley má pravdu, ale ne úplně. Zanechává dojem, že to, jak se firmy chovají a jak se očekává, že se budou chovat, jsou dvě naprosto odlišné věci. Jestli je toto pravda však závisí na povaze modelu a v některých důležitých případech není příliš místa na nějakou persistentní divergenci mezi skutečným a očekávaným chováním rivalů. Takové rozdíly mohou existovat a přetrvávat v rovnováze pouze když firmy dostávají informace, které nenarušují jejich očekávání. To můžeme ilustrovat na specifické verzi Cournotova modelu pro více období, používajíce funkci nejlepší odpovědi jako reakční funkci. Pro účely této kapitoly reakční funkce firmy je funkce, která dává rozhodnutí v období t (o ceně nebo výstupu), vystupující jako funkce rozhodnutí z období t — 1. Tedy qi,t = Wi(qijt-i), ž = l,...,n, definuje Cournotovu reakční funkci. Dvě podmínky jsou vyžadovány pro Wi(qi7t-i), aby poskytovala optimální chování firmy i. První udává, že firma maximalizuje svůj současný zisk pomocí současných rozhodnutí. Druhý je ten, že firma i očekává rovnost mezi q^t a qj}t-\ pro j ^ i. První podmínka je otázkou preferencí firmy a nečiní nám žádný problém. Druhá ovšem může přijít do konfliktu s jinými fakty. Představme si situaci, kdy qt-i ^ qc a firma, před tím, než si zvolí své rozhodnutí, se dozví skutečná rozhodnutí ostatních firem v předchozím období. Když si pak firma uvědomí všechny své minulé volby, musí si všimnout toho, že ostatní firmy obecné neopakují svá minulá rozhodnutí. Tedy tato podmínka nemůže být pravdivá. Pointou zde je zjištění, že skutečné a očekávané chování firmy se mění podle časového hlediska. Cournotovy i Bowleyovy příspěvky pro teorii oligopolu stále zůstávají v centru dění, ikdyž se pro mnoho autorů staly časem nestravitelné. 2.2 Behaviorální hypotézy Sweezyho a Stackalberga Následující obrázek (9.4) znázorňuje známé Chamberlinovi dď a DD' křivky. Každá znázorňuje poptávku, které čelí jedna firma, jako funkci stanovené ceny výrobku. Pro dď se předpokládá, že ostatní výrobci cenu nijak nepřizpůsobí. Naproti tomu DD' křivka je sestrojena na základě předpokladu, že všichni výrobci změní cenu přesně podle změny pi. Obrázek 9.4: Chamberlinova rovnováha V místě rovnováhy, kde dochází k protnutí obou křivek označené jako p*, Sweezy předpokládá chování firem následovně. Jestliže firma zvýší cenu, pak ostatní firmy ceny ponechají nezměněny, a tedy pro firmu to bude znamenat posunutí po křivce dď. Naopak pokud by se firma rozhodla cenu snížit, pak by ji ostatní firmy následovali, a tedy by došlo k posunutí po křivce DD'. Za těchto předpokladů firma nemůže zvýšit svůj zisk, jestliže: n *!(p*) < o < £*íV) (2.1) j=i Sweezyho rovnováhy je potom dosaženo, jestliže nerovnost (2.1) je při ceně p* splněna pro všechny firmy. Za jakých okolností je však této rovnováhy dosaženo? Ve statických modelech, o nichž jsme pojednávali v předchozí subkapitole, tato rovnováha nedává smysl*. V dynamickém modelu, kdy se jednotlivé firmy snaží maximalizovat současnou hodnotu budoucích zisků, a kdy se změnami cen jsou spojeny dodatečné náklady, které převyšují možný zisk plynoucí ze změny ceny, pak stav odpovídající Sweezyho rovnováze skutečně může být udržován. Bližší pohled na Sweezyho rovnováhu odhaluje jednu nepříjemnou skutečnost. Uvažujme o rozhodování jedné firmy. Rozhoduje se: (a) jestli se odchýlit od p* za předpokladu, že je ceny p* dosaženo, a že ostatní firmy se budou chovat podle svých reakčních funkcí, které určují stanovení ceny v případě, že někdo zahraje odlišnou cenu od p* (b) jakou reakční funkcí se sama bude řídit Označme reakční křivku ž-té firmy jako 4>i(p*,p'j), která udává cenu, jakou má ž-tá firma zvolit, pokud je na trhu stanovena cena p* a j-tá firma se odchýlila od p* zahráním p'-. Sweezyho reakční křivku pak můžeme vyjádřit následovně: ^-{T^^VA' (2-2) přičemž výše uvedené (a) a (b) musí být určeno pro libovolné možné p*. Otázkou však zůstává, jestli takto zvolená strategie firmy je nejlepší možnou odpovědí na strategie ostatních firem. Uvažme Chamberlinův model vyhovující předpokladům 2 a 4, a kde pro cenu p* platí rovnice (2.1). Řekněme, že první firma se * Smysl by dávala jen pokud by byla cena p* dána, tak aby vyhovovala rovnici (2.1) a pokud by rozhodnutí o změně ceny jakékoliv firmy bylo oznámeno ostatním firmám dopředu, tak aby mohli vybrat optimální akci na toto rozhodnutí. odchýlí od p* o dpi a ostatní firmy 2,..., n reagují dle Sweezyho reakční funkce. Tedy, že dpj = dpi , jestliže dpi < 0 a dpj = 0, jestliže dpi > 0. Zisk maximalizující reakce n-té firmy je charakterizována rovnicí iľn{p') = 0- Pr0 rnalé hodnoty dpi je to aproximativně 7t^(j4,p*n) = 0, tedy otimální reakce n-té firmy nebude záležet na tom, jestli první firma zvýšila či snížila cenu. Výše popisovaná rovnováha, založená na reakčních křivkách však převyšuje to, co tvrdil Sweezy. Tedy pouze to, že při daném p* splňujícím rovnici (2.1) a při daných reakčních křivkách, žádná firma nemůže změnit cenu tak, aby zvýšila svůj zisk. To je skutečně pravda, i když takto zadefinované reakční křivky nejsou optimálními reakčními křivkami. Stackelberg podobně jako Sweezy svým modelem popisuje speciální případ oligopolu. V jeho případě však zvláštnost modelu nespočívá v žádném předpokladu určitého chování firem, ale v postaveni firem na trhu. V jeho podání se v podstatě jedná o zasazení Cournotova modelu duopolu do dynamického rámce tím, že se předpokládá, že jedna z firem je cenovým tvůrcem (leader) a ta druhá cenovým příjemcem (follower). Předpokládejme, že první firma by byla cenovým příjemcem. Potom její rozhodování o tom, kolik vyrobí, je dáno její reakční křivkou qijt = W\(q2.t-\). Pokud by i druhá firma byla cenovým příjemcem, pak by i ono se řídila na základě W2, což postupně směřovalo k rovnováze qc. Naopak je-li druhá firma cenovým tvůrcem, pak předpokládá, že se první firma jejímu rozhodnutí podrobí. Tím je do modelu zasezen dynamický rámec, neboť druhá firma ví, jak na její výrobní politiku odpoví první firma. Potom její zisk v čase t můžeme vyjádřit jako funkci ^2(^1(32,4-1), Q2,tj- Nalezení optimálního q2 pak spočívá ve splnění podmínek prvního řádu, tedy: ^l(w1(q2),q2)w,1(q2) + TT^ife), 32) = 0 Tento model je však odvozen jen za výše uvedeného předpokladu konceptu chování, přestože nebyl nikde teoreticky zdůvodněn, proč by se firmy měli chovat právě tak. Další slabinou je to, že model nepředpokládá, že by firmy mohly změnit svá rozhodnutí během dalších období. Výše uvedeným postupem je získané rovnovážné množství Nashovou rovnováhou právě pro hru, která končí rozhodnutím první firmy Závěrem ještě doplňme naši úvahu o případ, kdy by si obě firmy myslely, že jsou cenovými tvůrci. Tato sitauce je nazývána Stackelbergova nerovnováha. Nejenže každá firma dělá špatný předpoklad o chování té druhé, ale také odpovídajícím způsobem vzniklá rovnovážná dvojice cen nebyla žádnou z firem očekávána. 3 Dynamické modely Zde zmíněné dynamické modely můžeme rozčlenit do následujících čtyř skupin: • Tradiční funkčně reakční modely- tyto modely jsou odvozeny od Cournotovy stability popisované z roku 1927. Klíčovým prvkem těchto modelů s diferencovaným produktem je to, že každá firma se rozhoduje podle spojité funkce p^t = i/ji(pt-i), která udává stanovení ceny v čase t na základě minulého cenového vektoru p. Druhým klíčovým prvkem těchto modelů je to, že každá firma volí svoji reakční křivku i\)í s ohledem na maximalizaci současné hodnoty všech budoucích zisků. • Modely s náklady na změnu cen - v těchto modelech se firmy rovněž snaží maximalizovat současnou hodnotu všech budoucích zisků, ale zde již každá provedená změna cen něco stojí. Alternativní přístup spočívá v předpokladu určité časové prodlevy mezi oznámením a projevením se cenové změny • Modely formulované jako abstraktní hry - tyto modely mohou být jednoduše aplikovány i na oligo-poly. V podkapitole 4.3 je ukázán model, který i za podmínky nekooperativity dosahuje Paretovské rovnováhy. • Model s časovou závislostí - v tomto modelu zisky závisí na akcích ze dvou předchozích období. Díky tomu je mj. možné zavést do modelu investice, kdy pak kapitál v období t je dán minulou velikostí zásoby kapitálu a investicemi v čase t — 1. 