20
Fyzika pro chemiky II 20
Úvod do fyziky mikrosvěta
Část 2
Vlnová klubka
Heisenbergův princip neurčitosti
Schrödingerova rovnice v jednorozměrném prostoru
21
Fyzika pro chemiky II 21
Vlnová klubkaVlnová klubka
Pohybující se lokalizovaná částice nemůže být popsána postupnou monochromatickou
vlnou. Lokalizaci získáme superpozicí mnoha postupných vln s různými frekvencemi
Monochromatická postupná vlna:
Ψ (x,t) = A e
−i(ωt−kx)
Vlnové klubko:
Ψ (x,t) =∫−∞
∞
dk A(k)e−i(ω(k)t−kx)
Fázová rychlost:
v(k0) =
ω(k0)
k0
Grupová rychlost:
vg(k0) =
dω(k)
dk
∣k=k0
Disperze: ω = ω(k)
(II.22)
(II.23)
(II.24)
22
Fyzika pro chemiky II 22
Superpozice dvou monochromatických postupných vln s týmiž amplitudami, s vlnovými
vektory k1 =1, k2 =1.1 a fázovými rychlostmi v1 =2 a v2 =3 (v libovolných jednotkách).
Výsledné vlnové klubko má fázovou a grupovou rychlost
v ≈
v1+ v2
2
= 2.5, vg = v+ k
dv
dk
≈
v1+ v2
2
+
k1+ k2
2
v2−v1
k2−k1
= 13
Fáze se posouvá rychlostí v,
maximum amplitudy klubka se
posouvá rychlostí vg.
23
Fyzika pro chemiky II 23
→ rozložení výchylky v daném
časovém okamžiku:
Vlnové klubko složené z mnoha monochromatických vln
Závislost amplitudy na vlnovém vektoru:
24
Fyzika pro chemiky II 24
Časový vývoj tvaru vlnového klubka při nenulové disperzi (libovolné jednotky):
dv
dk
=
1
k (dω
dk
−
ω
k )> 0
x=vgt
25
Fyzika pro chemiky II 25
Heisenbergův princip neurčitostiHeisenbergův princip neurčitosti (1924)
Šířka vlnového klubka v prostoru je nepřímo úměrná šířce
oboru vlnových vektorů zastoupených ve vlnovém klubku:
Δx Δk ≥
1
2
Což můžeme vyjádřit vztahem pro hybnosti:
Δx Δpx ≥
ℏ
2
(II.25)
široké klubko úzké klubko
Werner Heisenberg (1901–1976)
26
Fyzika pro chemiky II 26
Heisenbergův princip neurčitosti lze ilustrovat (Fraunhoferovou) difrakcí světla na štěrbině:
úzká štěrbina – malé x, velké px široká štěrbina – velké x, malé px
27
Fyzika pro chemiky II 27
Difrakci částic můžeme popsat jako difrakci de Broglieho vln
Experimentální ověření:
rtg difrakce na kovové folii …
… a difrakce elektronů na téže
kovové folii, tatáž vlnová délka
28
Fyzika pro chemiky II 28
II.4. Základy kvantové mechaniky v 1 dimenziII.4. Základy kvantové mechaniky v 1 dimenzi
Vlnová funkce nese všechny informace o objektu.
Pravděpodobnost nalezení částice v elementárním intervalu
dx je
Ψ (x,t)
P(x,t) dx =∣Ψ(x,t)∣2
dx (II.26)
P(x, t) je hustota pravděpodobnostihustota pravděpodobnosti nalezení částice
v místě x. Je jisté, že se částice nachází někde na ose x,
proto
∫−∞
∞
dx∣Ψ(x,t)∣2
=1 (II.27)
… normovací podmínka pro vlnovou funkci.
Max Born (1882–1970)
Srovnání s klasickou fyzikou: v klasické fyzice známe přesnou polohu částice v libovolném
čase x=x(t), a pravděpodobnost je tedy rovna jedné v místě, kde se částice nachází, a nula
všude jinde, tedy
Ψklas(x=x(t),t)=1 a Ψklas(x≠x(t),t)=0
29
Fyzika pro chemiky II 29
Vlnová funkce
Ψk (x ,t)= Ae
−i(ωt−kx)
= Ae
−i(Et/ℏ−px/ℏ)
= A e
−
i
ℏ (Et−px)
(II.29)
je postupná monochromatická vlna.
Stav částice je úplně určen vlnovým vektorem k (kvantové číslokvantové číslo).
