logo-IBA logomuni
Přednáška IV.
Náhodná veličina, rozdělení pravděpodobnosti a reálná data
* Náhodná veličina
* Rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin
* Normální rozdělení a rozdělení příbuzná
* Transformace náhodných veličin
esf-komplet-barva.jpg

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Opakování – popis dat
* Co chceme u dat popsat?
* Jak to můžeme udělat?

logo-IBA logomuni
1. Náhodná veličina


logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pojem náhodná veličina
* Číselné vyjádření výsledku náhodného pokusu. Matematicky je to funkce, která každému
elementárnímu jevu ω z Ω přiřadí hodnotu X(ω) z nějaké množiny možných hodnot.
*
*
* Náhodná veličina se netýká pouze kvantitativních proměnných. Číselné vyjádření výsledku náhodného
pokusu může popisovat i pohlaví.
*
* Chování náhodné veličiny lze popsat pomocí rozdělení pravděpodobnosti:
* Funkce zadaná analyticky
* Výčet možností a příslušných pravděpodobností
*
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Význam náhodných veličin
* Množina Ω často není známa (může být i nekonečná) a nejsme tak schopni ji popsat. Náhodná
veličina převádí Ω na čísla, se kterými se pracuje lépe.
* Neznáme-li Ω, nejsme schopni popsat ani X, ale jsme schopni ho pozorovat.
ω1
R
0
R
0
x
1
P(A)
Náhodná veličina X
Pravděpodobnost P

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny
* Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny je jednoznačně popsáno tzv. rozdělením
pravděpodobnosti náhodné veličiny .
*
* Rozdělením náhodné veličiny X definované na prostoru  s pravděpodobností P rozumíme předpis,
který jednoznačně určuje všechny pravděpodobnosti typu
*
*
pro každou   .
*
* Distribuční funkce
* Hustota – spojité náhodné veličiny
* Pravděpodobnostní funkce – diskrétní náhodné veličiny

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Opět vztah populace × vzorek
* Rozdělení pravděpodobnosti představuje model cílové populace.
* Pomocí vzorku (naměřených pozorování) se ptáme, jestli byl model správný – snažíme se z dat
usuzovat na vlastnosti tohoto rozdělení pravděpodobnosti.
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Popis rozdělení pravděpodobnosti
* Distribuční funkce popisuje rozdělení pravděpodobnosti kumulativním způsobem.
* Hustota a pravděpodobnostní funkce popisují rozdělení pravděpodobnosti pro jednotlivé „body“
(respektive intervaly) na reálné ose.
*
* Distribuční funkce a hustota, respektive pravděpodobnostní funkce, jsou navzájem ekvivalentní,
tedy známe-li jednu nepotřebujeme druhou.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Distribuční funkce
* Vyjadřuje pravděpodobnost, že náhodná veličina X nepřekročí dané x na reálné ose.
*
*
* Vlastnosti distribuční funkce?
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Distribuční funkce
* Vyjadřuje pravděpodobnost, že náhodná veličina X nepřekročí dané x na reálné ose.
*
*
* Vlastnosti distribuční funkce:
1.Neklesající
2.Zprava spojitá
3.
4.
5.
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Distribuční funkce

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Výběrová distribuční funkce
* Distribuční funkce je teoretická záležitost, která definuje pravděpodobnostní model pro náhodnou
veličinu X. Často neznáme její přesné vyjádření.
* Výběrová distribuční funkce je charakteristika pozorovaných dat. Je odhadem teoretické
distribuční funkce (je-li vzorek reprezentativní).
*
* Vyjádření:

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Výběrová distribuční funkce – příklad
* Výška studentů 2. ročníku Matematické biologie

