logo-IBA logomuni
Přednáška II.
Vztah pravděpodobnosti,
statistiky a biostatistiky
* Statistika vychází z pravděpodobnosti
* Podmíněná pravděpodobnost, Bayesův vzorec
* Senzitivita, specificita, prediktivní hodnoty
* Frekventistická a Bayesovská statistika
*
esf-komplet-barva.jpg

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Opakování – klíčové principy biostatistiky
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Statistika, biostatistika a analýza dat
Statistika
Biostatistika
Analýza dat
§Primárně je zaměřena na vývoj metod a algoritmů pro řešení teoretických problémů.
§Nicméně i statistika je vždy primárně motivována reálnými problémy.
§Vychází z teorie pravděpodobnosti.
§Propojení znalosti statistických metod a dané problematiky v řešení biologických a klinických
úloh.
§Na prvním místě není teoretický vývoj, ale aplikace.
§Velmi obecná oblast bez jasné definice.
§Prostupuje různými odvětvími.
§Zahrnuje komplexní postupy hodnocení dat (čištění, kódování).
§Nemusí být založena na statistice.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Biostatistika vychází ze statistiky
* Biostatistika je aplikace statistických metod v řešení biologických a klinických problémů.
*
* Snahou je získat z pozorovaných dat užitečnou informaci. V popředí zájmu je pozorovaná
variabilita mezi studovanými subjekty, kterou chceme vysvětlit.
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Statistický pohled na problém
* Cílová populace – chceme postihnout konkrétní problém.
* Získáme experimentální vzorek cílové populace (pozorování), která převedeme na číselné vyjádření
(data). Vzorek by měl být reprezentativní a náhodný.
* Předpokládáme pravděpodobnostní chování (model) tohoto vzorku (tedy i cílové populace).
* Konkrétní problém vyjádříme ve vybraném modelu jako hypotézu.
* Zhodnotíme hypotézu na základě vybraného modelu a pozorovaných dat.
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Statistika vychází z pravděpodobnosti
* Teorie pravděpodobnosti se zabývá modelováním náhody.
* Lze nějak ale vyjádřit, co je to náhoda?
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Statistika vychází z pravděpodobnosti
* Teorie pravděpodobnosti se zabývá modelováním náhody.
* Lze nějak ale vyjádřit, co je to náhoda?
Objektivní nepředvídatelnost?
Nedostatek informací?
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Statistika vychází z pravděpodobnosti
* Teorie pravděpodobnosti se zabývá modelováním náhody.
* Lze nějak ale vyjádřit, co je to náhoda?
Objektivní nepředvídatelnost?
Nedostatek informací?
“Chance is only ignorance of the connections between phenomena.”
Pierre Simon de Laplace

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Statistika
Statistika vs. pravděpodobnost
Pravděpodobnost
Cílová populace
Vzorek
Cílová populace
Vzorek

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Statistika
Statistika vs. pravděpodobnost
Pravděpodobnost
Cílová populace
Vzorek
Cílová populace
Vzorek
Cílem statistiky je získání informace o cílové populaci na základě pozorovaného experimentálního
vzorku.
V teorii pravděpodobnosti se ptáme na pravděpodobnost získání konkrétního výsledku, máme-li danou
strukturu cílové populace.
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Značení
* Základní prostor (Ω) – množina všech možných výsledků experimentu
* Elementární jev (ω) – konkrétní výsledek experimentu
* Náhodný jev (A) – podmnožina základního prostoru
* Množina všech jevů (A) – množina (všech) podmnožin základního prostoru
* Ø představuje jev nemožný, Ω zase jev jistý
* Množinové operace mají v teorii pravděpodobnosti svůj význam:
-jev A nastane, když nastane ω
-jev A nenastane, když nastane ω
-nastání jevu A implikuje nastání jevu B
-nastání jevu A a zároveň jevu B
-nastání jevu A nebo jevu B
-jevy A a B se navzájem vylučují, jsou disjunktní
-nastání jevu opačného k jevu A

