Bohrův model atomu vodíku - odvození základních vztahů
Zbyněk Fišer
Bohrův model atomu vodíku je založen na dvou postulátech:
1. Elektron se může dlouhodobě nacházet jenom v určitých stavech s danou energií a na těchto stavech nevyzařuje (kvantování momentu hybnosti).
2. Přeskok elektronu mezi těmito stavy je realizován pomocí emise/absorpce fotonu, jehož energie je rovna rozdílu energií hladin, mezi kterými došlo k přeskoku elektronu.
n = 3
Existence diskrétních stavů, ve kterých se může elektron nacházet, souvisí s tzv. Bohro-vou kvantovou podmínkou (kvantování momentu hybnosti)
mrv
nh nh
(1)
(2)
(zdroj: en. wikipedia. org)
Z Bohrovy kvantové podmínky lze vyjádřit rychlost a vidíme, že ta může nabývat pouze diskrétních hodnot v závislosti na n (n = 1, 2, 3,4,...)
nh mr
(3)
Základním bodem Bohrova modelu je to, že vychází z představy klasické fyziky - mezi elektronem a protonem působí elektrická síla, která je v pozici dostředivé síly
m-
r 47re0 r2
(m je hmotnost elektronu, v je rychlost, r je poloměr, e je elementární náboj) Z předchozího vztahu (4) vyjádříme r
1   e2 1
(4)
47T6o m v2
(5)
Nyní dosadíme do předchozího vztahu (5) za v ze vztahu pro vn (3) (tedy vnutíme poloměru r kvantování přes rychlost) a vyjádříme následně rn
í \
4:7i €q m 1
e2mr.
nh V mrn )
2
47re0 n2h? Ane0h2
e2m
-n
(6)
(7)
(8)
Výsledný vztah udává kvantování povolených poloměrů kružnic, na nichž se elektron může dlouhodobě nacházet, pro n = 1 dostaneme hodnotu známou jako Bohrův poloměr a0 a další poloměry jsou jeho násobky
rn = a0n
a0
^ = 0,53 Ä
e2 m
(9)
K určení energie elektronu v daném stavu vyjdeme ze vztahu pro celkovou energii, která je rovna součtu kinetické a potenciálni energie (bereme se znaménkem mínus záměrně)
E E
E k + E„
-mv„
1 e2 47re0 rn
(10) (H)
Nyní dosadíme do energií vztahy pro rn (8) a vn (3) a upravíme
2 ■> .2
En E„ E„ E„ E„
nh
1
—m
2 \ mr„
1 e2 47re0 r„
1 / nh —m   — .
2 \m I  r2     47T60 r.
ln2ft2
2 \ 2
e m
2 m \4ne0h2n2 1     e4m 1
e m
47re0 47re0^2n2
4
e m
32 7T2e2)h2n2     16 -n2^h2n2 1   e4m 1
32 7T2e2ft2 n2
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
Výsledný vztah určuje energii, kterou má elektron na dané hladině s číslem n, energii můžeme vyjádřit v násobcích Rydbergovy konstanty Ry
E„
„ 1
-Ry—,
Ry
1   e m 32 ir2e2h2
13,6 eV
(17)
Při přechodu elektronu z jedné hladiny na druhou musí dojít buď k emisi nebo absorpci fotonu o energii, která je rovna rozdílu energií těchto dvou hladin (2. Bohrův postulát)
Lyman series
n = 3-
n = 4-
	434 rnn	
		410 nm
		
		
Balmer series
Paschen series
„ 1
-Ry—
Ry
\E — E 1 J-/n J-'m	= hf	(18)
-Ry-^)	= hf	(19)
mz J		
1 1	c	(20)
n2 m2		
(zdroj: en.wikipedia.org)
2