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Spojité a diskrétní náhodné veličiny
* Náhodné veličiny dělíme dle podstaty na:
* Spojité – mohou nabývat všech hodnot v daném intervalu.
* Diskrétní – mohou nabývat nejvýše spočetně mnoha hodnot.
*
* Spojitou náhodnou veličinu X s distribuční funkcí F(x) charakterizuje tzv. hustota
pravděpodobnosti, což je funkce taková, že platí:
*
*
* Diskrétní náhodnou veličinu X s distribuční funkcí F(x) charakterizuje tzv. pravděpodobnostní
funkce, což je funkce taková, že platí:
*
*
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
prob_fnc.jpg
F(x) a f(x) a p(x)
dist_fnc_N01.jpeg vyb_dist_fnc.jpeg hustota_N01.jpeg
Spojitá
náhodná
veličina
Diskrétní
náhodná
veličina

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Spojité a diskrétní náhodné veličiny - příklady
* Spojité náhodné veličiny:
* Medicína:
* Biologie:
*
*
* Diskrétní náhodné veličiny:
* Medicína:
* Biologie:

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Spojité a diskrétní náhodné veličiny - příklady
* Spojité náhodné veličiny:
* Medicína: výška, váha, krevní tlak, glykémie, čas do sledované události, …
* Biologie: biomasa na m2, listová plocha, pH, koncentrace látek ve vodě, ovzduší, …
*
* Diskrétní náhodné veličiny:
* Medicína: počet krvácivých epizod, počet hospitalizací, počet dní po operaci do odeznění bolesti,
…
* Biologie: počet zvířat na jednotku (plochu, objem), počet kolonií na misku, …

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Kvantilová funkce
* Inverzní funkce k distribuční funkci, výsledkem není pravděpodobnost, ale číslo na reálné ose,
které odpovídá určité pravděpodobnosti.
*
* Distribuční funkce
* Kvantilová funkce
*
dist_fnc_N01.jpeg
Spojitá náhodná
veličina
P
x

logo-IBA logomuni
2. Charakteristiky náhodných veličin


logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Co chceme u dat popsat?
* Kvalitativní data – četnosti (absolutní i relativní) jednotlivých kategorií.
* Kvantitativní data – těžiště a rozsah pozorovaných hodnot.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Charakteristiky náhodných veličin
* Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce popisují chování náhodné veličiny sice
kompletně, ale trochu neprakticky – složitě.
* Jsou definovány dvě charakteristiky, které odráží vlastnosti rozdělení jedním číslem: střední
hodnota a rozptyl.
*
* Střední hodnota je definována
* pro spojitou náhodnou veličinu X s hustotou f(x) jako integrál (pokud existuje):
*
*
* pro diskrétní náhodnou veličinu X s pravděpodobnostní funkcí p(x) jako součet:
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Charakteristiky náhodných veličin
* Rozptyl je definován pro spojitou i diskrétní náhodnou veličinu X jako střední hodnota:
*
* Pro výpočet je používán vzorec:
*
*
*
* Nevýhoda rozptylu je, že není ve stejných jednotkách jako střední hodnota, proto se používá tzv.
směrodatná odchylka – odmocnina z rozptylu.
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Charakteristiky náhodných veličin
* To, co nás zajímalo u pozorovaných dat má teoretický ekvivalent (ve smyslu pravděpodobnosti) ve
formě charakteristik náhodných veličin:
*
Těžiště ≈ Střední hodnota
Rozsah ≈ Rozptyl
*
* Těmto charakteristikám pak odpovídají parametry rozdělení pravděpodobnosti.
*
* Charakteristiky však mohou být i lehce zavádějící: náhodná veličina nemusí nabývat své střední
hodnoty. Příklad: Náhodná veličina X nabývá hodnot −1 a 1, obou s pravděpodobností 0,5. Její
střední hodnota je 0!

