logo-IBA logomuni
Přednáška X.
 Testování hypotéz o kvalitativních proměnných
* Testování hypotéz o podílech
* Kontingenční tabulka, čtyřpolní tabulka
* Testy nezávislosti, Fisherův exaktní test, McNemarův test
* Testy dobré shody pro ověření rozdělení pravděpodobnosti
esf-komplet-barva.jpg

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Opakování – analýza rozptylu
* Proč je výhodnější provést srovnání průměrů spojité veličiny u více než dvou skupin pomocí
analýzy rozptylu než pomocí testů pro všechny dostupné dvojice sledovaných skupin?
*
* Jak lze řešit situaci, kdy chceme provést více testů zároveň?
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Opakování – princip analýzy rozptylu
* Jaký je princip analýzy rozptylu?
*
* Jaké jsou předpoklady analýzy rozptylu?
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni
1. Motivace


logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Matematická biologie × modré oči
blue_eyes.jpg

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Studenti matematické biologie s modrýma očima
* Budeme sledovat podíl studentů matematické biologie (současných i bývalých), kteří mají modré
oči.
*
* Náhodná veličina A = modrá barva očí – alternativní náhodná veličina.
*
*
*
* Náhodná veličina X = počet studentů matematické biologie s modrýma očima – binomická náhodná
veličina. Je to součet n alternativních veličin.
*
*
* Odhad parametru π:
když student má modré oči
když student nemá modré oči

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Studenti matematické biologie s modrýma očima
* Budeme sledovat podíl studentů matematické biologie, kteří mají modré oči.
* Výsledky v tabulce:
*
*
*
*
*
* Odhad parametru π:
*
Modrá barva očí
Jiná barva očí
Celkem
Studenti matematické biologie (současní i bývalí)
17
43
60

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Studenti matematické biologie s modrýma očima
* Budeme se zajímat o to, jestli podíl studentů matematické biologie, kteří mají modré oči, souvisí
s obdobím studia.
* Výsledky v tabulce:
*
*
*
*
*
Studenti BIMAT
Modrá barva očí
Jiná barva očí
Celkem
Současní
11
31
42
Bývalí
6
12
18
Celkem
17
43
60

logo-IBA logomuni
2. Testování hypotéz o podílech


logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Co nás bude zajímat?
* Binární data jsou v medicíně i biologii častá – výskyt ano/výskyt ne, úspěch/neúspěch,  …
*
* Kromě bodového odhadu nás může zajímat
* Interval spolehlivosti pro parametr π
* Test o parametru π proti konstantě π0
* Test o parametru π ve dvou souborech

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Aproximace na normální rozdělení
* Pravděpodobnost, že náhodná veličina X bude při své realizaci rovna hodnotě k lze přesně stanovit
pomocí vzorce:
*
*
* Pro větší n (a tedy větší rozsah možných hodnot k) je jednodušší použít aproximaci normálním
rozdělením.
* Vychází z CLV – součty se pro dostatečné n chovají normálně.
* Předpokladem aproximace na normální rozdělení je součin np(1-p) větší než 5, nebo ještě lépe
součin np(1-p) větší než 10.
* Pak platí:
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Proč np(1-p) větší než 5?
* Souvisí s množstvím informace nutné pro dosažení „tvaru normálního rozdělení“ → nutné pro
vhodnost, respektive přesnost aproximace.
* Pro π = 0,5 je jednodušší dosáhnout „tvar normálního rozdělení“ než pro π = 0,1 nebo π = 0,9. Pro
π hodně blízká 0 nebo 1 není aproximace vhodná.
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Interval spolehlivosti pro podíl
* Máme n studentů Matematické biologie a mezi nimi x s modrýma očima.
* Rozdělení pravděpodobnosti odhadu parametru π:
*
*
*
* Při konstrukci intervalu spolehlivosti neznáme hodnotu π, proto je logické ji v odhadu rozptylu
(a SE) nahradit odhadem p:
*
*
* Při splnění podmínek pro aproximaci normálním rozdělením má 100(1-α)% IS tvar:

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad s modrýma očima
* Máme 60 studentů Matematické biologie a mezi nimi 17 s modrýma očima.
*
*
*
* Odhad parametru π:
* Chceme sestrojit 95% IS pro parametr π.
* Splnění podmínky pro aproximaci normálním rozdělením:
*
*
* Pak
Modrá barva očí
Jiná barva očí
Celkem
Studenti matematické biologie (současní i bývalí)
17
43
60

