Cvičení 1 – Analýza rozptylu jednoduchého třídění
Vzorový příklad
V rámci psychologického výzkumu bylo náhodně vybráno devět dvanáctiletých dětí a to tak,
že tři děti měly matku se základním vzděláním, tři se středoškolským a tři s vysokoškolským.
Všechny děti byly podrobeny témuž testu. Počty bodů, které děti v testu získaly, jsou uvedeny
v tabulce:
Vzdělání matky Počet bodů
Základní (ZŠ) 20 23 22
Středoškolské (SŠ) 24 26 25
Vysokoškolské (VŠ) 26 27 27
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnota počtu bodů v testu nezávisí
na vzdělání matky. Zamítnete-li nulovou hypotézu, zjistěte, které dvojice úrovní vzdělání se
liší na hladině významnosti 0,05. Vypočtěte též poměr determinace. Úkol řešte nejprve
pomocí modulu Základní statistiky/tabulky, poté pomocí modulu ANOVA.
Řešení:
Otevřeme datový soubor body_v_testu.sta o dvou proměnných vzdelani a Y a 9 případech.
V proměnné Y jsou zapsané body získané v testu, v proměnné vzdelani kódy pro nejvyšší
dosažené vzdělání matky (1 pro ZŠ, 2 pro SŠ, 3 pro VŠ).
Vzhledem k velmi malému počtu pozorování v každé skupině nemá smysl ověřovat normalitu
a vzhledem k vyváženému třídění se nemusí ověřovat ani homogenita rozptylů.
Využití modulu Základní statistiky/tabulky
Vypočteme výběrové průměry a výběrové směrodatné odchylky:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Rozklad & jednofakt. ANOVA – OK – Proměnné
– Závislé – Y, Grupovací – vzdelani – OK Popisné statistiky – Výpočet: Tabulka statistik.
Rozkladová tabulka popisných statistik (body_v_testu.sta)
N=9 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
vzdelani Y
průměr
Y
N
Y
Sm.odch.
ZŠ 21,66667 3 1,527525
SŠ 25,00000 3 1,000000
VŠ 26,66667 3 0,577350
Vš.skup. 24,44444 9 2,403701
Přistoupíme k testu hypotézy o shodě středních hodnot.
Na záložce ANOVA & testy zvolíme Analýza rozptylu.
Analýza rozptylu (body_v_testu.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
Y 38,88889 2 19,44444 7,333333 6 1,222222 15,90909 0,003993
Jelikož p-hodnota = 0,003993 je menší než hladina významnosti 0,05, hypotézu o shodě
středních hodnot zamítáme na hladině významnosti 0,05.
Vytvoříme krabicové diagramy: záložka Základní výsledky – Kategoriz. krabicový graf
Kategoriz. krabicový graf: Y: počet bodů v testu
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±1,96*SmCh
ZŠ SŠ VŠ
vzdelani
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Y
Nyní aplikujeme Tukeyovu metodu mnohonásobného porovnávání, abychom zjistili, které
dvojice úrovní vzdělání matky se liší na hladině významnosti 0,05. Na záložce Post – hoc
zvolíme Tukeyův HSD.
Tukeyův HSD test; proměn.:Y (body_v_testu.sta)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
vzdelani
{1}
M=21,667
{2}
M=25,000
{3}
M=26,667
ZŠ {1}
SŠ {2}
VŠ {3}
0,023833 0,003676
0,023833 0,234043
0,003676 0,234043
Tabulka obsahuje p-hodnoty pro vzájemné porovnání středních hodnot počtu bodů v testu
všech tří úrovní vzdělání matky. Vidíme, že na hladině významnosti 0,05 se liší dvojice
(ZŠ, SŠ) a (ZŠ, VŠ).
Využití modulu ANOVA
Statistiky – ANOVA – Jednofaktorová ANOVA – OK – Proměnné Seznam závislých
proměnných: Y, Kategor. nezávislá proměnná (faktor): vzdelani – OK.
Další postup se liší podle způsobu kódování indikátorových proměnných.
a) Kódování pomocí indikátorů typu dummy
Na záložce Možnosti vypneme Sigma – omezená parametrizace – OK.