3.1 Zpožděné funkčně reakční modely Vyjděme z náhodně vybraná dvojice výstupu (q'i,^)- P°té první firma na základě své reakční křivky zvolí q'{ = ^1(^2)- Následná dvojice výstupu je získána reakcí druhé firmy na q", tedy q2' = W2{q'{). Takto Cournotem popsaný princip dosahování rovnováhy Cyert a deGroot zasadili do dynamického rámce, v němž výplatní funkce mají následující podobu: T ^2^i(qi,t,q2,t), i = 1,2 t=i S tím, že firma 1 volí výstup pouze v lichých obdobích, takže qijt = qi,t-i- Druhá pak výstup může měnit v sudých období. Současná možnost změny výroby je tedy v tomto modelu znemožněna. Uvažíme-li model, ve kterém je poptávková funkce lineární a nákladová funkce kvadratická, pak bude i zisková funkce, od níž odvozujeme reakční křivky, kvadratická. Pro první firmu pak optimální rozhodnutí je dáno touto dvojicí reakčních křivek: qi,2t+i = wi,T-2t-i(q2,2t), t =1,2,..., Ti (3.1) q2,2t = w2,T-2t(qi,2t-i), t = 2,3,... ,T2, (3.2) kde T\ je největší hodnota t, pro kterou T—2t — 1 > 0 a T2 je definován obdobným způsobem. Takto zadaným systémem rovnic je pro obě firmy nemožné, je-li splněna rovnice 3.2, najít odlišnou posloupnost reakčních funkcí, která by zajistila vyšší zisk. Navíc při splnění Cyert a deGrootových předpokladů optimální reakční funkce pro daný časový okamžik konverguje, jakmile T jde do nekonečna. Tedy W\}T-2t-\ je optimální reakční funkce pro firmu 1, když časový horizont je T — 2t— 1 období. Optimalita funkce nezávisí na aktuálním čase, 2t — 1, ale pouze na délce časového horizontu. Kdybychom do modelu zahrnuli více firem, museli bysme popsané způsoby rozhodování modifikovat tak, aby v každém období mohla změnit výstup pouze jedna firma. Takové chování však neodpovídá jak intuici tak ani běžné empirii. Na druhou stranu však nabízí silnější koncept rovnováhy než dále uvedený Friedmanův koncept (1976). Friedmanův model dosavadní analýzu značně obohacuje tím, že uvažuje diferencovanou produkci firem. Uvedený model je odvozen za předpokladů 2,4,5 a 7 a dalších podmínek regularity. Diskontovaná zisková funkce má následující podobu: oo ^a--17ri(Pí) i = l,...,n (3.3) t=i Další analýza se snaží najít takovou rovnováhu, při které by se všechny firmy rozhodovaly podle stacionárních reakčních funkcí, tedy kdy by p^t = i/ji(pt-i). K dosažení výsledku modelu bude nejprve vhodné vyhodnotit nejlepší odpověď (maximalizující diskon-tovanou ziskovou funkci) z-té firmy za předpokladu, že všechny ostatní firmy jednají na základě svých stacionárních reakčních křivek, které jsou pro ž-tou firmu známy. O reakčních funkcích ostatních firem Pj,t = ýjiPt-i), (i 7^ j) předpokládáme, že splňují následující dvě podmínky: 1. Pro každý vektor pt_x platí, že 0 < pk,t-i 0 a ^2=1^j < A < 1 Cílem firmy je maximalizovat rovnici 3.3 za podmínky p^t = i/jj(pt-i), (i ^ j)- Jedná se tedy v podstatě o konečněkrokový problém dynamického programovaní. K řešení této úlohy budeme hledat posloupnost reakčních funkcí. Označme p^t = í,t(po),Pí,2 = <&,T-l(Pl), • • • ,Pi,t = <&,ifer-i). Pokud časový horizont jde do nekonečna, pak posloupnost reakčních funkcí konverguje k fa. Hlavní skutečnosti související s nejlepší odpovědí ž-té firmy na ^ jsou obsaženy v následující větě: Věta 3.1 (a) Pro s = 1, 2,... , fa7s(p) existuje. (b) p* > 4>i7s(p) > (f)i7S-±(p) > 0 pro všechny p a všechna s > 1. (c) lirris^oo^s = fa existuje a vyhovuje každé Lipschitzově podmínce, kterou splňují i fa^s. (d) Jestliže ttí a je spojitě diferencovatelná do řádu vyššího než k, pak fayS je spojitě diferencovatelná do řádu vyššího než k — 1 a fa do řádu vyššího než k — 2. (e) Všechny první parciálni derivace fa a fa^s jsou nezáporné a funkce splňují stejnou Lipschitzovu podmínku jako ifji. (f) Jestliže Tli cl fa je nekonečně spojitě diferencovatelná, pak totéž platí i pro fa a fayS. (g) Pro funkce platí, že t Ct\ 17Tz(fayT-t+l(Pt-l),fa(Pt-l)) oo (3.4) t=l (h) Limitní reakční funkce, fa, je optimální pro nekonečně krokový rozhodovací proces. Obsah (a) nám říká, že v pevně daném konečně krokovém rozhodovacím procesu existuje jediný nejlepší způsob jak se rozhodovat, který je dán posloupností reakčních funkcí. Když by se firma rozhodovala co udělá, aniž by se přitom omezovala na použití reakčních funkcí, které využívají její konkurenti, přesto bude pro ni nejlepší rozhodnutí je použít. Z (b) můžeme vidět, že tyto reakční funkce mají monotónní vlastnost, Tedy pro daný pt_i je pt tím větší, čím je delší zbývající časový horizont, (c) zajišťuje, že posloupnost reakčních funkcí konverguje, zatímco (d)-(f) udává určité důsledky regularity. Z (g) vyplývá, že jakmile časový horizont se blíží nekonečnu, pak diskontovaný zisk se blíží k hodnotě, jaké by bylo dosaženo trvalým používaním fa. Tento limitní zisk je pak podle (h) i optimálním ziskem pro nekonečně krokový rozhodovací proces. Je dobré si uvědomit, že fa je nejlepší odpovědí ž-té firmy na tjji. Tuto skutečnost vyjádřeme jako: Poznamenejme ještě, že fa je členem stejné třídy funkcí jako ipi. Všechno jsou to rostoucí diferencovatelné kontrakce, které zobrazují pt-± do pij či pjjt. i = Wi(i>i) (3.5) To co jsme odvodili pro z-tou firmu můžeme samozřejmě odvodit i pro každou jinou, a tedy i nejlepší odpověď popsanou rovnicí 3.5 můžeme následovně využít k zobrazení celé množiny reakčních funkcí do jiné: 0 = (0i, ...,« = (Wi(^i),..., wn$n)) = w&). Je zřejmé, že pevný bod z W je Nashovou nekooperativní rovnováhou a je přirozeným rozšířením Cournotovy rovnováhy. Kromě triviálního případu jsme však existenci pevného rovnovážného bodu, ip* = W(iJj*), zatím neprokázali. Triviálním případem jsou myšleny reakční funkce, kdy pijt = p?, i = 1,... ,n. Pokud všechny firmy zvolí body odpovídající Cournotově rovnováze, ať už byla historie hry jakákoli, pak pro žádnou firmu není výhodné se odchýlit od trvale voleného p\. Bylo by zajímavé ukázat existenci funkčně reakční rovnováhy odlišné od této, ale to uděláno nebylo. To co jsme ukázali byla pouze aproximace k ní. Věta 3.2 Existuje ifj* taková, že tp*(pr) = pr. Spolu s i/j* je 0* = W(i/j*) takové, že 4>*(pr) = pr a tp*J(pr) ?(pr), i,j = l,...,n. Obrázek 9.5: Schématická reprezentace funkcí 0 a ijj Protože ifj* je kontrakce, která zobrazuje množinu [0,£^~] x • • • x [0,£>+] do sebe sama, tak potom pokud vyrazíme z náhodně zvoleného bodu p0 a vygenerujeme posloupnost cen pt = ifj*(pt_i), pak pt musí nutně konvergovat k pr, kde pr je jediným pevným bodem i\f. Věta 3.2 říká, že existuje vektor reakčních funkcí, ne nezbytně jediný, takový, že nejlepší odpověď na ijj*, 0* = W(iJj*), má stejný rovnovážný cenový vektor pr, v němž jsou si obě funkce ijj* a (f)* tečnami. To znamená, že pokud firmy právě používají ... pak za předpokladu, že ceny odpovídají pr, žádná z firem nemůže zvýšit svůj zisk tím, že by změnila svoje rozhodnutí podle fa. Navíc při cenách blízkých pr cenové změny z jednoho období do druhého určené pomocí jsou přibližně optimální. Na obrázku 9.5 je znázorněna idea vztahu mezi funkcemi 0 a i\) v případě dvou firem. Rovnovážné ceny pr jsou vyšší než ceny pc odpovídající Cournotově statické rovnováze. Ukažme, že mnohé ceny mohou být rovnovážnými cenami vyhovující reakčně funkční rovnováze dané větou 3.2. Vyberme vektor pr takový, že p\ — p^ = prj — pj > 0, pro všechna Je zřejmé, že je snadné najít takové pr, aby pro všechny firmy platilo, že iľi{pr) > 7ľi(pc). Určitě to bude platit pro takové pr, které jsou blízké pc. Tedy jsme ukázali, že reakční funkční rovnováhy mohou vést k vyšším ziskům než odpovídá statické Cournotově rovnováze. 3.2 Modely s rychlou reakcí (odezvou) nebo náklady na dohodu Marschak a Selten (1978) vytvořili dvojici paralelních modelů, jejichž hlavní rysy popisujeme níže. Představili tyto modely ve formě abstraktní hry. Nicméně velmi jasně ukázali, že hlavní pole aplikací pro tyto modely jsou oligopoly. V závěrečné části jejich článku je aplikace pro oligopoly uvedena. Hlavní rysy jejich modelů a názor na rovnováhu vycházejí z dříve popsaného cenově produktově odlišujícího se modelu. Model s jedním obdobím , ve kterém jsou ceny stanoveny, jakoby se žádná s firem nerozhodla odchýlit se od svých vnitřně stanovených cen. Pokud se jedna s firem rozhodne změnit cenu, ostatní mají možnost si cenu zvolit. To je pouze formalizace postupu stanovení ceny uváděném v oddíle Behaviorální hypotéza Sweezeho a Stackelberga v souvislosti se Sweezy modelem. Ve druhém modelu si firmy stanovují cenu při nekonečné posloupnosti časové periody. Účelová funkce firmy se liší ve dvou místech vzhledem k rovnosti (4.4). Zaprvé firmy nediskontují zisk. Místo toho se snaží maximalizovat průměrný zisk za období, přes nekonečný horizont. Zadruhé je jejich zisk v období dán jako iit{pt) pouze pokud nedochází ke změně jejich ceny v daném období. Pokud se rozhodnou změnit cenu, musí zaplatit dodatečný poplatek spojený s náklady na dohodu. Ukazují, že rovnováha pro tyto dva modely je téměř stejná. Pro každou firmu v modelu pro jedno období jsou tři věci, které jsou určující: a) Výše ceny při statusu quo, p®. b) Rozhodnutí, zda se odchýlit od ceny p®. c) Funkce odpovědi 4>i(p°,Pj) použitá v případě, že firma j by se rozhodla zvolit jinou cenu než p®. Pravidla platná pro informace určují, že všechny firmy mají informaci o ceně p° a funkci fa. Pokud se jedna firma rozhodne odchýlit se od ceny p®, oznámí to včas a ostatní firmy na to mají možnost reagovat změnou své ceny. Tato pravidla zároveň určují, že pouze jedna firma se může odchýlit od statusu quo v jednotkovém čase. Podmínky nastavení funkce odpovědi jsou tyto: Předpoklad 8 Poslední požadavek, že 4>i(p°,Pj) = p® je pouze konzistentní podmínka k tomu, když odchýlení firmy j neobsahuje vliv na podíl j na trhu, pak ani nemění podíl i. Obdobně podmínka 4>i(p°,Pi) = p® znamená, že odezva i na svou vlastní změnu je vlastní odchylkou. Tyto dva předpoklady dovolují definovat 0^ pro všechna p° a pi, tedy i pro situace, kdy se j = i a p j = p® . Každá z firem také může vytvořit posloupnost odpovědí na posloupnost odchýlení. Pořád nicméně platí, že odchylku může provést pouze jedna firma. Posloupnost {p],pj, ■ ■ ■ ,Pj} jsou odchylky firmy j od ceny p°. Proces je pak následující: firma j oznámí cenu pp ostatní firmy na to zareagují 4>i(p°,p]) = p\. Poté firma j oznámí cenu pj a ostatní zareagují (fri^iPj) = Pí- Tento proces pokračuje až k poslednímu zveřejnění ceny pk. Po ní následuje odpověď (t>i(pk~x,p*-) = Pí - Označme nyní rozšířenou funkci odpovědi (f) Cena a funkce odpovědi (p°,(f)) vytváří nespolupracující rovnováhu, pokud jsou splněny následující dvě podmínky: k > 2 a) i-tá firma nemůže zvýšit svůj zisk odchýlením se od p®, což vyjadřuje, že p° je cena statusu quo a ostatní firmy čelí změně odpovědí (f)j(j ^ i) b) i-tá firma nemůže použít jinou reakční funkci a zvýšit svůj profit. 