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Test pro podíl u jednoho výběru
* Chceme testovat rovnost odhadu parametru π získaného na náhodném výběru n jedinců předem dané
hodnotě π0:
* Při splnění podmínek pro aproximaci normálním rozdělením víme, že platí:
*
*
* To za platnosti H0 znamená:
*
*
*
* Vypočteme hodnotu testové statistiky a nulovou hypotézu zamítáme podle toho, jakou máme
alternativu a hladinu významnosti α.
* Pro alternativu zamítáme H0 když

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad s modrýma očima
* Chceme testovat na hladině významnosti α=0,05 rovnost odhadu parametru π získaného na výběru 60
matematických biologů předem dané hodnotě π0=0,40:
*
* Splnění podmínky pro aproximaci normálním rozdělením máme ověřeno.
* Testová statistika:
*
*
* Srovnání s kvantilem:
Nezamítáme H0: π = 0,40.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Je rozdíl mezi IS a testem?
* Pokud ano, v čem?

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Je rozdíl mezi IS a testem?
* Ano je…
*
* Konstrukce IS:
* Test H0:
*
* Binomické rozdělení má různou variabilitu pro různé hodnoty π – největší je pro π = 0,5, směrem k
0 a 1 variabilita klesá.
*
* Neplatí ekvivalence mezi intervalem spolehlivosti a testem proti π0 jako tomu bylo v případě
průměru jako odhadu střední hodnoty.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
IS pro podíl ve dvou souborech
* Máme n studentů Matematické biologie a mezi nimi x s modrýma očima, x1 je současných a x2 je již
vystudovaných. Zajímá nás interval spolehlivosti pro rozdíl podílů studentů s modrýma očima ve
skupině současných a již vystudovaných studentů: π1 – π2.
* Podmínka pro aproximaci normálním rozdělením musí být splněna v obou výběrech.
* Rozdělení pravděpodobnosti odhadu parametru π v jednotlivých souborech:
*
*
* Při splnění podmínek pro aproximaci normálním rozdělením má 100(1-α)% IS tvar:
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad s modrýma očima
* Máme 60 studentů Matematické biologie a mezi nimi 17 s modrýma očima, 11 je současných a 6 je již
vystudovaných. Chceme 95% IS pro π1 – π2.
*
*
*
*
* Splnění podmínek pro aproximaci – zde je to pouze pro ilustraci.
* Odhady:
*
*
* 95% IS pro π1 – π2:
Studenti BIMAT
Modrá barva očí
Jiná barva očí
Celkem
Současní
11
31
42
Bývalí
6
12
18
Celkem
17
43
60

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Test pro podíl ve dvou výběrech
* Chceme testovat rovnost odhadu parametru π získaného na dvou náhodných výběrech n1 a n2 jedinců:
*
* Nejlepším odhadem parametru π je za platnosti H0:
*
* Odhady pro jednotlivé výběry:
* Při splnění podmínky pro aproximaci normálním rozdělením (musí být splněna v obou souborech
zároveň) víme, že platí:
*
*
kde
* Pro alternativu zamítáme H0 když

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad s modrýma očima
* Máme 60 studentů Matematické biologie a mezi nimi 17 s modrýma očima, 11 je současných a 6 je již
vystudovaných. Testujeme
*
*
*
*
* Odhady:
*
* Testová statistika:
Studenti BIMAT
Modrá barva očí
Jiná barva očí
Celkem
Současní
11
31
42
Bývalí
6
12
18
Celkem
17
43
60
Nezamítáme H0.