Zvolíme Více výsledků – záložka Předpoklady. Zde můžeme provést test homogenity
rozptylů (v našem případě to není zapotřebí, ve všech skupinách je stejný počet pozorování) a
orientačně ověřit normalitu dat v jednotlivých skupinách. Vzhledem k velmi malému rozsahu
skupin to však pro nás není vhodné. V takovém případě se ověřuje normalita reziduí.
Zvolíme záložku Rezidua 1 – Pravděpodobnostní grafy reziduí – Normální.
Normální p-graf; Čistá rezidua
Závislá proměnná: Y
(Analyzovaný vzorek)
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
Rezid.
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Oček.normál.hodnota
,01
,05
,15
,35
,55
,75
,95
,99
Vypočteme výběrové průměry (s 95% intervaly spolehlivosti) a výběrové směrodatné
odchylky:
Na záložce Detaily zvolíme Popisné st. buněk:
Popisné statistiky (body_v_testu.sta)
Efekt
Úroveň
Faktor
N Y
Průměr
Y
Sm.odch.
Y
Sm.Ch.
Y
-95,00%
Y
+95,00%
Celkem
vzdelani
vzdelani
vzdelani
9 24,44444 2,403701 0,801234 22,59680 26,29209
ZŠ 3 21,66667 1,527525 0,881917 17,87208 25,46125
SŠ 3 25,00000 1,000000 0,577350 22,51586 27,48414
VŠ 3 26,66667 0,577350 0,333333 25,23245 28,10088
Na záložce Detaily zvolíme Test všech efektů a dostaneme tabulku ANOVA:
Jednorozměrné testy významnosti pro Y (body_v_testu.sta)
Přeparametrizovaný model
Dekompozice typu III
Efekt
SČ Stupně
volnosti
PČ F p
Abs. člen
vzdelani
Chyba
5377,778 1 5377,778 4400,000 0,000000
38,889 2 19,444 15,909 0,003993
7,333 6 1,222
Vidíme, že faktor vzdelani je významný na hladině významnosti 0,05.
Provedeme mnohonásobné porovnání. Na záložce Post-hoc zvolíme Tukeyův HSD:
Tukeyův HSD test; proměnná Y (body_v_testu.sta)
Přibližné pravděpodobnosti pro post hoc testy
Chyba: meziskup. PČ = 1,2222, sv = 6,0000
Č. buňky
vzdelani {1}
21,667
{2}
25,000
{3}
26,667
1
2
3
ZŠ 0,023833 0,003676
SŠ 0,023833 0,234043
VŠ 0,003676 0,234043
Na hladině významnosti 0,05 se liší dvojice skupin (ZŠ, SŠ) a (ZŠ, VŠ).
Nyní získáme odhady parametrů v modelu Yij = β0 + β1Z1j + β2Z2j + εij.
Na záložce Detaily vybereme Koeficienty:
Odhady parametrů (body_v_testu.sta)
(*Vynulované prediktory neuspěly při kontrole tolerance)
Přeparametrizovaný model
Efekt
Úroveň
Efekt
Sloupec Poznámky
(V/N/N)
Y
Param.
Y
Sm.Ch.
Y
t
Y
p
-95,00%
LmtSpol.
+95,00%
LmtSpol.
Abs. člen
vzdelani
vzdelani
vzdelani
1 26,66667 0,638285 41,77864 0,000000 25,10484 28,22849
ZŠ 2 Vychýl. -5,00000 0,902671 -5,53912 0,001461 -7,20876 -2,79124
SŠ 3 Vychýl. -1,66667 0,902671 -1,84637 0,114364 -3,87542 0,54209
VŠ 4 Nulov.* 0,00000
Ve výstupní tabulce najdeme ve sloupci Y Param. odhady 210 βββ ˆ,ˆ,ˆ , výsledky testů
významnosti těchto parametrů a 95% intervaly spolehlivosti.
67,26ˆ
0 =β představuje průměr hodnot v referenční skupině (VŠ),
5ˆ
1 −=β je odchylka průměru 1. skupiny (ZŠ) od průměru referenční skupiny,
67,1ˆ
2 −=β je odchylka průměru 2. skupiny (SŠ) od průměru referenční skupiny.