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pravděpodobnost
* Pravděpodobnost lze definovat jako funkci, která přiřazuje náhodnému jevu reálné číslo mezi 0 a
1. Je to tedy funkce P: A → [0,1]. Musí platit následující:
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Definice pravděpodobnosti
* Klasická definice pravděpodobnosti: předpokládáme, že Ω je konečná a všechny ω jsou stejně
pravděpodobné. Pak
kde |A| je počet prvků množiny A (počet elementárních jevů jevu A).
*
* Axiomatická definice pravděpodobnosti: Ω je libovolná množina elementárních jevů, A’ je množina
měřitelných jevů (A’ je podmnožina A). Funkce P: A’ → [0,1], která splňuje
*
*
*
se nazývá pravděpodobnost. Trojice (Ω, A’, P) se nazývá pravděpodobnostní prostor.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Definice pravděpodobnosti – najděte rozdíly
* Klasická definice pravděpodobnosti: předpokládáme, že Ω je konečná a všechny ω jsou stejně
pravděpodobné. Pak
kde |A| je počet prvků množiny A (počet elementárních jevů jevu A).
*
* Axiomatická definice pravděpodobnosti: Ω je libovolná množina elementárních jevů, A’ je množina
měřitelných jevů (A’ je podmnožina A). Funkce P: A’ → [0,1], která splňuje
*
*
*
se nazývá pravděpodobnost. Trojice (Ω, A’, P) se nazývá pravděpodobnostní prostor.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Co to znamená?
* Axiomatická definice připouští i nespočetný základní prostor, tedy nespočetnou množinu
elementárních jevů.
* Příklady: hod kostkou × měření výšky lidské postavy
*
*
* Axiomatická definice připouští různou pravděpodobnost různých elementárních jevů.
* Příklady: hod kostkou × měření výšky lidské postavy
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Nezávislost jevů
* Dva jevy A a B jsou nezávislé právě tehdy, když platí
*
*
* Jsou-li dva jevy A a B nezávislé, pak i
Ac je nezávislé na B
A je nezávislé na Bc
Ac je nezávislé na Bc

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Nezávislost jevů
* Dva jevy A a B jsou nezávislé právě tehdy, když platí
*
*
* Jsou-li dva jevy A a B nezávislé, pak i
Ac je nezávislé na B
A je nezávislé na Bc
Ac je nezávislé na Bc
*
* Příklad: Uvažujme opět hod kostkou a jevy A = {1, 3, 5} a B = {4, 5, 6}.
*
*
* Jevy A a B tedy nejsou nezávislé.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Podmíněná pravděpodobnost
* Máme-li jev B s pravděpodobností P(B) > 0, pak podmíněnou pravděpodobnost jevu A za podmínky
nastoupení jevu B definujeme jako
*
*
*
* Pro nezávislé jevy A a B platí
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Podmíněná pravděpodobnost
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Podmíněná pravděpodobnost
* Příklad: Osoba X má všechny typické příznaky chřipky. Pravděpodobnost, že se jedná o klasickou
chřipku je 0,7 (jev A), prasečí chřipku 0,2 (jev B), ptačí chřipku 0,05 (jev C) a dosud neznámou
formu 0,05 (jev D). Diagnostický test prokázal, že klasická chřipka to není. Jaká je nyní
pravděpodobnost, že se jedná o novou formu chřipky?
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Podmíněná pravděpodobnost
* Příklad: Osoba X má všechny typické příznaky chřipky. Pravděpodobnost, že se jedná o klasickou
chřipku je 0,7 (jev A), prasečí chřipku 0,2 (jev B), ptačí chřipku 0,05 (jev C) a dosud neznámou
formu 0,05 (jev D). Diagnostický test prokázal, že klasická chřipka to není. Jaká je nyní
pravděpodobnost, že se jedná o novou formu chřipky?
*
* Řešení:

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Celková pravděpodobnost a Bayesův vzorec
* Můžeme-li rozdělit základní prostor na k po dvou disjunktních podmnožin (Hi, i = 1, …, k), pro
které zároveň platí, že jejich sjednocení je celý základní prostor (tzv. systém hypotéz), pak
pravděpodobnost jevu A lze získat jako
*
*
* Dále platí
600px-Icon-Warning-Red.svg.png
Bayesův vzorec
Vzorec pro celkovou
pravděpodobnost

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Počasí a podmíněná pravděpodobnost
* Co má počasí společného s pravděpodobností?