logo-IBA logomuni
3. Analýza kontingenčních tabulek


logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Kontingenční tabulka
* Frekvenční sumarizace dvou nominálních nebo ordinálních veličin pomocí tabulky.
* Proměnné reprezentujeme diskrétními náhodnými veličinami X a Y.
* Speciální případ: 2 × 2 tabulka = čtyřpolní tabulka.
* Př.: Sumarizace pacientů diagnostikovaných s melanomem dle lokalizace onemocnění a roku diagnózy.
Období
Lokalizace
Celkem
Horní končetina
Dolní končetina
Trup
Hlava a krk
1994-2000
50
103
116
7
276
2001-2005
106
157
310
54
627
2006-2009
115
142
316
52
625
Celkem
271
402
742
113
1528
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Kontingenční tabulka - hypotézy
* Kontingenční tabulky umožňují testování různých hypotéz:
*
Nezávislost (Pearsonův chí-kvadrát test)
* Jeden výběr, dvě charakteristiky – obdoba nepárového uspořádání
* Př.: studenti matematické biologie – modré oči × období studia
Shoda struktury (Pearsonův chí-kvadrát test)
* Více výběrů, jedna charakteristika – obdoba nepárového uspořádání
* Př.: pacienti s IM v několika nemocnicích × věková struktura
Symetrie (McNemarův test)
* Jeden výběr, opakovaně jedna charakteristika – obdoba párového uspořádání
* Př.: stromy – posouzení jejich stavu ve dvou sezónách
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Značení
* Proměnné reprezentujeme diskrétními náhodnými veličinami X a Y.
*
* Označme nij počet subjektů, pro které platí, že X=i a Y=j (i = 1, ..., r; j = 1, ..., c).
* Marginální četnosti:
* Celkový počet subjektů:
*
* Relativní četnosti lze vztahovat:
* Vzhledem k celkovému n
* Vzhledem k řádkovým součtům ni.
* Vzhledem k sloupcovým součtům n.j

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pointa testu pro kontingenční tabulku
* Celkem 17 studentů s modrýma očima = 28,3 %. Pokud modré oči nesouvisí s obdobím studia, mělo by
stejné zastoupení modrookých platit i v rámci skupin → očekávaná četnost za platnosti H0 o
nezávislosti:
*
* Ekvivalentně lze nezávislost vyjádřit následovně:
* Z toho plyne:
*
* Očekávané četnosti v příkladu s modrýma očima:
Studenti BIMAT
Modrá barva očí
Jiná barva očí
Celkem
Současní
11,9
30,1
42
Bývalí
5,1
12,9
18
Celkem
17
43
60
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – melanomy
Období
= veličina X
Lokalizace = veličina Y
Celkem
Horní končetina
Y = 1
Dolní končetina
Y = 2
Trup
Y = 3
Hlava a krk
Y = 4
1994-2000 X = 1
50 = n11
103 = n12
116 = n13
7 = n14
276 = n1.
2001-2005 X = 2
106 = n21
157 = n22
310 = n23
54 = n24
627 = n2.
2006-2009 X = 3
115 = n31
142 = n32
316 = n33
52 = n34
625 = n3.
Celkem
271 = n.1
402 = n.2
742 = n.3
113 = n.4
1528 = n
Období
= veličina X
Lokalizace = veličina Y
Celkem
Horní končetina
Y = 1
Dolní končetina
Y = 2
Trup
Y = 3
Hlava a krk
Y = 4
1994-2000 X = 1
18.12 %
37.32 %
42.03 %
2.54 %
100 %
2001-2005 X = 2
16.91 %
25.04 %
49.44 %
8.61 %
100 %
2006-2009 X = 3
18.40 %
22.72 %
50.56 %
8.32 %
100 %
Celkem
17.74 %
26.31 %
48.56 %
7.40 %
100 %

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pearsonův chí-kvadrát test nezávislosti
* Založen na myšlence srovnání pozorovaných a očekávaných četností jednotlivých hodnot, kterých
nabývá náhodná veličina X.
* Pozorované četnosti jednotlivých variant X=i a Y=j nám vyjadřují nij.
* Za platnosti nulové hypotézy lze očekávané četnosti jednotlivých variant X=i a Y=j vypočítat
pomocí:
*
* Karl Pearson odvodil, že statistika
*
*
má za platnosti H0 chí-kvadrát rozdělení s (r-1)(c-1) stupni volnosti:
* Nulovou hypotézu o nezávislosti X a Y zamítáme na hladině významnosti α, když
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Předpoklady Pearsonova chí-kvadrát testu
* Nezávislost jednotlivých pozorování
* Alespoň 80 % buněk musí mít očekávanou četnost (eij) větší než 5
* 100 % buněk musí mít očekávanou četnost (eij) větší než 2