Normalizace funkce (aneb upřesnění konstanty A): částice se určitě nachází v intervalu <a, b>
a proto integrál musí vyjít roven jedné (100procentní pravděpodobnost):
∫a
b
dx|Ψk (x,t)|2
=|A|2
(b−a) = 1 (II.30)
Vlnová funkce volné částiceVlnová funkce volné částice
Na volnou částici nepůsobí žádná síla a její kinetická energie E je konstantní. Z de Broglieho
vztahu p=ℏk (II.18) mezi hybností p a vlnočtem k plyne
E =
p2
2m
=
ℏ2
k2
2m
, ω =
E
ℏ
=
ℏk2
2m
(II.28)
a hodnota A v (II.29) je tedy
A=
1
√b−a
30
Fyzika pro chemiky II 30
Částice v silovém poliČástice v silovém poli
Schrödingerova rovnice – jeden z postulátů kvantové mechaniky:
Erwin Schrödinger
(1887–1961)
−
ℏ
2
2m
∂
2
Ψ (x ,t)
∂x
2 + U (x)Ψ (x ,t) = iℏ
∂Ψ (x,t)
∂t
(II.31)
Tato rovnice popisuje časový vývoj vlnové funkce částice v silovém poli
s potenciální energií U(x). Počáteční podmínka je dána funkcí
Ψ(x,t=0)
Řešme rovnicí separací proměnných. Předpokládejme
Ψ(x,t)= ψ(x)ϕ(t)
Dosazením vyjde
−
ℏ
2
2m
d
2
ψ(x)
dx
2 +U (x)ψ(x) = Eψ(x)
iℏ
dϕ(t)
dt
= Eϕ(t) ⇒ ϕ(t) = A e
−
i
ℏ
Et
časově nezávislá Schrödingerova rovnice
(II.31)
31
Fyzika pro chemiky II 31
Částice v silovém poliČástice v silovém poli
Schrödingerova rovnice – jeden z postulátů kvantové mechaniky
Erwin Schrödinger
(1887–1961)
−
ℏ
2
2m
∂
2
Ψ (x ,t)
∂x
2 + U (x)Ψ (x ,t) = iℏ
∂Ψ (x,t)
∂t
(II.31)
rovnice popisuje časový vývoj vlnové funkce částice v silovém poli
s potenciální energií U(x). Počáteční podmínka je dána funkcí
Ψx,t=0
Řešme rovnicí separací proměnných. Předpokládejme
Ψ(x,t)= ψ(x)ϕ(t)
Dosazením vyjde
−
ℏ2
2m
d
2
ψ(x)
dx2
+U (x)ψ(x) = Eψ(x)
iℏ
dϕ(t)
dt
= Eϕ(t) ⇒ ϕ(t) = A e
−
i
ℏ
Et
časově nezávislá Schrödingerova rovnice
(II.31)
32
Fyzika pro chemiky II 32
Jednorozměrná nekonečně hluboká kvantová jámaJednorozměrná nekonečně hluboká kvantová jáma
Předpokládejme profil potenciální energie U(x) jako
nekonečně hlubokou jámu (propast), částice s energií
E se nachází uvnitř.
x
U ( x )
0 L
∞∞
Částice se určitě nachází uvnitř jámy, mimo jámu se
určitě nenachází, tj.
ψ(x)= 0 vně jámy
Řešíme Schrödingerovu rovnici (II.31) a hledáme řešení,
tj. E a ψ(x) v diferenciální rovnici:
(II.32)−
ℏ2
2m
d2
ψ
dx
2
= Eψ
−
ℏ2
2m
d
2
ψ(x)
dx2
+U (x)ψ(x) = Eψ(x)
Uvnitř jámy je U=0:
33
Fyzika pro chemiky II 33
Obecné řešení – číslujeme je písmenkem (číslem) k:
ψk (x) = Acos(kx)+ Bsin(kx), x∈〈0,L〉, k =
√2m E
ℏ
Vlnová funkce (x) musí být všude spojitá, její derivace d/dx musí být všude spojitá
s výjimkou bodů, v nichž je U(x) → ∞. Platí proto
ψk (0) = ψk(L) = 0
(II.33)
(II.34)
Řešíme rovnici (II.32) s okrajovými podmínkami (II.34) – okrajový problém.
Z podmínky (II.34) plyne A = 0 a možné hodnoty kvantového čísla k jsou pouze tyto:
k = nπ/L, n=1,2,… (II.35)
Energie částice v potenciálové jámě jsou kvantoványkvantovány
En =
ℏ2
k2
2m
=
n2
π2
ℏ2
2mL2
∝ n2
, n=1,2,… (II.36)
Obecné řešení rovnice (II.32) je lineární kombinace řešení (II.33) s různými hodnotami
kvantového čísla n.