Protože p-hodnota příslušející testu významnosti parametru β2 je 0,1144, což je větší než 0,05,
znamená to, že střední hodnota 2. skupiny není významně odlišná od střední hodnoty
referenční skupiny.
Poměr determinace získáme na záložce Detaily – Celkové R. Ve výstupní tabulce je pod
označením Vícenás. R2:
Test SČ celého modelu vs. SČ reziduí (body_v_testu.sta)
Závislý
proměnné
Vícenás.
R
Vícenás.
R2
Upravené
R2
SČ
Model
SV
Model
PČ
Model
SČ
Rezid.
SV
Rezid.
PČ
Rezid.
F p
Y 0,917249 0,841346 0,788462 38,88889 2 19,44444 7,333333 6 1,222222 15,90909 0,003993
Hodnoty předpovědí a reziduí najdeme pomocí záložky Rezidua 1 – Předpovědi a rezidua:
Pozorované, předpovězené a reziduální hodnoty
Přeparametrizovaný model
(Analyzovaný vzorek)
Y
Pozorov.
Y
Předpov.
Y
Rezid.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
20,00000 21,66667 -1,66667
23,00000 21,66667 1,33333
22,00000 21,66667 0,33333
24,00000 25,00000 -1,00000
26,00000 25,00000 1,00000
25,00000 25,00000 0,00000
26,00000 26,66667 -0,66667
27,00000 26,66667 0,33333
27,00000 26,66667 0,33333
Ad b) Kódování pomocí indikátorů typu effect
Na záložce Možnosti zvolíme Sigma – omezená parametrizace.
Postup je stejný jako v případě (a), liší se však tabulka odhadů parametrů:
Odhady parametrů (body_v_testu.sta)
Sigma-omezená parametrizace
Efekt
Úroveň
Efekt
Sloupec Y
Param.
Y
Sm.Ch.
Y
t
Y
p
-95,00%
LmtSpol.
+95,00%
LmtSpol.
Abs. člen
vzdelani
vzdelani
1 24,44444 0,368514 66,33250 0,000000 23,54272 25,34617
ZŠ 2 -2,77778 0,521157 -5,33002 0,001778 -4,05300 -1,50255
SŠ 3 0,55556 0,521157 1,06600 0,327427 -0,71967 1,83078
44,24ˆ
0 =β představuje průměr všech hodnot veličiny Y,
78,2ˆ
1 −=β je odchylka průměru 1. skupiny (ZŠ) od celkového průměru,
56,0ˆ
2 =β je odchylka průměru 2. skupiny (SŠ) od celkového průměru.
Odhad efektu 3. úrovně faktoru A získáme jako 23,244,2467,26MMˆ ...33 =−=−=α . Je to
odchylka průměru 3. skupiny (VŠ) od celkového průměru.
Vidíme, že p-hodnota příslušející testu významnosti parametru β2 je 0,3274, což je větší než
hladina významnosti 0,05. Znamená to, že střední hodnota 2. skupiny (SŠ) není významně
odlišná od celkové střední hodnoty všech skupin.
Příklad k samostatnému řešení:
Popis situace: Výzkumníci řešili problém, zda čas má vliv na pokles hladiny alkoholu v krvi.
Za tímto účelem náhodně vybrali 18 dospělých mužů a náhodně je rozdělili do tří skupin
označených A, B, C. Jejich rozsahy byly postupně 7, 5 a 6. U mužů skupiny A byla hladina
alkoholu v krvi (udaná v promile) změřena po uplynutí 1 h, u skupiny B po 2 h a u skupiny C
po 3 h. Výsledky jsou zaznamenány v tabulce:
Skupina A 1,1 1,0 0,9 0,9 1,0 1,2 1,1
Skupina B 0,8 0,9 0,7 0,7 0,6
Skupina C 0,7 0,4 0,4 0,4 0,5 0,6
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že střední hodnota hladiny alkoholu nezávisí
na čase. Zamítnete-li nulovou hypotézu, zjistěte, které dvojice časových kategorií se liší na
hladině významnosti 0,05. Vypočtěte též poměr determinace. Úkol řešte nejprve pomocí
modulu Základní statistiky/tabulky, poté pomocí modulu ANOVA.
Řešení:
Otevřeme datový soubor alhohol_v_krvi.sta o dvou proměnných akupina a Y a 18 případech.
