Cvičení 6.: Analýza kovariance
V jistém zdravotnickém zařízení v centru Prahy byly zaznamenány údaje o 233 pacientech
stomatologického oddělení, které měly přispět k objasnění vlivu některých chorob na stav
chrupu. Pacienti byli rozděleni do pěti skupin podle onemocnění na některou z vybraných
chorob, šestá skupina byla kontrolní.
Sledované choroby:
1. vředová choroba žaludku
2. hypertenze
3. tuberkulóza
4. srdeční onemocnění
5. cukrovka
Stav chrupu je vyjádřen pomocí indexu KPE, který se počítá podle vzorce:
KPE = ((počet zubů s kazem+počet zubů s plombou+počet extrahovaných zubů)/32)100%
U každého pacienta byl rovněž zaznamenán jeho věk. Data jsou uložena v souboru
stav_chrupu.sta. Proměnná ID obsahuje kódy pro jednotlivé choroby a kontrolní skupinu,
proměnná Y je index KPE a proměnná X obsahuje věk pacienta. Pro tento datový soubor
proveďte analýzu kovariance.
Řešení v systému STATISTICA
Nejprve vypočteme číselné charakteristiky indexu KPE v jednotlivých skupinách pacientů.
Návod: Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Rozklad & jednofakt. ANOVA – OK –
Proměnné – Závislé – Y, Grupovací - ID – OK – Skupiny tabulek - zaškrtneme Rozptyly -
Výpočet.
Rozkladová tabulka popisných statistik (stav_chrupu.sta)
N=233 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
ID Y
průměr
Y
N
Y
Sm.odch.
vredova choroba 18,06061 33 7,457963
hypertenze 24,90244 41 7,013576
TBC 20,95000 20 6,565259
srdecni choroba 24,00000 39 7,211103
cukrovka 24,35135 37 6,587936
kontrolni skupina 21,77778 63 7,408462
Vš.skup. 22,51073 233 7,395893
Vidíme, že nejvyšší průměrnou hodnotu indexu KPE mají pacienti s hypertenzí, naopak
nejnižší s vředovou chorobou. Směrodatné odchylky kolísají v úzkém rozmezí od 6,57 po
7,46.
Vytvoříme ještě graf průměrů s 95% intervaly spolehlivost.
Návrat do Statistiky dle skupin – na záložce Základní výsledky zvolíme Graf interakcí.
Graf průměrů a int. spolehlivosti (95,00%)
Y: index KPE (100*(pocet zubu s kazem+plombou+extrahovanych zubu)/32)
Y
vredova choroba
hypertenze
TBC
srdecni choroba
cukrovka
kontrolni skupina
ID
14
16
18
20
22
24
26
28
30
Hodnoty
Z tohoto grafu je patrné, že vzhledem k nepřekrývajícím se intervalům spolehlivosti by
metoda mnohonásobného porovnávání zřejmě odhalila rozdíl mezi třemi dvojicemi skupin:
(vředová choroba, hypertenze), (vředová choroba, srdeční choroba) a (vředová choroba,
cukrovka).
Normalitu hodnot veličiny Y v daných šesti náhodných výběrech posoudíme pomocí NP plotu
a S-W testu.
Návod: Grafy – 2D Grafy – Normální pravděpodobnostní grafy – zaškrtneme S-W test a
odškrtneme Neurčovat průměrnou pozici svázaných pozorování - Proměnné Y – OK – na
záložce Kategorizovaný vybereme u Kategorie X Zapnuto, zaškrtneme Změnit proměnnou –
Proměnná ID - OK – OK.
Normální p-graf z Y; kategorizovaný ID
stav_chrupu.sta 3v*233c
Pozorovaný kvantil
Oček.normál.hodnoty
ID: vredova choroba
0 5 10 15 20 25 30 35
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
ID: hypertenze
0 5 10 15 20 25 30 35
ID: TBC
0 5 10 15 20 25 30 35
ID: srdecni choroba
0 5 10 15 20 25 30 35
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
ID: cukrovka
0 5 10 15 20 25 30 35
ID: kontrolni skupina
0 5 10 15 20 25 30 35
ID: vredova choroba Y: SW-W = 0,9583; p = 0,2306
ID: hypertenze Y: SW-W = 0,8692; p = 0,0002
ID: TBC Y: SW-W = 0,9652; p = 0,6519
ID: srdecni choroba Y: SW-W = 0,9075; p = 0,0036
ID: cukrovka Y: SW-W = 0,9166; p = 0,0088
ID: kontrolni skupina Y: SW-W = 0,9365; p = 0,0029
S výjimkou 1. a 3. skupiny S-W test zamítá hypotézu o normalitě na hladině významnosti
0,05, ale vzhledem k dostatečně velkým rozsahům skupin a jen mírným odchylkám od
normality, které vidíme v NP plotech, budeme data považovat za normálně rozložená.
