Cvičení 2.: Analýza rozptylu dvojného třídění
Příklad na analýzu rozptylu bez interakcí:
V rámci pedagogicko – psychologického výzkumu bylo sledováno, zda čas potřebný
k vyřešení určité úlohy závisí na denní době a hlučnosti okolí. Bylo proto vybráno 12 studentů
s přibližně stejnými studijními výsledky a rozděleno do tří skupin. První skupina řešila úlohu
ráno, druhá v poledne a třetí večer. V každé skupině vždy jeden student pracoval v tichém
prostředí, druhý poslouchal reprodukovanou hudbu, třetí rozhlasovou hru a čtvrtý silný
pouliční hluk. Počet minut potřebných k vyřešení úlohy je uveden v tabulce:
ticho hudba hra hluk
ráno 6 7 8 6
v poledne 8 5 10 5
večer 7 6 12 7
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, zda doba potřebná k vyřešení úlohy nezávisí
na denní době a na hlučnosti okolí. V případě zamítnutí nulové hypotézy zjistěte, které
dvojice řádků resp. sloupců se liší na hladině významnosti 0,05.
Návod:
Načtěte datový soubor hlucnost_okoli.sta se třemi proměnnými X, A, B a 12 případy.
Proměnná X obsahuje počet minut, A – denní doba A (1 – ráno, 2 – v poledne), B – hlučnost
okolí (1 – ticho, 2 – hudba, 3 – hra, 4 - hluk).
Nejprve spočítáme průměry pro denní doby a pro hlučnost okolí:
Statistiky – ANOVA – Typ analýzy ANOVA hlavních efektů, Metoda specifikace: Rychlé
nastavení – OK, Proměnné – Seznam závislých proměnných X, Kategor. nezáv, prom.
(faktory) A, B – OK – Možnosti – Parametrizace – odškrtneme Sigma-omezená, zaškrtneme
Bez absolutního členu – OK – Průměry – vybereme Efekt A (resp. B) – Vš. Marginální
tabulky.
A; Vážené průměry (hlucnost_okoli)
Současný efekt: F(2, 6)=1,0000, p=,42188
Dekompozice typu III
Č. buňky
A X
Průměr
X
Sm.Ch.
X
-95,00%
X
+95,00%
N
1
2
3
ráno 6,750000 0,478714 5,226520 8,27348 4
v poledne 7,000000 1,224745 3,102315 10,89768 4
večer 8,000000 1,354006 3,690947 12,30905 4
B; Vážené průměry (hlucnost_okoli)
Současný efekt: F(3, 6)=6,1429, p=,02926
Dekompozice typu III
Č. buňky
B X
Průměr
X
Sm.Ch.
X
-95,00%
X
+95,00%
N
1
2
3
4
ticho 7,00000 0,577350 4,515862 9,48414 3
hudba 6,00000 0,577350 3,515862 8,48414 3
hra 10,00000 1,154701 5,031725 14,96828 3
hluk 6,00000 0,577350 3,515862 8,48414 3
Současně můžeme nechat vykreslit grafy závislostí počtu minut potřebných k vyřešení úlohy
na denní době a poté na hlučnosti prostředí.
A; Průměry MNČ
Současný efekt: F(2, 6)=1,0000, p=,42188
Dekompozice typu III
Vertikální sloupce označují 0,95 intervaly spolehlivosti
ráno v poledne večer
A
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
7,0
7,5
8,0
8,5
9,0
9,5
10,0
10,5
X:pocetminut
Vidíme, že průměrná doba potřebná k vyřešení úlohy se zvyšuje s postupující denní dobou.
B; Průměry MNČ
Současný efekt: F(3, 6)=6,1429, p=,02926
Dekompozice typu III
Vertikální sloupce označují 0,95 intervaly spolehlivosti
ticho hudba hra hluk
B
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
X:pocetminut
Nejvyšší průměrnou dobu potřebovali studenti, kteří při řešení poslouchali rozhlasovou hru,
naopak nejkratší doba stačila těm, kteří poslouchali hudbu či byli vystaveni hluku z ulice.
Dále získáme tabulku analýzy rozptylu dvojného třídění bez interakcí:
Návrat do ANOVA Výsledky – Všechny efekty.
Jednorozměrné testy významnosti pro X (hlucnost_okoli.sta)
Přeparametrizovaný model
Dekompozice typu III
Efekt
SČ Stupně
volnosti
PČ F p
A
B
Chyba
3,50000 2 1,75000 1,000000 0,421875
32,25000 3 10,75000 6,142857 0,029263
10,50000 6 1,75000
Vidíme, že na hladině významnosti 0,05 je významný faktor B, tj. hlučnost okolí. Vliv denní
doby není prokazatelný na hladině významnosti 0,05.
Než přistoupíme k mnohonásobnému porovnávání, budeme ještě analyzovat rezidua.