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Význam střední hodnoty
* Jedná se o formu váženého průměru možných hodnot na základě jejich pravděpodobností.
*
* Uvažujme diskrétní náhodnou veličinu
* X = {x1, …, xk}
* P(X=x1) = p1,…, P(X=xk) = pk
*
* Pak střední hodnota má tvar:
Jednotlivé možné hodnoty
Váhu pro jednotlivé hodnoty
hraje jejich pravděpodobnost
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
K čemu všechny ty funkce a čísla vlastně jsou?
* Popis vlastností cílové populace – na základě pozorovaných dat (histogram, box plot, popisné
statistiky) jsme schopni usuzovat na charakter rozdělení pravděpodobnosti sledované veličiny.
Dokonce jsme schopni otestovat míru shody s teoretickým rozdělením.
*
* Srovnání vlastností cílové populace/populací – na základě pozorovaných dat a našich předpokladů o
teoretickém modelu (hypotéz) jsme schopni pomocí statistických testů srovnávat vlastnosti jedné
nebo více cílových populací.
*
* Predikce vlastností cílové populace – nevyvrátíme-li na základě pozorovaných dat platnost
teoretického modelu, jsme schopni se ptát, jak a s jakou pravděpodobností se bude cílová populace v
budoucnu chovat.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – srovnání
* Pacienti s hypertenzí, léčení ACE-I nebo AIIA.
*
* Teď předbíháme:
* Vizualizace a popis → zhodnotíme tvar rozdělení a přítomnost odlehlých hodnot.
* Testem můžeme ověřit normalitu hodnot.
* Testem můžeme ověřit rovnost rozptylů.
* Rozhodneme o aplikovatelnosti jednotlivých testů.
TKs v sedě (mmHg)
B  ACE-I
B  AIIA
p-hodnota A vs. B
Čas 0 – medián
155
155
0,929
Čas 12 měsíců - medián
135
135
p-hodnota 0 vs. 12
<0,001
<0,001
Pacienti s ACE-I
Pacienti s AIIA
N = 1 416
N = 1 394
0
12
0
12

logo-IBA logomuni
3. Normální rozdělení pravděpodobnosti
a rozdělení z něj odvozená

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Normální rozdělení pravděpodobnosti
* Klíčové rozdělení pravděpodobnosti. Jak pro teoretickou statistiku, tak pro biostatistiku.
* Označení „normální“ neznamená, že by bylo normálnější než ostatní rozdělení.
* Popisuje proměnné, jejichž hodnoty se symetricky shlukují kolem střední hodnoty. Rozptyl kolem
střední hodnoty je dán aditivním vlivem mnoha „slabě působících“ faktorů.
* Příklad: výška člověka, krevní tlak

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Normální rozdělení pravděpodobnosti
* Je kompletně popsáno dvěma parametry:
* μ – střední hodnota, tedy E(X)
* σ2 – rozptyl, tedy D(X)
* Označení: N(μ, σ2)
*
* Hustota pravděpodobnosti:
*
*
* Čím bychom mohli jednotlivé parametry normálního rozdělení odhadnout?

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Normální rozdělení dle hodnot parametrů μ a σ2
Normal_Distribution_density.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Normální rozdělení pravděpodobnosti
* Normalita je klíčovým předpokladem řady statistických metod – zejména testů a modelů.
* Není-li splněna podmínka normality hodnot, je špatně celý model se kterým daná metoda pracuje,
což vede k neinterpretovatelným závěrům.
* Její ověření je tak stejně důležité jako výběr správného testu.
* Pro ověření normality existuje řada testů a grafických metod.
non_norm2.jpg non_norm1.jpg 600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Standardizované normální rozdělení
* Jakékoliv normální rozdělení může být převedeno (zatím schválně neříkám transformováno) na tzv.
standardizované normální rozdělení:
*
*
*
* Hustota pravděpodobnosti:
*
*
* Klíčové rozdělení řady testů.
* Výhoda je, že všechny hodnoty distribuční i kvantilové funkce jsou tabelovány a obsaženy ve všech
dostupných softwarech.
600px-Icon-Warning-Red.svg.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pravidlo ±3 sigma
* U normálního rozdělení lze vyčíslit procento hodnot, které by se  měly vyskytovat v rozmezí ± x
násobku směrodatné odchylky od střední hodnoty.
* Lze říci, že v rozmezí μ ± 3σ by se mělo vyskytovat přes 99,5 % všech hodnot.
68,3 % všech hodnot
95,6 % všech hodnot
99,7 % všech hodnot