Nyní ověříme předpoklad shody rozptylů.
Návod: Návrat do Statistiky dle skupin - na záložce ANOVA&testy zaškrtneme Levenův test
– Výpočet.
Leveneův test homogenity rozpylů (stav_chrupu.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
Y 33,68967 5 6,737935 3197,865 227 14,08751 0,478291 0,792276
Hypotézu o shodě rozptylů nezamítáme na hladině významnosti 0,05, protože p-hodnota je
0,7923.
Vykreslíme ještě krabicové diagramy.
Návod: Aktivujeme Statistiky dle skupin – na záložce Základní výsledky vybereme
Kategoriz. krabicový graf.
Kategoriz. krabicový graf: Y: index KPE (100*(pocet zubu s kazem+plombou+extrahovanych zubu)/32)
Průměr
Průměr±SmCh
Průměr±1,96*SmCh
vredova choroba
hypertenze
TBC
srdecni choroba
cukrovka
kontrolni skupina
ID
14
16
18
20
22
24
26
28
Y
Ověříme rovnoběžnost regresních přímek ve všech šesti skupinách pacientů
Návod: Statistiky – Pokročilé lineární/nelineární modely – Obecné lineární modely – Typ
analýzy Obecné lineární modely – Metoda specifikace Rychlé nastavení – OK – Proměnné –
Závisle proměnné: Y, Kateg. nez. prom.: ID, Spoj. nezáv. prom.: X – OK – Meziskupinové
efekty – zaškrtneme Vlastní efekty meziskupinového schématu – přidáme ID, X a interakci
ID*X – OK – na záložce Možnosti zvolíme Součet čtverců Typ II (parciální) – OK - Více
výsledků – Jednorozm. výsledky
Jednorozm. výsledky pro každou záv. proměnnou (stav_chrupu.sta)
Sigma-omezená parametrizace
Dekompozice typu II
Efekt
Stupně
volnosti
Y
SČ
Y
PČ
Y
F
Y
p
Abs. člen
ID
X
ID*X
Chyba
Celkem
1 118068,8 118068,8 3405,851 0,000000
5 280,3 56,1 1,617 0,156595
1 3614,2 3614,2 104,257 0,000000
5 232,3 46,5 1,340 0,248431
221 7661,3 34,7
232 12690,2
Zajímá nás řádek ID*X. Příslušná p-hodnota je 0,2484, tedy na hladině významnosti 0,05
nezamítáme hypotézu o shodě směrnic daných šesti regresních přímek.
Test můžeme ještě doplnit grafem:
Návod: Grafy – Bodové grafy – Proměnné – X, Y – OK – na záložce Kategorizovaný
zapneme kategorii X – Změnit proměnnou – ID – OK – zaškrtneme Rozložení Přes sebe –
OK.
Bodový graf z Y proti X; kategorizovaný ID
stav_chrupu.sta 3v*233c
X
Y
ID: vredova choroba
ID: hypertenze
ID: TBC
ID: srdecni choroba
ID: cukrovka
ID: kontrolni skupina20 30 40 50 60 70 80 90
0
5
10
15
20
25
30
35
ID: vredova choroba Y = -0,3373+0,4111*x
ID: hypertenze Y = 11,7679+0,2174*x
ID: TBC Y = 5,1408+0,3378*x
ID: srdecni choroba Y = 0,3243+0,3676*x
ID: cukrovka Y = 13,3924+0,1783*x
ID: kontrolni skupina Y = 4,5308+0,3218*x
Vidíme, že směrnice regresních přímek kolísají od 0,1783 u pacientů s cukrovkou až po
0,4111 u pacientů s vředovou chorobou žaludku. Rozdíly mezi směrnicemi však nejsou
průkazné na hladině významnosti 0,05.
Po ověření předpokladů přistoupíme k provedení samotné analýzy kovariance, s jejíž pomocí
budeme testovat jednak hypotézu o nulovosti regrese Y na X a jednak hypotézu o
nevýznamnosti vlivu skupiny na veličinu Y.
Návod: Statistiky – Pokročilé lineární/nelineární modely – Obecné lineární modely – Typ
analýzy Obecné lineární modely – Analýza kovariance – OK - Proměnné – Závisle proměnné:
Y, Kateg. nez. prom.: ID, Spoj. nezáv. prom.: X – OK – na záložce Možnosti zvolíme Součet
čtverců Typ II (parciální) – OK - Více výsledků – Jednorozm. výsledky
Jednorozm. výsledky pro každou záv. proměnnou (stav_chrupu.sta)
Sigma-omezená parametrizace
Dekompozice typu II
Efekt
Stupně
volnosti
Y
SČ
Y
PČ
Y
F
Y
p
Abs. člen
X
ID
Chyba
Celkem
1 118068,8 118068,8 3380,428 0,000000
1 3614,2 3614,2 103,479 0,000000
5 157,2 31,4 0,900 0,481862
226 7893,5 34,9
232 12690,2
Vidíme, že p-hodnota na řádku X je blízká 0, tedy hypotézu o nulovosti regrese zamítáme na
hladině významnosti 0,05.