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Počasí a podmíněná pravděpodobnost
* Co má počasí společného s pravděpodobností?
* U každého jevu (A) se můžeme ptát na jeho pravděpodobnost za slunečného počasí, za deště, za
bouřky, atd. Celkovou pravděpodobnost jevu A potom můžeme získat jako součet přes tyto možnosti.
* Tyto stavy lze chápat jako výchozí hypotézy ovlivňující výsledek, přičemž vždy nastává (platí)
pouze jeden z těchto stavů (hypotéz). Pokud pozorujeme jev A, můžeme se zpětně ptát na platnost
těchto hypotéz (s použitím Bayesova vzorce).
H0
Ω
H1
H2
H3
H4
H5

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Celková pravděpodobnost – jiný příklad
* Populaci můžeme rozdělit dle věku na tři skupiny: děti (H0), dospělé v produktivním věku (H1) a
dospělé v postproduktivním věku (H2), přičemž známe rozdělení populace, tedy známe P(H0), P(H1) a
P(H2).
*
*
*
*
* Označme jev A: stane se úraz.
* Známe-li pravděpodobnost úrazu u dítěte, P(A|H0), u dospělého v produktivním věku, P(A|H1), a u
dospělého v postproduktivním věku, P(A|H2), jsme schopni pomocí vzorce pro celkovou pravděpodobnost
spočítat P(A).
*
Ω
H0
H1
H2

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Bayesův vzorec
* Příklad: Uvažujme populaci mužů nekuřáků ve věku 50 – 60 let, u kterých sledujeme výskyt
chronického kašle (jev A). Dle stavu plic můžeme muže zjednodušeně rozdělit na zdravé (jev H1),
nemocné plicním karcinomem (jev H2) a nemocné sarkoidózou (jev H3). Pravděpodobnosti výskytu
jednotlivých plicních onemocnění jsou známé, navíc známe i pravděpodobnosti výskytu chronického
kašle dle stavu plic:
P(H1) = 0,991,  P(H2) = 0,001,  P(H3) = 0,008
P(A|H1)=0,002,  P(A|H2)=0,900,  P(A|H3)=0,950
*
* Zajímá nás, s jakou pravděpodobností bude u pacienta s chronickým kašlem při podrobnějším
vyšetření diagnostikován karcinom plic.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Bayesův vzorec
* Příklad: Uvažujme populaci mužů nekuřáků ve věku 50 – 60 let, u kterých sledujeme výskyt
chronického kašle (jev A). Dle stavu plic můžeme muže zjednodušeně rozdělit na zdravé (jev H1),
nemocné plicním karcinomem (jev H2) a nemocné sarkoidózou (jev H3). Pravděpodobnosti výskytu
jednotlivých plicních onemocnění jsou známé, navíc známe i pravděpodobnosti výskytu chronického
kašle dle stavu plic:
P(H1) = 0,991,  P(H2) = 0,001,  P(H3) = 0,008
P(A|H1)=0,002,  P(A|H2)=0,900,  P(A|H3)=0,950
*
* Zajímá nás, s jakou pravděpodobností bude u pacienta s chronickým kašlem při podrobnějším
vyšetření diagnostikován karcinom plic.
*
* Řešení:

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Význam podmíněné pravděpodobnosti v biostatistice
* Princip podmíněné pravděpodobnosti je v biostatistice velmi častý – máme systém hypotéz
(nejčastěji dvou) o vlastnostech cílové populace a pozorovaná data. Na jejich základě pak
rozhodujeme o platnosti stanovených hypotéz.
*
* Přímé použití podmíněné pravděpodobnosti lze demonstrovat na příkladu binárních diagnostických
testů:
* Osoba ve skutečnosti má (jev H) nebo nemá (jev Hc) sledované onemocnění.
* Diagnostický test u dané osoby indikuje přítomnost (jev A+) nebo nepřítomnost (jev A-)
sledovaného onemocnění.
* Nás zajímají diagnostické schopnosti testu.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Senzitivita, specificita
* Senzitivita testu: schopnost testu rozpoznat skutečně nemocné osoby, tedy pravděpodobnost, že
test bude pozitivní, když je osoba skutečně nemocná.
* Senzitivita testu = P(A+|H) = T / (T + V).
*
* Specificita testu: schopnost testu rozpoznat osoby bez nemoci, tedy pravděpodobnost, že test bude
negativní, když osoba není nemocná.
* Specificita testu = P(A-|Hc) = W / (U + W).
Skutečnost – přítomnost nemoci
Ano (H)
Ne (Hc)
Výsledek diagnostického testu
Pozitivní (A+)
T
U
Negativní (A-)
V
W

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pozitivní a negativní prediktivní hodnota
* Prediktivní hodnota pozitivního testu: pravděpodobnost, že osoba je skutečně nemocná, když je
test pozitivní.
* Prediktivní hodnota pozitivního testu = P(H|A+) = T / (T + U).
*
* Prediktivní hodnota negativního testu: pravděpodobnost, že osoba není nemocná, když je test
negativní.
* Prediktivní hodnota negativního testu = P(Hc|A-) = W / (V + W).
Skutečnost – přítomnost nemoci
Ano (H)
Ne (Hc)
Výsledek diagnostického testu
Pozitivní (A+)
T
U
Negativní (A-)
V
W

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Shrnutí
Skutečnost – přítomnost nemoci
Ano (H)
Ne (Hc)
Výsledek diagnostického testu
Pozitivní (A+)
T
U
T + U
Negativní (A-)
V
W
V + W
T + V
U + W
Senzitivita
testu
Specificita
testu
Prediktivní hodnota
pozitivního testu
Prediktivní hodnota
negativního testu

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Senzitivita, specificita
* Příklad: Zajímá nás přesnost vyšetření jater ultrazvukem, tedy schopnost vyšetření UTZ
identifikovat maligní ložisko v pacientových játrech. Přesnost je vztažena k histologickému ověření
odebrané tkáně. Výsledky jsou dány tabulkou:
*
Vyšetření UTZ
Histologické ověření
Maligní
Benigní
Celkem
Maligní
32
2
34
Benigní
3
24
27
Celkem
35
26
61
* Senzitivita testu = P(A+|H) = ?
* Specificita testu = P(A-|Hc) = ?

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Senzitivita, specificita
* Příklad: Zajímá nás přesnost vyšetření jater ultrazvukem, tedy schopnost vyšetření UTZ
identifikovat maligní ložisko v pacientových játrech. Přesnost je vztažena k histologickému ověření
odebrané tkáně. Výsledky jsou dány tabulkou:
*
Vyšetření UTZ
Histologické ověření
Maligní
Benigní
Celkem
Maligní
32
2
34
Benigní
3
24
27
Celkem
35
26
61
* Senzitivita testu = P(A+|H) = 32 / 35 = 91,4 % (IS = 75,8 – 97,8)
* Specificita testu = P(A-|Hc) = 24 / 26 = 92,3 % (IS = 73,4 – 98,7)

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Bayesův vzorec pro výpočet prediktivních hodnot
* Obě prediktivní hodnoty testu lze vypočítat s pomocí charakteristik testu, senzitivity a
specificity, a celkové prevalence onemocnění v cílové populaci.
Prediktivní hodnota
pozitivního testu
Prediktivní hodnota
negativního testu
Senzitivita testu
Specificita testu
Prevalence