Návrat do ANOVA Výsledky – Rezidua – P-graf reziduí
Normální p-graf; Čistá rezidua
Závislá proměnná: X
(Analyzovaný vzorek)
-2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0
Rezid.
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Oček.normál.hodnota
,01
,05
,15
,35
,55
,75
,95
,99
Normální pravděpodobnostní graf reziduí svědčí o tom, že rezidua se řídí normálním
rozložením.
Návrat do ANOVA Výsledky – Rezidua – Před. & rezidua
Předpovězené vs. reziduální hodnoty
Závislá proměnná: X
(Analyzovaný vzorek)
4 5 6 7 8 9 10 11 12
Předpov. hodnoty
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Čistárezidua
Graf závislosti reziduí na predikovaných hodnotách vypadá jako náhodný mrak bodů, což je
v pořádku.
Podíváme se ještě na graf závislosti predikovaných hodnot na pozorovaných hodnotách:
Návrat do ANOVA Výsledky – Rezidua – Poz. & před.
Pozorované vs. předpovězené hodnoty
Závislá proměnná: X
(Analyzovaný vzorek)
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Pozorované hodnoty
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Předpovězenéhodnoty
Provedeme mnohonásobné porovnávání: Návrat do ANOVA Výsledky – Více výsledků –
Post-hoc – Efekt B – Tukeyův HSD.
Tukeyův HSD test; proměnná X (hlucnost_okoli.sta)
Přibližné pravděpodobnosti pro post hoc testy
Chyba: meziskup. PČ = 1,7500, sv = 6,0000
Č. buňky
B {1}
7,0000
{2}
6,0000
{3}
10,000
{4}
6,0000
1
2
3
4
ticho 0,793146 0,112486 0,793146
hudba 0,793146 0,038069 1,000000
hra 0,112486 0,038069 0,038069
hluk 0,793146 1,000000 0,038069
Na hladině významnosti 0,05 se liší skupiny (2,3) a (3,4), tj. (hudba, hra) a (hra, hluk).
Dále stanovíme homogenní skupiny hlučnosti okolí na podle Tukeyovy HSD metody.
Návrat do ANOVA Výsledky – Více výsledků – Post-hoc – Efekt B – zaškrtneme Homogenní
skupiny – Tukeyův HSD.
Tukeyův HSD test; proměnná X (hlucnost_okoli.sta)
Homogenní skupiny, alfa = ,05000
Chyba: meziskup. PČ = 1,7500, sv = 6,0000
Č. buňky
B X
Průměr
1 2
2
4
1
3
hudba 6,00000 ****
hluk 6,00000 ****
ticho 7,00000 **** ****
hra 10,00000 ****
1. skupina – lepší výkony
2. skupina – horší výkony
Nejlepšího výkonu je dosaženo při poslouchání hudby, naopak nejhoršího při poslouchání
rozhlasové hry. Neutrálního výkonu je dosaženo v tichém prostředí.
Příklad na analýzu rozptylu s interakcemi: Velké jezero na severu USA bylo rozděleno na
pět oblastí a z každé oblasti byly odebrány tři vzorky vody. U každého vzorku byla provedena
dvě opakovaná stanovení obsahu fosforu (v mg/l). Výsledky laboratorních analýz obsahu
fosforu jsou uvedeny v tabulce:
Vzorek 1 Vzorek 2 Vzorek 3
Oblast 1 0,010 0,008 0,009 0,012 0,011 0,006
Oblast 2 0,013 0,017 0,008 0,010 0,012 0,011
Oblast 3 0,009 0,015 0,010 0,014 0,017 0,011
Oblast 4 0,011 0,015 0,008 0,013 0,010 0,014
Oblast 5 0,014 0,006 0,018 0,010 0,005 0,013
Na hladině významnosti 0,05 vyšetřete, zda oblasti a odebrané vzorky mají vliv na
koncentraci fosforu ve vodě. Dochází k vzájemnému ovlivňování těchto faktorů?
Návod:
Načtěte datový soubor fosfor_v_jezere.sta se třemi proměnnými X, A, B a 30 případy.
V proměnné X jsou hodnoty obsahu fosforu, proměnná A reprezentuje oblasti 1 – 5 a
proměnná B vzorky 1 – 3.
Statistiky – ANOVA – Typ analýzy ANOVA s interakcemi - Metoda specifikace: Rychlé
nastavení – OK, Proměnné – Seznam závislých proměnných X, Kategor. nezáv, prom.
(faktory( A, B – OK – Možnosti – Parametrizace – odškrtneme Sigma-omezená, zaškrtneme
Bez absolutního členu – OK – Všechny efekty.
Nejprve vypočteme průměry a směrodatné odchylky ve všech skupinách. Zvolíme Více
výsledků – Popisné st. buněk.
Popisné statistiky (fosfor_v_jezere.sta)
Efekt
Úroveň
Faktor
Úroveň
Faktor
N X
Průměr
X
Sm.odch.