Na řádku ID je p-hodnota 0,4819, tedy vliv skupiny na stav chrupu nelze prokázat na hladině
významnosti 0,05.
Pokud bychom provedli analýzu rozptylu bez eliminace vlivu věku, dostali bychom tabulku
Analýza rozptylu (stav_chrupu.sta)
Označ. efekty jsou význ. na hlad. p < ,05000
Proměnná
SČ
efekt
SV
efekt
PČ
efekt
SČ
chyba
SV
chyba
PČ
chyba
F p
Y 1182,463 5 236,4927 11507,76 227 50,69498 4,665012 0,000450
Zde je p-hodnota 0,0005, tedy vliv skupiny na hodnoty indexu KPE se ukázal jako významný.
Je to však klamný závěr, protože rozdíly mezi skupinami neplynou z chorob, ale jsou
způsobeny nestejným věkem pacientů ve skupinách, což je vidět z tabulky popisných statistik
veličiny X:
Rozkladová tabulka popisných statistik (stav_chrupu.sta)
N=233 (V seznamu záv. prom. nejsou ChD)
ID X
průměr
X
N
X
Sm.odch.
vredova choroba 44,75758 33 12,08312
hypertenze 60,41463 41 13,04411
TBC 46,80000 20 11,91903
srdecni choroba 64,41026 39 10,94416
cukrovka 61,45946 37 13,44866
kontrolni skupina 53,60317 63 15,81500
Vš.skup. 56,02146 233 14,91830
Provedené testy ještě doplníme o odhad regresního koeficientu β a výpočet upravených
průměrů.
Odhad β: Návrat do GLM – na záložce Detaily zvolíme Koeficienty
Odhady parametrů (stav_chrupu.sta)
Sigma-omezená parametrizace
Efekt
Úroveň
Efekt
Sloupec Y
Param.
Y
Sm.Ch.
Y
t
Y
p
-95,00%
LmtSpol.
+95,00%
LmtSpol.
Y
Beta (ß)
Y
Sm.Ch. ß
-95,00%
LmtSpol.
+95,00%
LmtSpol.
Abs. člen
X
ID
ID
ID
ID
ID
1 5,88830 1,668466 3,52917 0,000505 2,60056 9,176045
2 0,29782 0,029278 10,17245 0,000000 0,24013 0,355516 0,600743 0,059056 0,484372 0,717113
vredova choroba 3 -1,15758 0,983806 -1,17664 0,240577 -3,09619 0,781021 -0,098636 0,083829 -0,263822 0,066550
hypertenze 4 1,02120 0,871171 1,17221 0,242345 -0,69546 2,737855 0,091519 0,078074 -0,062326 0,245364
TBC 5 1,12353 1,180416 0,95181 0,342213 -1,20250 3,449556 0,086410 0,090786 -0,092484 0,265305
srdecni choroba 6 -1,07123 0,914979 -1,17077 0,242923 -2,87421 0,731749 -0,094868 0,081031 -0,254541 0,064804
cukrovka 7 0,15894 0,911339 0,17440 0,861708 -1,63687 1,954745 0,013903 0,079717 -0,143181 0,170987
Na řádku X, ve sloupci Y Param. najdeme odhad 0,2978.
Výpočet upravených průměrů a vykreslení grafu: Návrat do GLM – na záložce Průměry
zvolíme Průměry MNČ a poté Graf
ID; Průměry MNČ (stav_chrupu.sta)
Současný efekt: F(5, 226)=,90000, p=,48186
(Vypočteno pro průměry spoj. nezáv. prom.)
Č. buňky
ID Y
Průměr
Y
Sm.Ch.
Y
-95,00%
Y
+95,00%
N
1
2
3
4
5
6
vredova choroba 21,41526 1,080349 19,28642 23,54411 33
hypertenze 23,59405 0,931894 21,75773 25,43036 41
TBC 23,69637 1,348795 21,03855 26,35420 20
srdecni choroba 21,50161 0,977696 19,57505 23,42818 39
cukrovka 22,73178 0,984543 20,79172 24,67184 37
kontrolni skupina 22,49800 0,747939 21,02418 23,97183 63
ID; Průměry MNČ
Současný efekt: F(5, 226)=,90000, p=,48186
(Vypočteno pro průměry spoj. nezáv. prom.)
Vertikály označují 0,95 intervaly spolehlivosti
vredova choroba
hypertenze
TBC
srdecni choroba
cukrovka
kontrolni skupina
ID
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Y
Prům. spoj. nez. prom.:
X: 56,02146
Nejnižší upravený průměr věku pozorujeme u pacientů s vředovou chorobou, naopak nejvyšší
u pacientů s cukrovkou.