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – melanomy
Období
= veličina X
Lokalizace = veličina Y
Celkem
Horní končetina
Y = 1
Dolní končetina
Y = 2
Trup
Y = 3
Hlava a krk
Y = 4
1994-2000 X = 1
50 = n11
103 = n12
116 = n13
7 = n14
276 = n1.
2001-2005 X = 2
106 = n21
157 = n22
310 = n23
54 = n24
627 = n2.
2006-2009 X = 3
115 = n31
142 = n32
316 = n33
52 = n34
625 = n3.
Celkem
271 = n.1
402 = n.2
742 = n.3
113 = n.4
1528 = n
Období
= veličina X
Lokalizace = veličina Y
Celkem
Horní končetina
Y = 1
Dolní končetina
Y = 2
Trup
Y = 3
Hlava a krk
Y = 4
1994-2000 X = 1
e11 = 48.95
e12 = 72.61
e13 = 134.03
e14 = 20.41
276
2001-2005 X = 2
e21 = 111.20
e22 = 164.96
e23 = 304.47
e24 = 46.37
627
2006-2009 X = 3
e31 = 110.85
e32 = 164.43
e33 = 303.50
e34 = 46.22
625
Celkem
271
402
742
113
1528

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – melanomy
* Př.: Sumarizace pacientů diagnostikovaných s melanomem dle lokalizace onemocnění a roku diagnózy.
* Testová statistika:
*
* Výpočet:
*
*
*
*
* Kritická hodnota:
Zamítáme H0 o nezávislosti.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad s modrýma očima
* Máme 60 studentů Matematické biologie a mezi nimi 17 s modrýma očima, 11 je současných a 6 je již
vystudovaných. Testujeme nezávislost.
* Testová statistika:
*
* Výpočet:
*
*
* Kritická hodnota:
Nezamítáme H0 o nezávislosti.

logo-IBA logomuni
4. Čtyřpolní tabulky


logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Co je čtyřpolní tabulka
* Nejjednodušší možná kontingenčí tabulka, kdy obě sledované veličiny mají pouze dvě kategorie.
* Příklad z 2. přednášky: Zajímá nás přesnost vyšetření jater ultrazvukem, tedy schopnost vyšetření
UTZ identifikovat maligní ložisko v pacientových játrech. Přesnost je vztažena k histologickému
ověření odebrané tkáně.
*
*
*
*
*
*
* Zde jsme závislost neověřovali, ale dokonce předpokládali!
Vyšetření UTZ
Histologické ověření
Maligní
Benigní
Celkem
Maligní
32
2
34
Benigní
3
24
27
Celkem
35
26
61

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Asociace ve čtyřpolní tabulce
* Můžeme rozhodovat o závislosti/nezávislosti dvou sledovaných veličin – nyní.
* Můžeme rozhodovat i o míře (těsnosti) této závislosti – příští přednáška.
*
*
*
*
*
*
*
* Při rozhodování o nezávislosti můžeme použít Pearsonův chí-kvadrát test, ale pro malá n je
standardem v klinických analýzách tzv. Fisherův exaktní test („Fisher exact test“).
Veličina X
Veličina Y
Y = 1
Y = 2
Celkem
X = 1
a
b
a + b
X = 2
c
d
c + d
Celkem
a + c
b + d
n

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Fisherův exaktní test
* Určen zejména pro čtyřpolní tabulky, je vhodný i pro tabulku s malými četnostmi – pro ty, které
nesplňují předpoklad Pearsonova testu.
* Založen na výpočtu „přesné“ p-hodnoty, která zde hraje roli testové statistiky.
* Pointa je ve výpočtu pravděpodobnosti, se kterou bychom získali čtyřpolní tabulky stejně nebo
více „odchýlené“ od nulové hypotézy při zachování marginálních četností.
* Pravděpodobnost konkrétní tabulky (s pevně zvolenou hodnotou a při zachování marginálních
četností) lze získat:
*
*
* Pointa = spočítáme pa všech možných tabulek při zachování marginálních četností a výsledná
p-hodnota je součtem pa menších nebo stejných jako pa, která přísluší pozorované tabulce.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad s modrýma očima
* Sledujeme vztah modrých očí a období studia matematické biologie.
* Pomocí Fisherova exaktního testu chceme testovat H0 o nezávislosti.
*
*
*
*
* Pravděpodobnost pozorované tabulky:
*
*
*
* Tento výsledek sám o sobě znamená, že nezamítáme H0, protože pa > 0,05.
Studenti BIMAT
Modrá barva očí
Jiná barva očí
Celkem
Současní
11
31
42
Bývalí
6
12
18
Celkem
17
43
60