X
Sm.Ch.
X
-95,00%
X
+95,00%
Celkem
A
A
A
A
A
B
B
B
A*B
A*B
A*B
A*B
A*B
A*B
A*B
A*B
A*B
A*B
A*B
A*B
A*B
A*B
A*B
30 0,011333 0,003304 0,000603 0,010099 0,012567
1 6 0,009333 0,002160 0,000882 0,007066 0,011600
2 6 0,011833 0,003061 0,001249 0,008622 0,015045
3 6 0,012667 0,003141 0,001282 0,009370 0,015963
4 6 0,011833 0,002639 0,001078 0,009063 0,014603
5 6 0,011000 0,004980 0,002033 0,005774 0,016226
1 10 0,011800 0,003553 0,001123 0,009258 0,014342
2 10 0,011200 0,003120 0,000987 0,008968 0,013432
3 10 0,011000 0,003528 0,001116 0,008476 0,013524
1 1 2 0,009000 0,001414 0,001000 -0,003706 0,021706
1 2 2 0,010500 0,002121 0,001500 -0,008559 0,029559
1 3 2 0,008500 0,003536 0,002500 -0,023266 0,040266
2 1 2 0,015000 0,002828 0,002000 -0,010412 0,040412
2 2 2 0,009000 0,001414 0,001000 -0,003706 0,021706
2 3 2 0,011500 0,000707 0,000500 0,005147 0,017853
3 1 2 0,012000 0,004243 0,003000 -0,026119 0,050119
3 2 2 0,012000 0,002828 0,002000 -0,013412 0,037412
3 3 2 0,014000 0,004243 0,003000 -0,024119 0,052119
4 1 2 0,013000 0,002828 0,002000 -0,012412 0,038412
4 2 2 0,010500 0,003536 0,002500 -0,021266 0,042266
4 3 2 0,012000 0,002828 0,002000 -0,013412 0,037412
5 1 2 0,010000 0,005657 0,004000 -0,040825 0,060825
5 2 2 0,014000 0,005657 0,004000 -0,036825 0,064825
5 3 2 0,009000 0,005657 0,004000 -0,041825 0,059825
Ověříme normalitu reziduí. Na záložce Rezidua 1 vybereme NP plot reziduí:
Normální p-graf; Čistá rezidua
Závislá proměnná: X
(Analyzovaný vzorek)
-0,005 -0,004 -0,003 -0,002 -0,001 0,000 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005
Rezid.
-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
Oček.normál.hodnota
,01
,05
,15
,35
,55
,75
,95
,99
Vidíme, že normalita je lehce porušena.
Dále provedeme testy významnosti faktorů A, B a interakcí. Návrat do ANOVA výsledky –
Test všech efektů. Dostaneme tabulku analýzy rozptylu dvojného třídění s interakcemi.
Jednorozměrné testy významnosti pro X (fosfor_v_jezere.sta)
Přeparametrizovaný model
Dekompozice typu III
Efekt
SČ Stupně
volnosti
PČ F p
A
B
A*B
Chyba
0,000038 4 0,000010 0,726010 0,587787
0,000003 2 0,000002 0,131313 0,877940
0,000077 8 0,000010 0,727904 0,666096
0,000198 15 0,000013
Na hladině významnosti 0,05 se neprokázal vliv faktoru A, B ani interakcí.
Vykreslíme ještě průměry obsahu fosforu v závislosti na faktorech A, B:
Návrat do ANOVA výsledky – na záložce Průměry zvolíme Graf u volby Pozorované,
nevážené – Osa x – A – vzor čar - B. Dostaneme graf:
A*B; Nevážené průměry
Současný efekt: F(8, 15)=,72790, p=,66610
Dekompozice typu III
Vertikální sloupce označují 0,95 intervaly spolehlivosti
B
1
B
2
B
3
1 2 3 4 5
A
0,000
0,002
0,004
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
0,018
0,020
0,022
0,024
X
Nejvyšší obsah fosforu pozorujeme ve 2. oblasti u 2. vzorku (0,015), zatímco nejnižší je v 1.
oblasti u vzorku 3.
Příklad k samostatnému řešení na analýzu rozptylu dvojného třídění s interakcemi (příklad
je převzat z bakalářské práce Mariky Dienové)
Na spálení do cementárny se dodávají různé druhy odpadů, nás budou zajímat emulzní topné
oleje. Zjišťuje se jejich výhřevnost (veličina X - v MJ/kg) v závislosti na době odebrání
vzorku (faktor A – buď čerstvě po dodání nebo těsně před spálením) a na dodavateli odpadů
(faktor B – buď dodavatel I, II nebo III).
I II III
36,33 38,46 38,43
36,8 37,65 38,56
Po dodání
37,28 38,36 38,62
10,44 26 20,11
18,66 25,18 35,82
Před spálením
15,96 24,22 26,13
Proveďte analýzu rozptylu dvojného třídění s interakcemi.