logo-IBA logomuni
Přednáška VIII.
 Testování hypotéz o kvantitativních proměnných
* Úvodní poznámky
* Testy o parametrech 1 rozdělení
* Testy o parametrech 2 rozdělení
* Permutační testy
esf-komplet-barva.jpg

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Opakování – hypotézy
* Co jsou to hypotézy a jak je stanovujeme?
*
* Nulová hypotéza
* Alternativní hypotéza

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Opakování – co se při rozhodování může stát
* Popište možné výsledky testování hypotéz a uveďte, jak označujeme jejich pravděpodobnosti.
*
*
*
*
*
*
*
*
Rozhodnutí
Skutečnost
H0 platí
H0 neplatí
H0 nezamítneme
A
B
H0 zamítneme
C
D

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Opakování – z-test pro jeden výběr
* Při populačním epidemiologickém průzkumu se zjistilo, že průměrný objem prostaty u mužů je 32,73
ml (SD = 18,12 ml). Na hladině významnosti testu α = 0,05 chceme ověřit, jestli se muži nad 70 let
liší od celé populace. Máme náhodný výběr o velikosti n = 100 a výběrový průměr 36,60 ml.
* Chceme ověřit platnost proti
* Platí-li H0, pak (předpokládáme, že známe σ)
*
* Z CLV víme, že by mělo platit:
*
* Pokud tedy výběrový průměr patří do rozdělení
neměla by jeho hodnota být vzhledem k tomuto rozdělení nijak extrémní.

logo-IBA logomuni
1. Úvodní poznámky


logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Spojité × diskrétní náhodné veličiny
* Budeme se zabývat hodnocením spojitých náhodných veličin (mohou nabývat jakýchkoliv hodnot v
určitém rozmezí).
* Příklady: výška, váha, vzdálenost, čas, teplota.
*
* Uvedené testy lze ale použít i pro hodnocení diskrétních náhodných veličin – ale musí to být
odůvodnitelné (např. velký počet možných hodnot).
* Příklady: počet krevních buněk, počet hospitalizací, počet krvácivých epizod za rok.
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Parametrické a neparametrické testy
* Parametrické testy – zabývají se testováním tvrzení o neznámých parametrech rozdělení
pravděpodobnosti, kterým se řídí uvažovaná náhodná veličina . Vyžadují různé předpoklady, minimálně
specifikaci rozdělení.
*
* Neparametrické testy – tyto procedury jsou nezávislé (nebo téměř nezávislé) na konkrétním
rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Vyžadují méně předpokladů – např. symetrii rozdělení.
Na druhou stranu mají menší sílu („no free lunch“).
*
* Testování v případě chybně určeného rozdělení pravděpodobnosti testové statistiky může vést
k mylným závěrům z důvodu nerelevantní p-hodnoty, respektive p-hodnoty stanovené chybnou úvahou.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Postup při statistickém testování
1.Formulujeme nulovou hypotézu H0.
2.Formulujeme alternativní hypotézu H1. Alternativní hypotéza u parametrických testů může být
oboustranná nebo jednostranná.
3.Zvolíme testovou statistiku jako kritérium pro rozhodnutí o nulové hypotéze (statistiku volíme
tak, abychom byli schopni odvodit rozdělení pravděpodobnosti této statistiky při platnosti nulové
hypotézy).
4.Hodnotu testové statistiky vypočítáme na základě pozorovaných hodnot: x1, x2, … , xn.
5.Na základě rozdělení testové statistiky určíme kritický obor (obor hodnot, kdy zamítáme H0).
6.Zjistíme, zda hodnota testové statistiky leží v oboru kritických hodnot: pokud ano, zamítáme
nulovou hypotézu, pokud ne, nezamítáme nulovou hypotézu. Alternativně můžeme zjistit p-hodnotu
výsledku.

logo-IBA logomuni
2. Testy o parametrech 1 rozdělení


logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
O co jde?
* Chceme srovnat sledovanou charakteristiku náhodné veličiny s předem danou hodnotou (konstantou,
předpokladem).
*
* Test o průměru při známém rozptylu – z-test
* Test o průměru při neznámém rozptylu – t-test
* Neparametrický test pro 1 výběr – Wilcoxonův test
* Test o rozdílu párových (závislých) pozorování – párový t-test
* Test o rozptylu normálního rozdělení
*
* Spolu s výsledkem testu by měly být reportovány i intervaly spolehlivosti pro sledovanou
charakteristiku (průměr/rozptyl).