7T,- k*(p°) >7rť^(p°,{rí,...,rf}) p°, {p), . . . ,^} )\ > 7TZ U (ý, {p), ... j,..., j9^}, i ^ j a podrobnou odpovědnostní funkci , i = 1,..., n. Pak funkci odpovědi 0 s cenou p° nazveme konvolucí (nespolupracující rovnováha). Pokud firma i nemůže odchýlit cenu od p° (nebyla by tolik zisková), pak říkáme, že firma i je stabilní v ceně p° ve vztahu k (f). Pokud je zároveo fa nejlepší pro ostatní, pak říkáme že 0 je nestabilizující. Nakonec definují slabou konvoluci. Může to být také myšleno jako slabá nekooperující rovnováha. Nechť Pí je podmnožina z 0,Pi] X ... X [0, p+] a nechť P = n™=1Pi je neprázdná, pak (p°, 0) je slabá nekooperující rovnováha a 0 je slabá konvoluce, pokud je 4>i(p',p" nejlepší odpovědí pro firmu i pro libovolnou cenu p' G Pi a p" G [0,£>^] , j ž, i = 1,..., n, 4>(p'jPj) € P a žádná firma nemůže profitovat z odchylky od p°. Uvažujme nyní model, ve kterém je čas diskrétní a v každém okamžiku si každá firma volí cenu. Podmínky na informace jsou podle sekce 3.1: každá firma provádí rozhodnutí souběžně s ostatními a všechny znají všechny cenové volby ostatních firem z předchozích kol. Tato struktura představujícího multičasového modelu (present multiperiod model) se odlišuje od modelu popsaného v sekci 3.1 ve dvou bodech. Zaprvé, zisk dosažený firmou i v čase t je 7Tí(Pí) - Mi(pijUpijt-i), kde Mi(pijt,pijt_i) jsou náklady změny ceny pro firmu i. Když pijt = p^t-i jsou náklady nulové; a pokud Pi,t Pi,t-i pak jsou náklady větší než jakýkoliv zisk, který je možný vytvořit odchýlením za jedno časové období. Formálně: Mi(pijt,Pi,t-i) > max [7ri(pijt,Pi,t) ~ (^i(Pi,t-i,Pi,t) Pi,t \ V modelu v sekci 3.1 stejně tak jako v modelu sekce 3.3 je dočasný zisk důležitý v utváření přirozené rovnováhy. Význam je markantní zejména v sekci 3.3. Dočasným ziskem je míněn dodatečný zisk získaný za časové období, ve kterém je použita nová cena, na kterou ještě ostatní firmy neměli možnost zohlednit. Podle 3.13, dočasný zisk nehraje roli, protože náklady potřebné na změnu převyšují tento zisk. Firma změní cenu tedy pouze, pokud očekává, že v nové situaci (po reakci okolních firem) se dostane do pozice, kdy zvýší svoje původní zisky (absolutně, protože firma zisky nediskontuje). Z toho vyplývá účelová funkce: T l,...,n. 1 T lim inf - WiiPt) ~ Miipi^pi^) T—>oo 1 L—* L t=l Piß je bráno jako stejné s pi^. Mi je ohraničené shora, takže nikdy nebude bránit změnám cen, které povedou k permanentnímu růstu zisků. Nyní můžeme zkonstruovat pravidla chování nebo reakční funkci. Jak je zjevné, níže reakční funkce je odlišná od funkce popsané v části 3.1. Označme ^ reakční funkci ž-té firmy a i\) = (^í,...,^)- Pi,t = i/Ji(pt-uPt-2), s pht = pijt-i, když pt_Y = Pt-2, t = 2, 3,..., a p0 = pY. Výběr ceny ž-té firmy záleží na pozorovaných chováních cen za poslední dvě období. Pokud nedošlo k žádné změně cen, ž-tá firma zanechá svou cenu nezměněnu. Marschak a Selten nazývají tento typ chování krátkou paměti a konzervatismem. Označení krátká paměť používají, protože do vyhodnocovacího procesu vstupují pouze poslední dvě období a označení konzervativní, protože nedochází k změnám ceny, pokud aktuální informace udávají, že nedošlo ke změně ceny. Ve vztahu k ^ zbývá ještě definovat jeden pojem. Představme si, že od času t firma ž nikdy nezmění cenu od postupu popsaného í/jí . Zároveň uvažujme, že v předcházejícím období se firma j odchýlila d í/jí. Od období t dále předpokládejme tpi za nejlepší reakci na změnu. Pokud ifj = (tpi,... ,ifjn) zůstane stejná, říkáme ji paraperfektní Vektor paraperfektních reakcí s cenou Po utvářejí nesoutěžní rovnováhu. S těmito danými výchozími podmínkami a chováním ostatních firem podle ipi je pro firmu j nejlepší rozhodnutí ipi. Vzhledem k omezení cen (pt-\,pt-2)i ve kterých může docházet k odchylce (maximálně však v jedné z nich) je možné definovat funkci odpovědi jako reakční funkci. Nastane pak vždy jedna z těchto možností: a) pjyt-i ^ Pj,t-2 pro nějaká j ^ i, pak platí (f)z(pt-2,Pj,t-i) = ^fe-1,^-2), b) pht-i ^Pi,t-2, pak platí (f>i(pt_2,Pi,t-i) = Pi,t-i, c) pt-i =pt-2, pak platí 0ífe_2,^,í-i) =Pi,t-2- Funkci odpovědi 0 můžeme definovat z reakční funkce ip. Opačný postup nicméně není možný. Problém spočívá v tom, že reakční funkce není kompletně určená (je pouze určená cenami pt_i,pt_2). Hra s jedním obdobím s okamžitou odpovědí je odpovídající multičasové hře získané opuštěním rychle odpovědnostní podmínky a přidáním změnové nákladové funkce Mi a účelové funkcí (4.14) Naopak multičasová hra s modifikovanými náklady může být spojena s jednočasovou rychle odpovědnostní hrou s klesající změnovou funkcí, nahrazením úkolové funkce a uvedením odpovědnostní funkce. Není překvapující, že vznikne rovnost mezi (f) (která je konvolucí) a ijj, která je paraperfektní. Věta 9 Nechť je ip reakční funkcí a 0 je funkcí odpovědi takovou, že 0 je stanoveno z ip a ip je konzistentní s (f). Pak pokud je ip paraperfektní, pak 0 je slabá konvoluce. Toto tvrzení platí i v opačném směru. Aplikace tohoto postupu je použita v oligopolním modelu, ve kterém je dán seznam zboží, které oligopol může produkovat. Všechny firmy vyrábí všechno zboží a to stejnou technologií. Užití funkce odpovědi za předpokladu, že vstupní ceny i poptávka (produkt) pro každý oligopolní statek jsou dány, dává ceny a funkci odpovědi, při které všechny firmy dosahují nulového zisku a je tedy stav nekooperativní rovnováhy. Tento model je vnořený v modelu celkové rovnováhy. Myšleno je to tak, že je možné ho vidět v částečných rovnováhách. 3.3 Model upřednostňující spolupracující rovnováhy bez kartelů Rovnováha uvedená v tomto odstavci je rovnováhou pro podobný model jako byl uveden v odstavci 4.1. Firma maximalizuje diskontovanou hodnotu toku zisků, přičemž neexistují náklady na změny cen. V rovnovážném chování lze najít prvek, který odpovídá reakčním funkcím v odstavci 4.2. nicméně přechodné zisky mají vliv na výsledek. Obecnější a ucelenější výklad těchto modelů lze najít v Friedman (kap. 8). Jádro chování firem lze shrnout takto: Je dán cenový vektor p*, přidružený pro každou firmu vyšším ziskům než vektor rovnovážný pc z Cournotova modelu jednoho období. Každá firma i volí v období t cenu p®, jestliže veškeré ostatní firmy zvolily^ ve všech obdobích do ŕ—1. Pokud se nějaká firma v minulosti odchýlila od ceny Pp pak si z-tá firma zvolí cenu p^. Tak dlouho, dokud firmy volí cenu p*, je jejich zisk 7r* = 7Ti(p*),j = 1, 2. Pokud například firma 2 odstoupí v čase t od ceny p*2l může dosáhnout 7r2 = 7ľ2(pl,p'2) = niaxP27T2(^,p2). Protože 1. firma bude komerčně stanovovat cenu p\ v časovém okamžiku t + 1 firma 2 nemůže udělat nic lepšího než také zvolit cenu pc2- Čistý výsledek je takový, že druhá firma může dosáhnout zisku tt2 — tt2 v časovém období t, které vymění za budoucí ztrátu tt2 — tt2 v každém dalším časovém období od t + 1 dále. O výhodnosti takového rozhodnutí rozhoduje diskontní parametr velikosti zisku. Formálně je to zapsáno takto: Pi,i=p*, a pro t>2 Pi,t=P*, pokud Pj,T=P*j pro j = l,...,n a r=l,...,r-l, Pi,t =Pi v ostatních případech i = 1,..., n Nyní uvažujme, že se všechny firmy očekávají, že se i-tá firma bude chovat podle rovnováhy popsané předchozím vztahem a podle toho co je pro ni nejlepší rozhodnutí. Předpokládá se, že jedinou volbou je vybrat cenu p* dávající diskontovaný zisk 1 - a% Je také zřejmé, že pokud je časové období t prvním, ve kterém pijt ^ p*, pak od ŕ +1 dále není lepší volby než 7Ti;T = p\(r = 7; +1,...). To protože neexistuje strukturální poměr mezi časovým obdobím a rozhodnutím firmy vybrat si cenu Pj. Není žádný způsob jak zvolenou cenu firmy v jednom časovém období ovlivnit ty ostatní. Pokud se pij 7^ p*, je nejlepší cenou £>■, která je definována podmínkou Kiíp'uPi) = max 7Ti(php*). pí Diskontovaný zisk je pak: t — 1 OO / ^ f_\ x. £ ai + ai + «i ^ = -j-j^i + «i ^ + 1-^• í3-6) z—' V 1 — ai I 1 — cti T=l T=t+1 \ 1 / 1 Vzhledem k stacionaritě modelu, pokud diskontovaný zisk roste změnou ceny p't v časovém úseku t, pak ho maximalizujeme změnou v časovém úseku 1. Uroveo diskontního parametru je zásadní. Pokud Firma si nepomůže změnou ceny od p*. Pokud je předchozí nerovnost opačná, pak je optimální změna ceny hned v prvním časovém období. Pokud nastane rovnost je postup firmy lhostejný. Pokud je nerovnost ostrá pro všechny firmy, je chování dané 4.17 nekooperativní rovnováhou. Pokud je navíc 7r(p*^ Pareto-optimální, firmy se nacházejí v nekooperativní rovnováze, která dopovídá kvalitnímu výsledku s předpokladem tajné dohody. Tato kombinace dovoluje tedy více cenových vektorů, které splňují podmínku p*. Je požadováno pouze splnění předchozí nerovnosti pro všechny firmy. Mezi možnostmi, které jsou Pareto-optimální a které splňují Mohou být specifika jako případy konkrétních zájmů. Podle předchozí rovnosti je poměr dočasného zisku dán jako součet dočasného zisku a ztráty za období. Tento poměr může být myšlen jako pokušení firmy ke změně. Tato rovnost popisuje vlastnost vyváženého pokušeni a rovnováhy, ve které je rozhodování firmy dáno rovností 4.17. To můžeme označit jako uspokojení pokušení majetku. Pokud je daná existence mnoha cen, která hraje roli p*, je snadno si představit tuto rovnováhu jako dohodu, která je vybrána jako běžný souhlas, ale nevyžaduje formální dohodu k dodržení tohoto efektu, protože se firmy dohodly na nekooperativní rovnováze. Jinými slovy se shodly na něčem, co je samo sebou vynucující. Pokud se jedna firma rozhodne odchýlit se od ceny p* danou oznámeným chováním ostatních, vyjadřuje to zájem jedné firmy jít vpřed a dělat, co je očekávané (zvolit cenu p^). Podmínky, kdy je vybrána cena pc- a závazek zvolit ji, je způsob vyhrožování. Minimálně upraví zastrašovaní k odchýlení se od ceny p*. 