Reprezentace molekuly při modelování
Souřadnicový systém Transformační matice
Bornova - Oppenheimerova aproximace
• Jedna ze základních aproximací umožňující řešení Schródingerovy rovnice
• Oddělení pohybu atomových jader a elektronů
• Umožňuje rozdílný přístup modelování kvantově-mechanický model
X
molekulově-mechanický model
Používané jednotky
• Úhly, dihedrální úhly - stupně
• Vzdálenosti, délky - Á - angstrom 1 Á = 1010 m
Molekula vodíku H
Kartézský souřadný systém
-0.3525 -0.0302 -0.0133 H 0.3525   0.0302   0.0133 H 1 2
Z-matice					
H 0.0000	0.0000	0.0000	0	0	0
H 0.7080	0.0000	0.0000	1	0	0
Molekula vody H20
Kartézský souřadný systém
-0.4764 0.3956 -0.0282 O
0.5117 0.6139 -0.0365 H
-0.5117 -0.6139 0.0365 H
1 2
1 3
0	z	T	0	00000	639171701	T2T0T H
0	0	I	0	00000	0000"0	6TT0T H
0	0	0	0	00000	00000	00000 O
						90!imu-z
02H ApoA^|n>|a|0|Aj
Molekula benzenu C_H_
o o
1.2167 0.6629 -0.0325 c
1.1821 -0.7225 -0.0367 c
0.0346 1.3854 0.0042 c
-0.0346 -1.3854 -0.0041 c
-1.1821 0.7226 0.0367 c
-1.2167 -0.6630 0.0325 c
2.1920 1.1944 -0.0585 h
2.1297 -1.3018 -0.0661 h
0.0623 2.4961 0.0076 h
-0.0623 -2.4961 -0.0075 h
-2.1297 1.3018 0.0661 h
-2.1920 -1.1944 0.0586 h 1 2
1 3
1 7
2 4 2 8
Molekula benzenu C_H_
o o
C	0.0000	0.0000	0.0000	0	0	0
c	1.3859	0.0000	0.0000	1	0	0
c	1.3859	119.9960	0.0000	1	2	0
c	1.3860	120.0000	0.0004	2	1	3
c	1.3859	120.0051	-0.0022	3	1	2
c	1.3859	120.0052	0.0001	4	2	1
h	1.1110	120.0015	-180.0000	1	2	3
h	1.1110	119.998	-179.9997	2	1	3
h	1.1110	119.9970	179.9980	3	1	2
h	1.1110	119.9997	-180.0000	4	2	1
h	1.1110	119.9998	-179.9968	5	3	1
h	1.1110	120.000	-179.9990	6	4	1
Molekula alaninu
c	0.0000	0.0000	0.0000	0	0	0
0	1.2099	0.0000	0.0000	1	0	0
c	1.511	119.7762	0.0000	1	2	0
n	1.471	109.7784	130.1012	3	1	2
c	1.5265	109.3265	10.1190	3	1	2
0	1.3611	119.7658	-178.9553	1	2	3
h	1.113	109.3101	-110.0357	3	1	2
h	1.0099	104.6531	-46.4500	4	3	1
h	1.0099	105.1970	63.7940	4	3	1
h	1.1113	110.2518	56.6209	5	3	1
h	1.1120	108.7651	176.6227	5	3	1
h	1.1116	110.3632	-63.4869	5	3	1
h	0.9598	120.5894	177.0137	6	1	2
Výhody a nevýhody reprezentace systému
Kartézský systém
• N atomů = 3N souřadnic (můžeme redukovat u prvních 3 atomů vhodným posunutím do souřadného systému)
• Změna délky vazby, vazebného úhlu nebo dihedrálního úhlu vede ke změně souřadnic téměř celého systému
Vnitřní souřadný systém = Z-matice
• N atomů = 3N - 6 souřadnic
• Změna délky vazby, vazebného úhlu nebo dihedrálního úhlu vede ke změně pouze uvedené souřadnice
Souřadný systém
pravotočivý systém
ievotočivý systém
Transformace ve 2D
• Posunutí
• Otočení kolem bodu
• Změna měřítka
• Zkosení
Transformace ve 2D - posunutí
Bod A[AX; Ay] posuneme o vektor v=(vx; vy) a získáme bod B[BX; By]
Bx = Ax + vx
By   =   Ay   + Vy
Maticový zápis:
(Bx; By)T = (Ax; ayy + (vx; vy)T
Transformace ve 2D - otočení
• Kolem počátku soustavy souřadnic o úhel (p Bx = Ax cos((p) - Ay s/n((p) By = Ax s/7i((p) + Ay cos((p)