34
Fyzika pro chemiky II 34
vlnová funkce (x) hustota pravděpodobnosti P(x) = |(x)|2
35
Fyzika pro chemiky II 35
Jednorozměrná konečně hluboká kvantová jámaJednorozměrná konečně hluboká kvantová jáma
0 L
x
U(x)
U
Schrödingerova rovnice částice uvnitř jámy vypadá stejně jako na dně nekonečně hluboké jámy:
−
ℏ2
2m
d
2
ψ
dx
2
= Eψ , x∈〈0, L〉 (II.37)
zatímco v bariérách
−
ℏ2
2m
d
2
ψ
dx
2 = (E−U)ψ , x ∉ 〈0, L〉 (II.38)
36
Fyzika pro chemiky II 36
Uvažme případ E < U, tj. částice je vázána v jámě. Řešení rovnice (II.37) má tvar (II.33),
rovnice (II.38) má řešení
ψ(x) = Ceαx
pro x< 0, ψ(x) = De−αx
pro x> L,
α =
1
ℏ
√2m(U−E)
(II.38)
Použili jsme přitom podmínku lim
x±∞
ψx=0 Koeficienty A,B,C,D určíme z okrajových
podmínek.
Tyto podmínky lze napsat jako soustavu 4 lineárních homogenních rovnic pro A,B,C,D.
Podmínka existence netriviálního řešení této soustavy je, že determinant její matice je nulový:
det = e−αL
[k2
sin(kL)−2α kcos(kL)−α2
sin(kL)]=0
Tento výraz představuje transcendentní rovnici pro E, která má konečně mnoho
řešení En pro E < U:
tan(k L) =
2α k
k2
−α2
(II.39)
(II.40)
Okrajové podmínky – spojitost (x) a její 1. derivace v bodech x = 0 a x = L.
37
Fyzika pro chemiky II 37
Existuje nenulová pravděpodobnost nalezení částice v bariéře.
Částice pronikají do bariéry s efektivní hloubkou vniku:
δ =
1
α
=
ℏ
√2m(U−E)
(II.41)
vlnová funkce hustota pravděpodobnosti
38
Fyzika pro chemiky II 38
Jednorozměrný kvantový harmonický oscilátorJednorozměrný kvantový harmonický oscilátor
Částice se pohybuje v silovém poli s parabolickým rozložením potenciální energie
minimum potenciální energie – stabilní rovnovážná poloha
x
U(x)
Potenciální energie U (x) =
1
2
K x
2
=
1
2
m ω
2
x
2
Klasická fyzika: síla F(x) =−
dU (x)
dx
=−K x
K je tuhost vazby,  je vlastní frekvence harmonického oscilátoru.
(II.42)
39
Fyzika pro chemiky II 39
Schrödingerova rovnice je
d2
ψ
dx
2
=
2m
ℏ
2 (1
2
mω
2
x
2
−E)ψ(x)
Tato rovnice má spočetně mnoho řešení
kde
Hn(ξ) = (−1)n
eξ
2
d
n
dξ
n
(e−ξ
2
)
je Hermiteův polynom stupně n.
(II.43)
(II.44)
(II.45)
En = ℏω(n+
1
2 ) (II.47)
Schrödingerova rovnice (II.43) má netriviální řešení pouze pro diskrétní spektrum energií
(kvantování energie):
Vlnové funkce (II.44) jsou normovány
∫−∞
∞
dξ ψn(ξ)ψm(ξ) = δnm
(II.46)
ψn(x) =
1
√n!2
n
√π
Hn (ξ) e
−
ξ
2
2
, ξ=x
√mω
ℏ
, n=0,1,2,…
40
Fyzika pro chemiky II 40
Hustota pravděpodobnosti několika stavů kvantového harmonického oscilátoru
Pn(ξ)=∣ψn(ξ)∣
2
41
Fyzika pro chemiky II 41
Základní stav pro n = 0:
E0 =
1
2
ℏω , ψ0 (ξ) = π−1/4
exp(−ξ2
/2) (II.48)
Srovnání s klasickým oscilátorem:
klasický: kvantový:
energie: spojité spektrum:
E=
1
2
mω2
A2
diskrétní spektrum:
En=ℏ ω(n+
1
2
)
hustota
pravděpodobnosti:
Px=
{ A2
−x2
−1/2
/π pro∣x∣A
0 pro ∣x∣A
kvantové číslo: , spojité spektrumA≥0 n = 0,1,2,…, diskrétní spektrum
základní stav: A = 0, E0 = 0 n = 0, E0=
1
2
ℏ ω
V základním stavu nemůže být E0 = 0, odporovalo by to Heisenbergovu principu neurčitosti.