3.4 Modely se strukturou závislou na čase Závislost na čase je v struktuře modelu prezentovaná tím, že výnos obdržený v období t závisí na krocích přijatých v čase t a na jednom či vícero minulých obdobích. Přirozeným způsobem jak můžeme této závislosti dosáhnout, je prostřednictvím zakomponování rozhodování firem o investicích do kapitálu. Povězme, že výrobní náklady firmy v čase t jsou jako předtím funkcí jejího výstupu, ale i množství kapitálu naakumulovaného z předešlého období. Nechť je ô i depreciace kapitálu a Kit množství kapitálu na konci období t, pak celkové náklady v průběhu období t jsou Ct (ft.t, Kt,t-i) + (Kht - (1 - 5i) Kv-i) . (3.7) Je potom jednoduché si představit firemní poptávku závislou na současných i minulých cenách. To může pocházet z tužby spotřebitelů spekulovat o budoucích cenách. Druhá možnost je, že takovéto opožděné ceny jsou následkem prodaného množství v předešlém období. Je totiž přirozené, že prodeje v jednom období ovlivní poptávku v období následujícím, obzvlášť v případě dlouhodobých statků, ale i statků ostatních. Modely s touto variací jsou prostřednictvím teorie her popsané v knize Friedman (1977a, kapitoly 9 a 10) a v Sobel (1973). Aplikaci na oligopol můžeme najít ve Friedman (1977b). Ve všech těchto případech se uvažují rovnováhy, které nejsou výsledkem kooperativní hry. 4 Oligopoly a teorie her Pre každého, kdo čte tuto kapitolu od začátku, je zřejmý těsný vztah mezi prezentovanými materiály a teorií her. Cournotova rovnováha pro model s jedním obdobím je prvním příkladem, alebo přinajmenším speciální příklad nekooperativní rovnováhy ve hře s n proměnnými. Bezpochyby většina lidí pracujících na teorii oligopolu byla a je ovlivněna základy teorie her. Mimo to, ne všechny výzkumy směrovaly od teorie her k teorii oligopolu (anebo jiné části ekonomie), protože aktivními přispěvovateli do teorie her jsou ekonomové, kteří pracují na oligopoloch. Často je problém, se kterým sa zabývají v rámci teorie her a způsob, jakým s ním pracují, ovlivněný jejich zájmem o oligopoly a přáním přetavit své výsledky do podoby aplikovatelné na oligopoly. Blíže viz k danému tématu v kapitole o teorii her od Martina Shubika. 5 Vstup a výstup v modeloch oligopolu Ve většině literatury o oligopolech je počet firem na trhu konstantní. Firmy se nerozhodují, zda vstoupí nebo nevstoupí na trh. Bez hlubšího zamýšlení se nad tímto mechanismem v praxi, sa často tvrdí pro dokonale konkurenční trhy v rovnováhe, že v dlouhém období platí pravidlo nulového zisku, protože během doby firmy opouští odvětví se záporným ziskem a naopak vstupují do odvětví se ziskem kladným. Bez ohledu na to, jaká je podstata těchto argumentů pro dokonalou konkurenci, není však přijatelná pro oligopolní trhy. Vstup nebo výstup jedné firmy je pravděpodobně provázený velkými nespojitými změnami na trhu (např. ceny), které jsou sledované firmami, jež jsou aktivní jak před tak i po této změně. I když se nezmění chovaní na trhu, význam každé firmy bude rozdílný po změně jejich počtu. Je totiž opodstatněné předpokládat pro konkurenční firmu, že ceny, výnosnost atd. daného trhu je nezávislá na tom, či dojde ke změně chování na tomto trhu. Pro oligopolistu je ale jasné, že tyto proměnné veličiny musí z části záviset na tom, zda je nebo není aktivní. Tyto závěry můžeme zesumarizovat s tím, že trh oligopolu je opravdová hra, ve které hráči sestávající z m aktivních firem, které jsou v daném okamžiku na trhu a z A; potencionálních vstupujících, kteří by mohli vstoupit na daný trh, pokud by chtěli. Je obtížné pochopit, jak může být užitečná a zajímavá teoretická analýza vstupu a výstupu provedená vzhledem k všem m + k agentům. Dané oblasti sa věnovali jak Bain (1949) tak i Shubik (1959). Zesumarizovaní jednoduché verze ceny bránící vstupu (neboli limitované ceny) se jeví jako užitečné, protože se jí dostálu v průběhu let mnoho pozornosti. Mimoto můžeme pozorovat, jak cena bránící vstupu může zapadnout' do modelovaní vstupu a výstupu firem. Představme si odvětví, kde je jedna aktivní firma, a předpokládejme, že existuje jeden potencionální vstupující. Podle nejjednodušší teorie limitní ceny existuje takové p*, že potencionální vstupující nevstoupí do odvětví, pokud pozoruje, že aktivní firma stanoví tuto cenu p* nebo nižší. Naopak, pokud pozoruje, že je cena nad p*, vstoupí do odvětví. Aktivní firma ví, jak se potencionální vstupující rozhoduje a chová sa podle toho, co pokládá pro sebe za najvýhodnejší. Problém tohoto scenáre je v tom, že je ad hoc. Pokud například oba agenti znají všechny tři ziskové funkce (funkci aktivní firmy před vstupem a funkce obou firem po vstupu), potom neexistuje důvod, proč by měla „předvstupová" cena aktivní firmy mít nějaký vliv na rozhodnutí potencionálního vstupujícího. Podle všeho bude důsledkem nízké původní ceny pro potencionálního vstupujícího zastrašení, čímž ho přinutí přemýšlet o nízké ziskovosti odvětví. Tato idea by sa mohla naplnit, pokud by původní firma udržovala nízký zisk díky nízké ceně (Harrodův přístup), vyvolávajíce takovou domněnku u vstupujícího, že cena taková zůstane i po jeho vstupu. Potom musí být cena nízko dostatečně dlouho, aby vstupující dospěl k tomuto závěru. Platí však, že je v dnešní době velkého množství dostupných informací těžké předpokládat takovéto fungovaní. Akceptovatelnější přístup obhajující limitní cenu můžeme dosáhnout předpokládáním, že potencionální vstupující neví, jaká bude jeho zisková funkce, pokud by vstoupil, a předpokládá, že cena stanovená původní firmou o ní poskytuje nějaké informace (Friedman 1977b). Zdá se, že cena bránící vstupu přežije v této situaci pouze pokud ziskové funkce, ve které vstupující věří, jsou jasné ve vztahu k ziskovosti. Tedy čím vyšší je cena stanovená aktivní firmou, tím větší je pravděpodobnost ziskovější funkce. Tyto podmínky se možná jeví poněkud přísné, nicméně jsou základním rysem předpokladů, pomocí kterých může být převedena limitovaná cena do modelů, ve kterých se aktivní a potencionální agenti rozhodují racionálně. Na téma vstupu a výstupu z nekooperativních trhů bylo napsaných velmi málo formálních teoretických prací. Kamien a Schwartz (1975) přišli s modelem oligopolu umožňujúcim vstup. V této a předešlých pra-cech nejsou potencionální vstupující explicitně modelovaní, z tohoto důvodu nebyli optimalizovaní v rámci modelu. 6 Bilaterální monopol Bilaterální monopol je název pro trh, na ktorém stojí proti sobě monopolistický prodávající a monopolistický kupující. Takovýto trh je nutně kooperativní hrou dvou hráčů. Proč se jedná o hru dvou hráčů, je jasné. To, že sa jedná o kooperativní hru, pramení z nemožnosti fungování jedné firmy bez obchodování s druhou. Pro jedno období reprezentuje obchodovaní mezi dvěma subjekty Edgeworthůw box diagram. Myšlenky některé předešlé literatury vyjadřovaly názor, že jedna firma stanoví cenu, ve které se uskuteční obchod spolu s tím, že druhá firma stanoví obchodované množství (Fellner 1949, kapitola 9), což je jasně nepřirozené, protože nic nebrání této dvojici v diskuzi a dohodě na libovolné kombinaci ceny a množství. Rovněž se jedná o případ jednoho období, ve kterém všechny firmy znají obě ziskové funkce. Podobně jako s oligopoly, tak i teorie bilaterálních monopolů se stala zajímavější a potencionálně aplikovatelná tehdy, když sa začal brát ohled na rozhodování vo vícero obdobích. Tomuto sa věnoval ve své práci Cross (1969), který analyzoval proces vyjednávaní. Rozpoznal, že jak se doba spojená s vyjednáváním dohody protahuje na obou stranách, tak je pravděpodobnější dosáhnutí menšího výnosu než mohly obě strany dosáhnout dřívější dohodou. Zřejmou ilustraci poskytují manažérská jednání. Nejen, že jsou v jednáních vázané finanční prostředky obou stran, ale taktéž, čím déle trvá dosažení dohody, tím déle obě strany dosahují nižší příjmy, než by získaly v případě přijetí nějaké rozumné shody. Obrazně řečeno, jak běží čas, tak se celkový koláč k rozdělení zmenšuje. 