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad s modrýma očima
* Vypočítejme pravděpodobnosti pro jednotlivé možnosti kontingenční tabulky:
Studenti BIMAT
Modrá barva očí
Jiná barva očí
Celkem
Současní
a
b
42
Bývalí
c
d
18
Celkem
17
43
60

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad s modrýma očima
Možnosti
a
b
c
d
pa
1.
0
42
17
1
4,6 × 10-14
2.
1
41
16
2
1,7 × 10-11
3.
2
40
15
3
1,8 × 10-9
4.
3
39
14
4
9,1 × 10-8
5.
4
38
13
5
2,5 × 10-6
6.
5
37
12
6
4,1 × 10-5
7.
6
36
11
7
4,3 × 10-4
8.
7
35
10
8
0,003
9.
8
34
9
9
0,015
10.
9
33
8
10
0,050
11.
10
32
7
11
0,121
12.
11
31
6
12
0,205
13.
12
30
5
13
0,245
14.
13
29
4
14
0,202
15.
14
28
3
15
0,111
16.
15
27
2
16
0,039
17.
16
26
1
17
0,008
18.
17
25
0
18
6,6 × 10-4
p = 1 – 0,245 = 0,755
Nezamítáme H0

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Fisherův × Pearsonův test
* Pearsonův chí-kvadrát test lze použít na jakoukoliv kontingenční tabulku, ALE je nutné hlídat
předpoklady: 80 % eij větších než 5 – u čtyřpolní tabulky to znamená 100 %.
*
* Nedodržení předpokladů pro Pearsonův chí-kvadrát test může stejně jako u t-testu a analýzy
rozptylu vést k nesmyslným závěrům!
*
* Situace s malými nij a tedy i eij jsou ale v medicíně i biologii velmi časté – Fisherův exaktní
test je klíčový pro hodnocení čtyřpolních tabulek.
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Test hypotézy o symetrii – McNemarův test
* Mám 20 pacientů, u každého opakovaně sleduji výskyt otoků před podáním a po podání léku.
* Která tabulka je správně?
*
*
Před podáním léku
Po podání léku
Celkem
Bez otoku (úspěch)
7
12
19
S otokem (neúspěch)
13
8
21
Celkem
20
20
40
Po podání bez otoku
Po podání s otokem
Celkem
Před podáním bez otoku
5
2
7
Před podáním s otokem
7
6
13
Celkem
12
8
20

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
McNemarův test
* Je to obdoba párového testu (test symetrie pro čtyřpolní tabulku).
* Zaměřuje se pouze na pozorování, u kterých jsme při opakovaném měření zaznamenali rozdílné
výsledky – za platnosti H0 by jejich četnosti (označeny b a c) měly být stejné.
* Testová statistika pro čtyřpolní tabulku:
*
*
* Za platnosti H0 má statistika chí-kvadrát rozdělení s 1 stupněm volnosti.
* Nulovou hypotézu o nezávislosti X a Y zamítáme na hladině významnosti α, když
*
* Testová statistika pro obecnou kontingenční tabulku:

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – McNemarův test
* Mám 20 pacientů, u každého opakovaně sleduji ústup otoků po podání léku A a léku B. Zajímá mě
rozdíl v četnosti otoků.
*
*
*
*
* Testová statistika pro čtyřpolní tabulku:
*
*
* Kritická hodnota:
Nezamítáme H0 o tom, že není rozdíl
ve výskytu otoků před a po podání léku.
Po podání B bez otoku
Po podání B s otokem
Celkem
Po podání A bez otoku
5
2
7
Po podání A s otokem
7
6
13
Celkem
12
8
20