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pravidlo ±3 sigma – k čemu to je?
* Lze ho použít pro jednoduché (ale pouze orientační) ověření normality rozdělení pozorovaných dat.
* Příklad 1: Hladina sérového albuminu u 216 pacientů s cirhózou jater.
* Sumarizace pozorovaných hodnot:
68,3 % všech hodnot
95,6 % všech hodnot
99,7 % všech hodnot

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pravidlo ±3 sigma – k čemu to je?
* Příklad 2: Simulovaná data, 50 hodnot z N(0,1) + 1 odlehlá hodnota (200).
* Sumarizace pozorovaných hodnot:
example_outlier_in_N.jpeg

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Pravidlo ±3 sigma – k čemu to je?
* Pravidlo 3 sigma můžeme použít pro identifikaci odlehlých hodnot.
* Pravidlo 3 sigma můžeme použít pro orientační ověření normality dat.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Chí-kvadrát rozdělení
* Vzniká jako součet druhých mocnin k nezávislých náhodných veličin se standardizovaným normálním
rozdělením, N(0,1). Konstanta k je nazývána počet stupňů volnosti.
*
*
*
* Velký význam v teoretické statistice:
* Výpočet intervalu spolehlivosti pro rozptyl
* Testování hypotéz o nezávislosti kvalitativních dat
* Testy dobré shody
Chi-square_distributionPDF.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Studentovo t rozdělení
* Charakterizuje rozdělení průměru jako odhadu střední hodnoty veličiny s normálním rozdělením, v
případě, že neznáme rozptyl (což je téměř vždy).
* Vzniká jako podíl dvou nezávislých veličin, jedné s rozdělením N(0,1) a druhé s rozdělením χ2(k).
Parametrem t rozdělení je opět počet stupňů volnosti k.
* Lze ho chápat jako aproximaci normálního rozdělení pro malé vzorky, pro velké velikosti souborů
konverguje k normálnímu rozdělení.
* Teoretický základ t testu.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Log-normální rozdělení
* Náhodná veličina Y má log-normální rozdělení, když X=ln(Y) má normální rozdělení. A naopak, když
X má normální, pak Y=exp(X) má log-normální.
*
* Hustota:
*
* Normální rozdělení – aditivní efekt faktorů
* Log-normální rozdělení – multiplikativní efekt faktorů
*
* Řada jevů v přírodě se řídí log-normálním rozdělením: délka inkubační doby infekčního onemocnění,
abundance druhů, řada krevních parametrů (např. sérový bilirubin u pacientů s cirhózou), počet
bakteriálních buněk v daném objemu,…

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Binomické rozdělení
* Diskrétní rozdělení, které popisuje počet výskytů sledované události (ve formě nastala/nenastala)
v sérii n nezávislých experimentů, kdy v každém experimentu je stejná pravděpodobnost výskytu
události a je p = θ.
*
* Pravděpodobnostní funkce:
*
*
*
* Základ binomických testů pro srovnávání výskytu sledovaných událostí v populaci nebo mezi
populacemi.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Poissonovo rozdělení
* Diskrétní rozdělení, které popisuje počet výskytů sledované události na danou jednotku (času,
plochy, objemu), když se tyto události vyskytují vzájemně nezávisle s konstantní intenzitou
(parametr λ).
* Jedná se o zobecnění binomického rozdělení pro a .
*
* Pravděpodobnostní funkce:
*
* Střední hodnota, rozptyl:
*
* Příklady: průměrný výskyt mutací bakterií na 1 Petriho misku, počet krvinek v poli mikroskopu,
počet žížal vyskytujících se na 1 m2, počet pooperačních komplikací během určitého časového
intervalu po výkonu.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Poissonovo rozdělení – vliv λ