7 Oligopol v modelech všeobecné rovnováhy Na začátku kapitoly bylo poznamenané, že u oligopolu se většinou jedná o studium částečné rovnováhy. Vzhledem k tomu, že analytickým cílem ekonomické teorie je všeobecná rovnováha, je přirozené se pokusit zasadit oligopol do tohoto konceptu. Mnoho prací sa soustředilo na tento cíl počínaje Negishi (1961) a následovně Farrell (1970), Jaskol-Gabszewicz a Vial (1972), Shitovitz (1973), Marshak a Selten (1974, 1977), Nikaido (1975), Laffont a Larogue (1976) a Roberts a Sonnenschein (1977). Výzkum můžeme rozdělit do dvou hlavních větví - kooperativní a nekooperativní. Ty jsou stručně popsané v následujících odstavcích. 7.1 Základy teoretického přístupu Farrell (1970) a Shitowitz (1973) zasadili nekooperativní prvky do modelu všeobecné rovnováhy podle Ed-gewortha (1881). Farrellův model je odvozený od Debreua a Scarfa (1963), avšak sám sa omezuje na dva statky a dva typy obchodníků. Následující graf zobrazuje Edgeworthuw box diagram pro dva obchodníky A a B, jejichž počáteční situaci zachycuje bod E. u ii (.i A Obrázek 9.6: Edgeworthuw box diagram Libovolný obchod, který je posune na křivku GB., je Pareto optimální, zatímco obchod, který je posune do šedé zóny, nenechá žádného obchodníka na tom hůře než byl v bodě E. Efektivní úvaha doporučí bod na křivce GH a individuální racionalita navrhuje bod v šedé oblasti. Tedy každý bod na křivce DF splňuje obě kritéria a tedy tento segment je základem (core, jádro) kooperativní hry dvou hráčů. Bod sa nachází v tomto jádře tehdy, pokud neexistuje podmnožina hráčů, kteří mohou obchodovat mezi sebou způsobem, který dává každému přinejmenším takový užitek, jaký by dosáhl ve stanoveném bodě, přičemž jeden nebo více hráčů by dosáhlo vyšší užitek. Očividně o každém bodě mimo šedou zónu se rozhoduje A nebo B samostatně. Pro každého znamená tato volba spotřebu vlastního majetku (vstupu). O každém bodě v šedé zóně, který ale není na DF, se rozhodují společně A i B, protože oba mohou dospět k obchodu na křivce DF, který přináse víc úžitku oběma současně. Závěry v Debreu a Scarf (1963) jsou takové, že pokud je ekonomika schopná růst reprodukcí, potom předešlý graf může stále reprezentovat hru tak, že jádro větších her bude stále obsažené v DF. Růst pomocí reprodukcu znamená mít, řekněme k obchodníků identických k A jak majetkem tak i preferencemi a k identických k B. Diagram pro 2k obchodníků stále zobrazuje jen jednoho obchodníka z každého typu. Následně sa ukazuje, že jádro se zmenšuje s rostoucím A; a v limitě pro k —> oo se zhoduje s rovnováhou v modelu dokonalé konkurence (například body jako je C, které jsou podporované cenovým mechanismem). Farrellova metoda zahrnující do modelu nekooperativní hráče, předpokládá, že máme zafixovaný počet m hráčů A, zatímco množství hráčů B může růst'. Následně dostaneme v limitě stejný výsledek jako Debreu a Scarf pre m > 2. V limitě, kdy se B blíží k nekonečnu, se jádro skládá jen z rovnováhy v dokonalé konkurenci. Shitovitz rovněž dospěl k závěru, že jádro a množina rovnováh dokonalé konkurence se shodují v případě, že se tam vyskytují dva nebo více větších hráčů. Tyto výsledky, které v podstatě tvrdí, že na nekooperativních prvcích nezáleží, sa mohou zdát překvapující. Mohou vycházet z předpokladu nepřítomnosti organizačních nákladů na vytvoření koalice spolu se zájmem a schopností malých obchodníků slučovat se do jakkoli početných a velkých koalicí. Jedna věc je možná, buď je tradiční teorie oligopolu slepou uličkou, nebo se tyto modely nedostaly k jádru věci v případě oligopolů. Kapitola 10 MODELY A METODY TEORIE HER V POLITICKÉ EKONOMII V této kapitole je podán přehled různých modelů a postupů řešení v teorii her a nástin hlavních oblastí aplikace v politické ekonomii a vstupní pohled na jiné otevřené problémy. 1 Metody modelování Snad nej důležitějším aspektem teorie her aplikované do politické ekonomie je, že metodologie, která se stará o konstrukci matematických modelů pro studium konfliktních a kooperačních sil je jednoznačná, což v mnoha matematických zkoumáních politické ekonomie není pravda. Zvláště hra zadaná v extenzivním tvaru volá po úplném popisu procesu. Úplně popsaná hra by se měla dát hrát bez problémů skupinou studentů. Pokud je hra dobře definovaná, ale složitá na hraní kvůli nerozumným požadavkům na čas a možnostem zpracování dat, pak to asi nebude příliš dobrý model ekonomického procesu. 369 Strategická hra má dva či více hráčů a každý z nich má částečnou kontrolu nad prostředím, kde výnos každého hráče nezáleží pouze na jeho jednání, ale také najednání ostatních. Máme tři velmi různé tvary strategické hry, extenzivní, normální a hru ve tvaru charakteristické funkce.K&ždý tvar slouží k jiným účelům. Hra v extenzivním tvaru může být použita k určení hry v normálním tvaru a hra v normálním tvaru k definování hry ve tvaru charakteristické funkce, ale opačně to neplatí. Může existovat mnoho her v normálním tvaru, které vedou ke stejnému tvaru charakteristické funkce. Nejlepší bude uvažovat o těchto třech tvarech jako o třech nezávislých formulacích vytvořených pro různé účely, které však mohou být v případě potřeby navzájem spjaty. Dříve než budeme mluvit o těchto tvarech musíme se zmínit o předpokladech jako jsou preference, užitek a výnos. 1.1 Preference, užitek a výnos Von Neumann a Morgenstern (1944) předložili axiomy existence výherní funkce, definované jako lineární transformaci, založenou na posouzení rizika v množině výsledků, mezi kterými si jedinec může vybrat. Toto měřítko užitku využili von Neumann a Morgenstern ve svém výpočtu použití smíšených strategií ve hrách v normálním tvaru. Naprosto nezávislý na této konstrukci a jejím použití byl předpoklad přenosného užitku, který umožnil zejména jednoduchý popis hry ve tvaru charakteristické funkce. V mnoha dřívějších kritikách aplikovatelnosti teorie her do ekonomie a dalších disciplín rostly pochybnosti tykající se přínosu teorie her do společenských věd z důvodu dvou předpokladů, které, jak se ukázalo, byly velmi nerealistické 1.2 Extenzivní forma Literatura o oligopolech, aukcích, obchodování a mezinárodním obchodě, ať už verbální nebo matematická, je plná částečných nebo úplných popisů postupu. Nabídky, protinabídky, hrozby, sliby, požadavky atd., to jsou všechno rozhodující rysy v popisu procesů. Teorie her nabízí formální jazyk pro řešení popisu pravidel hry, který nám umožňuje s velkou přesností vymezit detaily procesu. Je to jazyk používaný k popisu hry v extenzivní formě. První popisy her v extenzivní formě pocházely od von Neumanna a Morgensterna (1944) a pak Kuhna (1953). Oba pojednávají o konečných hrách, tzn. hrách, kde počet hráčů, tahů a možností volby je konečný. Jako příklad mohou sloužit šachy či poker. Mnoho situací, se kterými se setkáváme v ekonomice či politice lze jen zhruba modelovat jako konečné hry. Obyčejně mají spojité strategické možnosti, spojitý čas a možnost nekonečného pokračování do budoucna. Jednoduchý duopolní trh ilustruje Kuhnův herní strom jako konečnou aproximaci (produkce dává přednost diskrétním před spojitými úrovněmi výstupu). Předpokládejme, že dvě firmy si musí každá vybrat mezi třemi úrovněmi výstupu. Jejich úrovně produkce určují tržní výsledek a payoffs obou firem. Obrázek 10.1 představuje popis extenzivní formy této hry. R P 0 o4 o5 o 6 o7 o 8 Obrázek 10.1: Extenzivní tvar hry Diagram ukazuje kořenový strom s počátečním uzlem R. Každý uzel reprezentuje stav, ve kterém by se firma mohla nacházet. Každý uzel resp. vrchol je označen Pi resp. Oj, podle toho, je-li to rozhodovací bod nebo výsledek hry. Každý uzel Pi je rozhodovacím místem hráče i. Ten si musí zvolit jednu z větví vedoucí z tohoto uzlu. V tomto příkladě hráč jedna volí první a musí si vybrat jako svůj tah jednu ze tří větví vedoucí z uzlu P\. Po jeho tahu hra pokročí do jednoho ze tří uzlů Pí. Druhý hráč provede svou volbu a hra dosáhne do jednoho z devíti konečných uzlů, označených Oj, které představují výsledky. Kterákoli cesta z počátečního do koncového uzlu stromu představuje možný průběh hry. V mnoha situacích můžeme vyžadovat, aby hráči táhli současně. Obecně nás však nezajímá formalita, zda táhnou současně, ale zda táhnou bez informace o tom, co dělá ten druhý. Nezáleží na tom, kdo jde první, pokud ten druhý není informován. Tento nedostatek informace můžeme ilustrovat na stromě uzavřením uzlů, mezi kterými si hráč nemůže vybírat do uzavřeného obrysu, který říká, že tato místa volby náleží do stejné informační množiny. Na obrázku 10.1 jsou tři uzly druhého hráče uzavřeny v jedné množině, což znamená, že když je vyzván k tahu, neví, co udělal první hráč. Náš popis můžeme rozšířit s ohledem na vnější nejistotu přidáním hráče navíc nazvaném "příroda, označíme jej Po- Kdykoliv je tento hráč vyzván k tahu, vybírá si větev s danými pravděpodobnostmi. Na obrázku 1.2 je jednoduchý příklad. Jediný hráč P\ si vybere a příroda pak rozhodne o výsledku. Hře s jednobodovými informačními množinami se říká hra s perfektní informací(např. šachy). V kterémkoli bodě hry znají všichni hráči všechny detaily cesty do tohoto bodu. Neplatí to ale např. pro poker nebo obálkové aukce. Strategie hráče je úplný plán akcí, který pro každou možnou eventualitu říká, co bude dělat. V termínech našeho popisu herního stromu to můžeme popsat takto: Strategie je funkce, která přiřazuje informačním množinám každého hráče jednu z alternativ pocházejících z této množiny. Zamyšlení nad velikostí herního stromu pro šachy a velikosti množiny strategií hráčů šachu rychle každého přesvědčí, že kromě her s několika málo tahy a možnostmi není herní strom v praxi příliš aplikovatelný. o, o2 o3 o4 Obrázek 10.2: Hra s přírodou Teoretická definice strategie je zřetelně rozdílná od definice, kterou by použil stratég. Ačkoli není možné načrtnout herní strom komplexního tržního procesu, nabízená formální metoda by nás měla provázet při vyjádření podstaty zjednodušení a zkratek v našem popisu procesu. 