logo-IBA logomuni
5. Testy o rozdělení náhodné veličiny


logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Testy o rozdělení náhodné veličiny
* Kolmogorovův-Smirnovovův test – založen na srovnání výběrové distribuční funkce s teoretickou
distribuční funkcí odpovídající rozdělení, které chceme testovat. K-S test hodnotí maximální
vzdálenost mezi těmito dvěma distribučními funkcemi.
*
* Pearsonův chí-kvadrát test = chí-kvadrát test dobré shody – i pro testování shody s teoretickým
rozdělením je založen na myšlence srovnání pozorovaných a očekávaných četností jednotlivých hodnot,
kterých nabývá náhodná veličina X.
*
* Q-Q plot – zobrazuje proti sobě kvantily pozorovaných hodnot a kvantily teoretického rozdělení
pravděpodobnosti.
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Chí-kvadrát test dobré shody
* Předpokládejme, že náhodná veličina X může nabývat r různých hodnot B1, B2, … ,Br, každé s
pravděpodobností p1, p2, … , pr – s tím, že
*
* Uvažujme n pozorování náhodné veličiny X: pokud je pravděpodobnostní model správný, měl by se
počet pozorování jednotlivých variant, νi, blížit hodnotě npi – s tím, že
pearson chi square test.wmf

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Chí-kvadrát test dobré shody
* Označme pozorovanou četnost ité varianty náhodné veličiny oi („observed“) a očekávanou četnost
ité varianty náhodné veličiny ei („expected“).
* Opět platí, že statistika
*
*
má za platnosti H0 chí-kvadrát rozdělení s r-1 stupni volnosti:
* Nulovou hypotézu o shodě rozdělení veličiny X s předpokládaným rozdělením zamítáme na hladině
významnosti α, když
*
* Když H0 specifikuje pouze typ rozdělení, ale ne jeho parametry, pak musí být tyto parametry
odhadnuty z pozorovaných hodnot. Za každý takto odhadnutý parametr  se počet stupňů volnosti
testové statistiky snižuje o 1.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Chí-kvadrát test pro spojité veličiny
* Spojitá veličina samozřejmě může nabývat nespočetně mnoho hodnot v určitém intervalu.
*
* Chí-kvadrát test dobré shody lze použít i pro spojité veličiny, které však musíme kategorizovat →
rozdělit obor možných hodnot do r disjunktních intervalů.
*
B1
B2
Br-1
Br

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – melanom a normální rozdělení
* Chceme zjistit, jestli věk u pacientů s melanomem vykazuje normální rozdělení.
Věk – i-tý interval
oi
ei
oi – ei
0,0 – 8,3
0
0.30
-0.30
8,3 – 16,7
5
2.30
2.70
16,7 – 25,0
20
13.30
6.70
25,0 – 33,3
67
53.09
13.91
33,3 – 41,7
139
146.42
-7.42
41,7 – 50,0
243
279.13
-36.13
50,0 – 58,3
336
367.95
-31.95
58,3 – 66,7
357
335.43
21.57
66,7 – 75,0
267
211.46
55.54
75,0 – 83,3
96
92.16
3.84
83,3 – 91,7
6
27.76
-21.76
91,7 – 100,0
0
6.70
-6.70
Věk (roky)

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – melanom a normální rozdělení
* Chceme zjistit, jestli věk u pacientů s melanomem vykazuje normální rozdělení.
Věk (roky)
Zamítáme H0 o normalitě rozdělení
věku pacientů s melanomem.
Odhad parametrů μ a σ2 z dat.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – Poissonovo rozdělení
* Chceme ověřit, že počet pacientů, kteří přijdou ve všední den na zubní pohotovost se řídí
Poissonovým rozdělením. Jednotkou času bude 30 minut. Celkem byly zaznamenány údaje za 1200
půlhodinových úseků.
* H0: Počet příchodů pacientů během 30 minut má Poissonovo rozdělení.
* H1: Počet příchodů pacientů během 30 minut nemá Poissonovo rozdělení.
* Neznáme parametr λ, je třeba ho odhadnout z dat:
*
*
* S odhadem λ lze vypočítat pravděpodobnosti pro jednotlivé hodnoty X:
*
*
* Kvůli splnění předpokladu pro aproximaci na normální rozdělení sloučíme kategorie 8, 9, 10 a 11
pacientů.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – Poissonovo rozdělení
Počet
pacientů
Pozorovaná četnost
Očekávaná četnost
xi
oi
ei = npi
0
79
72,97
1
188
204,32
2
282
286,05
3
275
266,98
4
196
186,89
5
114
104,66
6
45
48,84
7
10
19,54
8 a více
11
9,75
Celkem
1200
1200
Nezamítáme H0 o tom, že data pochází z výběru s Poissonovým rozdělením
pravděpodobnosti.