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Exponenciální rozdělení
* Spojité rozdělení, které popisuje délky časových intervalů mezi jednotlivými událostmi Poissonova
procesu. Popisuje tedy časový interval mezi událostmi, když se tyto události vyskytují vzájemně
nezávisle s konstantní intenzitou (parametr λ).
*
* Hustota:
* Střední hodnota, rozptyl:
*
* Význam v analýze přežití, je to „nejjednodušší“ modelové rozdělení pro délku doby do výskytu
sledované události – předpokládá totiž konstantní intenzitu (systém nemá paměť).
* Zobecněním jsou další rozdělení: Weibullovo, Gamma.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Bimodální rozdělení
* Představuje většinou problém, neboť se zřejmě jedná o směs dvou souborů s unimodálním rozdělením.
* Bimodální rozdělení má např. tento tvar:
example_bimodal.jpeg
muži
ženy

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Existuje ±3 sigma i u asymetrických rozdělení?
* Pro nenormální rozdělení existuje pomůcka v podobě obecného pravidla – Čebyševovy nerovnosti:
Máme-li náhodnou veličinu X se střední hodnotou μ a a konečným rozptylem σ2, pak pro libovolné
reálné číslo k > 0 platí:

logo-IBA logomuni
4. Transformace náhodných veličin


logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Transformace náhodné veličiny
* Transformací náhodné veličiny X rozumíme aplikaci matematické funkce g tak, že vzniká nová
náhodná veličina (tzv. transformovaná) Y = g(X).
*
* Nová veličina nabývá nových hodnot → má také jiné rozdělení pravděpodobnosti → je třeba ho najít
(hustotu, pravděpodobnostní funkci).
*
* S transformací se mění škála – mění se i interpretace „vzdáleností“ mezi jednotlivými hodnotami.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Transformace náhodné veličiny
* Spojitá veličina: chceme najít hustotu fY(y).
*
*
*
*
*
*
*
*
* Diskrétní veličina: chceme najít pravděpodobnostní funkci pY(y).

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Transformace náhodné veličiny – příklad
* Máme rozdělení náhodné veličiny X dáno tabulkou a chceme najít rozdělení pravděpodobnosti
transformované náhodné veličiny Y = X2 – 1.
x
-2
-1
0
1
2
p(x)
0,1
0,25
0,15
0,3
0,2
x
-2
-1
0
1
2
p(x)
0,1
0,25
0,15
0,3
0,2
y
3
0
-1
0
3
p(y)
0,3
0,55
0,15
-
-

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Význam transformací pro zpracování dat
* Teoretické vlastnosti transformovaných náhodných veličin nám dávají nástroj pro práci s
pozorovanými daty.
*
* Transformace můžeme použít pro následující cíle:
1.Normalizaci pozorovaných hodnot
2.Standardizaci normálních hodnot
3.Stabilizaci rozptylu pozorovaných hodnot – teď vynecháme
4.Lepší interpretaci pozorovaných hodnot

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
1. Normalizace pozorovaných hodnot
* Normalita pozorovaných hodnot je silný předpoklad řady statistických metod, který musí být
splněn, aby výsledky byly interpretovatelné!
* Hodnocení normality dat – vizuálně, na základě testu.
* Nenormální data je nutné transformovat nebo použít test bez předpokladu normality.
*
* Logaritmická transformace
Y = ln(X)
* Odmocninová transformace
Y = sqrt(X)
* Box-Coxova transformace

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
2. Standardizace normálních hodnot
* Standardizace je transformace náhodné veličiny s N(μ,σ2) na N(0,1).
* Důvod: řada statistických metod byla odvozena pro standardizované normální rozdělení, N(0,1).
Děláme to tedy opět kvůli lepší možnosti hodnocení dat.
*
* Teoretická standardizace:
*
* Praktická standardizace:
*
* Obrázek: standardizace je převod
„modré“, „zelené“ a „okrové“ na
„červenou“.
Normal_Distribution_density.png

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
4. Lepší interpretace pozorovaných hodnot
* Někdy se nám hodí transformovat pozorovaná data kvůli lepší interpretaci.
* Příklad: Microarray experiment se dvěma vzorky, měříme intenzitu genu XY v jedné tkáni (hodnota
intenzity AXY) a v druhé tkáni (hodnota intenzity BXY).
* Následně hodnoty převádíme na logaritmus se základem 2 jejich podílu:
*
*
*
* Jaké to má výhody?