1.3 Hry v normálním tvaru Pokud je hra vyjádřena v normálním tvaru, detaily týkající se tahů a informace jsou potlačeny. Strategie jsou považovány za jednoduché prvky bez jakéhokoli pokusu vysvětlovat jejich vývoj. Normální forma hry n hráčů, jejíž extenzivní forma je konečný herní strom, je dána množinou n n-rozměrných matic. Příklad založený na hře z obrázku 10.1 nám umožní ilustrovat vztah těchto dvou forem. V tabulce 10.1 znamenají čísla nalevo od matice strategie hráče 1 (které se shodují s jeho tahy, protože nemá informace, kdy táhne). Čísla nad maticí jsou strategie hráče 2. Čísla v devíti buňkách jsou výplaty. Obecně můžeme Oj považovat za n-rozměrný vektor, vyjadřující výplaty každému hráči. Takže v tabulce 10.1 představuje 0\ = (5,4) výplatu 5 hráči 1 a výplatu 4 hráči 2, pokud oba zvolí strategii 1. Hráč 2 1 2 3 Hráč 1 1 o2 o3 2 o4 o5 o6 3 o7 o8 o9 Tabulka 10.1: Matice strategie Předpokládejme, že informační množina hráče 2 na obrázku 10.1 se změnila na dvě informační množiny, tvrdící, že pokud hráč 1 zvolí strategii 1, hráč 2 o tom ví, ale pokud nezvolí tuto strategii, neví zda zvolil 2 nebo 3. Normální forma spojená s touto hrou je matice typu 3x9. Tahy a výplaty jsou stejné jako předtím, ale strategie hráče 2 nyní závisí na jeho znalosti navíc. Ve skutečnosti má 9 strategií, které můžeme popsat následovně: Pokud hráč 1 zvolí 1, pak hráč 2 zvolí i, pokud hráč 1 zvolí 2 nebo 3, pak hráč 2 zvolí j. Jakákoliv i = 1,2,3 a j = 1, 2, 3 mohou být vybrána k vytvoření strategie pro hráče 2 v této hře. Většina experimentů s hrami byla věnována hrám s maticí typu 2x2. Obzvláště mnoho experimentů bylo provedeno s hrou vězňovo dilema, kde výplaty hráčů jsou znázorněny v tabulce 10.2 a kde clí > bi > Ci > di, di + di < 2bi, pro i = 1, 2. Rapoport a Guyer (1966) vypočítali, že eliminujeme-li symetrie, existuje 78 strategicky rozdílných reprezentací 2x2 maticových her. Všechny tyto hry byly použity k experimentálním účelům. Hráč 2 1 2 Hráč 1 1 dij CL2 2 <2l, d2 Cl,C2 Tabulka 10.2: Obecná maticová hra typu 2x2 Jednoduché 2x2 nebo 3x3 maticové hry byly používány převážně k odhalovacím a průzkumným účelům, o čemž svědčí práce Luce a Raiffa (1957) a Schelinga (1960). Většina duopolních a jiných ekonomických modelů směřuje k použití pevných strategických množin, kde se v nej jednodušších případech strategie a tahy shodují. Vezměme jako příklad Cournotův duopolní model, kde každý hráč vybírá nezávisle na druhém úroveň své produkce, což může být jakékoli číslo v určitém intervalu. Takže pokud hráč 1 vybere množství x, kde 0 < x < A, a hráč 2 vybere y, kde 0 < y < B, pak výplaty hráčům 1 a 2 jsou dány dvěma funkcemi f±(x, y) a Í2(x,y). 1.4 Hry ve formě charakteristické funkce nebo v koaliční formě Při prezentaci hry v normální formě je kladen důraz na sílu jedinců, tedy to, co mohou hráči získat, závisí na jejich strategiích a strategiích ostatních. Žádná zvláštní pozornost není věnována vysvětlení typu kooperace. Když budeme studovat kartelové útvary, mezinárodní obchod burzu, nebo další skupiny sociologických jevů, můžeme zaměřit svou pozornost na možné zisky z koaličních seskupení, aniž bychom se zajímali o informační podmínky, detaily jako proč nebo jak jsou přístupné různé strategické možnosti, a detaily nákladů koaliční formace (předpokládejme, že jsou zanedbatelné). Naše pozornost může být zaměřena na rozhodující otázky, kolik skupin musí profitovat ze spolupráce. Tato pozornost vede k formulaci hry ve formě charakteristické funkce nebo v koaliční formě. Jako jednoduchou ukázku můžeme použít hru v normální formě z tabulky 10.2. Dvě formy této hry v koaliční formě jsou tyto: první počítá s předpokladem porovnatelného užitku, zatímco ta druhá ne. Nechť v(S) je hodnota, kterou koalice hráčů S může získat dohromady, když budou hrát společně. Charakteristickou funkci označujeme v. Je to funkce zobrazující podmnožiny hráčů do množiny reálných čísel. Pro hru n hráčů tedy existuje 2n — 1 neprázdných koalicí. Označení v(ij) se používá k označení určité koalice sestávající z hráčů i a j. Charakteristická funkce vězňova dilematu z tabulky 10.2 je následující: ?j(0) = 0, v(T) = ci, v(2) = c2, v(12) = max[(6x + b2), (ax + d2), (a2 + di)]. Charakteristickou funkci můžeme považovat za předběžné řešení hry, jelikož způsob jejího nalezení nabízí dostatečné pochopení struktury hry. V tomto příkladě byly hodnoty vypočítány zjišťováním, kolik nejvíce může každá koalice získat za předpokladu, že ostatní hráči se snaží minimalizovat jejich zisk. Nejlepší věc, kterou může hráč 1 nebo 2 udělat sám, je volba strategie 2, a tím získat C\ nebo c2. Kdežto dohromady mohou získat bi + b2. V tomto případě je skutečně jednoduché sledovat opodstatněnost výpočtu v(l) jako Ci, protože hráč 2, když minimalizuje skóre hráče 1, zároveň maximalizuje své skóre. Toto však neplatí obecně, jak je vidět ve hře v tabulce 10.3. Zde vypadá charakteristická funkce takto: ?j(0) = 0, v(l) = 0, v{2) = 5, v(12) = 15. Toto vyjádření v nás vzbuzuje dojem, že hráč 2 je zvýhodněn. Paradox je v odvracení hrozeb. Výpočet charakteristické funkce pro hráče 1 nijak nezohledňuje, o kolik by hráč 2 přišel, kdyby zvolil strategii 2. Podrobnější diskusi problému hrozeb ve výpočtu charakteristické funkce se věnují Shapley a Shubik (1971-74). Hráč 2 1 2 Hráč 1 1 5,5 o,- -100 2 10,5 -1, -1000 Tabulka 10.3: Konkrétní maticová hra typu 2x2 Pokud neplatí předpoklad porovnatelného užitku a nejsou povoleny boční platby mění se možnost spolupráce, ale nezaniká. Můžeme definovat zobecněnou charakteristickou funkci neboli charakterizující funkci V(S), která pro každou množinu hráčů S definuje množinu optimálních dosažitelných zisků (což kontrastuje s pouhým číslem v(S)). Způsob definování zobecněné charakteristické funkce je naznačen na obrázku 10.3, který ukazuje příklad hry tří hráčů. Osy ai,ct2,ct3 udávají zisky hráčů 1, 2, 3. Každé V(S) považujeme za válec, který "odkopne" část Paretova optimálního povrchu hry n hráčů jako díru. Například koalice 12 může získat nejméně tolik, kolik je jim nabídnuto v každém bodě části Paretovy optimální množiny ABC vyznačené body EFC. Začneme-li hrou v normální formě, jsou dva způsoby, jak definovat efektivitu koalice ve hře bez boční platby. Můžeme určit, buď kolik koalice může maximálně získat, anebo kolik musí nejméně získat. Jednoduchý příklad tohoto rozlišování, které zavedli Jentsch (1964) a Aumann a Peleg (1960), nabízí Shapley a Shubik (1971-74). Docela přirozeným požadavkem na charakteristickou funkci s vedlejší platbou je superaditivita, v(S U T) > v (S) + v(T), kde S n T = 0, a pro případ bez boční platby, V(SUT) D V (S) n V (T). V (2,3) V (1,3) V (1,2,3 ) V (1,2) Obrázek 10.3: Hra tří hráčů Důvod k této podmínce je soustředěn v ekonomickém modelování a v modelování společenského chování. Předpokladem je, že obchod, směna a společenské ovlivňování se uskutečňují tehdy, když všechny strany mají užitek ze spolupráce, oproti volbě nespolupracovat. Nemusí být vždycky tak přirozené, jak se to může zdát, pokud se jeden hráč pokusí získat více pomocí spolupráce, než má zajištěno z charakteristické funkce. Výdaje spojené s vytvářením koalic, skupin a institucí se zdají být někdy až kritické. Teorie her nám však neposkytuje techniky, jak uskutečnit takovéto dělení. Navzdory k obtížím a omezením v definici charakteristické funkce, obsazení hry je přizpůsobeno odpovědím na několik otázek týkajících se síly jednotlivců, koalic, metod tržního dělení a typu sociální stability. V posledních letech roste experimentování s koaličními hrami. Přehled můžeme najít v Shubikovi (1975). 