V proměnné Y jsou zapsané hladiny alkoholu, v proměnné skupina kódy pro jednotlivé
skupiny mužů.
Ověření normality ve všech střech skupinách:
Normální p-graf z Y; kategorizovaný skupina
alkohol_v_krvi.sta 2v*18c
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
skupina: skupina A
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
-1,4
-1,0
-0,6
-0,2
0,2
0,6
1,0
1,4
skupina: skupina B
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
skupina: skupina C
0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3
-1,4
-1,0
-0,6
-0,2
0,2
0,6
1,0
1,4
skupina: skupina A Y: SW-W = 0,9216; p = 0,4818
skupina: skupina B Y: SW-W = 0,9609; p = 0,8140
skupina: skupina C Y: SW-W = 0,8311; p = 0,1099
Využití modulu Základní statistiky/tabulky
Číselné charakteristiky:
Rozkladová tabulka popisných statistik (alkohol_v_krvi.sta)
N=18 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
skupina Y
průměr
Y
N
Y
Sm.odch.
skupina A 1,028571 7 0,111270
skupina B 0,740000 5 0,114018
skupina C 0,500000 6 0,126491
Vš.skup. 0,772222 18 0,256230
Krabicové grafy:
Kategoriz. krabicový graf: Y: obsah alkoholu v krvi (v %)
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±1,96*SmCh
skupina A skupina B skupina C
skupina
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
Y
Test hypotézy o homogenitě rozptylů:
Leveneův test homogenity rozpylů (alkohol_v_krvi.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
Y 0,000489 2 0,000245 0,051123 15 0,003408 0,071772 0,931060
Test hypotézy o shodě středních hodnot:
Analýza rozptylu (alkohol_v_krvi.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
Y 0,909825 2 0,454913 0,206286 15 0,013752 33,07883 0,000003
Scheffého metoda mnohonásobného porovnávání:
Scheffeho test; proměn.:Y (alkohol_v_krvi.sta)
Označ. rozdíly jsou významné na hlad. p < ,05000
skupina
{1}
M=1,0286
{2}
M=,74000
{3}
M=,50000
skupina A {1}
skupina B {2}
skupina C {3}
0,002921 0,000003
0,002921 0,014317
0,000003 0,014317
Využití modulu ANOVA
a) Kódování pomocí indikátorů typu dummy
Popisné statistiky buněk:
Popisné statistiky (alkohol_v_krvi.sta)
Efekt
Úroveň
Faktor
N Y
Průměr
Y
Sm.odch.
Y
Sm.Ch.
Y
-95,00%
Y
+95,00%
Celkem
skupina
skupina
skupina
18 0,772222 0,256230 0,060394 0,644802 0,899642
skupina A 7 1,028571 0,111270 0,042056 0,925664 1,131479
skupina B 5 0,740000 0,114018 0,050990 0,598429 0,881571
skupina C 6 0,500000 0,126491 0,051640 0,367256 0,632744
Tabulka ANOVA:
Jednorozm. výsledky pro každou záv. proměnnou (alkohol_v_krvi.sta)
Přeparametrizovaný model
Dekompozice typu III
Efekt
Stupně
volnosti
Y
SČ
Y
PČ
Y
F
Y
p
Abs. člen
skupina
Chyba
Celkem
1 10,10044 10,10044 734,4505 0,000000
2 0,90983 0,45491 33,0788 0,000003
15 0,20629 0,01375
17 1,11611
Výsledek Scheffého metody:
Scheffeho test; proměnná Y (alkohol_v_krvi.sta)
Pravděpodobnosti pro post-hoc testy
Chyba: meziskup. PČ = ,01375, sv = 15,000
Č. buňky
skupina {1}
1,0286
{2}
,74000
{3}
,50000
1
2
3
skupina A 0,002921 0,000003
skupina B 0,002921 0,014317
skupina C 0,000003 0,014317
Odhady parametrů v modelu Yij = β0 + β1Z1j + β2Z2j + εij:
Odhady parametrů (alkohol_v_krvi.sta)
(*Vynulované prediktory neuspěly při kontrole tolerance)
Přeparametrizovaný model
Efekt
Úroveň
Efekt
Sloupec Poznámky
(V/N/N)
Y
Param.