Transformace ve 2D - otočení
• Kolem libovolného bodu S[SX; Sy] o úhel (p
• Jak na to?
Transformace ve 2D - otočení
• Kolem libovolného bodu S[SX; Sy] o úhel cp
• Jak na to?
• Posuneme bod S i bod Atak, aby bod S byl v počátku soustavy souřadnic, provedeme otočení a nový bod posuneme v opačném směru než bylo posunutí bodu S.
Transformace ve 2D - otočení
• Kolem libovolného bodu S[SX; Sy] o úhel (p a\ — Ax — Sx
—  Ay Sy
A2X = A!x cos(cp) - a\ sin(cp) A2y = Aix sin(cp) + A\ cos(cp) Bx = A2X + Sx
By   =   A2y   + Sy
Transformace ve 2D - otočení
• Kolem libovolného bodu S[SX; Sy] o úhel (p
Bx = (Ax - Sx) cos(cp) - (Ay - Sy) sin(cp)+ Sx By = (Ax - Sx) sin(cp) + (Ay - Sy) cos(cp) + Sy
Transformace ve 2D - změna měřítka
Bx = mx. Ax By = my. Ay
Pokud mx = my - proporcionální změna měřítka (ze čtverce se transformací stane opět čtverec)
Transformace ve 2D - zkosení
• Z obdélníka se touto transformací stane rovnoběžník
Bx = Ax + q .Ay By = Ay
Transformace ve 2D
Posunutí
Změna měřítka
(Bx\		(ax)	+	/ \ í vx
\By>		[AyJ		v
X			°1		
\By)		1°	myj		\AyJ
Otočení
Zkosení podél osy y
,By,
_\cos{(p)   —sin (qpf sin (qp) cos(qp)
A/
\Byl
o i
1 a:
\Ay)
Transformace ve 2D
• Až na posunutí lze všechny transformace popsat násobením čtvercové matice (2x2) vektorem
• Zavedením homogenní souřadnice zavedeme i posunutí jako násobení čtvercovou maticí (3x3) vektorem
Transformace ve 2D
'b:
\1/
/
\
1 0 0 1
o o
v
X
v
y
Ay \1/
(b\ X			0	o\
B	—	0		0
y				
l1 j		1°	0	
	(ax\
	x
•	av
	y
/	U/
x
B
y
I
\
cos [q? sin (q? O
-sin \cp cos(<j9 O
O
0
1
A
\ x /
'b:
By \1/
/
o i o o
o
0
1
Ay
Transformace ve 2D - skládání
• Příklad: Zapište transformační matici otočení o 90° kolem bodu S[l; 2].
Matice posunu bodu S do počátku soustavy souřadnic
/
\
1 0 0 1
o o
-1^
-2 1
Transformace ve 2D - skládání
• Příklad: Zapište transformační matici otočení o 90° kolem bodu S[l; 2].
Matice otočení o úhel 90
/
\
0-10 10 0 0    0 1
\
Transformace ve 2D - skládání
• Příklad: Zapište transformační matici otočení o 90° kolem bodu S[l; 2].
Matice posunu zpět podle bodu S
/
10 1
\
\
0 1
o o
2 1
Transformace ve 2D - skládání
Příklad: Zapište transformační matici otočení o 90° kolem bodu S[l; 2].
Složení transformací
/
1 0 0 1
o o
\
/
2 1
0
1 o
-1 o o
o
0
1
\
/
o o
0
1 o
-1^
-2 1
/
0-13
\
1 0
0
o
1 1
Transformace ve 3D
• Posunutí
• Otočení kolem osy
• Změna měřítka
• Zkosení podél osy
Posunutí ve 3D
• V homogenních souřadnicích
ÍBX\   ll   0   0   vx\ Iax\ B      0   1   0   vv a
y — y y
b1    o o i v, ' A,
1   1° 0 0 11
• Nutná jednotná definice otočení: pravotočivá / levotočivá transformace.
• Otočení kolem obecné osy lze převést na posunutí a postupné otáčení kolem souřadnicových os.
Otočení ve 3D kolem osy z
• V homogenních souřadnicích
cosyq)) — sm{q)) 0 0 / Ax sin(^)    cos(cp)    0   0 Ay
0 0       1   0 " Az
0 0       0   1     i J
i \ I
	