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Test o průměru při známém rozptylu – z-test
* Předpokládáme realizaci náhodného výběru o rozsahu n: x1, x2, … , xn.
* Předpokládáme normalitu dat: - velmi silný předpoklad (silnější než CLV, neřeší totiž n jdoucí do
nekonečna).
*
*
* Testujeme, zda data náhodného výběru pochazí z rozdělení se stejnou střední hodnotou jako je
předpokládaná hodnota μ0 (konstanta).
* Předpokládáme, že známe parametr σ.
*
* Víme, že za platnosti H0 platí:
* Testová statistika:

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Test o průměru při známém rozptylu – z-test
* Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α, když výsledná hodnota Z statistiky je větší
(nebo menší) než kritická hodnota (příslušný kvantil) rozdělení N(0,1).
* „Větší nebo menší“ závisí na předem zvolené alternativě.
*
* Alternativa
* Zamítáme H0 když
*
* Alternativa
* Zamítáme H0 když
*
* Alternativa
* Zamítáme H0 když
z0,025 = -1,96
z0,050 = -1,64
1,96 = z0,975
1,64 = z0,950
z0,005 = -2,58
2,58 = z0,995
1 - α
α / 2
α / 2
90 %
95 %
99 %

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Test o průměru při neznámém rozptylu – t-test
* Předpokládáme realizaci náhodného výběru o rozsahu n: x1, x2, … , xn.
* Předpokládáme normalitu dat: - velmi silný předpoklad (silnější než CLV, neřeší totiž n jdoucí do
nekonečna).
*
*
* Testujeme, zda data náhodného výběru pochazí z rozdělení se stejnou střední hodnotou jako je
předpokládaná hodnota μ0 (konstanta).
* Neznáme hodnotu parametru σ – musíme ho odhadnout pomocí výběrové směrodatné odchylky (s).
* Víme, že za platnosti H0 platí:
* Dále využijeme statistiku K:
* Testová statistika:

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Test o průměru při neznámém rozptylu – t-test
* Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α, když výsledná hodnota T statistiky je větší
(nebo menší) než kritická hodnota (příslušný kvantil) rozdělení t(n -1).
* „Větší nebo menší“ závisí na předem zvolené alternativě.
*
* Alternativa
* Zamítáme H0 když
*
* Alternativa
* Zamítáme H0 když
*
* Alternativa
* Zamítáme H0 když
1 - α
α / 2
α / 2
90 %
95 %
99 %
Kvantily t rozdělení závisí kromě α
i na velikosti vzorku (n-1).

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – t-test pro jeden výběr
* Chceme srovnat průměrný energetický příjem skupiny 11 žen ve věku 22 – 30 let s doporučenou
hodnotou (7725 kJ). Průměrný energetický příjem skupiny žen byl 6753,6 kJ se směrodatnou odchylkou
s = 1142,1 kJ.
* Přibližná normalita dat byla ověřena graficky.
* Nulovou a alternativní hypotézu vyjádříme jako:
*
*
* Testová statistika:
* Její realizace:
* Absolutní hodnotu t srovnáme s kvantilem t rozdělení s 10 stupni volnosti.
Zamítáme H0

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – interpretace výsledku
*
*
* Na hladině významnosti α = 0,05 můžeme říci, že sledovaná skupina žen měla statisticky významně
nižší energetický příjem než je doporučená denní hodnota 7725 kJ.
Zamítáme H0

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Neparametrický test pro 1 výběr – Wilcoxonův test
* Předpokládáme realizaci náhodného výběru o rozsahu n: x1, x2, … , xn.
* Předpokládáme symetrii dat (daleko slabší předpoklad než normalita dat)
→ nulová hypotéza se týká mediánu
*
*
* Princip Wilcoxonova testu je takový, že spočítáme diference x1, x2, … , xn od x0 a podíváme se,
jestli je zhruba ½ diferencí kladných a ½ záporných.
* To je ekvivalentní s tím, že zhruba polovina hodnot x1, x2, … , xn je menších než x0 a polovina
hodnot x1, x2, … , xn je větších než x0.
*
* Spočítáme diference (nulové vyhodíme):
* Diference seřadíme podle velikosti absolutních hodnot:

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Neparametrický test pro 1 výběr – Wilcoxonův test
* Spočítáme diference (nulové vyhodíme):
* Diference seřadíme podle velikosti absolutních hodnot:
* Jako Ri označíme pořadí diference yi.
*
* Testovací statistika:
kde
*
* Pro malá n (cca do 30) lze kritickou hodnotu pro statistiku min(S+,S-) odpovídající zvolenému α
najít v tabulkách – je-li výsledná hodnota min(S+,S-) menší nebo rovna kritické hodnotě, zamítáme
H0.
* Pro větší n lze rozdělení testové statistiky min(S+,S-) aproximovat normálním rozdělením s
parametry:

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – Wilcoxonův test pro jeden výběr
* Chceme srovnat průměrný energetický příjem skupiny 11 žen ve věku 22 – 30 let s doporučenou
hodnotou (7725 kJ).
* Nulovou a alternativní hypotézu vyjádříme jako:
*
*
Zamítáme H0
Žena
Denní energetický příjem v kJ
Diference od hodnoty 7725 kJ
Pořadí absolutní hodnoty diference
1
5260
-2465
11
2
5470
-2255
10
3
5640
-2085
9
4
6180
-1545
8
5
6390
-1335
7
6
6515
-1210
6
7
6805
-920
4
8
7515
-210
1,5
9
7515
-210
1,5
10
8230
505
3
11
8770
1045
5

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – Wilcoxonův test pro jeden výběr
* Výpočet testové statistiky:
*
*
*
* Kritická hodnota z tabulek pro n = 11:
* Výsledná hodnota statistiky min(S+,S-) je menší než 10:
Zamítáme H0

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Poznámka
* Parametrické a neparametrické testy nemusí vycházet stejně. Důvody:
1.Nesplněné předpoklady parametrického testu.
2.Malá síla neparametrického testu.
*
* Je-li však dobře specifikován pravděpodobnostní model a je-li dostatek dat, bude to vycházet
stejně.
*
* Měli bychom preferovat parametrické testy, ALE pouze po důkladném ověření jejich předpokladů!

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Párový t-test

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Párový t-test
* Dále postupujeme jako při t-testu pro jeden výběr. Testová statistika má tvar:
*
*
* Nulovou hypotézu zamítáme na hladině významnosti α, když výsledná hodnota T statistiky je větší
(nebo menší) než kritická hodnota (příslušný kvantil) rozdělení t(n -1).
*
* Alternativa
* Zamítáme H0 když
*
* Alternativa
* Zamítáme H0 když
*
* Alternativa
* Zamítáme H0 když
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – párový t-test
* Wiebe a Bortolotti (2002) zkoumali žluté zbarvení ocasního peří datlů zlatých.
*
* Všimli si, že někteří ptáci mají jedno ocasní pero jinak zbarvené než ta ostatní → chtěli vědět,
jestli je odchylka ve žlutém zbarvení statisticky významná.
*
* Měřenou veličinou byl yellowness index („index žlutosti“)
*
Pták
Index pro typické pero
Index pro atypické pero
Rozdíl (d)
A
-0.255
-0.324
0.069
B
-0.213
-0.185
-0.028
C
-0.19
-0.299
0.109
D
-0.185
-0.144
-0.041
E
-0.045
-0.027
-0.018
F
-0.025
-0.039
0.014
G
-0.015
-0.264
0.249
H
0.003
-0.077
0.080
I
0.015
-0.017
0.032
J
0.020
-0.169
0.189
K
0.023
-0.096
0.119
L
0.040
-0.330
0.370
M
0.040
-0.346
0.386
N
0.050
-0.191
0.241
O
0.055
-0.128
0.183
P
0.058
-0.182
0.240

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – párový t-test
* Pracovní hypotéza: „Je odchylka ve žlutém zbarvení statisticky významná?“.
* Nulová hypotéza a alternativa:
* Za platnosti H0 předpokládáme:
* Vypočtené statistiky:
*
* Testová statistika:
*
* Absolutní hodnotu t srovnáme s kvantilem t rozdělení s 15 stupni volnosti.
*
Zamítáme H0