Pn(x)=|(n!2n
√π)
−
1
2
exp(−
ξ2
2 )Hn(ξ)|
2
42
Fyzika pro chemiky II 42
Tok částic potenciálovou bariérou – tunelováníTok částic potenciálovou bariérou – tunelování
Uvažme částici v silovém poli s profilem potenciální energie
0 L
U
x
U(x)
Uvažme nejprve klasickou částici, dopadající na bariéru zleva a mající kinetickou energii E < U.
Taková částice bariéru nepřekoná a od bariéry se odrazí. Hustota pravděpodobnosti jejího
výskytu v bariéře je nulová.
Kvantová částice má nenulovou hustotu pravděpodobnosti výskytu v libovolném bodě x,
v němž je U(x) konečné. Její vlnová funkce nalevo od bariéry (x < 0)
Ψ(x,t) = Ae−i(ωt−kx)
+ Be−i(ωt+ kx)
částice se pohybuje zleva doprava
(dopadající částice)
částice se pohybuje zprava doleva
(odražená částice)
(II.49)
43
Fyzika pro chemiky II 43
Vlnová funkce částice napravo od bariéry ( x > L )
Ψ(x,t) = F e−i(ωt−kx)
+ Ge−i(ωt+ kx)
Předpoklad: napravo od bariéry nejsou částice, které by se pohybovaly zprava doleva, tj. G = 0.
(II.50)
Vlnová funkce částice uvnitř bariéry 0 < x < L (předpokládáme E < U – viz (II.38))
Ψ(x,t)= Ce
−i(ωt−αx)
+ De
−i(ωt+ αx)
α =
1
ℏ
√2m(U−E) (II.51)
Okrajové podmínky – spojitost Ψ(x,t) a její 1. derivace podle x v bodech x = 0 a x = L.
Zaveďme odrazivost R a propustnost T bariéry jako podíly hustot pravděpodobnosti:
R =
∣Ψ (x,t)∣reflected
2
∣Ψ (x,t)∣incident
2
=
∣B∣2
∣A∣
2
, T =
∣Ψ (x,t)∣transmitted
2
∣Ψ (x,t)∣incident
2
=
∣F∣2
∣A∣
2 (II.52)
a položme pro jednoduchost A = 1. Z okrajových podmínek dostaneme 4 lineární
nehomogenní rovnice pro neznámé B, C, D, F. Tato soustava rovnic má vždy právě jedno
řešení pro každou energii E dopadajících částic, tedy i pro E > U. Pro propustnost vyjde
přibližný vztah (platí pro libovolný tvar bariéry):
T ≈ exp
(−
2
ℏ
√2m ∫
U (x)> E
dx√U (x)−E
) (II.53)
44
Fyzika pro chemiky II 44
Příklad výpočtu pro E < U:
45
Fyzika pro chemiky II 45
Příklad výpočtu pro E > U:
46
Fyzika pro chemiky II 46
Aplikace:Aplikace: -rozpad radioaktivních jader-rozpad radioaktivních jader
-částice se nachází v silovém poli s potenciální energií
r
U(r)
R
0
přitažlivá síla uvnitř jádra
(silná interakce)
elektrostatická odpudivá síla
vně jádra
U(r)=
2Ze
2
4 πε0 renergie E -částice
částice překoná potenciální bariéru tunelováním,
propustnost lze získat ze vztahu (II.53)
Další aplikace: emise elektronů studenou katodou.
T(E) = exp
[−4 π Z
√E0
E
+ 8
√Z R
r0
],
r0 =
4 π ε0 ℏ2
mα e2
≈ 7.25×10
−6
nm,
E0 =
e2
8π ε0r0
≈ 0.099 MeV
47
Fyzika pro chemiky II 47
Aplikace: tunelovací mikroskopie (STM)Aplikace: tunelovací mikroskopie (STM)
náčrtek principu STM
měření tunelovacího proudu
Gerd Binning (vpravo), Heinrich Rohrer, Nobelova cena 1981
48
Fyzika pro chemiky II 48
povrch monokrystalu Cu
povrch monokrystalu Ni, jednotlivé atomy jsou rozlišeny