	—
1	
Otočení ve 3D kolem osy y
• V homogenních souřadnicích
BA     cos(^)   0   sin(^) 0   I Ax\
B 0        1      0 0 A
y — . y
Bz     -sin(^)  0   cos(cp) 0 Az
1 0       0      0 1/    1 J
Otočení ve 3D kolem osy x
• V homogenních souřadnicích
Ib\ /i     o oo
Ä.
by _ 0 cos(cp) sin(^) 0
bz     0 -sin(^) cos(cp) 0
ll /   10       0 0 1
Změna měřítka ve 3D
• V homogenních souřadnicích
		mx	0	0			/ V
	-	0	m y	0	0	•	Ay
Bz		0	0	mz	0		\
\1l		1°	0	0	l|		\1)
Souměrnost ve 3D
• Zvláštní případ změny měřítka
- Absolutní hodnota koeficientu je rovna jedné
- Středová souměrnost
- Osová souměrnost
- Souměrnost podle roviny
Středová souměrnost ve 3D
V homogenní souřadné soustavě
V
x
B B
y
-1 0 0 0
o
-1 o o
o o
-1 o
o o
0
1
	
	
•	y
	a,
	\1
Osová souměrnost ve 3D
V homogenní souřadné soustavě Souměrnost podle osy x
tBx\	
By	-
	
\1l	
1 o o o
o
-1 o o
o o
-1 o
o o
0
1
	
	
•	y
	
	l1/
Osová souměrnost ve 3D
V homogenní souřadné soustavě Souměrnost podle osy y
tBx\	
By	-
	
\1l	
-1 o o o
0
1 o o
o o
-1 o
o o
0
1
	
	
•	y
	
	l1/
Osová souměrnost ve 3D
V homogenní souřadné soustavě Souměrnost podle osy z
tBx\	
By	-
	
\1l	
-10 0 0 0-100 0 0 10 0     0    0 1
	
	
•	y
	
	l1/
Souměrnost podle roviny ve 3D
V homogenní souřadné soustavě Souměrnost podle osy xy
tBx\	
By	-
	
\1l	
1 o
0 1
o o o o
o o
-1 o
o o
0
1
	
	
•	y
	
	l 1
Souměrnost podle roviny ve 3D
V homogenní souřadné soustavě Souměrnost podle osy xz
v
X
B B
y
\ I
I II	0	0	0|		
0	-1	0	0		Ay K
0	0	1	0	•	
\°	0	0	ij /		£-1 \ 1
Souměrnost podle roviny ve 3D
V homogenní souřadné soustavě Souměrnost podle osy yz
v
X
B B
y
-1 0 0 0
0
1 o o
o
0
1 o
o o
0
1
	
	
•	y
	
	
Zkosení ve 3D podél osy z
• V homogenních souřadnicích
X		[1	0		\		
By	—	0	1		0	•	
Bz		0	0	1	0		a,
\1l		1°	0	0			\1