logo-IBA logomuni
3. Testy o parametrech 2 rozdělení


logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Testy pro dva výběry
* Chceme srovnat sledovanou charakteristiku náhodné veličiny ve dvou nezávislých skupinách.
*
* Test o rozdílu průměru dvou nezávislých výběrů – t-test pro dva výběry (při stejných rozptylech)
* Test o shodnosti rozptylů dvou nezávislých výběrů – F-test
* Welchova korekce pro t-test při nestejných rozptylech
* Neparametrický test pro 2 výběry – Mann-Whitneyho test
*
* Spolu s výsledkem testu by měly být reportovány i intervaly spolehlivosti pro pozorované rozdíly
v průměrech/mediánech či podíl rozptylů.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
T-test pro dva výběry při stejných rozptylech
* Máme realizaci 1. náhodného výběru o rozsahu n1: x1, x2, … , xn1 a na ní nezávislou realizaci 2.
náhodného výběru o rozsahu n2: y1, y2, … , yn2.
* Předpokládáme normalitu dat:
… a stejný rozptyl (i když neznámý)
*
* Testujeme, zda náhodné výběry pochazí z rozdělení se středními hodnotami, které se liší o
předpokládanou hodnotu c (konstanta).
*
*
* Neznáme hodnotu parametru σ2, ale předpokládáme, že je stejný pro oba výběry – parametr musíme
odhadnout pomocí váženého průměru odhadů rozptylu v jednotlivých výběrech:
*

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
T-test pro dva výběry při stejných rozptylech
* Víme, že za platnosti H0 platí:
*
* Testová statistika:
*
*
* „Větší nebo menší“ závisí na předem zvolené alternativě.
* Alternativa
* Zamítáme H0 když
* Alternativa
* Zamítáme H0 když
* Alternativa
* Zamítáme H0 když

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – t-test pro dva výběry
* Máme pacienty se špatně kontrolovanou hypertenzí – sledujeme účinek ACE inhibitoru (ACE-I) a
antagonisty pro angiotensin II receptor (AIIA) na snížení diastolického tlaku (TKd) těchto pacientů
po 6 měsících od zahájení léčby.
*
* Nulová a alternativní hypotéza:
* Nulová hypotéza vyjadřuje stejný účinek obou léků na snížení TKd.
*
* Pacienti léčení ACE-I:
* Pacienti léčení AIIA:
*
* Vážený odhad parametru σ2:

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – t-test pro dva výběry
* Víme, že za platnosti H0 platí:
*
* Testová statistika:
*
* Absolutní hodnotu t srovnáme s kvantilem t rozdělení s 3811 stupni volnosti (zde již klidně
můžeme použít kvantil rozdělení N(0,1)).
*
*
*
* Na hladině významnosti α = 0,05 nelze prokázat rozdíl mezi ACE-I a AIIA ve snížení diastolického
tlaku u pacientů se špatně kontrolovanou hypertenzí.
Nezamítáme H0

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Předpoklady t-testu pro dva výběry
* Normalita pozorovaných hodnot obou náhodných výběrů – velmi silný předpoklad.
* Nutno otestovat nebo alespoň graficky ověřit (histogram, box plot).
*
* Stejný rozptyl náhodné veličiny v obou srovnávaných skupinách – také silný předpoklad.
* Opět nutno otestovat nebo alespoň graficky ověřit (histogram, box plot).

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Ověření předpokladu o stejných rozptylech – F-test
* Máme realizaci 1. náhodného výběru o rozsahu n1: x1, x2, … , xn1 a na ní nezávislou realizaci 2.
náhodného výběru o rozsahu n2: y1, y2, … , yn2.
* Předpokládáme normalitu dat:
(střední hodnoty neznáme)
* Testujeme, zda náhodné výběry pochazí z rozdělení se stejným rozptylem.
*
*
* Testová statistika:
*
* Za platnosti H0 má F statistika Fisherovo rozdělení se stupni volnosti (n1 – 1) a (n2 – 1).