1.5 Kontinua strategií, času, hráčů a zboží První vývoj teorie her se soustředil na situace s pevným počtem hráčů, kteří mají možnost výběru z konečné množiny alternativ ve hrách s konečným ukončením. Hodně lidských událostí může být modelováno a aproximováno do těchto podmínek. Především se ukázalo, že se vyžadují hry se spojitými strategiemi a se spojitým časem. Už Cournotův model duopolu nám poskytuje takovýto příklad. Za předpokladu spojité a diferencovatelné produkční funkce, nám může být umožněno tvořit modely s větší matematickou stabilitou. Souboje a problém obehrávaní nám poskytují příklad her, kde je přirozené si myslet, že události se dějí ve spojitém čase. Sem patří např. také hry na čtverci. Aplikace těchto her do ekonomie je však relativně malá. Možná nejdůležitější zjednodušení pro hry aplikované do ekonomie přichází v rozvoji her s kontinu-eem hráčů. Jeden z klíčových a důležitých předpokladů ve studii masových ekonomických trhů, politiky a společností je myšlenka, že ačkoliv má jednotlivec svobodu výběru, je jeho vliv na ekonomiku nebo společnost jako celek zanedbatelný. Hodně paradoxních rysů v chápání vztahu mezi makro- a mikroekonomickým prostředím je v nesprávné skladbě, tím, že vyčleňujeme jednotlivce z masového chování. První pokus k matematizaci vztahu mezi vlivem jednotlivce a počtem jednotlivců v obchodě byl vytvořen Cournotem (1838) a Edgeworthem (1881). Metoda replikace hráčů byla vyslovena právě jimi. V souvislosti aplikování teorie her do ekonomie Shubik (1955,1959), Shapley (1954-60) a Debreu a Scarf (1963) formulovali a rozvinuli metodu replikace, Hildebrand (1974) a ostatní tento přístup zobecnili. Aumann (1964) jako první pojmenoval množinu trhů v uzavřené ekonomice jako spočetnou množinu s jednotlivými trhy. Tímto poskytuje přímé matematické vyjádření vhodné ke studiu malých trhů v obchodním prostředí. Milnor a Shapley (1961) a Shapley (1962) předtím používali pojem spočetné množiny hráčů pro účely voleb. Hodně aplikací teorie her , které jsou využívány v ekonomii popisují trh a výrobu s konečnou množinou komodit. Klasifikace a systematizace komodit je však libovolná. Pro některé účely můžou být považovány dvě komodity jako vzájemně dokonalé substituty, pro ostatní účely můžou být různé. Je jasné, že musíme předpokládat, že některé výsledky v ekonomické teorii budou závislé na relativním čísle zboží a trhů. Tento problém je důležitý především k pochopení monopolistické konkurence. 2 Řešení 2.1 Předběžná řešení Matematická reprezentace hry je sama o sobě krokem k odpovězeni na otázky, které jsou kladeny. Takovýto popis her v extenzivním, strategickém a kooperativním tvaru může být považováno za předběžné řešení. Například, charakteristická funkce nám určuje potencionální užitek ze spolupráce různých skupin. Tato informace sama o sobě může být důležitá pro pochopení, co je hranice jednání. Přirozené předběžné řešení je Pareto optimální povrch. Uvažujme výherní vektor x = (x±,..., xn) pro hru n-hráčů. Pak x je přípustný, pokud platí kde N je množina všech hráčů. Přípustný vektor x je Pareto optimálni za, podmínky kde D(S) je vnitřek množiny V(S). Hospodárnost a společenská racionalita je obsažena v podmínce Paretovy optimality, avšak neobsahuje podmínky individuální racionality. Na Paretově optimálním povrchu mohou existovat body, kde jednotlivec získá méně, než kdyby jednal sám. Jak mnoho vydrží jednotlivec sám bez spolupráce s ostatními, je věcí modelování politické, ekonomické a sociální reality. V ekonomických modelech obchodu je obvykle předpokládáno, že jednotlivec může provádět vlastnické právo nad svým počátečním vlastnictvím. Jestliže přidáme podmínky individuální racionality k podmínkám Paretovy optimality, vymezíme tím sami množinu rozdělení, která je částí Paretovy optimální množiny. Přidaná podmínka je tvaru x 0 D (i) pro všechna i (E N, takže každý hráč si zajistí alespoň stejně, jako kdyby hrál sám. Můžeme definovat vektor rozdělenix jako vektor n čísel (x\, X2, ■ ■ ■, xn), kde každé x i je výhra (výplata) hráče i. Přitom pro hry s postranní platbou platí X)ľ=i = V(N). Pro hry s postranní platbou je množina rozdělení dána simplexem, který nám poskytuje vhodnou geometrickou reprezentaci. Obrázek 10.4 nám ukazuje graf podobně jako na obrázku 10.3 hru tří hráčů s postranní platbou danou charakteristickou funkcí: V(Q) = v(l) = v(2) = v(3) = 0, v(12) = 1, v(13) = 2, v(23) = 3, v(123) = 4, Obrázek 10.5: Hra tří hráčů - průmět ABC na obrázku 10.3 a 10.4 označuje příslušnou množinu rozdělení her pro tři osoby s a bez boční platby. Obrázek 10.5 ukazuje hru s boční platbou určenou simplexem, který je vyjmutý ze třídimenzionálního vyjádření z obrázku 10.4. Přímky x\ + x2 = 1, x\ + £3 = 2 a x2 + £3 = 3 jsou vyznačeny na simplexu. Takové rozdělení (xi,X2,x?), které může být zablokováno koalicí ij splňuje podmínky: X\ > 0, X2 > 0, X3 > 0, a X\ + X2 < 1, 2?! + £2 + ^3 = 4. Jeden druh předběžného řešení byl navrhován Milnorem (1952). Výherní vektor definujeme jako přípustný, jestliže splňuje Xi < maxi£s[v(S) — v(S — {i})] pro všechna i G N. Tato podmínka uvádí, že ne každý samostatný hráč by vždycky získal více tím, když se přidá do nějaké koalice. Většina představ o řešení zahrnuje takové množiny rozdělení, které tuto podmínku splňují. Námitka Myšlenka předběžného řešení je spojení mezi modelováním a analýzou; tzn. že určité podmínky jsou přenášeny na model ještě před samotnou analýzou. Konkrétně to může snižovat nebezpečí ve slepém přejímání charakteristické funkce a představy odvození. Shapley a Shubik (1971-1974) předpokládali, že výraz c-hra zůstane pro ty hry, jejichž charakteristická funkce dostatečně odráží strukturu chování v dané situaci. 2.2 Řešení při spolupráci Základní dělení bylo vytvořeno při zkoumání představ o statickém řešení. Je to dělení mezi řešením při spolupráci a bez spolupráce. Pro řešení při spolupráci se předpokládá Paretova optimalita. To však neplatí pro řešení bez spolupráce. Když budeme uvažovat dynamizaci řešení, toto jednoduché dělení nevyhovuje. K tomuto bodu se vrátíme v bodě 2.4. V teorii při řešení spolupráce pro hry s postranní platbou je hlavně použita základní charakteristická funkce, pro hry bez postranní platby je to rozšířená charakteristická funkce. Další popis a definice se bude týkat především her s postranní platbou, ale budou zde taky popsány důležité rozdíly mezi řešeními obou typů her. Osm představ o řešení představují: 1. jádro (core), 2. hodnota, 3. von Neumanova-Morgensternova rovnovážná množina, 4. obchodní množina, 5. kernel, 6. nucleolus, 7. e-jádro, 8. vnitřní jádro. Jádro Původně bylo definováno Gilliesem (1959) a navrhováno jako nezávislé řešení Shapleyem (1953). V podstatě se skládá z množiny rozdělení, kdy hráč neopouští koalici, pokud zlepšuje výhru všem jejím členům. Formálně se jádro (core) skládá ze všech rozdělení x takových, že Je jednoduché ukázat, že mnoho her nemá jádro. Na obrázcích 10.3 a 10.4 jsou jádra šedě vystínována ve vstupních množinách her 3 hráčů s a bez boční platby. Určující vztah mezi teorií her a ekonomií přichází v definici určité třídy her zvané tržní hry původně zkoumané Shapleym a Shubikem v roce 1953 a v připomenutí důležitých vztahů mezi cenovým systémem a existencí jader ve hře a ve všech jejích podhrách. Tržní hra n hráčů má tu vlastnost, že každá z jejích 2n podher, které mohou být vytvořeny na všech podmnožinách hráčů, má jádro. Třída her patřících spíše do analýzy volebních (hlasovacích) problémů známá jako jednoduché hrymá vlastnost, že hodnoty charakteristické funkce jsou pouze 0 a 1 nebo prohra a výhra. Většina her této skupiny nemá jádro. Jednoduché hry mohou být přímo definovány pomocí čtyř základních předpokladů: 1. Každá koalice buď vyhraje nebo prohraje. 2. Prázdná množina prohrává. 3. Množina všech hráčů vyhrává. 4. Žádná množina, která prohrává, neobsahuje podmnožinu, která vyhrává. Další rozšiřující předpoklady mohou být: 5. Doplněk vyhrávající množiny prohrává. 6. Doplněk prohrávající množiny vyhrává. Poslední dva předpoklady zaručují superaditivitu a to, že hra má konstantní součet. Hra mající všech šest výše uvedených vlastností se nazývá rozhodující jednoduchá hra. Intuitivně se ukazuje, že když přecházíme od strukturovaných ekonomických trhů k trhům s externalitami a k politice distribuce zdrojů, šance na podmínky existence systému cen a jádra se snižují. Vyvážené hry Z vlastnosti superaditivity charakteristické funkce víme, že pro každý systém {Sj} koalic, které tvoří rozklad S, viSJ + '-' + viS^^viS). V tržní hře uvažujme možnost, že S je rozdělena do skupin, které se mohou překrývat, ale pro které každá množina Sj používá část f j zdrojů (nebo času) každé z jejích členů. Když je možné najít f j takové, že každý hráč je použit a že jeho část vážených součtů je 1 a fiv(Si) H-----h fmv(Sm) < v(S). pak řekneme, že Sj je vyvážený systém podmnožin. Hra ve tvaru charakteristické funkce je zcela vyvážená, když pro každé S je nutné splnit podmínky vyváženosti. Uvažujme charakteristickou funkci hry 3 hráčů z 10.4 Koalice 2 hráčů vytváří vyvážený systém podmnožin, každá s vahou |, ^(T2) + ^(23) + ^(T3) yi pro všechna i G S a ^2xí< v(S). Tato poslední podmínka udává, že koalice S je efektivní množina pro strategii x; tj. může získat, co ostatní její členové získají v x. Množina rozdělení (strategií) je (i) vnitřně stabilní, když žádný její prvek není dominován jiným prvkem množiny; (ii) navenek stabilní, když všechna rozdělení mimo množinu jsou vždy dominovány nějakým prvkem množiny; a (iii) stabilní množinové řešení, když platí podmínky (i) i (ii). Rozsáhlé prozkoumání stabilních množinových řešení ukázali Shapley a Shubik (1971-74). Původně se von Neumann domníval, že všechny hry bez boční platby mají stabilní množinové řešení. Lucas (1969) dokázal, že to neplatí, a ukázal protipříklad hry 10 hráčů. Shapley a Shubik (1969b) ukázali, že Lucasův protipříklad lze považovat za tržní hru, a tedy mohou existovat ekonomiky bez stabilního množinového řešení. Obchodní množina Pojem obchodní množiny je řešení konceptu původně podle Aumanna a Maschlera (1964). Obchodní množina byla definována několika nepatrně odlišnými způsoby, Peleg (1967). Její vznik byl inspirován pozorováním hráčů v pokusné obchodní hře. Obchodní bodhry (N, v) má tu vlastnost, že pro každý pár i, j G N s každou obranou i proti j může přijít