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pozitivní a negativní prediktivní hodnota
* Příklad: Zajímají nás pozitivní a negativní prediktivní hodnoty diagnostického testu na HIV
pozitivitu, u kterého výrobce garantuje 98% senzitivitu a 99% specificitu.
1.Uvažujme jihoafrickou zemi s prevalencí HIV pozitivních cca 20 %:
P(A+|H) = 0,98; P(A-|Hc) = 0,99; P(H) = 0,2.
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pozitivní a negativní prediktivní hodnota
* Příklad: Zajímají nás pozitivní a negativní prediktivní hodnoty diagnostického testu na HIV
pozitivitu, u kterého výrobce garantuje 98% senzitivitu a 99% specificitu.
1.Uvažujme jihoafrickou zemi s prevalencí HIV pozitivních cca 20 %:
P(A+|H) = 0,98; P(A-|Hc) = 0,99; P(H) = 0,2.
*
Prediktivní hodnota pozitivního testu
Prediktivní hodnota negativního testu

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pozitivní a negativní prediktivní hodnota
* Příklad: Zajímají nás pozitivní a negativní prediktivní hodnoty diagnostického testu na HIV
pozitivitu, u kterého výrobce garantuje 98% senzitivitu a 99% specificitu.
2. Uvažujme evropskou zemi s prevalencí HIV pozitivních cca 0,2 %:
P(A+|H) = 0,98; P(A-|Hc) = 0,99; P(H) = 0,002.
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pozitivní a negativní prediktivní hodnota
* Příklad: Zajímají nás pozitivní a negativní prediktivní hodnoty diagnostického testu na HIV
pozitivitu, u kterého výrobce garantuje 98% senzitivitu a 99% specificitu.
2. Uvažujme evropskou zemi s prevalencí HIV pozitivních cca 0,2 %:
P(A+|H) = 0,98; P(A-|Hc) = 0,99; P(H) = 0,002.
*
Prediktivní hodnota pozitivního testu
Prediktivní hodnota negativního testu

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Dva směry statistiky
* Ve statistice existují dva hlavní filozofické směry: frekventistický a Bayesovský.
*
* Liší se v pohledu na pravděpodobnostní chování neznámých hodnot, které se snažíme odhadnout.
*
* Frekventistická statistika: všechny neznámé hodnoty považujeme za konstantní (parametry). Na
základě dat se snažíme tuto hodnotu „lokalizovat“.
*
* Bayesovská statistika: všechny neznámé hodnoty mají pravděpodobnostní chování (rozdělení
pravděpodobnosti). Na základě dat se snažíme toto pravděpodobnostní chování „upřesnit“.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Frekventistická statistika
* Neznámou charakteristiku cílové populace (konstantu) se snažíme odhadnout pouze na základě
pozorovaných dat.
* Důležitý je předpoklad reprezentativnosti vzorku – pracujeme pouze s daty jako obrazem neznámé
charakteristiky. Bude-li špatný vzorek, bude špatný i odhad (výsledky mohou být velmi odlišné od
známých hodnot).
* Často pracuje s asymptotickým chováním, kdy velikost vzorku jde do nekonečna; řada odhadů a testů
je odvozena právě pro tyto situace.
dice.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Bayesovská statistika
* Neznámá charakteristika cílové populace má pravděpodobnostní chování, které se snažíme pomocí
pozorovaných dat upřesnit.
*
*
*
* Předpoklad reprezentativnosti vzorku je stále důležitý, ale již nepracujeme pouze s daty –
pracujeme i s tzv. apriorní pravděpodobností, P(H), což je náš vstupní předpoklad o chování neznámé
charakteristiky.
* Nevýhodou je neznalost apriorní pravděpodobnosti.
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Reklama na další týdny…
Středem zájmu statistiky a biostatistiky je tzv. náhodná veličina.
ω1
R
0
R
0
x
1
P(A)
Náhodná veličina X
Pravděpodobnost P
600px-Icon-Warning-Red.svg.png