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Ověření předpokladu o stejných rozptylech – F-test
* Víme, že za platnosti H0 platí:
* Hodnotu F statistiky tedy srovnáváme s kvantily
*
* „Větší nebo menší“ závisí na předem zvolené alternativě.
* Alternativa
* Zamítáme H0 když
* Alternativa
* Zamítáme H0 když
* Alternativa
* Zamítáme H0 když

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – F-test
* Máme dvě skupiny dětí s hypotyreózou: první skupina jsou děti s mírnými symptomy, druhá skupina
jsou děti s výraznými symptomy.
* Chceme srovnat hladinu tyroxinu v séru.
* Můžeme si dovolit použít t-test pro dva výběry?
Hladina tyroxinu
v séru (nmol/l)
Mírné symptomy
(n1 = 9)
Výrazné symptomy
(n2 = 7)
34
5
45
8
49
18
55
24
58
60
59
84
60
96
62
86
Průměr
56,4
42,1
SD
14,22
37,48

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – F-test
* Testová statistika:
*
*
* Hodnotu F srovnáme s α kvantilem F rozdělení s 8 a 6 stupni volnosti.
*
Hladina tyroxinu
v séru (nmol/l)
Mírné symptomy
(n1 = 9)
Výrazné symptomy
(n2 = 7)
Průměr
56,4
42,1
SD
14,22
37,48
Zamítáme H0

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Stejné rozptyly?
* Myslíte si, že jsou stejné rozptyly obou souborů v praxi časté?
* Pokud ne, zkuste vymyslet příklad…

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Welchova korekce pro nestejné rozptyly
* Welch (1937) navrhl korekci pro výpočet T statistiky se zohledněním nestejných rozptylů.
* Víme, že za platnosti H0 platí:
*
* Testová statistika:
*
* Počet stupňů volnosti NENÍ roven n1+n2–2,
ale třeba ho stanovit následovně:
*
* Kritické hodnoty pro zamítnutí H0 lze odvodit stejně, jako v případě t-testu pro dva výběry se
stejným rozptylem.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Neparametrický test pro 2 výběry – Mann-Whitneyho test
* Máme realizaci 1. náhodného výběru o rozsahu n1: x1, x2, … , xn1 a na ní nezávislou realizaci 2.
náhodného výběru o rozsahu n2: y1, y2, … , yn2.
*
* Předpokládáme stejné rozdělení dat v obou souborech (slabší předpoklad než normalita dat) →
nulová hypotéza se týká distribučních funkcí.
*
*
* Pointa Mann-Whitneyho testu: pokud xi a yj pochází ze stejného rozdělení, pak by pravděpodobnost
P(xi > yj) měla být zhruba 50 %.
* To je ekvivalentní tomu, že při srovnání všech dvojic xi a yj bude v případě cca 50 % dvojic
menší xi a naopak.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Neparametrický test pro 2 výběry – Mann-Whitneyho test
* Pro výpočet nejprve seřadíme všechna pozorování podle velikosti (jako by byly z jednoho vzorku) a
přiřadíme jednotlivým hodnotám jejich pořadí.
* Statistikou T1 označíme součet pořadí v 1. skupině.
*
* Testové statistiky:
*
* Větší z hodnot U a U´ následně srovnáme s kritickou hodnotou z tabulek (v případě oboustranného
testu). Je-li kritická hodnota menší, H0 zamítáme. Pro jednostranný test uvažujeme dle nulové
hypotézy pouze buď statistiku U nebo U´.
* Pro vzorky s n1 > 10 a n2 > 10 lze rozdělení statistiky U aproximovat normálním rozdělením s
charakteristikami:

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – Mann-Whitneyho test
* Máme dvě skupiny dětí s hypotyreózou: první skupina jsou děti s mírnými symptomy, druhá skupina
jsou děti s výraznými symptomy.
* Chceme srovnat hladinu tyroxinu v séru (t-test pro dva výběry není vhodný)
Hladina tyroxinu
v séru (nmol/l)
Mírné symptomy
(n1 = 9)
Výrazné symptomy
(n2 = 7)
34
5
45
8
49
18
55
24
58
60
59
84
60
96
62
86
Průměr
56,4
42,1
SD
14,22
37,48

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – Mann-Whitneyho test
* Seřadíme všechna pozorování podle velikosti a přiřadíme jednotlivým hodnotám jejich pořadí.
Součet pořadí v 1. skupině: T1 = 84,5.
*
Skupina n1 = 9
Skupina n2 = 7
Pořadí
5
1
8
2
18
3
24
4
34
5
45
6
49
7
55
8
58
9
59
10
60
11,5
60
11,5
62
13
84
14
86
15
96
16
* max(U,U´) = 39,5.
* Srovnáme s kritickou hodnotou z tabulek (pozor na správné tabulky):
Nezamítáme H0

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – Mann-Whitneyho test
* Zdá se vám ten výsledek správný?
* Pokud ne, čemu to lze přisoudit?