protiobrana j proti i. Obranase skládá z koalice S obsahující i, ale ne j dohromady s rozdělením, pro které je S efektivní množina, která je preferována daným rozdělením ze všech prvků S. Protiobranase skládá z jiné koalice T obsahující j a ne i dohromady s rozdělením, pro které je T efektivní množina, že je (lehce) preferována před původním rozdělením ze všech prvků T — S. Je-li x původní rozdělení, (S, y) obrana a (T, z) protiobrana, pak y j Zk < v(T) a Zk > y k Pro všechna k G (T n S) a z^ > y k pro všechnaA; G T — S. Obchodní množina^e množina všech obchodních bodů. Ačkoli byla některá použití obchodní množiny vymyšlena v experimentálních studiích, menší aplikace obchodní množiny použijeme i v ekonomii. Výpočetní náročnost her větších než 3 nebo 4 hráči dělá toto použití poněkud neatraktivním. y k < V(S) a V k > Xk pro všechna k G S, keS a Kernel Davis a Maschler (1965) navrhli řešení, které je obsaženo v obchodní množině. Pro definici kernelu je vhodné nejprve definovat pojmy exces a surplus. Excesem koalice S v rozdělení x rozumíme: e(£,x) = v(S) - y^jXj, tj. je to množství, které může koalice získat navíc, než kdyby každý z jejich členů jednal sám za sebe tj. množství, o které hodnota koalice překračuje žádanou výplatu. Surplus hráčei proti jinému hráči j s ohledem na dané rozdělení je největší exces od všech koalicí obsahujících i a neobsahujících j. Surplus hlavně měří potenciální obchodní nátlak i proti j. Kernelové řešemse skládá ze všech rozdělení x takových, že pro jakékoliv dva hráče i a j platí max{e(5', x) : i G S, j 0 S} = max{e(T, x) : j G T, i 0 T}. To vyvolává myšlenku symetrie nebo rovnosti obchodního nátlaku. Nucleolus - jadérko Jadérko je pojem řešení vytvořený Schmeidlerem (1969), a je to právě jediný výsledek v kernelu hry s boční platbou. Měli bychom poznamenat, že neexistuje úplně uspokojující definice jadérka pro hry bez boční platby. Jadérko je rozdělení, pro které je maximální exces nejmenší. Intuitivně je to pak bod minimalizující neuspokojení. Vypadá to tak, že by měla existovat přirozená aplikace v určení zdanění a dotací, ačkoli existují aplikace jadérka v operačním výzkumu, nedostatek odpovídajících jadérek her bez boční platby má omezené aplikace. Použití obchodních množin, kernelu a jadérka v kontextu ekonomických modelů je relativně malé. £-jádro Jádro hry může být tlusté nebo nemusí existovat. Můžeme pak uvažovat o způsobu, jak jednotně danit a dotovat hráče, tedy mohou být jádra zvětšována nebo zmenšována. Zde jsou navrženy dva způsoby. Silné e-jádrose skládá z množiny Pareto optimálních výsledků x takových, že Xi > v(S) — s pro všechna S C N. Slabé e-jádrose skládá z množiny Pareto optimálních výsledků x takových, že Xi > v(S) — se pro všechna S Q N, kde s je počet hráčů v koalici S. Můžeme pak e považovat za celkové náklady nebo náklady na osobu při formulaci koalic. Zvýšením velikosti e můžeme případně vytvořit jádro pro hru s boční platbou bez jádra. Můžeme definovat nejmenší jádro neboli blízké jádro jako nejmenší silné £-jádro. Je zřejmé, že je to podobné, ale ne stejné, jako myšlenka jadérka. Vnitřní jádro Ačkoli mnoho výsledků, které platí pro hry s boční platbou, má svou analogii u her bez boční platby, tento pojem takový není. Mezi důležitými problémy v teorii her a jejich aplikacích na politickou ekonomii je charakterizace rozdílů. Např. obrázky 10.3 a 10.4 by měly postačit k ukázce, ačkoli jádro hry s boční platbou vždy zůstane jednoduše propojeno, toto neplatí pro hru bez boční platby a protipříkladem může být hra se 3 hráči. Rozdíl mezi hrami s a bez boční platby nás vede k definici vnitřního jádra hry. Uvažujme jádro hry bez boční platby z obrázku 10.3. Předpokládejme, že jsme v každém bodě jádra sestrojili tečnou nadrovinu a použili směrový kosinus této nadroviny k porovnání užitku hráčů v této hře s boční platbou. Používáním teorie porovnání užitečnosti můžeme popsat proveditelnost všech koalic pomocí nadrovin. Přirozená otázka je, zda bod doteku, který je bodem jádra hry bez boční platby, je bodem jádra vytvořený u hry s boční platbou. Odpověď je - že to není to nutné. Definujeme vnitřní jádro hry bez boční platby. Konstrukce tohoto jádra je podstatná. Je zajímavé poznamenat, že vnitřní jádro obsahuje jádro hry bez boční platby, které je definováno ordinálně. V případě tržní hry vnitřní jádro není úplné; odtud je jádro a vnitřní jádro se blíže stejné limitě - konkurenční rovnováze. 2.3 Řešení hry s nekooperujícími hráči Pro řešení hry s kooperujícími hráči je charakteristická funkční forma; pro řešení hry s nekooperujícími hráči je předepsána hře strategická forma. Mnoho základních zájmů v herních modelech v oligopolii a jiných aspektech ekonomie se soustřeďuje na hry, které jsou mnohokrát hrány. Řešení těchto her je diskutováno v části 2.4. To je přesně rozdíl mezi řešeními s kooperujícími a nekooperujícími hráči. Hry dvou hráčů s konstantním součtem Hry dvou hráčů s nulovým součtem a jejich strategicky ekvivalentní hry s konstantním součtem jsou hry čisté opozice. Cíle hráčů jsou diametrálně odlišné. Obě hry dvou hráčů s nulovým součtem a věta o minimaxu (Von Neumann a Morgenstern (1944)) jsou dobře známy a nebudeme je zde znovu uvádět. Teorie hry dvou hráčů s konstantním součtem je velmi důležitá při studiu vojenských taktických problémů, ale má velmi omezenou hodnotu pro politickou ekonomii. V politické ekonomii se setkáváme s podmínkou čisté opozice. Bod rovnováhy - nespolupracující hráči Mějme hru n hráčů ve strategickém tvaru, kde každý hráč i má množinu strategií Si, i = 1,n. Nechť Pi(si, S2, ■ ■ ■, sn) je výplatní funkce hráče i. Pak rovnovážný bod je vektor strategií (s^, s2, ■ ■ ■, s*) takový, že platí Hlavní koncepci bodu rovnováhy pro nekooperující hráče a jeho existenci pro maticové hry popsal Nash (1944), ačkoliv základní myšlenku a užití v ekonomii už popsal Cournot (1838). Je možné ukázat existenci bodu rovnováhy pro nespolupracující hráče s nekonečně mnoha hráči (Dubey, Shapley). To je důležité v souvislosti s koncepcí soutěžících trhů. Při hledání řešení bodu rovnováhy pro nespolupracující hráče je zde problém v existenci mnohonásobnosti rovnováhy. Mimoto je relativně snadné vytvořit jednoduché modely, kde mnoho rovnovážných bodů není rozumných. Maticové hry typu 2x2 (Tulák a žebrák) jsou dány v tabulce 10.4. 1 2 1 2 1 2 1 5,5 -1,10 1 10,1 -20,-20 1 1,6 10,6 2 10,-1 0,0 2 -20,-20 1,10 2 1,3 10,3 Tabulka 10.4: Matice strategie - hry dvou hráčů V první hře existuje jediný bod rovnováhy a to (0, 0). V druhé hře máme dva čisté body rovnováhy, jeden zvýhodňuje prvního, druhý druhého hráče. Máme špatný smíšený bod rovnováhy. Ve třetí hře jsou všechny její výsledky rovnovážné body. Když pracujeme se hrou ve strategické formě, nedostatečné statické ovlivňování rovnovážného bodu se stane evidentním. Nepochybně je zde kruhová stabilita pro rovnováhu: Jestliže A věděl, co B dělal, pak může dělat to a to a naopak!. Bohužel, neexistuje návod na to, jak a proč hráči vytvářejí pravděpodobnosti (očekávání), aby dosáhli rovnováhy. Při hledání řešení bodu rovnováhy pro nespolupracující hráče se neukazuje komunikace na ovládnutí; bod rovnováhy není často jediný. Tento komentář neplatí pouze na hry n nespolupracujících hráčů, ale také na ekonomické trhy vedoucí na hry s ne-kooperujícími hráči. 2.4 Jiná řešení Mnoho ekonomických analýz v jedné formě nebo jiné patrně závisí na koncepcích řešení, která se implicitně nebo explicitně rovnají rovnovážným stavům nespolupracujících hráčů, kdy hráči plně neznají všechny skutečnosti, které vedou k řešení. Konkrétně, náš problém je více v modelování a porozumění chování v matematické části. Definice rovnovážného bodu v matematice je zcela neměnná. Nespokojenost s tímto donutila mnoho herních teoretiků, aby vzali v úvahu extenzivní formu hry jakožto klíč k pochopení procesů Můžeme ukázat, že výsledek hry s neurčitou dobou trvání může být převeden na rovnováhu, když použijeme stejné strategie. Ukážeme to na tabulce 10.5. Výsledek (5,5) a (0,0) a (-11,-11) může být vynucen jako rovnováha, je těžké věřit, že vše je stejně možné. 1 2 co 1 5,5 -1,8 -30,-12 2 8,-1 0,0 -30,-12 co -12,-30 -12,-30 -11,-11 Tabulka 10.5: Matice strategie - hra tří hráčů Selten (1965, 1975) zavedl a zdokonalil pojem úplně rovnovážného bodu pro hry v extenzivním tvaru. V původní definici dokonale rovnovážný bod znamená, že hráči dosáhnou rovnováhy v každé podhře. Příklad v tabulce nám pomůže ilustrovat dokonale rovnovážný bod a rovnovážný bod, který není dokonale rovnovážný. Dvojice strategií jsou pak: Začínám hrát 1, jestliže druhý hraje 1, pak hraji 2, jinak hraji 3. Hraji 2 v obou případech bez ohledu na to, co hraje druhý. Obě strategie dávají rovnováhu; první není úplná, protože poslední tah je stejný, i když jiný hráč nemá na začátku úspěch s 1, není zde touha hrát 3. Naopak druhá rovnováha je úplná. V původní definici podhry zbývají pro dokonale rovnovážný bod problémy s částí stromu hry, kde se nedosáhne rovnováhy. Například, při hře 3 osob ilustroval Selten toto: Každý hráč má dvě volby (L nebo R), tudíž čistá nebo smíšená strategie pro i může být charakterizována pravděpodobností Pí pro výběr R. Dva typy rovnováhy pak jsou: Typ 1: pi = l, P2 = l, 0