Y
Sm.Ch.
Y
t
Y
p
-95,00%
LmtSpol.
+95,00%
LmtSpol.
Y
Beta (ß)
Y
Sm.Ch. ß
-95,00%
LmtSpol.
+95,00%
LmtSpol.
Abs. člen
skupina
skupina
skupina
1 0,500000 0,047875 10,44376 0,000000 0,397956 0,602044
skupina A 2 Vychýl. 0,528571 0,065243 8,10154 0,000001 0,389509 0,667634 1,034806 0,127730 0,762557 1,307055
skupina B 3 Vychýl. 0,240000 0,071011 3,37977 0,004126 0,088644 0,391356 0,431696 0,127730 0,159447 0,703945
skupina C 4 Nulov.* 0,000000
5,0ˆ
0 =β představuje průměr hodnot v referenční skupině C,
5286,0ˆ
1 =β je odchylka průměru skupiny A od průměru referenční skupiny,
24,0ˆ
2 =β je odchylka průměru skupiny B od průměru referenční skupiny.
Poměr determinace:
Test SČ celého modelu vs. SČ reziduí (alkohol_v_krvi.sta)
Závislý
proměnné
Vícenás.
R
Vícenás.
R2
Upravené
R2
SČ
Model
SV
Model
PČ
Model
SČ
Rezid.
SV
Rezid.
PČ
Rezid.
F p
Y 0,902870 0,815175 0,790531 0,909825 2 0,454913 0,206286 15 0,013752 33,07883 0,000003
Hodnoty předpovědí a reziduí:
Pozorované, předpovězené a reziduální hodnoty
Přeparametrizovaný model
(Analyzovaný vzorek)
Y
Pozorov.
Y
Předpov.
Y
Rezid.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1,10000 1,02857 0,07143
1,00000 1,02857 -0,02857
0,90000 1,02857 -0,12857
0,90000 1,02857 -0,12857
1,00000 1,02857 -0,02857
1,20000 1,02857 0,17143
1,10000 1,02857 0,07143
0,80000 0,74000 0,06000
0,90000 0,74000 0,16000
0,70000 0,74000 -0,04000
0,70000 0,74000 -0,04000
0,60000 0,74000 -0,14000
0,70000 0,50000 0,20000
0,40000 0,50000 -0,10000
0,40000 0,50000 -0,10000
0,40000 0,50000 -0,10000
0,50000 0,50000 -0,00000
0,60000 0,50000 0,10000
Ověření normality reziduí:
Normální p-graf z Y Rezid.
Pozorované, předpovězené a reziduální hodnoty v PS1 3v*18c
-0,20 -0,15 -0,10 -0,05 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25
Pozorovaný kvantil
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Oček.normál.hodnoty
Y Rezid.: SW-W = 0,9213; p = 0,1365
b) Kódování pomocí indikátorů typu effect:
Odhady parametrů
Odhady parametrů (alkohol_v_krvi.sta)
Sigma-omezená parametrizace
Efekt
Úroveň
Efekt
Sloupec Y
Param.
Y
Sm.Ch.
Y
t
Y
p
-95,00%
LmtSpol.
+95,00%
LmtSpol.
Y
Beta (ß)
Y
Sm.Ch. ß
-95,00%
LmtSpol.
+95,00%
LmtSpol.
Abs. člen
skupina
skupina
1 0,756190 0,027903 27,10075 0,000000 0,696717 0,815664
skupina A 2 0,272381 0,037861 7,19425 0,000003 0,191682 0,353080 0,927609 0,128937 0,652785 1,202432
skupina B 3 -0,016190 0,041175 -0,39321 0,699697 -0,103953 0,071572 -0,050699 0,128937 -0,325523 0,224124
7562,0ˆ
0 =β představuje průměr všech hodnot veličiny Y,
2724,0ˆ
1 =β je odchylka průměru skupiny A od celkového průměru,
0162,0ˆ
2 −=β je odchylka průměru skupiny B od celkového průměru.
Odhad efektu 3. úrovně faktoru A získáme jako 2562,07562,05,0MMˆ ...33 −=−=−=α . Je
to odchylka průměru skupiny C od celkového průměru.