logo-IBA logomuni
4. Permutační testy


logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Princip permutačních testů
* Permutační testy jsou neparametrickými testy, ale místo pořadí pracují s pozorovanými hodnotami.
*
* Principem permutačního testování je srovnání pozorované testové statistiky s testovými
statistikami, které by bylo možno teoreticky získat ze stejného datového souboru, když by přiřazení
jednotlivých pozorovaných hodnot do sledovaných skupin bylo náhodné.
*
* Permutační test je tedy založen na výpočtu všech možných hodnot testové statistiky, které lze
získat opakovaným přeskupením původního souboru dat tak, že v rámci každého opakování zůstane
zachován jak celkový počet pozorování (celkové n), tak počet pozorování náležících do jednotlivých
skupin (např. n1 a n2).

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Výpočet permutačních testů
* Výslednou p-hodnotu pak odhadneme jako podíl počtu testových statistik, které byly v absolutní
hodnotě větší než původní pozorovaná testová statistika (tedy představují extrémnější výsledky
experimentu), k celkovému počtu provedených permutací.
*
* Tedy odhad p-hodnoty lze vyjádřit následovně:
*
*
*
* Permutační testy jsou velmi oblíbené v hodnocení genomických a proteomických dat.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – permutační test pro dva výběry
* Srovnání hmotnosti dvou skupin pacientů.
*
*
*
*
*
* Pro permutační test použijeme T statistiku pro dva výběry.
* Zvolíme hladinu významnosti testu: α = 0,05.
* Pro n1 = 7 a n2 = 8 je možnost provést celkem 6435 jedinečných permutací.
*
*
Kategorie pacienta
Hmotnost pacienta (kg)
A
91,5
A
79,8
A
66,2
A
70,7
A
63,4
A
77,7
A
71,9
B
83,9
B
92,2
B
85,4
B
99,2
B
77,5
B
80,8
B
91,6
B
86,2

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – permutační test pro dva výběry
Kategorie pacienta
Hmotnost pacienta (kg)
Pořadí permutace
1
2
3
…
6435
A
91,5
A
B
B
…
B
A
79,8
B
B
B
…
B
A
66,2
A
A
A
…
A
A
70,7
A
B
A
…
B
A
63,4
B
B
A
…
A
A
77,7
B
B
B
…
A
A
71,9
B
A
A
…
B
B
83,9
A
B
A
…
A
B
92,2
B
B
A
…
A
B
85,4
A
A
B
…
A
B
99,2
A
A
B
…
A
B
77,5
A
A
A
…
B
B
80,8
B
A
B
…
B
B
91,6
B
B
B
…
B
B
86,2
B
A
B
…
B
Testová statistika
2,900
0,429
0,341
3,106
…
0,798

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Příklad – permutační test pro dva výběry
* Srovnání hmotnosti dvou skupin pacientů: A a B.
* Pro výpočet p-hodnoty permutačního testu je potřeba následující:
1.Hodnota původní testové statistiky: t = 2,900
2.Celkový počet provedených permutací: M = 6435
3.Počet permutací, kdy je absolutní hodnota testové statistiky ti, i = 1, …, M, větší nebo rovna
původní testové statistice t = 2,900. Zde je m = 59.
*
* Pak p-hodnotu můžeme odhadnout následovně:
*
*
Zamítáme H0
Výsledná p-hodnota je menší než zvolená
hladina významnosti testu α = 0,05.

logo-IBA logomuni logo-IBA logomuni
Tomáš Pavlík
Biostatistika
Permutační test pro dva výběry
* Interpretace výsledné p-hodnoty je zde stejná jako pro klasický t‑test.
* Velkou výhodou permutačního testování je fakt, že jej lze použít pro jakoukoliv testovou
statistiku.
*
* Klíčovým předpokladem je zaměnitelnosti pozorovaných hodnot v obou srovnávaných skupinách – oba
soubory by neměly mít výrazně odlišnou variabilitu (proto bychom neměli permutační test použít na
příklad s hypotyreózou).
*
* Při malém n (cca 10 – 20) je poměrně malý také počet dostupných permutací, což může vést k
nepřesnému odhadu p-hodnoty.
* Při 1000 permutacích je nejmenší dosažitelná p-hodnota 0,001, 100 000 permutací umožňuje
dosáhnout p-hodnoty až 0,00001.
*