1
Fyzika pro chemiky II
Souhrn základních problémů a řešení
Schródingerovy rovnice
v jednorozměrném případě W — W[x,t
Petr M i kulík
Ústav fyziky kondenzovaných látek Přírodovědecká fakulta Masarykova univerzita, Brno
Fyzika pro chemiky II - Schródingerova rovnice v ID
1
Částice v silovém poli s potenciálem U(x): řešíme Schródingerovu rovnici
n2 d2v{x,t)    , u , A .,dv{x,t
- + U[x)W[xyt) = ifi-
2m dx2
dt
W[x,t) i její derivace musí být spojité + normalizace + okrajové a počáteční podmínky V(x,t = 0)
Řešíme separací proměnných:    W[x,t) = IJJ (x) (j) [t
Časová závislost:
Prostorová závislost:
Fyzika pro chemiky II - Schródingerova rovnice v ID
2
Volná částice, potenciál U(x)=0, Ekin = const: řešíme Schrôdingerovu rovnici
Separací proměnných:   W[x,t) = (//(x)^ (t
n2 d2i//(x) _
2m dx:
^(tj = Ae
-iEtin
i V2m Exlh
Řešení zapíšeme ve tvaru vlnové funkce:
WAx,t) = Ae-l[at-kx) = Ae
i(Etlh-pxlh
což je postupná monochromatická vlna s vlnovým vektorem k (kvantové číslo)
a normalizací
2m
]dx\Wk(x,t
2   n2 k2
2m
E ftk1 n 2m
A (b-a) = 1
Fyzika pro chemiky II - Schrôdingerova rovnice v 1D
3
Volná částice, potenciál U(x)=U, Ekln = const > U: řešíme Schrôdingerovu rovnici
Rovnice je:
h2 d2ú(x
---^tl+UiIj{x) = E ú [x
2m   dx2       ^ ^ ^
h2 d2\l)(x)    /       \ /
---^V^ = ÍE-U )ú {x
2m   dx2      [ m
Řešení je tedy jako u volné částice s energií (E-U)
VAx,t =Ae
-  A „-i(at-fcx) - j^e-i((E-U)tlh-pxlh
což je postupná monochromatická vlna s vlnovým vektorem k (kvantové číslo)
E = U + ^— = U + 2m
n2k2
2m
E-U
n
hk2 2m
a normalizací
]dx\Wk(x,t
A [b-a) = 1
Fyzika pro chemiky II - Schródingerova rovnice v 1D
4
Jednorozměrná nekonečně hluboká kvantová jáma
Předpokládejme profil potenciální energie:
Vně jámy:      (//(x) = 0
ti2 dV _
Uvnitř jámy: —
2m dx2
Řešení předpokládáme:
= El);
\jjk(x)=Aksm(kx)   proxe(0,L), /c=
2mE
0
00
k 00
X
h
a vyjde
L
hustota pravděpodobnosti
n=3
kn=nnlL, n=l, 2, ...
E =
n
2m
2 2+2
n n n     ^ 2
-r = £on
2mL
n=2
Obecné řešení:
00
\tľ) = Yn\tľn) = Yn=1\
x|(//>=(//( X)     souřadnicová vs formální reprezentace
0.4 0.6
x/L
0.8
Jednorozměrná konečně hluboká kvantová jáma
2 2
Vnějámy:    —----y = Eijj, xe(0,L
Uvnitř jámy: —
2m dx H2 d2ifj _
2m dx
= {E-U)ijj, xí(0,L
U(x)
U
x
O
Částice vázaná v jámě: E <U
\\j{x)-Ce" pro x<0, \\j{x)-De~ax pro x>L, a--hm{U-E ifj(x) = Asin(/cx)+Bcos(/cx) pro xe(0,L
a vyjde
taní k L) =
2ak
1 2 2
k -a
Obecné řešení:
X
0.12r
hustota pravděpodobnosti
0.08
0.06
LU
0.04
1 _ ft a hmiU-E
100
Jednorozměrný kvantový harmonický oscilátor: parabolický potenciál U(x)
7
Kdekoliv:
Vyjde
d2ijj _ 2m dx2 h2
i
1 2   2 r
— mcú x -E
2
1
n/2n
m ců
x
n
kde Hermiteovy polynomy  H (o = (—1 j e
-oo
En = ňců
1
n+-
2
,   n = 0,l,2,..
Obecné řešení:   (//(x) = ^ (//n(x
Základní stav pro n = 0:
E0 = ^Äa),   ^0(í) = 7r"1/4e"^/2
B-
hustota pravděpodobnosti
n=5
Jednorozměrný kvantový harmonický oscilátor: parabolický potenciál U(x)
Heisenbergův princip neurčitosti a současně měřitelné veličiny: ^px>| ...
8
Správněji
Minimalizujeme H a vyjde základní stav:
E0 = ^hco
Fyzika pro chemiky II - Schródingerova rovnice v ID
8
Jednorozměrná potenciálová jáma: U(x   ± <» ) = <» a Ufx   ± <» ) = consr
/ž2 d2í//
2m dx2 U(x)
x
0
Obecné řešení: í//(x) = ^ ljJn(x
nebo
Ä  d t//
--= E-uU
2m c/x:
U(x)
o
x
"ÍT(jc)
V základním stavu nemůže být E 0= 0, odporovalo by to Heisenbergovu principu neurčitosti. Java aplet „Double well": http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/en/pages/p0204.html Aplet ID Quantum States: http://www.falstad.com/qmld/
Fyzika pro chemiky II - Schródingerova rovnice v ID
9
Tok částic - potenciálová bariéra - tunelování
U
10
W(x,t) = Ae-i['ůt-b<]+Be-i{'ůt+kx
o
o
L
-iú)t-ax , 7->v  -z*6)ř+ ax
Ce      + De
F e
-iícot-kx
0   a=jr>l2m(U-E) L
Propustnost pro libovolný tvar bariéry:
r= fia
exp
-|V2rň j dx^U(x)-E
U x)>E
Rezonance, virtuální a metastabilní hladiny
L
Fyzika pro chemiky II - Schródingerova rovnice v ID
10
Príklad výpočtu pro E < U:
11
Príklad výpočtu pro E > U:
Fyzika pro chemiky II - Schrôdingerova rovnice v 1D
11